Задания и ответы
презентация к уроку по математике (4 класс) на тему

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 4 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) В пакете лежат конфеты трёх сортов. Ирисок и батончиков вместе , батончиков и леденцов вместе , а ирисок и леденцов вместе . Сколько конфет в пакете?

2) Было  кусков ткани, некоторые из них разрезали на  части, так что всего получилось  куска. Сколько кусков ткани разрезали?

3) Когда мама возвращалась домой, соседка снизу сказала, что кто-то в маминой квартире так прыгал, что у соседки люстра качалась. Дома были только три дочки – Саша, Маша и Даша. Мама спросила их, кто прыгал. Даша сказала: «Мы с Машей прыгали». Маша сказала: «Мы с Сашей прыгали». А Саша сказала, что прыгала только одна из них.  Потом все девочки засмеялись, ведь все они в шутку сказали неправду (а вот соседка сказала правду). Кто на самом деле прыгал?

4) Петя вырезал рисунок и хочет свернуть его по линиям так, чтобы получился  кубик. Какова самая большая сумма из трех чисел, которые будут примыкать к одной вершине кубика?

5) Коля и Ваня нашли верёвочку. Они разрезали её на две части, и каждый взял себе одну часть. Потом каждый сложил свою верёвочку вдвое, выровняв концы,  и в каком-то месте перерезал.  Среди кусков Коли были куски длиной  см и  см, а среди кусков Вани были куски длиной  см и  см. Какой длины могла быть найденная верёвочка?  Напишите все возможные варианты.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 4 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) На первой и второй страницах вместе написано  букв «а»,  на второй и третьей страницах вместе –  буква «а», на первой и третьей страницах вместе –  букв «а». Сколько букв «а» на трёх страницах вместе?

2) Газетный лист сначала разрезали на  куска. Потом некоторые из кусков разорвали на  части, так что всего получилось  кусков бумаги. Сколько кусков разрывали на  части?

3) Отец тренировал внимательность у своих троих сыновей. Они посмотрели на стол, где лежало много мелких предметов, потом отвернулись, а отец спросил: «Какие монеты там лежали?». Серёжа ответил: «Там была одна монета, то ли в  рубль, то ли в ».  Костя ответил: «Там были и монета в  рубль, и в  рубля». Ваня сказал: «Монеты в  рубль там точно не было». Два ответа были верные, один – нет. Какие монеты лежали на столе?

4) Вася вырезал рисунок и хочет свернуть его по линиям так, чтобы получился  кубик.  Какова самая большая сумма из трех чисел, которые будут примыкать к одной вершине кубика?

5) Верёвку разрезали  на две части, потом каждую часть отдельно сложили вдвое, выровняв концы,  и в каком-то месте перерезали. Среди кусков первой части были куски длиной  см и  см, а среди кусков второй части  были куски длиной  см и  см. Какой длины могла быть верёвка? Напишите все возможные варианты.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 4 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) В пакете лежат конфеты трёх сортов. Ирисок и батончиков вместе , батончиков и леденцов вместе , а ирисок и леденцов вместе . Сколько конфет в пакете?

Решение.  – удвоенное количество конфет. .

Ответ:  конфет.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Получен верный ответ, и показано, что он удовлетворяет условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.  За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снимать 2-3 балла. Ответ без всякого обоснования – 0 баллов.

2) Было  кусков ткани, некоторые из них разрезали на  части, так что всего получилось  куска. Сколько кусков ткани разрезали? 

Решение. Когда кусок разрезают, вместо одного становится три куска, то есть число кусков увеличивается на два. По условию число кусков увеличилось на  , то есть разрезано кусков.

Ответ:  кусков.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Если верный ответ найден подбором и не доказана его единственность – 5 баллов.  За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снимать 2-3 балла. Ответ без обоснования – 0 баллов.

3) Когда мама возвращалась домой, соседка снизу сказала, что кто-то в маминой квартире так прыгал, что у соседки люстра качалась.  Дома были только три дочки – Саша, Маша и Даша. Мама спросила их, кто прыгал. Даша сказала: «Мы с Машей прыгали». Маша сказала: «Мы с Сашей прыгали».  А Саша сказала, что прыгала только одна из них.  Потом все девочки засмеялись, ведь все они в шутку сказали неправду (а вот соседка сказала правду).  Кто на самом деле прыгал?

Решение. Из слов Саши следует, что прыгали две или три девочки. Но если бы все три прыгали, то слова Даши и Маши были бы правдой. Значит, прыгали Даша и Саша.

Ответ: прыгали Даша и Саша.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Получен верный ответ, и показано, что он удовлетворяет условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.  Ответ без обоснования – 0 баллов.

4) Петя вырезал рисунок и хочет свернуть его по линиям так, чтобы получился  кубик. Какова самая большая сумма из трех чисел, которые будут примыкать к одной вершине кубика?

Решение. Самая большая сумма трёх чисел: .  Но числа  8, 7, 5 не примыкают к одной вершине, поэтому наибольшая сумма равна .

Ответ: 16.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Неверно указана тройка чисел, примыкающих к одной вершине, и из-за этого получен неверный ответ – 1 балл. Верный ответ без обоснования  – 0 баллов.

5) Коля и Ваня нашли верёвочку. Они разрезали её на две части, и каждый взял себе одну часть. Потом каждый сложил свою верёвочку вдвое, выровняв концы,  и в каком-то месте перерезал.  Среди кусков Коли были куски длиной  см и  см, а среди кусков Вани были куски длиной  см и  см. Какой длины могла быть найденная верёвочка?  Напишите все возможные варианты.

Решение. При разрезании у Коли могло получиться два куска длиной 4 см и один кусок длиной 10 см, всего 18 см, или два куска длиной 10 см и один кусок длиной 4 см, всего 24 см. У Вани могло быть  см или  см.  Вся веревочка могла иметь длину  см или  см или  см или  см.

Ответ: 46 см, 50 см, 52 см, 56 см.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Рассуждения верные, но есть арифметические ошибки – снимать по 2 балла за каждую ошибку.  Верно найдены длины кусков у каждого мальчика и некоторые варианты ответа – 3 балла + 1 балл за каждый верный вариант ответа. Верно найдены только длины кусков у каждого мальчика – 2 балла. Решение опирается на неверное предположение, что части мальчиков должны быть равными  – 1 балл. Только ответы без обоснования – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 4 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) На первой и второй страницах вместе написано  букв «а»,  на второй и третьей страницах вместе –  буква «а», на первой и третьей страницах вместе –  букв «а». Сколько букв «а» на трёх страницах вместе?

Решение. 14 + 21 + 17 = 52 – удвоенное количество букв. 52 : 2 = 26.

Ответ: 26.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Получен верный ответ, и показано, что он удовлетворяет условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.  За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снимать 2-3 балла. Ответ без всякого обоснования – 0 баллов.

2) Газетный лист сначала разрезали на  куска. Потом некоторые из кусков разорвали на  части, так что всего получилось  кусков бумаги. Сколько кусков разрывали на  части?

Решение. Когда кусок разрывают на 4 части, вместо одного становится четыре куска, то есть число кусков увеличивается на три.  По условию число кусков увеличилось на  , то есть разрезано кусков.

Ответ: 14.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Если верный ответ найден подбором и не доказана его единственность – 5 баллов.  За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снимать 2-3 балла. Ответ без всякого обоснования – 0 баллов.

3) Отец тренировал внимательность у своих троих сыновей. Они посмотрели на стол, где лежало много мелких предметов, потом отвернулись, а отец спросил: «Какие монеты там лежали?». Серёжа ответил: «Там была одна монета, то ли в  рубль, то ли в ».  Костя ответил: «Там были и монета в   рубль, и в  рубля». Ваня сказал: «Монеты в  рубль там точно не было». Два ответа были верные, один – нет. Какие монеты лежали на столе?

Решение. Ответы Серёжи и Кости противоречат друг другу, поэтому неверный ответ дал кто-то из них. Ваня тогда ответил правильно, и на столе лежала одна монета в 2 рубля. Ответ Серёжи тоже верен, а Кости – нет. Если бы был верен ответ Кости, то получилось бы два неверных ответа, что противоречит условию.

Ответ: одна монета в 2 рубля.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Получен верный ответ, и показано, что он удовлетворяет условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.  Ответ без обоснования – 0 баллов.

4) Вася вырезал рисунок и хочет свернуть его по линиям так, чтобы получился  кубик.  Какова самая большая сумма из трех чисел, которые будут примыкать к одной вершине кубика?

Решение. Самая большая сумма трёх чисел: .  Но числа  4, 7, 5 не примыкают к одной вершине, поэтому наибольшая сумма равна .

Ответ: 15.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Неверно указана тройка чисел, примыкающих к одной вершине, и из-за этого получен неверный ответ – 1 балл. Верный ответ без обоснования  – 0 баллов.

5) Верёвку разрезали  на две части, потом каждую часть отдельно сложили вдвое, выровняв концы,  и в каком-то месте перерезали. Среди кусков первой части были куски длиной  см и  см, а среди кусков второй части  были куски длиной  см и  см. Какой длины могла быть верёвка? Напишите все возможные варианты.

Решение. При разрезании первой части могло получиться два куска длиной 60 см и один кусок длиной 16 см, всего 136 см, или два куска длиной 16 см и один кусок длиной 60 см, всего 92 см. При разрезании второй части могло быть  см или  см см.  Вся верёвка могла иметь длину  см или  см или  см или  см.

Ответ: 2м 20 см, 2м 68 см, 1м 76 см, 2м 24 см.

Комментарий.  Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Рассуждения верные, но есть арифметические ошибки – снимать по 2 балла за каждую ошибку.  Верно найдены длины кусков каждой части и некоторые варианты ответа – 3 балла + 1 балл за каждый верный вариант ответа. Верно найдены только длины кусков каждой части – 2 балла. Решение опирается на неверное предположение, что части  должны быть равными  – 1 балл. Только ответы без обоснования – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 5 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Расставьте в равенстве  несколько скобок так, чтобы оно стало верным. (Достаточно привести один способ расстановки.)

