Работа над текстовой задачей в начальной школе
статья по математике по теме

1. Целенаправленная работа с текстовой задачей.

   Текстовые задачи в курсе математики начальной школы занимают большое место. С одной стороны, они нужны для того, чтобы сформировать у учащихся умение решать задачи, с другой – они могут быть использованы для формирования математических понятий и их свойств, для мотивации введения новых знаний и т.п.

   Однако эффективное использование текстовых задач возможно лишь в том случае, когда учитель может  чётко определяет конкретную цель работы с каждой задачей на уроке, умеет организовать эту работу в строгом соответствии с поставленной целью.

   Часто работа с задачей на уроках строится однотипно и направлена главным образом на достижение практической цели: решить задачу, т. е. получить ответ на вопрос задачи.

    Включая задачу в урок, мы можем определить весьма разнообразные цели. Они либо являются конкретизацией общей обучающей цели – формирования умения решать задачи, либо вытекают из таких общих целей, как формирование какого-либо математического понятия и умения. И в зависимости от той или иной конкретной цели выбираются методические приёмы работы с задачей.

   Прежде всего необходимо остановиться на выборе конкретной цели включения той или иной задачи в урок. Этот выбор может осуществляться двумя взаимосвязанными путями:

1. От общей цели урока к выбору задачи и к конкретной цели работы с ней на уроке.
2. От конкретной задачи к цели, для достижения которой эту задачу можно включить в урок.

      Покажу на примере алгоритм действия по второму пути.

   Возьмём задачу: «В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. сколько метров ткани осталось в куске?» необходимо проанализировать её и выяснить:

- какие математические понятия, отношения, связи, числовые данные содержатся в задаче;

- какие возможны в процессе её решения приёмы первичного анализа, в частности, какие виды моделей могут быть полезны;

- какие возможны приёмы поиска плана решения, виды записи решения;

- какие целесообразны виды проверки, варианты дополнительной работы с задачей;

- какое место в курсе математики занимает урок, в который предполагается включить данную задачу.

   Из текста задачи видно, что в ней имеется понятие длины. Ситуация задачи имеет структуру, определяемую словами было, продали, осталось, где неизвестно числовое значение последнего. Этими словами задаётся отношение между значениями длины, которое может быть названо отношениями «целого и части». Числовые данные невелики  (15, 4, 5), допускают решение задачи графически и даже практически.

   Ситуацию задачи легко представить и проиграть на уроке практически с помощью, например, бумажной ленты. Задача допускает следующие модели:

1. Рисунок;
2. Чертёж;
3. Краткую запись.

   Поиск плана решения задачи может быть проведён как от вопроса к данным, так и от данных к вопросу. Задача составная и легко решается арифметически в два действия. Решение может быть записано и по действиям, и в виде выражения. Возможны три арифметических способа решения:

15 – ( 5 + 4 ),

15 – 5 – 4,

15 – 4 – 5.

Запись решения в виде выражения позволяет применить правило вычитания суммы из числа. Разные способы решения задачи иллюстрируют это правило.

    Проверить задачу можно путём соотнесения полученного результата с условием; путём решения задачи другим способом, определения смысла каждого действия и проверки вычислений.

   К данной задаче легко можно составить обратные.

   После подробного анализа работа с задачей на уроке может проводиться с одной из следующих целей:

1. Закрепить умения измерять длину в метрах;
2. Научить составлять краткие записи к задачам данного вида;
3. Закреплять умения составлять краткую запись к задачам данного вида;
4. Учить использовать краткую запись для поиска плана решения задачи;
5. Учить строить чертёж к задаче;
6. Учить находить разные арифметические способы решения по чертежу;
7. Учить решать задачи практически;
8. Учить находить другие арифметические способы решения задачи с помощью представления жизненной ситуации;
9. Учить проводить разбор задачи от вопроса к данным или от данных к вопросу;
10. Учить записывать решение задачи в виде выражения;
11. Познакомить с правилом вычитания суммы из числа;
12. Научить применять правило вычитания суммы из числа при решении задач;
13. Учить проверять решение задачи одним из приёмов.

   Перечисленные способы можно ещё конкретизировать, определяя этап обучения: подготовка, введение, закрепление.

   В качестве примера можно показать методику работы с задачей в соответствии с поставленной на уроке целью.

   1. Закрепить умение измерять длину в метрах.

   Добиться поставленной цели можно только при практическом решении, причём не применяя масштаб. В качестве оборудования можно взять рулончики бумаги для оклейки окон или тесьму, или мерные ленты для швейных работ.

   Начать работу можно с мотивации предстоящей практической работы. Необходимо задать классу следующие вопросы:

- Какие единицы измерения длины вы знаете?

- Длину каких предметов удобнее измерять в сантиметрах? дециметрах? метрах?

- В каких единицах мы с вами уже учились измерять?

   После прослушивания задачи задаём вопрос о том, можно ли её решить выполняя арифметические действия, какие действия нужно выполнить. Затем предложить детям ответить на вопрос, как решить эту задачу, не прибегая к арифметическим действиям, если вместо куска ткани у них будет рулончик бумаги длиной 15 метров. Дети придут к выводу, что нужно отмерить 5 м, затем 4 м, а потом измерить длину оставшейся ленты. А так как целью является научиться измерять длину в метрах, то очень хорошо решается задача измерением. Заодно и проверяется, правильно ли дети ответили на вопрос задачи, выполняя действия.

   После измерения организуется обсуждение найденного решения. Вспоминается правило измерения в метрах (нужно взять метровую линейку и уложить её на измеряемой полоске столько раз, сколько нужно отмерить метров или необходимо отмерить на полоске один метр, потом сгибать ленту в «гармошку» так, чтобы каждый раз от сгиба до сгиба длина равнялась 1 м, а затем сосчитать число метров).

2. Познакомить с составлением краткой записи к задачам этого вида и научить составлять краткие записи.

   К данному виду задач удобна такая форма краткой записи:

Было…          

Продали…

Осталось…

   Вначале необходимо обеспечить понимание нужности, полезности предстоящей работы. Это можно сделать следующим образом.

   Предложить устно решить задачу, текст которой дети воспринимают на слух. Затем даётся другая задача такого же уровня сложности, которую учитель не только читает но и кратко записывает на доске. После этого задаётся вопрос: «Когда было легче решить задачу: без краткой записи или с записью?»  А далее ставится цель – научиться записывать кратко новый вид задач.

Но вначале составляется краткая запись к нашей задаче. Можно составить краткую запись при помощи карточек на наборном полотне. При составлении записи выясняем, какие слова необходимо использовать при составлении краткой записи и почему, какие числа нужно использовать и почему, куда поставить карточку с вопросом. Получается запись:

     Дети устно отвечают на вопрос задачи. Затем открывают учебник и читают похожую задачу. Выясняется, чем отличаются задачи, что нужно изменить в краткой записи предыдущей задачи. По составленной краткой записи дети самостоятельно решают задачу. Затем предлагается в сборнике задач или в карточке раздаточного материала найти задачу, к которой можно составить краткую запись по той же схеме и решить её.

