Дидактический материал по математике
методическая разработка по математике на тему

Дидактический материал по математике

Дидактический материал по математике содержит примеры заданий, составленных в результате инновационного педагогического опыта  Неверовой Ю.А. по теме «Развитие различных видов мышления младших  школьников на уроках математики». Целенаправленное и систематическое использование в практике преподавания математики в начальной школе предложенных заданий способствует развитию различных видов мышления младших школьников (наглядно-действенного, наглядно-образного, словесно-логического) через формирование таких мыслительных операций, как:

рассмотрение ряда предметов под одним и тем же углом зрения;

классификация их по общности в одном признаке;

переключение с одного аспекта рассмотрения на другой;

осмысление конкретной ситуации с точки зрения математической зависимости, совмещения двух аспектов рассмотрения объектов. 

В каждой карточке содержатся задания по математике для учащихся 1, 2, 3, 4 классов, пояснения к заданию и распределение ответов учащихся по уровням сформированности данных мыслительных операций.

Материал может быть использован в качестве методического руководства процессом развития различных видов мышления младших школьников на уроках математики. Полученные выводы могут быть учтены учителем начальных классов при подготовке к урокам математики. Опыт работы над определением уровней развития различных видов мышления (наглядно-действенного, наглядно-образного, словесно-логического) поможет учителям начальных классом в управлении качеством математического образования младших школьников. Пособие может быть использовано как для индивидуального обучения, так и коллективного.

Карточка 1. Задания для 1 класса

Задание №1. Требует рассмотрения ряда предметов под одним и тем же углом зрения и классификации их по общности в одном признаке, а также переключения с одного аспекта рассмотрения на другой.

Формулировка задания:

а) раздели фигуры на две группы так, чтобы в каждую группу вошли похожие друг на друга. Напиши, чем похожи фигуры каждой группы;

б) как по-другому можно разделить эти фигуры на две группы похожих? Раздели и напиши, чем похожи фигуры теперь.

Пояснение к заданию. На доске рисуются фигуры:

Ученики выполняют задание на своих листах, перерисовывая фигуры в соответствии с полученным заданием. Задание имеет два решения: 1) фигуры делятся на большие и маленькие; 2) на имеющие углы и округлые.

Уровни выполнения задания:

0 уровень – задание не выполнено вовсе или сделаны отдельные бессвязные попытки.

1 уровень – сделаны правильные попытки – выделена в одну группу часть сходных по величине или по форме фигур (другая группа не сформирована; выделены две группы, но обе с ошибками; выделены не две, а четыре группы фигур, одинаковых по форме (квадраты, овалы, круги, треугольники)).

2 уровень – дано одно из возможных решений, что свидетельствует о способности рассмотреть предъявленный ряд предметов в одном аспекте, но неспособности к переключению на другую точку зрения.

3 уровень – задание выполнено полностью, что свидетельствует о развитии обеих вышеназванных операций.

Задание №2. Направлено на выявление способности осмыслить конкретную ситуацию с точки зрения математической зависимости, а также способности к переключению  с одной точки зрения на другую.

Формулировка задания. Какие математические записи можно сделать, глядя на этот рисунок?

Пояснения к заданию. Приведенный рисунок может быть осмыслен с точки зрения математических зависимостей по-разному:

1) можно установить общее число кружков – 10, или число темных и светлых – 4 и 6 без указания соотношения между этими числами;

2) можно объединить темные и светлые кружки -  в этом случае получается записи 4+6=10, 4+6, 6+4=10, 6+4;

3) можно из общего числа кружков убрать темные или светлые кружки, записав 10-6=4, 10-6, 10-4=6, 10-4;

 4) можно сравнить число темных и светлых кружков – записи 6 больше 4, 4 меньше 6, 6-4, 6-4=2.

Уровни выполнения задания:

0 уровень – не приведено ни одной верной математической записи, т.е. ученик не может перейти от конкретного наглядного материала в область абстрактных математических зависимостей.

1 уровень – приведены математические записи, соответствующие одной из возможностей осмысления рисунка. Ученик уже способен перейти от видения конкретного рисунка к его абстрактному математическому осмыслению, но делает это еще односторонне, переключиться с одной точки зрения на другую не может.

2 уровень – приведены математические записи, соответствующие двум-трем из четырех возможных вариантов осмысления рисунка. В этом случае ученик свободно переходит к абстрактному осмыслению, может переключиться с одной точки зрения на другую. Но не может проанализировать задание всесторонне.

3 уровень – приведены математические записи, соответствующие всем четырем возможностям осмысления рисунка. Ученик обладает сформированными мыслительными операциями, на выявление которых направлено это задание.