2) В конце года Петя взял календарь и стал вычислять произведение цифр в записи дат за весь год. Например,  апреля он получил . Какое самое большое число он мог получить?

3) Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на шесть прямоугольников различной площади? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

4) Три девочки, Катя, Лена и Маша обменялись платьями, и каждая надела не свое платье. Маша надела красное платье. Владелице белого платья понравилось синее. А белое платье надела владелица красного платья. Определите, кому принадлежит какое платье, если известно, что красное платье не принадлежит Кате.

5) На каждом из четырёх спектаклей в театре присутствовало по  учащихся одного класса. Десять учащихся посетили ровно по три спектакля из этих четырёх, семеро учащихся  –  ровно по два спектакля, а четверо были только на одном спектакле. Сколько учащихся посетили все четыре спектакля?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 5 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Расставьте в равенстве  знаки арифметических действий и скобки так, чтобы оно стало верным. (Достаточно привести один способ расстановки.)

2) В конце года Вася взял календарь и стал вычислять сумму цифр в записи дат за весь год. Например,  апреля он получил . Какое самое большое число он мог получить?

3) Сложите из фигурок тетриса (см. рисунок) квадрат размером , причем так, чтобы фигурки каждого из указанных видов были использованы хотя бы по одному разу.

4) Ваня, Коля и Саша вернулись после прогулки в детском саду. На одном из мальчиков были красные ботинки, на другом – синие, а на третьем –  один ботинок был синий, а второй – зелёный. Если бы на Ване ботинки были такими же, что и на Коле, то ботинок каждого цвета было бы поровну. Какого цвета ботинки у каждого из мальчиков?

5) На каждом из четырёх сеансов в кинотеатре присутствовало по  учащихся одного класса. Девять учащихся посетили ровно по три сеанса из этих четырёх, пять учащихся  –  ровно по два сеанса, а трое были только на одном сеансе. Сколько учащихся посетили все четыре сеанса?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 5 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Расставьте в равенстве  несколько скобок так, чтобы оно стало верным. (Достаточно привести один способ расстановки.)

Решение. Например, .

Комментарий. Приведен любой верный способ расстановки – 7 баллов. Приведено равенство с лишними скобками – 7 баллов. Вместе с верным способом расстановки указаны и неверные – 5 баллов. В приведенном способе расстановки получено верное равенство, но при этом использованы знаки арифметических действий – 1 балл. Задача решена неверно – 0 баллов.  

2) В конце года Петя взял календарь и стал вычислять произведение цифр в записи дат за весь год. Например,  апреля он получил . Какое самое большое число он мог получить?

Решение. Заметим, что месяцы с января по октябрь содержат в своем номере , поэтому произведение, вычисленное Петей, для всех дней этих месяцев будет равно . В ноябре номер месяца внесёт в это произведение вклад , а в декабре – , значит, подходящее число надо искать в декабре. В этом месяце нам надо найти число с наибольшим произведением цифр – это . Итак,  декабря Петя вычислит произведение .

Ответ: .

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. Приведены разумные соображения, не доведенные до верного ответа – 3 балла. Приведен только верный ответ – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на шесть прямоугольников различной площади? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

Решение. Можно, например, так, как показано на рисунке.

Комментарий. Приведен верный пример, то есть изображена фигура и показано, как её разрезать на шесть прямоугольников различной площади – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные – 5 баллов. Приведен только пример, в котором только у двух прямоугольников одинаковые площади – 1 балл. Приведен только пример, в котором у нескольких прямоугольников одинаковые площади (более двух) – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. 

4) Три девочки, Катя, Лена и Маша обменялись платьями, и каждая надела не свое платье. Маша надела красное платье. Владелице белого платья понравилось синее. А белое платье надела владелица красного платья. Определите, кому принадлежит какое платье, если известно, что красное платье не принадлежит Кате.

Решение. Красным платьем владеет не Маша и не Катя, значит, это Лена. Значит, Лена надела белое платье, а его владелице понравилось синее, а не красное. Значит, белое платье принадлежит Кате, синее – Маше.

Ответ: Катя – белое платье, Лена – красное платье, Маша – синее платье.

Критерии. Получен верный ответ, который обоснован любым из способов: словесными рассуждениями, графической схемой, логической таблицей и пр. (при наличии таблицы или графа словесные пояснения необязательны) – 7 баллов. Верно определена и обоснована владелица одного платья, а владелицы остальных перепутаны или вовсе не установлены – 2 балла. Приведен только верный ответ – 1 балл. В ответе содержится хотя бы одна ошибка, а обоснования отсутствуют – 0 баллов.

5) На каждом из четырёх спектаклей в театре присутствовало по  учащихся одного класса. Десять учащихся посетили ровно по три спектакля из этих четырёх, семеро учащихся  –  ровно по два спектакля, а четверо были только на одном спектакле. Сколько учащихся посетили все четыре спектакля?

Решение. Заполним «журнал учета посещаемости» театра. Всего за указанные четыре спектакля в нем будет проставлено  отметок о посещении. Каждый посетивший три спектакля отмечен в журнале три раза, следовательно, десять таких учащихся суммарно отмечены в нем  раз. Аналогично, посетившие два раза суммарно отмечены в нем  раз. Четверо посетивших один раз суммарно отмечены в журнале четыре раза. Оставшиеся  отметок о посещении – это отметки тех, кто посетил все четыре спектакля, при этом каждый из них отмечен четыре раза. Следовательно, все спектакли посетили  учащихся.

Ответ:  учащихся.

Комментарии. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 5 баллов. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений, например, замечено, что посетившие три спектакля отмечены по три раза и т. п. –  3 балла. Верный ответ получен путем рассмотрения конкретного примера – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 2 балла. Приведен только ответ – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 5 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Расставьте в равенстве  знаки арифметических действий и скобки так, чтобы оно стало верным. (Достаточно привести один способ расстановки.)

Решение. Приведем несколько возможных способов решения: , , , .

Комментарий. Приведен любой верный способ расстановки – 7 баллов. Приведено равенство с лишними скобками – 7 баллов. Вместе с верным способом расстановки указаны и неверные – 5 баллов. Задача решена неверно – 0 баллов.  

2) В конце года Вася взял календарь и стал вычислять сумму цифр в записи дат за весь год. Например,  апреля он получил . Какое самое большое число он мог получить?

Решение. Месяц с самой большой суммой цифр в записи – это сентябрь – 09. День в месяце с самой большой суммой цифр – это  число. Таким образом, самую большую сумму Вася получит -го сентября: .

Ответ: .

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. Приведены разумные соображения, не доведенные до верного ответа – 3 балла. Приведен только верный ответ – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) Сложите из фигурок тетриса (см. рисунок) квадрат размером , причем так, чтобы фигурки каждого из указанных видов были использованы хотя бы по одному разу.

Решение. См. рисунок. Существуют и другие примеры.

Комментарий. Приведен верный пример – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верный, так и неверные – 5 баллов. Приведен только пример, в котором отсутствует ровно один из указанных видов тетриса – 1 балл. Приведен только пример, в котором отсутствуют несколько указанных видов тетриса (более одного вида) – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

4) Ваня, Коля и Саша вернулись после прогулки в детском саду. На одном из мальчиков были красные ботинки, на другом – синие, а на третьем –  один ботинок был синий, а второй – зелёный. Если бы на Ване ботинки были такими же, что и на Коле, то ботинок каждого цвета было бы поровну. Какого цвета ботинки у каждого из мальчиков?

Решение. Ботинок шесть, значит, стало бы по  ботинка каждого цвета. Если на Коле ботинки одного цвета, то ботинок этого цвета стало бы , противоречие. Значит, у Коли один ботинок синий, а другой – зеленый. Но тогда на Ване станут такие же, и на Саше ботинки красного цвета. А значит, у Вани  синие ботинки.

Ответ: Ваня – синие, Коля – синий и зеленый, Саша – красные.

Критерии. Получен верный ответ, который обоснован любым из способов – 7 баллов. Верно определен и обоснован цвет ботинок одного мальчика, а цвета ботинок остальных перепутаны или вовсе не установлены – 3 балла. Приведен только верный ответ – 1 балл. В ответе содержится хотя бы одна ошибка, а обоснования отсутствуют – 0 баллов.

5) На каждом из четырёх сеансов в кинотеатре присутствовало по  учащихся одного класса. Девять учащихся посетили ровно по три сеанса из этих четырёх, пять учащихся  –  ровно по два сеанса, а трое были только на одном сеансе. Сколько учащихся посетили все четыре сеанса?

Решение. Заполним «журнал учета посещаемости» кинотеатра. Всего за указанные четыре сеанса в нем будет проставлено  отметок о посещении. Каждый посетивший три сеанса отмечен в журнале три раза, следовательно, девять таких учащихся суммарно отмечены в нем  раз. Аналогично, посетившие два раза суммарно отмечены в нем  раз. Трое посетивших один раз суммарно отмечены в журнале три раза. Оставшиеся  отметок о посещении – это отметки тех, кто посетил все четыре сеанса, при этом каждый из них отмечен четыре раза. Следовательно, все сеансы посетили  учащихся.

Ответ:  учащихся.

Комментарии. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 5 баллов. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений, например, замечено, что посетившие три сеанса отмечены по три раза и т. п. –  3 балла. Верный ответ получен путем рассмотрения конкретного примера – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 2 балла. Приведен только ответ – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 6 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Денис каждый год прочитывает столько книг, сколько он прочитал за два предыдущих года. В  году он прочитал  книги, а в  – . Сколько книг он прочитал в  году?

2) Катя и Лена купили в столовой по порции каши с вареньем. Каждой дали тарелку с  ложками каши и отдельно  ложки варенья (все ложки имеют одинаковый объем). Катя съела  ложки каши, а потом добавила всё варенье в оставшуюся кашу. Лена сразу добавила всё варенье в кашу, хорошо перемешала, а потом съела  ложки. Каково теперь соотношение количества варенья  в каше Кати и каше Лены?