3. Закреплять умения составлять краткую запись к задачам.

   Для детей готовится раздаточный материал с задачами:

1). В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 4 м ткани, другому – 5 м . Сколько метров ткани осталось в куске?

2). У кормушки было 6 голубей. Сначала прилетели 2 голубя, потом ещё один. Сколько голубей стало у кормушки?

3). В магазине было 25 женских велосипедов и 16 мужских. За день купили 13 велосипедов. Сколько велосипедов осталось продать?

4). Сережа вырезал 5 красных флажков и 8 зелёных. После того, как он несколько флажков отдал сестре, у него осталось 2 красных и 4 зелёных флажка. Сколько флажков Серёжа отдал сестре?

    Даётся задание составить краткую запись к каждой задаче. Определяется, какие слова надо записать в кратких записях, заносятся числовые данные к каждому слову, выделяются неизвестные и определяются главные вопросы задач. Проверку выполненной работы можно провести по эталону. После проверки детям предлагается выбрать одну или несколько задач для решения (из предложенных). Акцентируется внимание на том, что последняя задача – самая сложная, было бы неплохо, если кто-нибудь с ней справится.

4. Учить использовать краткую запись для поиска решения.

   На доске записаны краткие записи задач. Задаётся вопрос для чего мы делаем краткую запись к задачам. Ставится цель – краткая запись часто помогает в решении задачи, поэтому мы поучимся находить решение задачи, опираясь на её краткую запись.

   Далее читается задача о ткани, а дети выбирают среди записей на доске краткую запись, соответствующую задаче и обосновывают свой выбор.

   Затем спрашивается, похожи ли другие краткие записи на эту. (Похожи, потому что в них есть слова было, взяли ( вышли, продали ), осталось.

Чтобы по этим записям можно было легко найти решение, необходимо определить, как связаны строки этих записей (было всегда состоит из того, что продали (взяли, вышли), осталось).

    Далее надо спросить у детей, что делается для того, чтобы узнать сколько осталось, если известно, сколько было и сколько продали. Т. е. по краткой записи намечается план решения. Полезно предложить детям составить выражения ко всем задачам, записанным кратко. Перед составлением выражения нужно по краткой записи прочитать задачи. Вместе с детьми проверяется правильность составления выражений, каждое выражение соотносится с краткой записью.

5. Учить строить чертёж к задаче.

  Детям предлагается сделать рисунок к задаче, чтобы её легче было представить и решить. Выслушиваются предложения детей относительно того, что должно быть на рисунке. Ткань можно изобразить в виде прямоугольника, но так как ширина ткани нам не важна, договариваемся изображать ткань в виде отрезка. Итак, чтобы построить чертёж к задаче, нужно вначале договориться, что будем изображать и в каком виде.

   Затем вместе с детьми выбирается длина отрезка, его расположение и т. д. до конца работы. В результате в тетрадях учеников появляется чертёж к задаче, а на доске записана памятка по построению чертежа.

   Затем детям предлагается, пользуясь памяткой, построить чертёж ещё к одной задаче. Полезно, чтобы дети проговаривали вслух, что нужно делать, а потом выполняли с комментированием соответствующий шаг в построении чертежа.

6. Учить находить разные арифметические способы решения задачи по чертежу.

Для достижения этой цели лучше вначале предложить учащимся решить задачу устно по готовой краткой записи. По записи дети легко находят один способ решения:

1). 4 + 5 = 9 (м)

2). 15 – 9 = 6 (м)

   Затем предлагаются детям чертежи к этой задаче или просим сделать чертёж к задаче в тетрадях, можно положить на парту каждому ученику листок с готовыми чертежами, чтобы внимание детей не рассеивалось, а полностью было сконцентрировано на поиске другого решения по чертежу.      

                                                 15 м

             ?                    4 м                5 м

                                                  15 м

             ?                    4 м                5 м

   Два чертежа нужны для того, чтобы дети вначале на первом чертеже показали, как отрезали ткань, и узнали, сколько осталось ткани, если решать задачу первым способом. А на втором чертеже показано, как можно узнать, сколько осталось ткани в куске после того, как ткань купил первый покупатель. Здесь очень важно, чтобы каждый ученик практически показал по чертежу, как он будет находить остаток.

   Далее делается вывод, что чертёж помогает найти другие способы решения, и детям предлагается ещё одна задача.

                                                  15 м

             ?                    4 м                5 м

                                                      ?                        

                                                  15 м

                         ?

             ?                    4 м                5 м

Лучше, если  будет дано решение этой задачи одним способом и чертёж, по которому детям нужно найти другие способы решения. Причём, полезнее взять вторую задачу другого типа, но допускающую разные способы решения.

   Такое понимание цели включения задачи в урок делает работу с задачами более интересной и повышает результативность использования задач в обучении детей математике.

2. Различные способы решения текстовых задач.

  Пользуясь различными приёмами решения текстовых задач, учитель при подготовке к уроку может самостоятельно найти несколько оригинальных способов решения задачи. Применяя эти приёмы в классе при руководстве коллективным решением задачи, учитель может подвести учащихся к отыскиванию другого способа решения, если это необходимо для достижения целей урока. Умелое использование различных способов решения задач на уроках математики в начальных классах оказывает положительное влияние на развитие мышления детей, на формирование их личности. Причём ценность имеют не только рациональные способы решения, но и все другие, во-первых, потому, что для учения более лёгким и понятным может оказаться как раз нерациональный с точки зрения математики способ, во-вторых, потому, что знание того, что большинство задач допускает много разных способов решения, предоставляет ученику значительные возможности для самостоятельного поиска решения. Ученик при этом не будет отказываться от решения задачи только потому, что он забыл, как такие задачи решаются.

   Рассмотрим суть каждого из приёмов, покажем на конкретных примерах возможности его применения для отыскания других способов решения.

1. Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом.

Задача: « На одной машине увезли 28 мешков зерна, на другой – на 6 мешков больше, чем на первой машине, а на третьей – на 4 мешка меньше, чем на второй. Сколько мешков зерна увезли на третьей машине?»

Традиционная краткая запись выглядит так:

1 маш. – 28 меш.

2 маш. - ?, на 6 меш. больше

3 маш. - ?, на 4 меш. меньше  

   С помощью этой записи легко находится такое решение:

1). 28 + 6 = 34 (меш.) – привезли на второй машине.

2). 34 – 4 = 30 (меш.)

Ответ: на третьей машине привезли 30 мешков зерна.

Если же мы построим чертёж, то легко найдём другой способ решения:

                          28 меш.

1    

                     28 меш.                     6 меш.

2

                                                                4 меш.

                       28 меш.

    3 

                                    ?

1). 6 – 4 = 2 (меш.)  - больше привезли на третьей машине, чем на первой.

2). 28 + 2 = 30 (меш.)

Ответ: на третьей машине привезли 30 мешков зерна.