Карточка 2. Задания для 2 класса

Задание №1. Требует рассмотрения ряда предметов под одним и тем же углом зрения, а также переключения с одного аспекта рассмотрения на другой.

Формулировка задания:

 а) Выполните действия:

17+6=              

15+4=

2+7=

9+13=

8-4=

18-5=

19-8=

11-7=

16-3=

12-5=

16+3=

 9+8=

б) разделите все эти равенства на две группы так, чтобы в каждой группе были равенства, похожие чем-то друг на друга, запишите каждую группу в столбик. Напишите под столбиком, чем похожи равенства группы. Постарайтесь найти несколько решений.

Пояснение к заданию. Задача имеет три различных решения:

 1) равенства можно распределить по признаку действия (сложение и вычитание);

 2) по признаку различия или отсутствия перехода через десяток при выполнении действий;

 3) по признаку состава компонентов действий (все компоненты – однозначные числа или среди компонентов есть и однозначные, и двузначные числа).

Уровни выполнения задания:

0 уровень – не найдено ни одного решения. Ученику не удается рассмотреть все элементы под одним углом зрения.

1 уровень – найдено одно верное решение. Проявлена способность к рассмотрению объектов под общим углом зрения, но способность к переключению с одного угла зрения на другой не проявляется.

2 уровень – найдены два различных решения, что свидетельствует о большей выраженности операции рассмотрения ряда объектов под одним углом зрения и о появлении способности к переключению с одного аспекта рассмотрения на другой.

3 уровень – найдены все три решения, что свидетельствует о качественном сдвиге в развитии исследуемых мыслительных операций.

Задание №2. Направлено на выявление способности совмещения двух аспектов.

Формулировка задания. Какие числа меньше 100, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3? (Использовать можно только указанные цифры).

Пояснение к заданию. Задание имеет 12 решений – однозначные числа 1, 2, 3 и двузначные – 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. все остальные решения являются неправильными, т. к. не соответствует ни одному из условий задачи (например, в числе 42 использована лишняя цифра 4, в числе 231 использованы нужные цифры, но число больше 100).

Уровни выполнения задания:

0 уровень – не найдено ни одно правильного решения, что свидетельствует о неспособности ученика воспринимать задание, требующей одновременной ориентации на два условия.

1 уровень – найдено 1-3 решения, ученик воспринимает оба условия задания, но комбинаторные способности находятся на очень низком уровне.

2 уровень – найдено 4-410 решений, ученик свободно владеет материалом задания, комбинаторные способности выражены достаточно ярко, но владение приемами исчерпывания решений недостаточно сформировано.

3 уровень – найдено 11-12 решений, характеризуется хорошее развитие комбинаторных способностей применительно к заданию, требующему ориентации на два признака.

Карточка 3. Задания для 3 класса

Задание №1. Требует рассмотрения ряда предметов под одним и тем же углом зрения и переключения с одного аспекта рассмотрения на другой. 

Формулировка задания. Какие математические записи можно сделать, используя числа восемь и два и известные тебе математические знаки? (Другие числа не использовать).

Пояснения к заданию. Задание имеет следующие основные варианты решения:

1) можно записать сами числа при помощи цифр (восемь - 8, два - 2);

2) данные числа рассматриваются как компоненты действия сложения (8 + 2, 2 + 8);

3) числа рассматриваются как компоненты вычитания (8 – 2);

4) числа рассматриваются как компоненты умножения (8 х 2, 2 х 8);

5) числа рассматриваются как компоненты деления (8 : 2);

6) числа рассматриваются как объекты сравнения (8 > 2, 2 < 8, 8 = 8, 2 = 2).

Это основные возможные решения, но дети могут предложить и другие, более сложные решения, в которых сочетается несколько основных, например, 8 + 2 - 2, 8x2+ 8:2, 8 + 2 = 2 + 8. В этом случае учитель получает возможность судить и о наличии способности к совмещению нескольких аспектов рассмотрения предложенных объектов.

Неверными являются записи, в которых использованы не названные в задании числа, например, 8 - 6 = 2, 8:2 = 4 и т.п.

Уровни выполнения задания:

0 уровень - не найдено ни одного верного решения, что свидетельствует о неспособности ученика оперировать абстрактным материалом, о неразвитости операции рассмотрения объектов под одним и тем же углом зрения.

1 уровень -  найдены решения,  соответствующие одной из основных линий, данных в пояснении к заданию. Этот уровень характеризуется тем, что ученик уже способен оперировать абстрактным материалом, может выделить одну линию анализа его, но переключиться на другие линии еще не в состоянии.