3) Буквы , , , ,  и цифры  переставляются по такому правилу:

ШКОЛА  

КОЛАШ

ОЛАШК  

ЛАШКО  

и так далее.  На какой строчке впервые запись будет такой же, как на первой: ШКОЛА ?

4) Найдите произведение всех букв слова «АЛГЕБРА», если верно равенство

АЛГ + Е = БРА

(каждой буквой обозначена одна определенная цифра, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

5) Вершины прямоугольника расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера . Внутри прямоугольника лежит  узлов, а на границе –  узла. Сколько единичных клеток в этом прямоугольнике?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 6 класс, задания

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Олег начал тренироваться. Каждый день он делает упражнение столько раз, сколько за два предыдущих дня. На -й день тренировки он сделал упражнение  раза, а на -й –  раза. Сколько раз он сделал упражнение на -й день тренировки?

2) Маша и Зина положили себе по  шариков сливочного мороженого. Маша сразу добавила   шарика шоколадного мороженого, всё размешала, и съела  часть смеси. Зина сначала съела  шарика, а потом добавила  шарика шоколадного мороженого и тоже всё размешала. Каково теперь соотношение количества шоколадного мороженого  в порциях Зины и Маши?

3) Буквы З, Н, А, Ч, О, К  и цифры   переставляются по такому правилу:

ЗНАЧОК  

НАЧОКЗ  

АЧОКЗН  

ЧОКЗНА  

и так далее.  На какой строчке впервые запись будет такой же, как на первой: ЗНАЧОК  ?

4) Найдите произведение всех букв слова «ЕДИНИЦА», если верно равенство

ЕДИ + Н = ИЦА

(каждой буквой обозначена одна определенная цифра, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

5) Вершины прямоугольника расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера . Внутри прямоугольника лежит  узлов, а на границе –  узла. Сколько единичных клеток в этом прямоугольнике?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 6 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Денис каждый год прочитывает столько книг, сколько он прочитал за два предыдущих года. В  году он прочитал  книги, а в  – . Сколько книг он прочитал в  году?

Решение. В 2014  году Денис должен был прочитать 24 книги, чтобы в сумме с 39 книгами получилось 63. В  2013 году он прочитал   книг, а в 2012 году он прочитал   книг.

Ответ: 9.

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход рассуждений, но допущена одна вычислительная ошибка – 4 балла. Верный ход рассуждений, но допущено более одной вычислительной ошибки – 1 балл. Приведен ответ без обоснований – 0 баллов.

2) Катя и Лена купили в столовой по порции каши с вареньем. Каждой дали тарелку с  ложками каши и отдельно  ложки варенья (все ложки имеют одинаковый объем). Катя съела  ложки каши, а потом добавила всё варенье в оставшуюся кашу. Лена сразу добавила всё варенье в кашу, хорошо перемешала, а потом съела  ложки. Каково теперь соотношение количества варенья  в каше Кати и каше Лены?

Решение. У Кати в каше  ложки варенья. У Лены было  ложек смеси, она съела  ложки, то есть . Поэтому она съела  варенья, а осталось  от  ложек, то есть . Отношение равно .

Ответ: .

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход рассуждений, но допущена арифметическая ошибка – 4 балла. Приведен ответ без обоснований – 0 баллов.

3) Буквы , , , ,  и цифры  переставляются по такому правилу:

ШКОЛА  

КОЛАШ

ОЛАШК  

ЛАШКО  

и так далее.  На какой строчке впервые запись будет такой же, как на первой: ШКОЛА ?

Решение. Число 2017 будет появляться на 1-й, 5-й, 9-й,  и т.д. строчках.  Слово ШКОЛА будет появляться на 1-й, 6-й, 11-й,  и т.д. строчках.  Продолжая эти ряды, видим, что первый раз номер совпадёт на 21-й строчке:

1, 5, 9, 13, 17, 21, ..

1, 6, 11, 16, 21, ...

Ответ: на 21-й строчке.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение (в том числе и выписанные строчки) – 7 баллов. Решение не доведено до конца, но обнаружена закономерность повторения слова и числа – 2 балла. При выписывании строчек подряд  была допущена ошибка – 1 балл.  Ответ без обоснования – 0 баллов.

4) Найдите произведение всех букв слова «АЛГЕБРА», если верно равенство

АЛГ + Е = БРА

(каждой буквой обозначена одна определенная цифра, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

Решение. Прибавляя однозначное число , не большее 9, переходим в другую сотню. Значит,  должны быть переносы  в следующий разряд, то есть  не меньше 10. Но  меньше , так как обе цифры не больше  и они разные.  Поэтому при сложении  в следующий разряд будет переноситься единица. Эта единица прибавится к цифре . При этом должно возникнуть число, не меньше, чем , чтобы от него перенеслась единица в следующий разряд. Поскольку  к  прибавляется число , то . Тогда сумма , единица опять перенесется в следующий разряд, а на месте   останется . Поэтому произведение всех букв слова «АЛГЕБРА» равно .  

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Если решение проводилось перебором, то 7 баллов ставится только за полный перебор, однако, если все существенные случаи рассмотрены, можно ставить до 6 баллов. Определено значение цифры , но ответ не получен – снять 1 балл. Доказано, что к цифре  должна прибавиться единица, но решение не закончено – 4 балла. Показано только, что есть переход в другую сотню – 1 балл. Приведен только ответ – 0 баллов.

5) Вершины прямоугольника расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера . Внутри прямоугольника лежит  узлов, а на границе –  узла. Сколько единичных клеток в этом прямоугольнике?

Решение. Первый способ. Сместим прямоугольник  на полклетки вправо и полклетки вниз как показано на рисунке. Размеры прямоугольника при этом не изменились. Количество целых клеток смещенного прямоугольника  равно количеству внутренних узлов (каждая внутренняя точка находится в левом верхнем углу клетки); количество половинок  клеток смещенного прямоугольника равно числу граничных узлов  без 4 угловых узлов;  а количество четвертинок клеток равно числу  угловых узлов – их четыре. Значит, число клеток равно   Легко видеть, что такой прямоугольник существует, это прямоугольник со сторонами 6 и 11.

Второй способ. Рассмотрим те узлы (точки), которые находятся в левом верхнем углу какой-нибудь клетки прямоугольника. Клеток в прямоугольнике столько же, сколько таких точек. Это все внутренние точки, и точки, лежащие на верхней и левой границах, а из вершин туда входит только левая верхняя.  Сосчитаем, сколько таких граничных точек – это половина граничных точек, не являющихся вершинами, и одна вершина, то есть   Прибавим число внутренних точек и получим ответ:

Ответ: 66.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, в котором есть незначительные неточности или пробелы – 5-6 баллов. Рассуждения верные, но есть арифметические ошибки – снимать по 2 балла за каждую ошибку.  Подбором найден прямоугольник, удовлетворяющий условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 6 класс, решения

Время выполнения 45 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Олег начал тренироваться. Каждый день он делает упражнение столько раз, сколько за два предыдущих дня. На -й день тренировки он сделал упражнение  раза, а на -й –  раза. Сколько раз он сделал упражнение на -й день тренировки?

Решение. На 7-й день  Олег должен сделал упражнение 52 раза, чтобы в сумме с 32 получилось 84. На 5-й день  он сделал упражнение   раз, а  на 4-й день   раз.

Ответ: 12.

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход рассуждений, но допущена одна вычислительная ошибка – 4 балла. Верный ход рассуждений, но допущено более одной вычислительной ошибки – 1 балл. Приведен ответ без обоснований – 0 баллов.

2) Маша и Зина положили себе по  шариков сливочного мороженого. Маша сразу добавила   шарика шоколадного мороженого, всё размешала, и съела  часть смеси. Зина сначала съела  шарика, а потом добавила  шарика шоколадного мороженого и тоже всё размешала. Каково теперь соотношение количества шоколадного мороженого  в порциях Зины и Маши?

Решение. У Зины шоколадного мороженого –  шарика из 8. У Маши было шариков смеси, она съела, то есть съела  шоколадного мороженого, а осталось  от  шариков, то есть .  Отношение равно .

Ответ: .

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Верный ход рассуждений, но допущена арифметическая ошибка – 4 балла. Приведен ответ без обоснований – 0 баллов.

3) Буквы З, Н, А, Ч, О, К  и цифры   переставляются по такому правилу:

ЗНАЧОК  

НАЧОКЗ  

АЧОКЗН  

ЧОКЗНА  

и так далее.  На какой строчке впервые запись будет такой же, как на первой: ЗНАЧОК  ?

Решение. Число 1628  будет появляться на 1-й, 5-й, 9-й,  и т.д. строчках.  Слово ЗНАЧОК будет появляться на 1-й, 7-й, 13-й,  и т.д. строчках. Продолжая эти ряды, видим, что первый раз номер совпадёт на 13-й строчке:

1, 5, 9, 13,..

1, 7, 13,...

Ответ: на 13-й строчке.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение (в том числе и выписанные строчки) – 7 баллов. Решение не доведено до конца, но обнаружена закономерность повторения слова и числа – 2 балла. При выписывании строчек подряд  была допущена ошибка – 1 балл.  Ответ без обоснования – 0 баллов.

4) Найдите произведение всех букв слова «ЕДИНИЦА», если верно равенство

ЕДИ + Н = ИЦА

(каждой буквой обозначена одна определенная цифра, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

Решение. Прибавляя однозначное число Н, не большее 9, переходим в другую сотню. Значит,  должны быть переносы  в следующий разряд, то есть    не меньше 10. Но    меньше 18, так как обе цифры не больше 9 и они разные.  Поэтому при сложении   в следующий разряд будет переноситься единица. Эта единица прибавится к цифре Д. При этом должно возникнуть число, не меньше, чем 10, чтобы от него перенеслась единица в следующий разряд. Поскольку  к  Д прибавляется число 1, то Д = 9. Тогда сумма , единица опять перенесется в следующий разряд, а на месте  Ц останется 0. Поэтому произведение всех букв слова «ЕДИНИЦА» равно 0.  