Рассмотрим ещё одну задачу: « В соревнованиях принимали участие 18 пловцов из нашей школы, а из соседней – в 2 раза больше. Сколько всего пловцов принимало участие в соревнованиях?»  традиционнее решение выглядит так:

1). 18 · 2 = 36 (плов.) – приняло участие из соседней школы.

2). 36 + 18 = 54 (плов.)

Ответ: в соревнованиях приняло участие всего 54 пловца.

   Но если к этой задаче построить чертёж, то решение может быть найдено с помощью выполнения одного действия, так как ещё одно действие выполняется устно или же его результат берётся для чертежа:

                         18 пл.              18 пл.           18 пл.

                              1 шк.                      2 шк.

                                                      ?

Решение: 18 · 3 = 54 (пл.)

 Ответ: в соревнованиях приняло участие всего 54 пловца.

Как видно из приведённых примеров, чертёж помогает найти другой способ решения задач, условия которых содержат отношения «больше на … (меньше на …)», « больше (меньше) в … раз».

   При решении задач, содержащих пропорциональную зависимость величин, другой способ решения зачастую помогает найти схематический рисунок. Рассмотрим это на примере: « В магазин привезли 12 ящиков с яблоками по 8 кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва?»

   Задача имеет традиционную структуру: « Было 12 ящ. по 8 кг в каждом, продали – 9 ящ. по 8 кг в каждом; требуется узнать, сколько кг осталось продать». Путём рассуждения от вопроса к данным легко находится следующий способ решения:

1). 8 · 12 = 96 (кг) – привезли в магазин.

2). 8 · 9 = 72 (кг) – продали до обеденного перерыва.

3). 96 – 72 = 24 (кг)

Ответ: 24 кг яблок осталось продать после обеденного перерыва.

Если сделать схематический рисунок, то увидим, что после обеденного перерыва осталось продать 3 ящика яблок по 8 кг в каждом.

                                Было

Отсюда арифметическое решение данной задачи такое:

1). 12 – 9 = 3 (ящ.) – осталось продать после обеденного перерыва.

2). 8 · 3 = 24 (кг)

Ответ: 24 кг яблок осталось продать после обеденного перерыва.

   При решении некоторых задач хорошим подспорьем в отыскании других способов решения является табличная форма краткой записи и поиск плана решения по таблице.

  Задача: « Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно ещё вернуться?»

   В обычной форме краткая запись этой задачи выглядит так:

Ушли – 20 л. и 8 л.

Вернулись – 6 л.

Осталось вернуться - ?

По этой записи легко составляется выражение (20 + 8) – 6.

   Составим теперь таблицу и  занесём в неё содержание задачи. Для этого вначале определим, сколько строк и столбцов необходимо в этой таблице. Затем выясним, о каких лодках идёт речь в задаче. Из текста задачи видно, что речь идёт о больших лодках, маленьких лодках и обо всех лодках. Для занесения этих сведений в таблицу понадобится три строки. Теперь установим, о скольких ситуациях идёт речь в задаче: лодки ушли, лодки вернулись, лодки должны вернуться. Для занесения этих сведений в таблицу потребуется три столбца:

   Следующий шаг составления таблицы – внесение содержания задачи в неё. Для этого читаем задачу по частям, занося содержание каждой части в соответствующий столбец и строку. Однако при этом возникает вопрос: куда занести сведения о вернувшихся лодках? Так как в задаче ничего не сказано о том, какие лодки вернулись, то мы можем считать их: большими, тогда число 6 будет в первой строке; маленькими, тогда число 6 будет во второй строке; часть больших и часть маленьких лодок, тогда появится пять вариантов заполнения таблицы. Таким образом, таблицу можно заполнить семью различными способами, что определяет семь различных арифметических способов решения, не считая первого, который найден по краткой записи без таблицы.

2 способ:

20 – 6 + 8 = 22 (л.)

3 способ:

20 + ( 8 – 6 ) = 22 (л.)

4 способ:

( 20 – 1 ) + ( 8 – 5 ) = 22 (л.)

5 способ:

( 20 – 2 ) + ( 8 – 4 ) = 22 (л.)

6 способ:

( 20 – 3 ) + ( 8 – 3 ) = 22 (л.)

7 способ:

( 20 – 4 ) + ( 8 – 2 ) = 22 (л.)

8 способ:

( 20 – 5 ) + ( 8 – 1 ) = 22 (л.)

   Следует заметить, что, заполняя таблицу, мы вынуждены были дополнять условие задачи уточняющими сведениями о видах лодок, которые вернулись. Возможно также и представление практических ситуаций.

    Все приведённые способы решения могут быть также легко найдены, если построить предметную модель. Например, в классе можно поставить на планку у доски 20 больших треугольников – это большие лодки – и 8 маленьких – это маленькие лодки. По-разному беря 6 треугольников (лодок) и выполняя арифметические действия, мы получим все способы решения. Построение чертежа к этой задаче уже не даёт возможности найти столько способов решения, так как иное изображение 6 лодок требует построения другого чертежа:

                              20                                                8

•  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •

                                 ?                                                    6

( 20 + 8 ) – 6 = 22 (л.)

20 + ( 8 – 6 ) = 22 (л.)

2.  Использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения.

   Приведём пример, когда выбор пары данных при разборе задачи от данных к вопросу неожиданно приводит к красивому и нестандартному решению.

Задача: « В зале 8 рядов по 12 стульев в каждом. В зал пришли учащиеся из трёх классов , в каждом из которых по 30 человек. Хватит ли стульев для всех учеников? Сколько свободных стульев останется?»

   Начнём рассуждение с первой пары данных: 8 рядов по 12 стульев в каждом. По этим данным можно узнать, сколько всего стульев в зале: 12 · 8 = 96  (с.) Возьмём теперь найденное число и количество учеников в одном классе: 96 стульев и 30 учеников. Что по этим данным можно найти? Т. к. в классе 30 учеников, то им понадобится 30 стульев. Зная это, можно узнать, на сколько классов хватит стульев в зале (сколько раз по 30 содержится в 96)

Разделим 96 на 30, получим 96 : 30 = 3 (ост. 6), т.е. стульев хватит на три класса и останутся незанятыми шесть стульев. Для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить только два действия.

3. Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения.

Возьмём задачу: « В одном кувшине было 4 л молока, а в другом 3 литра. За обедом выпили 2 л молока. Сколько литров молока осталось?»

    Дополняя условие задачи сведениями о том, из какого кувшина выпили молоко за обедом, можно найти кроме основного (( 4 + 3 ) – 2 ) ещё три способа: ( 4 – 2 ) + 3, если за обедом пили молоко из первого кувшина; 4 + ( 3 – 2 ) , если за обедом пили молоко из второго кувшина; 4 – 1 = 3, 3 – 1 = 2, 3 + 2 = 5, если пили молоко поровну из каждого кувшина.

   Применение данного приёма может сочетаться с построением модели задачи и особенно тесно с приёмом представления практического разрешения ситуации, так как оно всегда сопровождается привнесением в содержание задачи дополнительной информации.

4. Представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче.