 2 уровень - найдены решения, соответствующие 2-4 основным линиям. Оперирование абстрактным материалом, умение выделить линии анализа и переключиться с одной линии анализа на другую развиты достаточно хорошо, но охватить все возможные варианты анализа ученик еще не в состоянии.

3 уровень - найдены все основные линии решения. Оперирование  абстрактным  материалом  свободное,  выделение линий анализа и переключение с одной линии анализа на другую на высоком   уровне.   Ученик   способен   всесторонне   рассмотреть предложенную задачу и найти все возможные решения.

Задание №2. Направлено на выявление способности совмещения двух аспектов.

Формулировка задания. Какие числа, меньше 100, можно записать при помощи цифр 5, 0, 9, 3?

Пояснения к заданию. Всего дети могут получить 15 различных чисел: однозначные - 0, 3, 5, 9 и двузначные - 30, 33, 35, 39, 50, 53, 55, 90, 93, 95, 99.

Уровни выполнения задания:

 0 уровень - не найдено ни одного решения.

 1 уровень - найдено 1-5 решений.

 2 уровень - найдено 6-13 решений.

 3 уровень - найдено 14-15 решений.

Карточка 4. Задания для 4 класса

Задание №1. Требует совмещения двух аспектов рассмотрения объектов. 

Формулировка задания: Дана груда гороха (вариант - деревянные шары) — горошины большие, маленькие, желтые, зеленые. На сколько частей можно разделить весь этот горох, чтобы в каждую часть вошли горошины, похожие двумя признаками? Какие горошины войдут в каждую часть?

Сначала напиши, сколько частей по-твоему должно получиться, а потом укажи какие горошины войдут в каждую часть.

 Пояснения к заданию: Задание записывается на доске и предлагается для письменного выполнения учащимся. Правильное выполнение задания будет иметь место тогда, когда ученики выделят 4 группы: большие - желтые, большие - зеленые, маленькие - желтые, маленькие - зеленые. В этом случае они каждый элемент, подлежащий группировке, рассматривают и с точки зрения величины, и с точки зрения цвета. Операция совмещения аспектов хорошо развита. Но ученикам не всегда удается это сделать. Некоторые делят на две части: большие - маленькие или желтые - зеленые. Это решение свидетельствует о способности к классификации, т.е. о логичности мышления, но лишь с опорой на один признак. Другие руководствуются перечисленными признаками так, как будто они порознь принадлежат каждому из предметов, и выделяют 4 не существующих реально группы: большие, маленькие, желтые, зеленые. Получается псевдоклассификация.

Уровни выполнения задания:

0 уровень - задание полностью не выполнено.

1 уровень – производят деление на 4 группы, расчленяя нерасчленимые признаки (псевдоклассификация), или делают отдельные случайные попытки деления на три, пять и более групп.

2 уровень – произведено деление на две группы по общности в одном признаке.

3 уровень – дают полностью правильное решение.

       Задание №2. Направлено на выявление способности к совмещению аспектов рассмотрения, абстрагированию и переключению с одного аспекта расмотрения на другой.

Детям предлагаются задачи:

1. Один мальчик выстругал несколько палочек. 3 палочки он отдал сестре, и тогда у него осталось 15 палочек.  Сколько палочек он всего выстругал?
2. Через переднюю дверь автобуса вышли 11 пассажиров, а всего из автобуса вышли 17 пассажиров. Сколько пассажиров вышли через заднюю дверь?
3. Мальчик выстругал 7 палочек, а всего ему нужно выстругать 12 палочек. Сколько палочек ему еще нужно выстругать?
4. В автобусе было 16 пассажиров. На остановке село еще 13 пассажиров, но 7 вышли. Сколько пассажиров стало в автобусе?
5. Когда из автобуса на остановке вышли 9 пассажиров, в нем осталось еще 23 пассажира.  Сколько пассажиров было в автобусе сначала?
6. Один мальчик выстругал сначала 6 палочек, а потом еще 9 палочек, но 2 палочки у него сломались. Сколько целых палочек осталось у мальчика?
7. В автобусе ехали пассажиры. Когда 6 пассажиров вышли, а
   14 вошли, в автобусе стало 27 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе сначала?

Формулировка задания:

а) Реши задачи.

б) Раздели задачи на группы сходных. Запиши номера задач, вошедших в каждую группу, и объясни, чем похожи задачи в каждой группе.

Подумай, как еще можно разделить эти задачи на группы сходных. Запиши свое новое решение и объясни, чем теперь похожи задачи в каждой группе.