Ответ: 0.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Если решение проводилось перебором, то 7 баллов ставится только за полный перебор, однако, если все существенные случаи рассмотрены, можно ставить до 6 баллов. Определено значение цифры , но ответ не получен – снять 1 балл. Доказано, что к цифре  должна прибавиться единица, но решение не закончено – 4 балла. Показано только, что есть переход в другую сотню – 1 балл. Приведен только ответ – 0 баллов.

5) Вершины прямоугольника расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера . Внутри прямоугольника лежит  узлов, а на границе –  узла. Сколько единичных клеток в этом прямоугольнике?

Решение. Первый способ. Сместим прямоугольник  на полклетки вправо и полклетки вниз как показано на рисунке. Размеры прямоугольника при этом не изменились. Количество целых клеток смещенного прямоугольника  равно количеству внутренних узлов (каждая внутренняя точка находится в левом верхнем углу клетки); количество половинок  клеток смещенного прямоугольника равно числу граничных узлов  без 4 угловых узлов;  а количество четвертинок клеток равно числу  угловых узлов – их четыре. Значит, число клеток равно   Легко видеть, что такой прямоугольник существует, это прямоугольник со сторонами 7 и 9.

Второй способ. Рассмотрим те узлы (точки), которые находятся в левом верхнем углу какой-нибудь клетки прямоугольника. Клеток в прямоугольнике столько же, сколько таких точек. Это все внутренние точки, и точки, лежащие на верхней и левой границах, а из вершин туда входит только левая верхняя.  Сосчитаем, сколько таких граничных точек – это половина граничных точек, не являющихся вершинами, и одна вершина, то есть   Прибавим число внутренних точек и получим ответ:

Ответ: 63.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, в котором есть незначительные неточности или пробелы – 5-6 баллов. Рассуждения верные, но есть арифметические ошибки – снимать по 2 балла за каждую ошибку.  Подбором найден прямоугольник, удовлетворяющий условию, но не доказано, что этот ответ единственный – 4 балла.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за учебный год получил одну двойку по математике. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, получившем две двойки по математике. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество двоек втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который получил за учебный год  двойки. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» двойки Васе?

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рубля за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рубля за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь необязательно различных прямоугольников, у каждого из которых большая сторона относится к меньшей, как ? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наибольшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за 7 лет один раз прогулял урок математик. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, прогулявшем за 7 лет два раза урок математики. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество прогулов втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который прогулял за  лет  уроков математики. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» прогулы Васе?

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь фигурок, у каждой из которых одинаковый периметр? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наименьшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за учебный год получил одну двойку по математике. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, получившем две двойки по математике. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество двоек втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который получил за учебный год  двойки. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» двойки Васе?  

Решение. Каждый рассказчик удваивал или утраивал количество двоек, поэтому  является произведением некоторого количества двоек и троек. Так как   и разложение любого числа на простые множители осуществляется единственным образом, то «увеличивали» двойки Васе пятеро пап и три мамы.

Ответ: пятеро пап и три мамы.

Комментарий. Приведено верное решение и верный ответ – 7 баллов. Приведено верное рассуждение, верно найдено разложение числа на простые множители, но при вычислении количества людей допущена ошибка – 5 баллов.  Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 3 балла. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 1 балл. Приведен только верный ответ – 0 баллов.

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

Решение. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен верный пример (независимо от объяснений) – 7 баллов. Пример неверен или отсуствует – 0 баллов.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рубля за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рубля за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

Решение. Пусть вчера Лена купила  шоколадных конфет и  карамелей, тогда за покупку она заплатила  рублей. После изменения цен стоимость конфет стала равна  рублей. Пусть можно сэкономить  рублей, тогда . Преобразовав левую часть этого уравнения, получим: .  Так как  и  – целые числа, то число  также целое. Тогда полученное уравнение не имеет целых решений, так как  не делится на . Противоречие.

Ответ: нельзя.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение с незначительными пробелами – 5 баллов. Верно составлено уравнение, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Присутствует утверждение о противоречии, связанном с делимостью на 5, но оно не обосновано – 2 балла. Ответ получен на основании рассмотрения частных случаев – 0 баллов. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. 

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь необязательно различных прямоугольников, у каждого из которых большая сторона относится к меньшей, как ? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

Решение. Можно. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен любой верный пример, то есть изображен квадрат и показано, как его разрезать искомым образом – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные – 5 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. Нет ни верного примера, ни пояснения, как его построить –  0 баллов.

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наибольшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Решение. Рассмотрим левый верхний квадрат  прямоугольника . В нём есть как минимум две не-тройки, и как минимум одна из них находится на стороне или в углу прямоугольника. Назовём эту клетку отмеченной. Рассмотрев остальные углы прямоугольника, получим всего не менее четырёх отмеченных клеток, т.е. клеток на границе прямоугольника, в которых написаны не тройки. Левый верхний и правый нижний прямоугольники  не содержат общих отмеченных клеток, значит в каком-то из них содержится не более двух отмеченных клеток. Этот прямоугольник разбивается на квадраты , сумма чисел в каждом из которых не более . Значит, всего в этом прямоугольнкие общая сумма чисел не более . Вне этого прямоугольника  осталось  клеток, из которых не менее двух отмеченных. Сумма чисел в этих клетках не более . Итого получаем общую сумму не более . Пример растановки:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведен верный ответ и пример таблицы, но оценка наибольшего значения отсутствует или проведена неверно – 4 балла. Показано, что общая сумма не более 111 – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за 7 лет один раз прогулял урок математик. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, прогулявшем за 7 лет два раза урок математики. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество прогулов втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который прогулял за  лет  уроков математики. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» прогулы Васе?  

Решение. Каждый рассказчик удваивал или утраивал количество прогулов, поэтому  является произведением некоторого количества двоек и троек. Так как   и разложение любого числа на простые множители осуществляется единственным образом, то «увеличивали» прогулы Васе трое пап и четыре мамы.

Ответ: трое пап и четыре мамы.

Комментарий. Приведено верное решение и верный ответ – 7 баллов. Приведено верное рассуждение, верно найдено разложение числа на простые множители, но при вычислении количества людей допущена ошибка – 5 баллов.  Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 3 балла. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 1 балл. Приведен только верный ответ – 0 баллов.

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

Решение. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен верный пример (независимо от объяснений) – 7 баллов. Пример неверен или отсуствует – 0 баллов.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

Решение. Пусть вчера Лена купила  шоколадных конфет и  карамелей, тогда за покупку она заплатила  рублей. После изменения цен стоимость конфет стала равна  рублей. Пусть можно сэкономить  рублей, тогда . Преобразовав левую часть этого уравнения, получим: .  Так как  и  – целые числа, то число  также целое. Тогда полученное уравнение не имеет целых решений, так как  не делится на . Противоречие.

Ответ: нельзя.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение с незначительными пробелами – 5 баллов. Верно составлено уравнение, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Присутствует утверждение о противоречии, связанном с делимостью на 5, но оно не обосновано – 2 балла. Оответ получен на основании рассмотрения частных случаев – 0 баллов. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. 

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь фигурок, у каждой из которых одинаковый периметр? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

Решение. Можно. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен любой верный пример, то есть изображен квадрат и показано, как его разрезать искомым образом – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные – 5 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. Нет ни верного примера, ни пояснения, как его построить –  0 баллов.

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наименьшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Решение. Рассмотрим левый верхний квадрат  прямоугольника . В нём есть как минимум две не-единицы, и как минимум одна из них находится на стороне или в углу прямоугольника. Назовём эту клетку отмеченной. Рассмотрев остальные углы прямоугольника, получим всего не менее четырёх отмеченных клеток, т.е. клеток на границе прямоугольника, в которых написаны не единицы.

Левый верхний и правый нижний прямоугольники  не содержат общих отмеченных клеток, значит в каком-то из них содержится не более двух отмеченных клеток. Этот прямоугольник разбивается на квадраты , сумма чисел в каждом из которых не более . Значит, всего в этом прямоугольнкие общая сумма чисел не менее . Вне этого прямоугольника  осталось  клеток, из которых не менее двух отмеченных. Сумма чисел в этих клетках не менее . Итого получаем общую сумму не менее . Пример растановки:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведен верный ответ и пример таблицы, но оценка наименьшего значения отсутствует или проведена неверно – 4 балла. Показано, что общая сумма не менее 53 – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 8 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Каково наименьшее натуральное число , которое показывает, что утверждение «Если целое число    не является простым, то число  не является простым» ложно?

2) Можно ли раскрасить все натуральные числа в  цвета так, чтобы сумма любых четырёх чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

3) С натуральными числами от  до  проделали такие замены: те числа,  которые  делились и на  и на , заменили на . Те числа, которые делились и на  и на , заменили на , а те числа,  которые  делились и на  и на , заменили на . Все остальные числа заменили на . Найдите сумму всех чисел после всех этих замен.

4) Отрезки  и  пересекаются в точке . Известно, что , и что треугольники  и  имеют равные периметры, и треугольники  и  тоже имеют равные периметры. Найдите длину .

5) Сумма Чему равна сумма ?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 8 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов. 

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Каково наименьшее натуральное число , которое показывает, что утверждение «Если целое число не является простым, то число  не является простым» ложно?

2) Можно ли раскрасить все натуральные числа в  цвета так, чтобы сумма любых пяти чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

3) На празднике раздали  пригласительных билетов в тир, билеты были пронумерованы от  до . Обладателям билетов, у которых номера делились и на  и на , полагалось по  бесплатных выстрелов. Те, у кого номера билетов делились и на  и на , имели право на  бесплатных выстрелов, а у кого номера билетов делились  и на  и на , –  на   бесплатных выстрелов. Сколько всего  бесплатных выстрелов могли сделать   человек, получивших билеты?

4) Отрезки  и  пересекаются в точке . Известно, что    Найдите длину .

5) Сумма Чему равна сумма ?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за учебный год получил одну двойку по математике. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, получившем две двойки по математике. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество двоек втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который получил за учебный год  двойки. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» двойки Васе?  