Пусть нужно решить разными способами задачу: «На товарную станцию прибыло 2 состава с брёвнами. В одном из них было 39 платформ, а в другом на 4 больше. Разгрузили 60 платформ. Сколько ещё платформ осталось разгрузить?»

   Первый способ решения, основанный на традиционной структуре: «было», «разгрузили», «осталось разгрузить» находится довольно легко:

1). 39 + 4 = 43 (пл.) – во втором составе.

2). 39 + 43 = 82 (пл.) – всего в  двух составах.

3). 82 – 60 = 22 (пл.)

Ответ: осталось разгрузить 22 платформы.

   Другие способы не сразу находят даже учителя. Но стоит только предложить учащимся представить себе, что это они разгружают составы, представить, как они организуют разгрузку, как сразу же поступают предложения: нужно разгрузить вначале один состав, а потом другой; можно разгрузить вначале первый состав, а затем второй; можно разгрузить вначале второй состав, а потом начать разгружать первый. На основе этих рассуждений приходим к следующим способам решения.

2 способ.

  Узнаем, сколько платформ во втором составе: 39 + 4 = 43. пусть вначале разгрузили первый состав. Тогда из 60 разгруженных платформ 39 из первого состава, а остальные – из  второго. Узнаем сколько разгрузили платформ из второго состава: 60 -  39 = 21. знаем, что во втором составе было 43 платформы, а разгрузили из них 21. осталось разгрузить 43 – 21 = 22 платформы. Аналогичные рассуждения приводят к третьему способу решения.

3 способ.

1). 39 + 4 = 43 (пл.)  - во втором составе.

2). 60 – 43 = 17 (пл.) – разгрузили из первого состава.

3). 39 – 17 = 22 (пл.)

Ответ: осталось разгрузить 22 платформы.

   Если предложить рассуждения о практических способах разгрузки платформы, тогда появятся ещё несколько способов решения. Если представить, что разгрузили 30 платформ из первого состава, то получим ещё один способ решения:

1). 39 + 4 = 43 (пл.)  - во втором составе.

2). 39 – 30 = 9 (пл.) – остались неразгруженными из первого состава.

3). 43 – 30 = 13 (пл.) – остались неразгруженными из второго состава.

4) 9 + 13 = 22 (пл.)

 Ответ: осталось разгрузить 22 платформы.

   Существуют и другие аналогичные способы, которые также легко могут быть найдены при представлении практической ситуации. Использование рассматриваемого приёма позволяет привлечь к поиску решения задачи жизненный опыт детей, их практическую смекалку.

5. Замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи.

Изменим условие предыдущей задачи: в обоих составах платформ было поровну – по 39. Нетрудно будет найти решение этой задачи:

1). 39 · 2 = 78 (пл.)  - в обоих составах.

2). 78 – 60 = 18 (пл.)

Ответ: осталось разгрузить 18 платформ.

   Сравним теперь содержание исходной задачи и изменённой. В исходной задаче платформ во втором составе на 4 больше, а значит, на 4 больше и общее число платформ которые осталось разгрузить. Тогда ответ на вопрос задачи  мы можем найти, увеличив результат решения изменённой задачи на 4, т. е. 18 + 4  = 22 (пл.)

   Нужно отметить, что показанный приём основан на свойствах отношений «больше», «меньше», «равно», что он служит средством отыскания нестандартных способов решения.

6. Явное выделение всех зависимостей в задаче.

В основе этого приёма лежит глубокий анализ математического содержания задачи.

   Рассмотрим задачу: « Ученики одной школы собрали 80 т металлолома, а другой -  5 ̸  8 этого количества. Из всего собранного лома на заводе изготовили рельсы. Сколько получили метров рельсов, если из каждых 10 т металлолома выходит 70 м рельсов?»

   В данной задаче две взаимосвязанные величины: масса и длина. Эти величины характеризуются металлоломом, собранным детьми первой школы, детьми второй школы и детьми обеих школ вместе. Учитывая эти зависимости можно найти несколько способов решения этой задачи.

1 способ.

1). 80 : 8 · 5 = 50 (т.)

2). 80 + 50 = 130 (т.)

3). 70 : 10 = 7 (м ̸ т)

4). 130 · 7 = 910 (м)

2 способ.

1).   80 : 8 · 5 = 50 (т.)

2). 70 : 10 = 7 (м ̸ т)

3). 7  · 80 = 560 (м)

4). 7 · 50 = 350 (м)

5) 350 + 560 = 910 (м)

3 способ.

1). 70 : 10 = 7 (м ̸ т)

2). 7  · 80 = 560 (м)

3). 560 : 8 · 5 = 350 (м)

4). 350 + 560 = 910 (м)

3. Развитие мышления детей при решении текстовых задач.

   Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

  Остановимся на обучении решению задач на движение.

   В результате подготовительной работы к моменту обучения решению задач этого вида ученики владеют навыками устного счёта, умением самостоятельно решать простые задачи на зависимость между величинами «скорость», «время», «расстояние», применять алгоритм решения простой и составной задач.

   Текст задачи: « Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со скоростью 60 км ̸ ч. в это время навстречу им из зимовки выехал лыжник со скоростью 15 км ̸ ч. На каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани?»

   Можно предложить ребятам в парах построить чертёж к этой задаче, либо предложить готовый, а ученики по чертежу повторяют задачу, показывая на нём своему соседу по парте, что известно в задаче и что необходимо найти. При этом дети учатся читать чертежи, контролируя друг друга.

   Далее можно спросить у детей, кто может самостоятельно решить задачу. Одному из поднявших руку предлагается решить задачу с обратной стороны доски. С остальными же ещё раз уточняется условие и вопрос задачи. Пока учащиеся решают задачу самостоятельно, учитель оказывает индивидуальную помощь тем детям, для кого задача оказалась трудна. К тому времени те, кто решил задачу, получают дополнительное задание на выбор: изменить вопрос задачи и решить её либо выбрать из сборника другую задачу на движение и решить её. Как только класс закончит работу, проверяется решение основной задачи:

 1). 60 + 15 = 75 ( км ̸ ч) – скорость сближения.

 2). 150 : 75 = 2 (ч) – время в пути.

 3). 15 · 2 = 30 (км)

Ответ: 30 км пройдёт лыжник до встречи.

  Затем проверяются дополнительные задания. Задаются новые вопросы к задаче и объясняется ход мыслей при решении. После проделанной работы можно задать дополнительные вопросы:

- Почему изменилось последнее действие в задаче?

- Как изменится условие в задаче, в которой нужно определить время? (условие не изменится, изменится только вопрос)

- Запишите выражение, с помощью которого можно найти время.

- Изменится ли текст задачи, если надо найти всё расстояние?

( да, т.к. должны быть даны скорость аэросаней, лыжника и время их движения)

   Также обнаруживается, что расстояние можно найти разными способами:

1 способ.

( 60 + 15) · 2  = 150 (км)

2 способ.

60 · 2 + 15 · 2 = 150 (км)

   Дети доказывают, что каждое из приведённых решений верно, определяют более рациональное из них.