Можно ли еще как-нибудь разделить эти задачи на группы сходных? Если можно, запиши все найденные тобой решения так же как и первые два.

Пояснения к заданию. Все задачи ученики решают письменно. Классификация производится записью соответствующих номеров задач и указанием на признак сходства задач, отнесенных к одной группе.

Задание позволяет найти четыре основных способа деления на группы сходных задач:

а) по сходству фабулы, т.е. по сходству в одном внешнем признаке. В этом случае получаются 2 группы - в одной все задачи о мальчике, в другой - об автобусах;

б) по сходству в количестве действий, то есть тоже по общности в одном признаке, но при условии отвлечения от фабулы. В этом случае получаются также две группы - задачи, которые решаются в одно действие (1, 2, 3, 5) и в два действия (4, 6, 7);

в)        по сходству видов математических действий,  необходимых для решения. В этом случае получается три группы - в одну
входят задачи, которые решаются сложением (1,5), в другую -
вычитанием (2, 3), в третью - сложением и вычитанием (4, 6, 7);

г)        по сходству математической зависимости, лежащей в основе
задачи, иначе говоря - по сходству компонента действия, которое надо найти. В этом случае получаются две группы - в одну входят задачи на нахождение суммы (1, 4, 5, 6), во вторую - на нахождение слагаемого (2, 3, 7). Этот способ опирается на глубокое понимание математических зависимостей, лежащих в основе задач. Здесь проявляется хорошо развитая способность к рассмотрению объектов с разных точек зрения, способность к абстрагированию от внешних признаков.

Уровни выполнения задания:

0 уровень - классификация не выполнялась совсем или задачи разделены произвольно, без выделенного основания.

1 уровень - произведено деление на группы одним способом с опорой на один из внешних признаков.

2 уровень - проведено деление задач на группы двумя или
более способами, но тоже с опорой на внешние признаки.

3 уровень - проведено деление на группы несколькими способами, среди которых обязательно есть деление с опорой на
сходство по математической зависимости.

Задание № 3. Направлено на выявление способности к многоаспектному видению объекта.

Формулировка задания:

 а) Реши задачу.

Из города А вышел поезд со скоростью 63 километра в час и прибыл в город Б через 4 часа. Найти расстояние между городами.

 б) Составь задачи, похожие на эту разными признаками. Напиши, по какому признаку составленные тобой задачи похожи на данную.

Пояснения к заданию. Каждая текстовая задача, характеризуясь определенной фабулой, выражает собой и определенный вид математических зависимостей. В данной задаче выражена прямо пропорциональная зависимость между величинами.

При составлении похожих задач ученик может пойти по пути  подбора сходных задач по фабуле, т.е. по сходству во внешнем содержании задачи. Например, составить задачу тоже о движении поезда (или других транспортных средств), но с другими; числовыми данными. Ученик будет ориентироваться на один признак сходства, внешний, наиболее явный, а то, что при этом задачи будут решаться одинаково т.е. с использованием действия умножения, может не осознаваться, но может и осознаваться, однако последнее не будет свидетельствовать об осознании глубокого математического смысла заданной задачи, поскольку составленные учеником задачи имеют одну и ту же фабулу.

Но ученик может пойти и по пути вычленения более глубокого признака задачи - ее математического смысла. Тогда он может составить задачи с совершенно другой фабулой, но выражающие ту же прямо пропорциональную зависимость между величинами, что и в данной. Например: Рабочий изготавливает за час 14 деталей. Сколько деталей он изготовит за рабочий день, который длится 8 часов?

Такое выполнение задания существенно отличается от перечисленных выше, т.к. характеризует мышление ученика как многоаспектное: с одной стороны, он создает задачу, сходную с данной по типу математической зависимости, с другой стороны, сознательно избирает другое сюжетное оформление выделенной зависимости величин, т.е. обнаруживает способность видеть задачу одновременно с двух точек зрения.

Именно разница в выделении признаков сходства определяет уровень выполнения задания.

Уровни выполнения задания:

1. уровень - ни одна задача не составлена или составлена неверно (не имеет с данной никакого сходства).
2. уровень - составлена одна или несколько задач, буквально повторяющих данную (заменены только числа или вместо поезда используется другое движущееся тело).
3. уровень - составлено несколько задач на движение: отражающих различные варианты таких задач, т.е. ученик явно выделил фабулу данной задачи, способ ее решения с помощью определенного арифметического действия и использует их в различных вариантах.        
4. уровень - составлено несколько задач, похожих математическим смыслом на данную. Фабула их не повторяет фабулу данной задачи.