Решение. Каждый рассказчик удваивал или утраивал количество двоек, поэтому  является произведением некоторого количества двоек и троек. Так как   и разложение любого числа на простые множители осуществляется единственным образом, то «увеличивали» двойки Васе пятеро пап и три мамы.

Ответ: пятеро пап и три мамы.

Комментарий. Приведено верное решение и верный ответ – 7 баллов. Приведено верное рассуждение, верно найдено разложение числа на простые множители, но при вычислении количества людей допущена ошибка – 5 баллов.  Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 3 балла. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 1 балл. Приведен только верный ответ – 0 баллов.

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

Решение. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен верный пример (независимо от объяснений) – 7 баллов. Пример неверен или отсуствует – 0 баллов.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рубля за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рубля за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

Решение. Пусть вчера Лена купила  шоколадных конфет и  карамелей, тогда за покупку она заплатила  рублей. После изменения цен стоимость конфет стала равна  рублей. Пусть можно сэкономить  рублей, тогда . Преобразовав левую часть этого уравнения, получим: .  Так как  и  – целые числа, то число  также целое. Тогда полученное уравнение не имеет целых решений, так как  не делится на . Противоречие.

Ответ: нельзя.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение с незначительными пробелами – 5 баллов. Верно составлено уравнение, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Присутствует утверждение о противоречии, связанном с делимостью на 5, но оно не обосновано – 2 балла. Ответ получен на основании рассмотрения частных случаев – 0 баллов. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. 

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь необязательно различных прямоугольников, у каждого из которых большая сторона относится к меньшей, как ? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

Решение. Можно. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен любой верный пример, то есть изображен квадрат и показано, как его разрезать искомым образом – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные – 5 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. Нет ни верного примера, ни пояснения, как его построить –  0 баллов.

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наибольшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Решение. Рассмотрим левый верхний квадрат  прямоугольника . В нём есть как минимум две не-тройки, и как минимум одна из них находится на стороне или в углу прямоугольника. Назовём эту клетку отмеченной. Рассмотрев остальные углы прямоугольника, получим всего не менее четырёх отмеченных клеток, т.е. клеток на границе прямоугольника, в которых написаны не тройки. Левый верхний и правый нижний прямоугольники  не содержат общих отмеченных клеток, значит в каком-то из них содержится не более двух отмеченных клеток. Этот прямоугольник разбивается на квадраты , сумма чисел в каждом из которых не более . Значит, всего в этом прямоугольнкие общая сумма чисел не более . Вне этого прямоугольника  осталось  клеток, из которых не менее двух отмеченных. Сумма чисел в этих клетках не более . Итого получаем общую сумму не более . Пример растановки:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведен верный ответ и пример таблицы, но оценка наибольшего значения отсутствует или проведена неверно – 4 балла. Показано, что общая сумма не более 111 – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 7 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Петя рассказал папе, что его одноклассник Вася за 7 лет один раз прогулял урок математик. Папа рассказал маме, что слышал о мальчике, прогулявшем за 7 лет два раза урок математики. Передавая новость дальше, другим родителям, мамы увеличивали количество прогулов втрое, папы – вдвое. В результате по новостям сообщили о мальчике, который прогулял за  лет  уроков математики. Сколько мам и сколько пап «увеличивали» прогулы Васе?  

Решение. Каждый рассказчик удваивал или утраивал количество прогулов, поэтому  является произведением некоторого количества двоек и троек. Так как   и разложение любого числа на простые множители осуществляется единственным образом, то «увеличивали» прогулы Васе трое пап и четыре мамы.

Ответ: трое пап и четыре мамы.

Комментарий. Приведено верное решение и верный ответ – 7 баллов. Приведено верное рассуждение, верно найдено разложение числа на простые множители, но при вычислении количества людей допущена ошибка – 5 баллов.  Верный ход решения, но из-за арифметической ошибки получен неверный ответ – 3 балла. Задача не решена, но есть элементы верных рассуждений – 2 балла. Приведены только верный ответ и проверка того, что он удовлетворяет условию задачи – 1 балл. Приведен только верный ответ – 0 баллов.

2) Расставьте в клетках фигуры (см. рисунок) числа  таким образом, чтобы суммы чисел во всех прямоугольниках  в любом положении, оказались разными.

Решение. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен верный пример (независимо от объяснений) – 7 баллов. Пример неверен или отсуствует – 0 баллов.

3) Вчера в продуктовом магазине Лена купила шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Сегодня в этом же магазине можно купить шоколадные конфеты по  рублей за штуку, а карамель – по  рублей за штуку. Могла ли Лена купить те же самые конфеты сегодня и сэкономить при этом  рублей по сравнению с вчерашними ценами?

Решение. Пусть вчера Лена купила  шоколадных конфет и  карамелей, тогда за покупку она заплатила  рублей. После изменения цен стоимость конфет стала равна  рублей. Пусть можно сэкономить  рублей, тогда . Преобразовав левую часть этого уравнения, получим: .  Так как  и  – целые числа, то число  также целое. Тогда полученное уравнение не имеет целых решений, так как  не делится на . Противоречие.

Ответ: нельзя.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение с незначительными пробелами – 5 баллов. Верно составлено уравнение, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Присутствует утверждение о противоречии, связанном с делимостью на 5, но оно не обосновано – 2 балла. Оответ получен на основании рассмотрения частных случаев – 0 баллов. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. 

4) Можно ли разрезать квадрат  на семь фигурок, у каждой из которых одинаковый периметр? (Разрезать можно только по линиям клеток.)

Решение. Можно. Возможный пример показан на рисунке.

Комментарий. Приведен любой верный пример, то есть изображен квадрат и показано, как его разрезать искомым образом – 7 баллов. Приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные – 5 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов. Нет ни верного примера, ни пояснения, как его построить –  0 баллов.

5) В таблице  расставлены числа ,  и . Известно, что в любом квадрате  встречаются все три различных числа. Какое наименьшее значение можно получить, посчитав сумму чисел в этой таблице?

Решение. Рассмотрим левый верхний квадрат  прямоугольника . В нём есть как минимум две не-единицы, и как минимум одна из них находится на стороне или в углу прямоугольника. Назовём эту клетку отмеченной. Рассмотрев остальные углы прямоугольника, получим всего не менее четырёх отмеченных клеток, т.е. клеток на границе прямоугольника, в которых написаны не единицы.

Левый верхний и правый нижний прямоугольники  не содержат общих отмеченных клеток, значит в каком-то из них содержится не более двух отмеченных клеток. Этот прямоугольник разбивается на квадраты , сумма чисел в каждом из которых не более . Значит, всего в этом прямоугольнкие общая сумма чисел не менее . Вне этого прямоугольника  осталось  клеток, из которых не менее двух отмеченных. Сумма чисел в этих клетках не менее . Итого получаем общую сумму не менее . Пример растановки:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведен верный ответ и пример таблицы, но оценка наименьшего значения отсутствует или проведена неверно – 4 балла. Показано, что общая сумма не менее 53 – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 8 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Каково наименьшее натуральное число , которое показывает, что утверждение «Если целое число    не является простым, то число    не является простым» ложно?

Решение. Чтобы показать, что это утверждение ложно, надо найти наименьшее составное число , такое, чточисло  – простое. Проверяем пары , где первое число                        простое. В парах (3, 5), (5, 7) второе число тоже простое, эти примеры не опровергают утверждения.  В паре (7, 9) число   не является простым, а число  является.

Ответ: 9.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение, в том числе и перебором значений  подряд по возрастанию – 7 баллов. При верном решении в ответе перепутаны n и  – 6 баллов. Дан верный ответ, показано, что он удовлетворяет условиям, но не показано, что  наименьшее – 5 баллов. Найдено подходящее, но не наименьшее n – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов. Условия не поняты – 0 баллов.

2) Можно ли раскрасить все натуральные числа в 3 цвета так, чтобы сумма любых четырёх чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

Решение. Любое число при делении на 3 имеет один из трех остатков: 0, 1, 2. Покрасим все числа с остатком 0 в первый цвет, с остатком 1 во второй цвет, с остатком 2 в третий цвет. Сумма четырех чисел, имеющих один и тот же остаток при делении на 3, тоже имеет остаток так как

Ответ: можно.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Утверждение «Сумма четырех чисел, имеющих один и тот же остаток при делении на 3, имеет такой же остаток» сформулировано, но не доказано – 6 баллов. В рассуждениях рассмотрены остатки при делении на 3, но решение не доведено до конца – 4 балла. При рассмотрении конкретных наборов чисел выявлена, но не сформулирована закономерность – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

3) С натуральными числами от 1 до 310  проделали такие замены: те числа,  которые  делились и на 8 и на 13, заменили на 3. Те числа,  которые  делились и на 3 и на 8, заменили на 13, а те числа,  которые  делились и на 3 и на 13, заменили на 8. Все остальные числа заменили на 0. Найдите сумму всех чисел после всех этих замен.

Решение. Поскольку  то среди чисел от 1 до 310 нет чисел, которые бы делились и на 3, и на 8, и на 13. Поэтому новые ненулевые числа будут такими:

Таким образом, будет два числа 3, 12 чисел 13 и 7 чисел 8.  Вся сумма равна  

Ответ: 218.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе, и непосредственное вычисление) – 7 баллов. Верный ход решения, но допущена одна вычислительная ошибка – 5 баллов. Верный ход рассуждений, но допущено более одной вычислительной ошибки – 2 балла. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

4) Отрезки  и  пересекаются в точке . Известно, что , и что  треугольники  и  имеют равные периметры, и треугольники  и  тоже имеют равные  периметры. Найдите длину .

Решение.  По условию . Записав второе равенство в виде  и сложив его с первым, получим то есть. Значит, , следовательно, треугольники  равны (по третьему признаку). Поэтому , то есть треугольник  – равнобедренный.

Ответ: 8.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Доказано равенство треугольников – 5 баллов. Доказано только равенство – 4 балла. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

5) Сумма Чему равна сумма ?