- Какую ещё величину можно сделать неизвестной? (скорость)

- Найдите скорость аэросаней.

Дети предлагают два способа решения.

1 способ.

150 : 2 – 15 = 60 (км ̸ ч)

2 способ.

( 150 – 15 · 2 ) : 2 =  60 (км ̸ ч)

В результате такой работы большинство учащихся смогли решить шесть задач.

   Практика работы над составной задачей показывает, что одна из главных причин затруднения учащихся  - недостаточное понимание текста задачи. Чтобы задача стала понятней, можно применять следующие виды упражнений, которые используются не только при первичном знакомстве учащихся с задачей, но и при индивидуальной работе со слабыми учениками:

1. Преобразование условия задачи, например, из косвенной формы в прямую.
2. Решение задач, где вопрос стоит в начале условия в разных формулировках, например: «Найти скорость, если известно…», «Какова скорость, если известно…», «Вычисли скорость, если известно…»   Умение находить вопрос задачи – очень важный момент. Оно формируется при решении простых задач и совершенствуется при решении составных.

   Далее приведём некоторые приёмы, которыми пользуемся на уроках при решении составных задач.

1. Составление задач по выражению.    

540 : 4  - 60 = 70 (км ̸ ч)

Вначале можно предложить детям составить задачу на встречное движение, а затем придумать задачу с таким же решением на движение в противоположных направлениях.

2. Составление обратных задач в т.ч. с использованием готовых схем.

3. Составление задач на движение по чертежам.

4. Использование дидактического материала. Для этих целей можно сделать для каждого ребёнка в классе раздаточный материал по разным видам задач. При изучении того или иного вида задач у детей на уроках всегда должен быть этот раздаточный материал и в свободные минутки они самостоятельно решают задачи по выбору на дополнительную отметку.

5. Сравнение разных задач с одинаковым решением, например: « Из двух городов, находящихся на расстоянии 520 км, вышли навстречу друг другу два поезда в одно и то же время и встретились через 4 часа. Первый поезд шёл со скоростью 60 км ̸ ч С какой скоростью ехал второй поезд?»

Вторая задача: « Два поезда вышли из города одновременно в противоположных направлениях. Через 4 часа расстояние между ними было 520 км. Первый шёл со скоростью 60 км ̸ ч. С какой скоростью шёл второй поезд?»

                       Решение занимательных  задач.

                     - Два кирпича летели с одинаковой скоростью, хотя и были брошены      

                      разными мальчиками друг в друга. К счастью, оба кирпича  

                      промахнулись. Первый кирпич был в воздухе 8 секунд, а второй -  на 2

                     секунды меньше. Второй кирпич пролетел меньше первого на 6 метров.

                     Какое расстояние пролетел каждый кирпич?

6 : 2 = 3 ( м ̸ с) – скорость

3 · 8 = 24 (м) – пролетел первый кирпич.

24 – 6 = 18 (м)  или 3 · ( 8 – 2 ) = 18 (м) – пролетел второй кирпич

2. Фронтальная работа со схемами, вычерченными на доске.

-  Что происходит с движущимися объектам и при движении в одном направлении, в противоположных направлениях, навстречу друг другу. Ваша задача – определить вид движения, представленный на схеме, сказать, увеличится или уменьшится расстояние между объектами через 3 часа после начала движения и на сколько.

7 км ̸ ч       19 км ̸ ч

( движение с отставанием, расстояние увеличится,

Ȗ уд. = 19 – 7 = 12 км ̸ ч

Ś = 12 · 3 = 36 (км))

- Что произойдёт, если движущиеся объекты поменять местами?

( движение вдогонку, расстояние уменьшится,

Ȗсбл. = 19 – 7 = 12 км ̸ ч,        Ś = 12 · 3 = 36 км)

          60 км ̸ ч                             85 км ̸ ч

( движение в противоположных направлениях, расстояние увеличится,

Ȗуд. = 60 + 85 = 145 (км ̸ ч)

Ș = 145 · 3 = 435 (км))

- Что произойдёт, если объекты поменять местами?

( ничего не изменится)

3. Составление обратных задач к данной по выражениям, работа со схемами.

- Составьте обратные задачи, используя выражения.

( пока один из учеников составляет задачу, другой на доске работает со схемой)

   1320 : ( 75 + 35 )   ( ṭ встр. - ? )

   1320 : 12 – 35        ( Ȗ пасс. поезда)

   1320 : 12  - 75        ( Ȗтов. поезда )

4. Решение задачи разными способами.

                                                75 км ̸ ч                                      35 км ̸ ч

5. Блиц-турнир ( работа маркерами на альбомных листах).

18 км ̸ ч                                   13 км ̸ ч

                        ? км                            ṭ встр.= 4 ч.

         80 км ̸ ч                      60 км ̸ ч

                             45 км

                          ?                              ṭ = 6 ч.

                                                         ḍ 6 = ?

   18 км ̸ ч                                     8 км ̸ ч

                             78 км                                ṭ встр. = ?

             8 км ̸ ч                              ?

                                   15 км

                                   ?                                         ṭ = 3 ч

                                                                              ḍ 3 = 54 км

75 км ̸ ч                     68 км ̸ ч

            ?                                                         ṭ встр. = 3 ч

    67 км ̸ ч                    62 км ̸ ч

             25 км                                  ṭ встр. = ?

 15 км ̸ ч               24 км ̸ ч

          16 км                                         ṭ = 2 ч

                                                            ḍ 2 = ? км

13. + 18 ) • 4 = 128 (км)

45 + (( 80 + 60) • 6 ) = 885 (км)

78 : ( 18 + 8 ) = 3 (ч)

(54 – 15) : 3 – 8 = 5 ( км ̸ ч)

( 75 – 68 ) • 3 = 21 (км)

25 : ( 67 – 62 ) = 5 (ч)

16 + ( 24 – 15 ) • 2 = 34 (км))

  Было

 Продали

  Осталось

 Осталось

  15 м

4м, 5м

     ?

     Продали

?

?

ṭ встр. = 12 ч.

1 способ:

( 75 + 35 ) • 12 = 1320 (км)

- Как эту задачу можно было решить по-другому?

2 способ:

( 75 • 12) + ( 35 • 12) = 1320 (км)

- Какой способ более рациональный?

- Почему?

1. Целенаправленная работа с текстовой задачей.

   Текстовые задачи в курсе математики начальной школы занимают большое место. С одной стороны, они нужны для того, чтобы сформировать у учащихся умение решать задачи, с другой – они могут быть использованы для формирования математических понятий и их свойств, для мотивации введения новых знаний и т.п.

   Однако эффективное использование текстовых задач возможно лишь в том случае, когда учитель может  чётко определяет конкретную цель работы с каждой задачей на уроке, умеет организовать эту работу в строгом соответствии с поставленной целью.

   Часто работа с задачей на уроках строится однотипно и направлена главным образом на достижение практической цели: решить задачу, т. е. получить ответ на вопрос задачи.

    Включая задачу в урок, мы можем определить весьма разнообразные цели. Они либо являются конкретизацией общей обучающей цели – формирования умения решать задачи, либо вытекают из таких общих целей, как формирование какого-либо математического понятия и умения. И в зависимости от той или иной конкретной цели выбираются методические приёмы работы с задачей.

   Прежде всего необходимо остановиться на выборе конкретной цели включения той или иной задачи в урок. Этот выбор может осуществляться двумя взаимосвязанными путями:

1. От общей цели урока к выбору задачи и к конкретной цели работы с ней на уроке.
2. От конкретной задачи к цели, для достижения которой эту задачу можно включить в урок.

      Покажу на примере алгоритм действия по второму пути.

   Возьмём задачу: «В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. сколько метров ткани осталось в куске?» необходимо проанализировать её и выяснить:

- какие математические понятия, отношения, связи, числовые данные содержатся в задаче;

- какие возможны в процессе её решения приёмы первичного анализа, в частности, какие виды моделей могут быть полезны;

- какие возможны приёмы поиска плана решения, виды записи решения;

- какие целесообразны виды проверки, варианты дополнительной работы с задачей;

- какое место в курсе математики занимает урок, в который предполагается включить данную задачу.

   Из текста задачи видно, что в ней имеется понятие длины. Ситуация задачи имеет структуру, определяемую словами было, продали, осталось, где неизвестно числовое значение последнего. Этими словами задаётся отношение между значениями длины, которое может быть названо отношениями «целого и части». Числовые данные невелики  (15, 4, 5), допускают решение задачи графически и даже практически.

   Ситуацию задачи легко представить и проиграть на уроке практически с помощью, например, бумажной ленты. Задача допускает следующие модели:

1. Рисунок;
2. Чертёж;
3. Краткую запись.

   Поиск плана решения задачи может быть проведён как от вопроса к данным, так и от данных к вопросу. Задача составная и легко решается арифметически в два действия. Решение может быть записано и по действиям, и в виде выражения. Возможны три арифметических способа решения:

15 – ( 5 + 4 ),

15 – 5 – 4,

15 – 4 – 5.

Запись решения в виде выражения позволяет применить правило вычитания суммы из числа. Разные способы решения задачи иллюстрируют это правило.

    Проверить задачу можно путём соотнесения полученного результата с условием; путём решения задачи другим способом, определения смысла каждого действия и проверки вычислений.

   К данной задаче легко можно составить обратные.

   После подробного анализа работа с задачей на уроке может проводиться с одной из следующих целей:

1. Закрепить умения измерять длину в метрах;
2. Научить составлять краткие записи к задачам данного вида;
3. Закреплять умения составлять краткую запись к задачам данного вида;
4. Учить использовать краткую запись для поиска плана решения задачи;
5. Учить строить чертёж к задаче;
6. Учить находить разные арифметические способы решения по чертежу;
7. Учить решать задачи практически;
8. Учить находить другие арифметические способы решения задачи с помощью представления жизненной ситуации;
9. Учить проводить разбор задачи от вопроса к данным или от данных к вопросу;
10. Учить записывать решение задачи в виде выражения;
11. Познакомить с правилом вычитания суммы из числа;
12. Научить применять правило вычитания суммы из числа при решении задач;
13. Учить проверять решение задачи одним из приёмов.

   Перечисленные способы можно ещё конкретизировать, определяя этап обучения: подготовка, введение, закрепление.

   В качестве примера можно показать методику работы с задачей в соответствии с поставленной на уроке целью.

   1. Закрепить умение измерять длину в метрах.

   Добиться поставленной цели можно только при практическом решении, причём не применяя масштаб. В качестве оборудования можно взять рулончики бумаги для оклейки окон или тесьму, или мерные ленты для швейных работ.

   Начать работу можно с мотивации предстоящей практической работы. Необходимо задать классу следующие вопросы:

- Какие единицы измерения длины вы знаете?

- Длину каких предметов удобнее измерять в сантиметрах? дециметрах? метрах?

- В каких единицах мы с вами уже учились измерять?

   После прослушивания задачи задаём вопрос о том, можно ли её решить выполняя арифметические действия, какие действия нужно выполнить. Затем предложить детям ответить на вопрос, как решить эту задачу, не прибегая к арифметическим действиям, если вместо куска ткани у них будет рулончик бумаги длиной 15 метров. Дети придут к выводу, что нужно отмерить 5 м, затем 4 м, а потом измерить длину оставшейся ленты. А так как целью является научиться измерять длину в метрах, то очень хорошо решается задача измерением. Заодно и проверяется, правильно ли дети ответили на вопрос задачи, выполняя действия.

   После измерения организуется обсуждение найденного решения. Вспоминается правило измерения в метрах (нужно взять метровую линейку и уложить её на измеряемой полоске столько раз, сколько нужно отмерить метров или необходимо отмерить на полоске один метр, потом сгибать ленту в «гармошку» так, чтобы каждый раз от сгиба до сгиба длина равнялась 1 м, а затем сосчитать число метров).

2. Познакомить с составлением краткой записи к задачам этого вида и научить составлять краткие записи.

   К данному виду задач удобна такая форма краткой записи:

Было…          

Продали…

Осталось…

   Вначале необходимо обеспечить понимание нужности, полезности предстоящей работы. Это можно сделать следующим образом.

   Предложить устно решить задачу, текст которой дети воспринимают на слух. Затем даётся другая задача такого же уровня сложности, которую учитель не только читает но и кратко записывает на доске. После этого задаётся вопрос: «Когда было легче решить задачу: без краткой записи или с записью?»  А далее ставится цель – научиться записывать кратко новый вид задач.

Но вначале составляется краткая запись к нашей задаче. Можно составить краткую запись при помощи карточек на наборном полотне. При составлении записи выясняем, какие слова необходимо использовать при составлении краткой записи и почему, какие числа нужно использовать и почему, куда поставить карточку с вопросом. Получается запись:

     Дети устно отвечают на вопрос задачи. Затем открывают учебник и читают похожую задачу. Выясняется, чем отличаются задачи, что нужно изменить в краткой записи предыдущей задачи. По составленной краткой записи дети самостоятельно решают задачу. Затем предлагается в сборнике задач или в карточке раздаточного материала найти задачу, к которой можно составить краткую запись по той же схеме и решить её.

3. Закреплять умения составлять краткую запись к задачам.

   Для детей готовится раздаточный материал с задачами:

1). В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 4 м ткани, другому – 5 м . Сколько метров ткани осталось в куске?

2). У кормушки было 6 голубей. Сначала прилетели 2 голубя, потом ещё один. Сколько голубей стало у кормушки?

3). В магазине было 25 женских велосипедов и 16 мужских. За день купили 13 велосипедов. Сколько велосипедов осталось продать?

4). Сережа вырезал 5 красных флажков и 8 зелёных. После того, как он несколько флажков отдал сестре, у него осталось 2 красных и 4 зелёных флажка. Сколько флажков Серёжа отдал сестре?