Решение. Сумма  откуда   Сумма =   Подставляя получаем ответ:  

Ответ:  

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение (в том числе, с помощью непосредственного вычисления) – 7 баллов. Найдено  – 5 баллов. За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снижать на 1 балл за каждую ошибку. Допущены арифметические ошибки при непосредственном вычислении сумм – ставить 1 балл. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 8 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Каково наименьшее натуральное число , которое показывает, что утверждение «Если целое число  не является простым, то число    не является простым» ложно?

Решение. Чтобы показать, что это утверждение ложно, надо найти наименьшее составное число такое, чточисло  – простое. Проверяем пары ), где второе число                          простое. В паре (11, 13), первое число тоже простое, этот пример не опровергает утверждения. В паре (15, 17) число  не является простым, а число  является.

Ответ: 15.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение, в том числе и перебором значений  подряд по возрастанию – 7 баллов. При верном решении в ответе перепутаны n и  – 6 баллов. Дан верный ответ, показано, что он удовлетворяет условиям, но не показано, что  наименьшее – 5 баллов. Найдено подходящее, но не наименьшее n – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов. Условия не поняты – 0 баллов.

2) Можно ли раскрасить все натуральные числа в 4 цвета так, чтобы сумма любых пяти чисел одного цвета имела бы этот же цвет?

Решение. Любое число при делении на 4 имеет один из трех остатков: 0, 1, 2, 3. Покрасим все числа с остатком 0 в первый цвет, с остатком 1 во второй цвет, с остатком 2 в третий цвет, с остатком 3 в четвертый цвет. Сумма пяти чисел, имеющих при делении на 4 один и тот же остаток , тоже имеет остаток так как

Ответ: можно.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Утверждение «Сумма пяти чисел, имеющих один и тот же остаток при делении на 4, имеет такой же остаток» сформулировано, но не доказано – 6 баллов. В рассуждениях рассмотрены остатки при делении на 4, но решение не доведено до конца – 4 балла. При рассмотрении конкретных наборов чисел выявлена, но не сформулирована закономерность – 2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

3) На празднике раздали 312 пригласительных билетов в тир, билеты были пронумерованы от 1 до 312.  Обладателям билетов, у которых номера делились и на 7 и на 9, полагалось по 5 бесплатных выстрелов.  Те, у кого номера билетов делились и на 5 и на 9, имели право на 7 бесплатных выстрелов, а у кого номера билетов делились  и на 5 и на 7, –  на  9 бесплатных выстрелов. Сколько всего  бесплатных выстрелов могли сделать 312  человек, получивших билеты?

Решение. Поскольку  то число бесплатных выстрелов равно

Таким образом, 4 человека могут сделать по 5 выстрелов, 6 человек по 7 выстрелов, 8 человек по 9 выстрелов. Всего число бесплатных выстрелов равно  

Ответ: 134.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе, и непосредственное вычисление) – 7 баллов. Верный ход решения, но допущена одна вычислительная ошибка – 5 баллов. Верный ход рассуждений, но допущено более одной вычислительной ошибки – 2 балла. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

4) Отрезки  и  пересекаются в точке . Известно, что  Найдите длину.

Решение. По условию , поэтому треугольники и  равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, . Следовательно,

Ответ: 2.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Доказано равенство треугольников и– 5 баллов. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

5) Сумма Чему равна сумма ?

Решение. Сумма = откуда  

Сумма Подставляя получаем ответ:  

Ответ:  

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение (в том числе, с помощью непосредственного вычисления) – 7 баллов. Найдено  – 5 баллов. За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снижать на 1 балл за каждую ошибку. Допущены арифметические ошибки при непосредственном вычислении сумм – ставить 1 балл. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 9 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Сколькими различными способами можно замостить фигуру, представленную на рисунке, прямоугольниками ?

2) Натуральное число  делится на . Докажите, что сумма всех нечётных собственных натуральных делителей  меньше, чем сумма всех чётных. (Собственный делитель числа – всякий его делитель, отличный от самого числа.)

3) В трапеции  точка  – середина основания . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем . Докажите, что .

4) Вася подсчитал среднее арифметическое  различных нечётных чисел, а Петя, упорядочив их по убыванию, выбрал четвёртое число. Могла ли разность их чисел равняться ?

5) Из гостиницы в выставочный зал в  пешком вышел участник форума, а через некоторое время из выставочного зала в гостиницу выехал велосипедист, который доехал до гостиницы в  этого же дня. Участник форума пришёл в выставочный зал через  часов после того, как оттуда выехал велосипедист. Какую часть пути из гостиницы в выставочный зал проехал велосипедист до его встречи с участником форума, если их скорости на всём пути были постоянными?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 9 класс, задания

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Сколькими различными способами можно замостить фигуру, представленную на рисунке, прямоугольниками ?

2) Натуральное число  делится на . Докажите, что сумма всех нечётных собственных натуральных делителей  меньше, чем сумма всех чётных. (Собственный делитель числа – всякий его делитель, отличный от самого числа.)

3) Диагонали трапеции  пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку  перпендикулярно , пересекается с прямой  в точке . Известно, что . Докажите, что .

4) Вася подсчитал среднее арифметическое  различных нечётных чисел, а Петя, упорядочив их по убыванию, выбрал пятое число. Могла ли разность их чисел равняться ?

5) Из гостиницы в выставочный зал в  пешком вышел участник форума, а через некоторое время из выставочного зала в гостиницу выехал велосипедист, который доехал до гостиницы в  этого же дня. Участник форума пришёл в выставочный зал через  часов после того, как оттуда выехал велосипедист. Какую часть пути из гостиницы в выставочный зал прошёл участник форума до его встречи с велосипедистом, если их скорости на всём пути были постоянными?

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 9 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Сколькими различными способами можно замостить фигуру, представленную на рисунке, прямоугольниками ?

Решение. На левой стороне фигуры находятся три клетки. Если эти три клетки не образуют полоску , три полоски, содержащие их, образуют квадрат . Оставшаяся часть фигуры распадается на прямоугольник  и квадрат . Первый разбивается единственным способом, второй двумя способами. Значит, мы получили два способа разбиения. Если же эти три клетки образуют прямоугольник , рассмотрим нижние три клетки. Если они не образуют прямоугольник , оставшаяся фигура разбивается однозначно. Если они образуют прямоугольник , а находящиеся над ними три клетки не образуют, остальная фигура также разбиваются однозначно. Это ещё  способа. Аналогично получаем ещё  способа, рассматривая самые правые клетки. Если же все указанные клетки образуют  прямоугольника , остаётся квадрат , который разбивается двумя способами.

Ответ:  способов.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе, и непосредственный перебор) – 7 баллов. Найдена только часть способов – 2-3 балла. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

2) Натуральное число  делится на . Докажите, что сумма всех нечётных собственных натуральных делителей  меньше, чем сумма всех чётных. (Собственный делитель числа – всякий его делитель, отличный от самого числа.)

Решение. Число  – чётное, поскольку делится на , и, более того, по этой же причине число  делится на . Если  – нечётный делитель числа , то число  тоже является делителем числа , причем , так как  не делится на . Получается, что вместе с каждым нечётным делителем  также имеется ровно в два раза больший делитель . Поэтому сумма нечётных чисел не просто меньше, чем сумма чётных, а, по крайней мере, в два раза меньше.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. В решении присутствует идея рассмотрения делимости на 2 и 4 – 3 балла. Замечено, что задуманное число делится на 4 без дальнейших продвижений – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) В трапеции  точка  — середина основания . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем . Докажите, что .

Решение. По свойству медианы прямоугольного треугольника , следовательно, . Заметим, что  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и ,  как вертикальные. Таким образом, в треугольнике  углы  и  равны, значит,

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

4) Вася подсчитал среднее арифметическое  различных нечётных чисел, а Петя, упорядочив их по убыванию, выбрал четвёртое число. Могла ли разность их чисел равняться ?

Решение. Пусть искомые числа равны , , , , ,  и , причем , тогда Васино число равно , а Петино число – это . Из условия задачи следует, что , то есть . После приведения подобных слагаемых это равенство можно записать так: . Заметим, что в левой части полученного равенства стоит сумма шести нечетных слагаемых, которая всегда четна, а в правой части стоит число, которое нечетно при любых целых значениях . Таким образом, это равенство выполняться не может.

Ответ: разность чисел не могла равняться .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, в котором есть незначительные неточности или пробелы – 5-6 баллов. В рассуждениях присутствует идея «четности», но решение не доведено до конца или содержит либо логические, либо арифметические ошибки – 3 балла. Верный ответ получен путем рассмотрения конкретного набора чисел – 1 балл. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

5) Из гостиницы в выставочный зал в  пешком вышел участник форума, а через некоторое время из выставочного зала в гостиницу выехал велосипедист, который доехал до гостиницы в  этого же дня. Участник форума пришёл в выставочный зал через  часов после того, как оттуда выехал велосипедист. Какую часть пути из гостиницы в выставочный зал проехал велосипедист до его встречи с участником форума, если их скорости на всём пути были постоянными?

Решение. Пусть   – расстояние от гостиницы до места встречи велосипедиста и участника форума, а  – расстояние от гостиницы до выставочного зала. Графики движения велосипедиста и участника форума в осях (время, расстояние) изображены на рисунке. Из подобия двух треугольников с параллельными сторонами  и  получаем:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Верно получено уравнение с двумя переменными, но при его решении допущена ошибка – 5 баллов. Верно получено уравнение с двумя переменными, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Приведен только верный ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 9 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Сколькими различными способами можно замостить фигуру, представленную на рисунке, прямоугольниками ?

Решение. На каждой из сторон фигуры находится по три клетки. Если каждые такие клетки образуют полоску из трёх клеток, оставшийся квадрат  можно разбит двумя способами. Если же на какой-то стороне три клетки не образуют полоску, оставшаяся часть фигуры разбивается однозначно.

Ответ:  способов.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе, и непосредственный перебор) – 7 баллов. Найдена только часть способов – 2-3 балла. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

2) Натуральное число  делится на . Докажите, что сумма всех нечётных собственных натуральных делителей  меньше, чем сумма всех чётных. (Собственный делитель числа – всякий его делитель, отличный от самого числа.)

Решение. Число  – чётное, поскольку делится на , и, более того, по этой же причине число  делится на . Если  – нечётный делитель числа , то число  тоже является делителем числа , причем , так как  не делится на . Получается, что вместе с каждым нечётным делителем  также имеется ровно в два раза больший делитель . Поэтому сумма нечётных чисел не просто меньше, чем сумма чётных, а, по крайней мере, в два раза меньше.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. В решении присутствует идея рассмотрения делимости на 2 и 4 – 3 балла. Замечено, что задуманное число делится на 4 без дальнейших продвижений – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) Диагонали трапеции  пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку  перпендикулярно , пересекается с прямой  в точке . Известно, что . Докажите, что .

Решение. По свойству медианы прямоугольного треугольника , следовательно, . Заметим, что  как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и ,  как вертикальные. Таким образом, в треугольнике  углы  и  равны, значит,

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

4) Вася подсчитал среднее арифметическое  различных нечётных чисел, а Петя, упорядочив их по убыванию, выбрал пятое число. Могла ли разность их чисел равняться ?

Решение. Пусть искомые числа равны , , , , , , ,  и , причем , тогда Васино число равно , а Петино число – это . Из условия задачи следует, что , то есть . После приведения подобных слагаемых это равенство можно записать так: . Заметим, что в левой части полученного равенства стоит сумма восьми нечетных слагаемых, которая всегда четна, а в правой части стоит число, которое нечетно при любых целых значениях . Таким образом, это равенство выполняться не может.

Ответ: разность чисел не могла равняться .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, в котором есть незначительные неточности или пробелы – 5-6 баллов. В рассуждениях присутствует идея «четности», но решение не доведено до конца или содержит либо логические, либо арифметические ошибки – 3 балла. Верный ответ получен путем рассмотрения конкретного набора чисел – 1 балл. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

5) Из гостиницы в выставочный зал в  пешком вышел участник форума, а через некоторое время из выставочного зала в гостиницу выехал велосипедист, который доехал до гостиницы в  этого же дня. Участник форума пришёл в выставочный зал через  часов после того, как оттуда выехал велосипедист. Какую часть пути из гостиницы в выставочный зал прошёл участник форума до его встречи с велосипедистом, если их скорости на всём пути были постоянными?

Решение. Пусть   – расстояние от гостиницы до места встречи велосипедиста и участника форума, а  – расстояние от гостиницы до выставочного зала. Графики движения велосипедиста и участника форума в осях (время, расстояние) изображены на рисунке. Из подобия двух треугольников с параллельными сторонами  и  получаем:

Ответ: .

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Верно получено уравнение с двумя переменными, но при его решении допущена ошибка – 5 баллов. Верно получено уравнение с двумя переменными, но дальнейших продвижений нет – 3 балла. Приведен только верный ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 10 класс, задания

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Докажите для положительных  неравенство

2) Пусть  и  – корни уравнения а и  – корни уравнения                           . Найдите .

3) В некотором году (с номером ) двухсот пятидесятый день был четвергом. В следующем,              1)-м году двухсот двадцатый день  был тоже четвергом.  На какой день недели приходился сотый день предыдущего )-го года?

4) Выпуклый четырехугольник  вписан в круг радиуса .  Известно, что  Найдите длину .

5) У Васи и Пети были одинаковые таблицы из  столбцов и  строк.  Вася записал в клетки числа подряд по строкам, то есть, начиная с верхнего левого угла записал в первой строке числа , во второй строке , и так далее. Петя записал в клетки числа подряд по столбцам, то есть, начиная с верхнего левого угла записал в первом столбце числа , во втором столбце  , и так далее. В некоторых одинаково расположенных клетках таблиц у Пети и Васи оказались одинаковые числа. Найдите сумму чисел в этих клетках в одной таблице.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 10 класс, задания

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Докажите для положительных  неравенство .

2) Пусть  и  – корни уравнения а  и – корни уравнения                         . Найдите .

3) В некотором году (с номером ) трёхсотый  день  был средой.  В следующем, 1)-м году  двухсотый день  был тоже средой.  На какой  день недели приходился  сотый  день предыдущего )-го года?

4) Выпуклый четырехугольник  вписан в круг радиуса . Известно, что  Найдите .

5) У Коли и Тани были одинаковые таблицы из  столбцов и  строк. Коля записал в клетки числа подряд по строкам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записал в первой строке числа , во второй строке , и так далее. Таня записала в клетки числа подряд по столбцам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записала в первом столбце числа , во втором столбце ,  и так далее. В некоторых одинаково расположенных клетках таблиц у Коли и Тани оказались одинаковые числа. Найдите сумму чисел в этих клетках в одной таблице.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 10 класс, решения

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Докажите для положительных  неравенство

Решение. После приведения к общему знаменателю получаем    или  что равносильно очевидному неравенству

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов.  Есть ошибки в преобразованиях – снимать по 3 балла за каждую ошибку. Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

2) Пусть  и  – корни уравнения а и  – корни уравнения . Найдите .

Решение. По теореме Виета и 

Ответ:

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Есть ошибки в применении теоремы Виета или в преобразованиях – снимать по 3 балла за каждую ошибку. Записана теорема Виета при отсутствии дальнейшего продвижения – 1 балл.    Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 1-2 балла.  Только ответ без обоснований – 0 баллов. 

3) В некотором году (с номером )  двухсот пятидесятый день  был четвергом.  В следующем,  1)-м году  двухсот двадцатый день  был тоже четвергом.  На какой  день недели приходился  сотый  день предыдущего 1)-го года?

Решение. Между первыми двумя датами есть либо  115 + 220 = 335 , либо  116 + 220 = 336  дней, в зависимости от того, является ли год    високосным. Так как  336  делится на  7, то год   является високосным.   Между датами в годах  ,   существует  265 + 250 = 515  дней, что дает остаток 4  при делении на  7.  Отсчитав 4 дня от четверга  в обратном направлении (поскольку мы вычитаем дни), получаем воскресенье.

Ответ: воскресенье.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе и полным перебором) – 7 баллов. Ход решения верный, но ответ неверный из-за вычислительных ошибок – 4 балла. Установлено, что год А високосный, но ответ не получен – 3 балла. Присутствует идея рассмотреть делимость на 7, но дальнейшего продвижения нет – 2 балла. Сделан частичный перебор и получен верный ответ, но не доказана его единственность – 2 балл. Сделан частичный перебор без получения  верного ответа – 1 балл. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

4) Выпуклый четырехугольник  вписан в круг радиуса .  Известно, что  Найдите длину .

Решение. Обозначим центр окружности . Пусть  пересекает  в точке  и  в точке . Дуги  равны, так как их стягивают равные хорды; обозначим соответствующие центральные углы. Тогда  В треугольниках и угол  общий,  поэтому они подобны. Отсюда . Но  (как радиусы одной окружности), поэтому  Аналогично, . Из пропорции  можно найти :  Следовательно,  – средняя линия  и  

Ответ: 

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5–6 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

5) У Васи и Пети были одинаковые таблицы из 29 столбцов  и 22 строк.  Вася записал в клетки числа подряд по строкам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записал в первой строке числа 1, 2, ..., 29, во второй строке  30, 31, ..., 58,  и так далее. Петя записал в клетки числа подряд по столбцам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записал в первом столбце числа 1, 2, ..., 22, во втором столбце  23, 24, ..., 44,  и так далее. В некоторых одинаково расположенных клетках таблиц у Пети и Васи оказались одинаковые числа. Найдите сумму чисел в этих клетках в одной таблице.

Решение. Пронумеруем  строки с  ,   пронумеруем столбцы с   Клетку на пересечении строки с номером   и столбца с номером  будем обозначать   В таблице Васи в клетке  стоит число В таблице Пети в клетке  стоит число  Приравняем эти выражения:

или , то есть .  Отсюда видно, что  должно быть целым числом, обозначим его  тогда, а . В клеткахбудет при обеих расстановках стоять число  Поскольку , то может принимать значения от 0 до 7. Сумма чисел равна

Ответ: 

Комментарий. Полное обоснованное решение с верным ответом – 7 баллов. Ход решения верный, учтены все клетки, в которых числа совпадают, но есть вычислительные ошибки – снимать по 1 баллу за каждую ошибку. Установлена закономерность номеров клеток, найдены все клетки, в которых числа совпадают, но не найдена сумма – 6 баллов. Закономерность номеров клеток не установлена, найдены некоторые клетки, в которых числа совпадают (больше двух) – 2 балла. Указано только, что числа совпадают в первой и последней клетках – 1 балл.  Приведен только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 10 класс, решения

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Докажите для положительных  неравенство

Решение. После приведения к общему знаменателю получаем    или  что равносильно очевидному неравенству

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов.  Есть ошибки в преобразованиях – снимать по 3 балла за каждую ошибку. Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 1 балл. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

2) Пусть  и  – корни уравнения а и  – корни уравнения . Найдите .

Решение. По теореме Виета и 

Ответ: 

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Есть ошибки в применении теоремы Виета или в преобразованиях – снимать по 3 балла за каждую ошибку. Записана теорема Виета при отсутствии дальнейшего продвижения – 1 балл.    Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 1-2 балла.  Только ответ без обоснований – 0 баллов.

3) В некотором году (с номером ) трёхсотый  день  был средой.  В следующем,  1)-м году  двухсотый день  был тоже средой.  На какой  день недели приходился  сотый  день предыдущего 1)-го года?

Решение. Между первыми двумя датами есть либо  65 + 200 = 265 , либо  66 + 200 = 266  дней, в зависимости от того, является ли год    високосным. Так как  266  делится на  7, то год   является високосным.   Между датами в годах  ,   существует  265 + 300 = 565  дней, что дает остаток 5  при делении на  7.  Отсчитав 5 дней от среды в обратном направлении (поскольку мы вычитаем дни), получаем пятницу.