    Даётся задание составить краткую запись к каждой задаче. Определяется, какие слова надо записать в кратких записях, заносятся числовые данные к каждому слову, выделяются неизвестные и определяются главные вопросы задач. Проверку выполненной работы можно провести по эталону. После проверки детям предлагается выбрать одну или несколько задач для решения (из предложенных). Акцентируется внимание на том, что последняя задача – самая сложная, было бы неплохо, если кто-нибудь с ней справится.

4. Учить использовать краткую запись для поиска решения.

   На доске записаны краткие записи задач. Задаётся вопрос для чего мы делаем краткую запись к задачам. Ставится цель – краткая запись часто помогает в решении задачи, поэтому мы поучимся находить решение задачи, опираясь на её краткую запись.

   Далее читается задача о ткани, а дети выбирают среди записей на доске краткую запись, соответствующую задаче и обосновывают свой выбор.

   Затем спрашивается, похожи ли другие краткие записи на эту. (Похожи, потому что в них есть слова было, взяли ( вышли, продали ), осталось.

Чтобы по этим записям можно было легко найти решение, необходимо определить, как связаны строки этих записей (было всегда состоит из того, что продали (взяли, вышли), осталось).

    Далее надо спросить у детей, что делается для того, чтобы узнать сколько осталось, если известно, сколько было и сколько продали. Т. е. по краткой записи намечается план решения. Полезно предложить детям составить выражения ко всем задачам, записанным кратко. Перед составлением выражения нужно по краткой записи прочитать задачи. Вместе с детьми проверяется правильность составления выражений, каждое выражение соотносится с краткой записью.

5. Учить строить чертёж к задаче.

  Детям предлагается сделать рисунок к задаче, чтобы её легче было представить и решить. Выслушиваются предложения детей относительно того, что должно быть на рисунке. Ткань можно изобразить в виде прямоугольника, но так как ширина ткани нам не важна, договариваемся изображать ткань в виде отрезка. Итак, чтобы построить чертёж к задаче, нужно вначале договориться, что будем изображать и в каком виде.

   Затем вместе с детьми выбирается длина отрезка, его расположение и т. д. до конца работы. В результате в тетрадях учеников появляется чертёж к задаче, а на доске записана памятка по построению чертежа.

   Затем детям предлагается, пользуясь памяткой, построить чертёж ещё к одной задаче. Полезно, чтобы дети проговаривали вслух, что нужно делать, а потом выполняли с комментированием соответствующий шаг в построении чертежа.

6. Учить находить разные арифметические способы решения задачи по чертежу.

Для достижения этой цели лучше вначале предложить учащимся решить задачу устно по готовой краткой записи. По записи дети легко находят один способ решения:

1). 4 + 5 = 9 (м)

2). 15 – 9 = 6 (м)

   Затем предлагаются детям чертежи к этой задаче или просим сделать чертёж к задаче в тетрадях, можно положить на парту каждому ученику листок с готовыми чертежами, чтобы внимание детей не рассеивалось, а полностью было сконцентрировано на поиске другого решения по чертежу.      

                                                 15 м

             ?                    4 м                5 м

                                                  15 м

             ?                    4 м                5 м

   Два чертежа нужны для того, чтобы дети вначале на первом чертеже показали, как отрезали ткань, и узнали, сколько осталось ткани, если решать задачу первым способом. А на втором чертеже показано, как можно узнать, сколько осталось ткани в куске после того, как ткань купил первый покупатель. Здесь очень важно, чтобы каждый ученик практически показал по чертежу, как он будет находить остаток.

   Далее делается вывод, что чертёж помогает найти другие способы решения, и детям предлагается ещё одна задача.

                                                  15 м

             ?                    4 м                5 м

                                                      ?                        

                                                  15 м

                         ?

             ?                    4 м                5 м

Лучше, если  будет дано решение этой задачи одним способом и чертёж, по которому детям нужно найти другие способы решения. Причём, полезнее взять вторую задачу другого типа, но допускающую разные способы решения.

   Такое понимание цели включения задачи в урок делает работу с задачами более интересной и повышает результативность использования задач в обучении детей математике.

2. Различные способы решения текстовых задач.

  Пользуясь различными приёмами решения текстовых задач, учитель при подготовке к уроку может самостоятельно найти несколько оригинальных способов решения задачи. Применяя эти приёмы в классе при руководстве коллективным решением задачи, учитель может подвести учащихся к отыскиванию другого способа решения, если это необходимо для достижения целей урока. Умелое использование различных способов решения задач на уроках математики в начальных классах оказывает положительное влияние на развитие мышления детей, на формирование их личности. Причём ценность имеют не только рациональные способы решения, но и все другие, во-первых, потому, что для учения более лёгким и понятным может оказаться как раз нерациональный с точки зрения математики способ, во-вторых, потому, что знание того, что большинство задач допускает много разных способов решения, предоставляет ученику значительные возможности для самостоятельного поиска решения. Ученик при этом не будет отказываться от решения задачи только потому, что он забыл, как такие задачи решаются.

   Рассмотрим суть каждого из приёмов, покажем на конкретных примерах возможности его применения для отыскания других способов решения.

1. Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом.

Задача: « На одной машине увезли 28 мешков зерна, на другой – на 6 мешков больше, чем на первой машине, а на третьей – на 4 мешка меньше, чем на второй. Сколько мешков зерна увезли на третьей машине?»

Традиционная краткая запись выглядит так:

1 маш. – 28 меш.

2 маш. - ?, на 6 меш. больше

3 маш. - ?, на 4 меш. меньше  

   С помощью этой записи легко находится такое решение:

1). 28 + 6 = 34 (меш.) – привезли на второй машине.

2). 34 – 4 = 30 (меш.)

Ответ: на третьей машине привезли 30 мешков зерна.

Если же мы построим чертёж, то легко найдём другой способ решения:

                          28 меш.

1    

                     28 меш.                     6 меш.

2

                                                                4 меш.

                       28 меш.

    3 

                                    ?

1). 6 – 4 = 2 (меш.)  - больше привезли на третьей машине, чем на первой.

2). 28 + 2 = 30 (меш.)

Ответ: на третьей машине привезли 30 мешков зерна.

Рассмотрим ещё одну задачу: « В соревнованиях принимали участие 18 пловцов из нашей школы, а из соседней – в 2 раза больше. Сколько всего пловцов принимало участие в соревнованиях?»  традиционнее решение выглядит так:

1). 18 · 2 = 36 (плов.) – приняло участие из соседней школы.

2). 36 + 18 = 54 (плов.)

Ответ: в соревнованиях приняло участие всего 54 пловца.

   Но если к этой задаче построить чертёж, то решение может быть найдено с помощью выполнения одного действия, так как ещё одно действие выполняется устно или же его результат берётся для чертежа:

                         18 пл.              18 пл.           18 пл.

                              1 шк.                      2 шк.

                                                      ?

Решение: 18 · 3 = 54 (пл.)

 Ответ: в соревнованиях приняло участие всего 54 пловца.

Как видно из приведённых примеров, чертёж помогает найти другой способ решения задач, условия которых содержат отношения «больше на … (меньше на …)», « больше (меньше) в … раз».

   При решении задач, содержащих пропорциональную зависимость величин, другой способ решения зачастую помогает найти схематический рисунок. Рассмотрим это на примере: « В магазин привезли 12 ящиков с яблоками по 8 кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва?»

   Задача имеет традиционную структуру: « Было 12 ящ. по 8 кг в каждом, продали – 9 ящ. по 8 кг в каждом; требуется узнать, сколько кг осталось продать». Путём рассуждения от вопроса к данным легко находится следующий способ решения:

1). 8 · 12 = 96 (кг) – привезли в магазин.

2). 8 · 9 = 72 (кг) – продали до обеденного перерыва.

3). 96 – 72 = 24 (кг)

Ответ: 24 кг яблок осталось продать после обеденного перерыва.

Если сделать схематический рисунок, то увидим, что после обеденного перерыва осталось продать 3 ящика яблок по 8 кг в каждом.

                                Было

Отсюда арифметическое решение данной задачи такое:

1). 12 – 9 = 3 (ящ.) – осталось продать после обеденного перерыва.

2). 8 · 3 = 24 (кг)

Ответ: 24 кг яблок осталось продать после обеденного перерыва.

   При решении некоторых задач хорошим подспорьем в отыскании других способов решения является табличная форма краткой записи и поиск плана решения по таблице.

  Задача: « Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно ещё вернуться?»

   В обычной форме краткая запись этой задачи выглядит так:

Ушли – 20 л. и 8 л.

Вернулись – 6 л.

Осталось вернуться - ?

По этой записи легко составляется выражение (20 + 8) – 6.

   Составим теперь таблицу и  занесём в неё содержание задачи. Для этого вначале определим, сколько строк и столбцов необходимо в этой таблице. Затем выясним, о каких лодках идёт речь в задаче. Из текста задачи видно, что речь идёт о больших лодках, маленьких лодках и обо всех лодках. Для занесения этих сведений в таблицу понадобится три строки. Теперь установим, о скольких ситуациях идёт речь в задаче: лодки ушли, лодки вернулись, лодки должны вернуться. Для занесения этих сведений в таблицу потребуется три столбца:

   Следующий шаг составления таблицы – внесение содержания задачи в неё. Для этого читаем задачу по частям, занося содержание каждой части в соответствующий столбец и строку. Однако при этом возникает вопрос: куда занести сведения о вернувшихся лодках? Так как в задаче ничего не сказано о том, какие лодки вернулись, то мы можем считать их: большими, тогда число 6 будет в первой строке; маленькими, тогда число 6 будет во второй строке; часть больших и часть маленьких лодок, тогда появится пять вариантов заполнения таблицы. Таким образом, таблицу можно заполнить семью различными способами, что определяет семь различных арифметических способов решения, не считая первого, который найден по краткой записи без таблицы.

2 способ:

20 – 6 + 8 = 22 (л.)

3 способ:

20 + ( 8 – 6 ) = 22 (л.)

4 способ:

( 20 – 1 ) + ( 8 – 5 ) = 22 (л.)

5 способ:

( 20 – 2 ) + ( 8 – 4 ) = 22 (л.)

6 способ:

( 20 – 3 ) + ( 8 – 3 ) = 22 (л.)

7 способ:

( 20 – 4 ) + ( 8 – 2 ) = 22 (л.)

8 способ:

( 20 – 5 ) + ( 8 – 1 ) = 22 (л.)

   Следует заметить, что, заполняя таблицу, мы вынуждены были дополнять условие задачи уточняющими сведениями о видах лодок, которые вернулись. Возможно также и представление практических ситуаций.

    Все приведённые способы решения могут быть также легко найдены, если построить предметную модель. Например, в классе можно поставить на планку у доски 20 больших треугольников – это большие лодки – и 8 маленьких – это маленькие лодки. По-разному беря 6 треугольников (лодок) и выполняя арифметические действия, мы получим все способы решения. Построение чертежа к этой задаче уже не даёт возможности найти столько способов решения, так как иное изображение 6 лодок требует построения другого чертежа:

                              20                                                8

•  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •

                                 ?                                                    6

( 20 + 8 ) – 6 = 22 (л.)

20 + ( 8 – 6 ) = 22 (л.)

2. Использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения.

   Приведём пример, когда выбор пары данных при разборе задачи от данных к вопросу неожиданно приводит к красивому и нестандартному решению.

Задача: « В зале 8 рядов по 12 стульев в каждом. В зал пришли учащиеся из трёх классов , в каждом из которых по 30 человек. Хватит ли стульев для всех учеников? Сколько свободных стульев останется?»

   Начнём рассуждение с первой пары данных: 8 рядов по 12 стульев в каждом. По этим данным можно узнать, сколько всего стульев в зале: 12 · 8 = 96  (с.) Возьмём теперь найденное число и количество учеников в одном классе: 96 стульев и 30 учеников. Что по этим данным можно найти? Т. к. в классе 30 учеников, то им понадобится 30 стульев. Зная это, можно узнать, на сколько классов хватит стульев в зале (сколько раз по 30 содержится в 96)

Разделим 96 на 30, получим 96 : 30 = 3 (ост. 6), т.е. стульев хватит на три класса и останутся незанятыми шесть стульев. Для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить только два действия.

3. Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения.

Возьмём задачу: « В одном кувшине было 4 л молока, а в другом 3 литра. За обедом выпили 2 л молока. Сколько литров молока осталось?»

    Дополняя условие задачи сведениями о том, из какого кувшина выпили молоко за обедом, можно найти кроме основного (( 4 + 3 ) – 2) ещё три способа: ( 4 – 2 ) + 3, если за обедом пили молоко из первого кувшина; 4 + ( 3 – 2), если за обедом пили молоко из второго кувшина; 4 – 1 = 3, 3 – 1 = 2, 3 + 2 = 5, если пили молоко поровну из каждого кувшина.

   Применение данного приёма может сочетаться с построением модели задачи  и особенно тесно с приёмом представления практического разрешения ситуации, так как оно всегда сопровождается привнесением в содержание задачи дополнительной информации.

4. Представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче.

Пусть нужно решить разными способами задачу: «На товарную станцию прибыло 2 состава с брёвнами. В одном из них было 39 платформ, а в другом – на 4 платформы больше. Разгрузили 60 платформ. Сколько платформ ещё осталось разгрузить?»

   Первый способ решения, основанный на выделении традиционной структуры:  «было», «разгрузили», «осталось разгрузить», находится довольно легко:

1). 39 + 4 = 43 (пл.) – во втором составе.

2). 43 + 39 = 82 (пл.) – всего в двух вагонах.

3). 82 – 60 = 22 (пл.)

Ответ: осталось разгрузить 22 платформы.

   Другие способы находят не сразу. Но стоит только предложить учащимся представить себе, что это они разгружают платформы и как бы они организовали разгрузку, как сразу же поступают предложения:

  Было

 Продали

  Осталось

 Осталось

  15 м

4м, 5м

     ?

     Продали

?