Ответ: пятница.

Комментарий. Полное обоснованное решение (в том числе и полным перебором) – 7 баллов. Ход решения верный, но ответ неверный из-за вычислительных ошибок – 4 балла. Установлено, что год А високосный, но ответ не получен – 3 балла. Присутствует идея рассмотреть делимость на 7, но дальнейшего продвижения нет – 2 балла. Сделан частичный перебор и получен верный ответ, но не доказана его единственность – 2 балл. Сделан частичный перебор без получения  верного ответа – 1 балл. Только ответ без обоснований – 0 баллов.

4) Выпуклый  четырехугольник  вписан в круг радиуса .  Известно, что  Найдите .

Решение. Обозначим центр окружности . Пусть  пересекает  в точке  и  в точке . Дуги  равны, так как их стягивают равные хорды; обозначим соответствующие центральные углы. Тогда  В треугольниках и угол  общий,  поэтому они подобны. Отсюда . Но , поэтому  Аналогично, . Тогда . При этом (ввиду равенства дуг  и ). Следовательно,  – средняя линия  и . Из пропорции  можно найти :  откуда

Ответ: 

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5–6 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

5) У Коли и Тани были одинаковые таблицы из 33 столбцов  и 25 строк.  Коля записал в клетки числа подряд по строкам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записал в первой строке числа 1, 2, ..., 33, во второй строке  34, 35, ..., 66,  и так далее. Таня записала в клетки числа подряд по столбцам, то есть, начиная с верхнего левого угла  записала в первом столбце числа 1, 2, ..., 25, во втором столбце  26, 27, ..., 50,  и так далее. В некоторых одинаково расположенных клетках таблиц у Коли и Тани оказались одинаковые числа. Найдите сумму чисел в этих клетках в одной таблице.

Решение. Пронумеруем  строки с  i = 1, 2, 3, ..., 25,   пронумеруем столбцы с  j = 1, 2, 3, ..., 33.  Клетку на пересечении строки с номером  i  и столбца с номером  j будем обозначать (i, j). В таблице Коли в клетке  стоит число  В таблице Тани в клетке ( стоит число  Приравняем эти выражения:

или , то есть .  Отсюда видно, что  должно быть целым числом, обозначим его  тогда, а . В клетках (будет при обеих расстановках стоять число  Поскольку , то   =может принимать значения от 0 до 8. Сумма чисел равна

Ответ: 

Комментарий. Полное обоснованное решение с верным ответом – 7 баллов. Ход решения верный, учтены все клетки, в которых числа совпадают, но есть вычислительные ошибки – снимать по 1 баллу за каждую ошибку. Установлена закономерность номеров клеток, найдены все клетки, в которых числа совпадают, но не найдена сумма – 6 баллов. Закономерность номеров клеток не установлена, найдены некоторые клетки, в которых числа совпадают (больше двух) – 2 балла. Указано только, что числа совпадают в первой и последней клетках – 1 балл.  Приведен только ответ – 0 баллов. 

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 11 класс, задания

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Квадратная грядка  разбита на  равных квадратных участка. В каких-то из них растет по одной морковке (все разной длины). У каждой морковки имеется не более одной морковки длиннее неё, растущей на соседнем по стороне или диагонали участке (всего не более 8 соседей). Какое наибольшее количество морковок может расти на такой грядке?

2) Вася умножил целое число  на целое число , а целое число  – на целое число , сложил полученные числа и заметил, что полученная сумма делится на . Петя, наоборот, умножил  на , а  – на  и сложил их. Верно ли, что полученная Петей сумма делится на ?

3) Дан квадратный трехчлен . Известно, что  и  являются его корнями. Докажите, что .

4) Дан выпуклый четырёхугольник , в котором . В треугольнике  проведена биссектриса . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем  и . Чему равно значение выражения ?

5) Сколькими способами можно раскрасить фигуру, представленную на рисунке, в три цвета: синий, красный или белый, так, чтобы соседние клетки были покрашены в разные цвета? (Соседние клетки – клетки, имеющие общие стороны.)

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 11 класс, задания

Время выполнения 180 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) В кинотеатре  мест, расположенных в виде квадрата . Несколько зрителей разного роста сели на эти места, после чего каждый зритель заметил, что около него не более одного соседа по стороне или диагонали (всего не более  соседей) выше него ростом. Какое наибольшее количество зрителей может сидеть в зале?

2) Маша вычла из произведения целого числа  на целое число  произведение целого числа  на целое число  и заметила, что полученная разность делится на . Таня, наоборот, вычла из произведения  на  произведение  на . Верно ли, что полученная Таней разность делится на         ?

3) Дан квадратный трехчлен . Известно, что  и  являются его корнями. Докажите, что .

4) Дан выпуклый четырёхугольник , в котором  и . В треугольнике  проведена биссектриса . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем . Чему равно значение выражения ?

5) Сколькими способами можно раскрасить фигуру, представленную на рисунке, в три цвета: синий, красный или белый, так, чтобы соседние клетки были покрашены в разные цвета? (Соседние клетки – клетки, имеющие общие стороны.)

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 11 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 1. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) Квадратная грядка  разбита на  равных квадратных участка. В каких-то из них растет по одной морковке (все разной длины). У каждой морковки имеется не более одной морковки длиннее неё, растущей на соседнем по стороне или диагонали участке (всего не более 8 соседей).  Какое наибольшее количество морковок может расти на такой грядке?

Решение. В каждом квадрате  не более двух морковок. Если бы это было не так, то у морковки из этого квадрата с самой маленькой длиной было бы более одной «более длинной» соседней морковки. Разбив грядку на  квадратиков , убеждаемся, что на грядке не более  морковки. Пример: заняты все чётные ряды.

Ответ:  морковки.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведена верная оценка наибольшего количества морковки, но пример расположения отсутствует – 4 балла. Приведен верный ответ и пример расположения морковки, но оценка наибольшего значения отсутствует или проведена неверно – 3 балла. За наличие потенциально полезных идей – 1-2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

2) Вася умножил целое число  на целое число , а целое число  – на целое число , сложил полученные числа и заметил, что полученная сумма делится на . Петя, наоборот, умножил  на , а  – на  и сложил их. Верно ли, что полученная Петей сумма делится на ?

Решение. Пусть . Тогда у Васи получилось число , а у Пети – число . Сумма этих чисел равна , то есть она делится на . Так как одно из двух слагаемых (число Васи) делится на , то и другое (число Пети) делится на , что и требовалось.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности – 6 баллов. Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 2 балла. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) Дан квадратный трехчлен . Известно, что  и  являются его корнями. Докажите, что .

Решение. Пусть  и  – данные корни. Тогда , так как  и  (основное тригонометрическое тождество). С другой стороны,  и  по теореме Виета. Следовательно,  Умножив полученное равенство  на  и перенеся  в правую часть, получаем

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Замечено, что сумма квадратов корней квадратного трехчлена равна единице – 2 балла. Записана теорема Виета при отсутствии дальнейшего продвижения – 1 балл.    Приведено неверное доказательство – 0 баллов. 

4) Дан выпуклый четырёхугольник , в котором . В треугольнике  проведена биссектриса . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем  и . Чему равно значение выражения ?

Решение. Положим ,  и . Тогда   и  Заметим, что

То есть четырехугольник  вписанный. Отсюда, с учетом условия задачи,

поэтому четырехугольник  тоже вписанный. Тогда

и мы получили, что

Ответ: .

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

5) Сколькими способами можно раскрасить фигуру, представленную на рисунке, в три цвета: синий, красный или белый, так, чтобы соседние клетки были покрашены в разные цвета? (Соседние клетки – клетки, имеющие общие стороны.)

Решение. Центральную клетку можно раскрасить тремя способами. После этого нам осталось раскрасить четыре одинаковых фигурки из шести клеток с одним и тем же ограничением на цвет клетки, соседней с центральной (назовём её клеткой ).

Рассмотрим квадрат . В таком квадрате должны быть две клетки одного цвета и расположены они должны быть по диагонали. Двумя способами выбираем диагональ, тремя способами её цвет и ещё по два способа на выбор цвета для остальных клеток, итого  способа. Однако при этом квадраты, покрашенные в два цвета, мы посчитали дважды, поэтому остаётся  способов. При этом, очевидно, для каждого из трёх цветов есть по  способов таких, что клетка, соседняя не только с клетками квадрата, имеет именно этот цвет. Эту клетку назовём клеткой . Клетка  может быть покрашена двумя способами. Для каждого из этих способов есть  способов раскраски квадрата таких, что клетка  покрашена в тот же цвет. Тогда клетку между ними можно покрасить двумя способами, итого  варианта.

Кроме того, для каждого из способов покрасить клетку  есть  способов раскраски квадрата таких, что клетка  имеет другой цвет. В этом случае клетка между ними красится однозначно, поэтому опять получаем  способа. Итого  способов раскраски каждой такой фигуры.

Ответ: .

Комментарий. Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 7 баллов. Верно разобраны все случаи, но при итоговом подсчете допущена арифметическая ошибка – 6 баллов. Верно разобраны какие-то отдельные случаи – 2-3 балла. Приведен только ответ – 0 баллов. 

.

Всероссийская олимпиада школьников. Школьный этап 2017/18 уч.г.

Математика, 11 класс, решения

Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35

Вариант 2. Все задания по 7 баллов.

Критерии оценивания заданий.

*Указания к оцениванию  задач содержатся также в комментариях к решениям.

1) В кинотеатре  мест, расположенных в виде квадрата . Несколько зрителей разного роста сели на эти места, после чего каждый зритель заметил, что около него не более одного соседа по стороне или диагонали (всего не более  соседей) выше него ростом. Какое наибольшее количество зрителей может сидеть в зале?

Решение. В каждом квадрате  не более двух зрителей. Если бы это было не так, то у зрителя из этого квадрата с самым маленьким ростом было бы более одного «более высокого» соседа. Разбив зал на  квадратиков , убеждаемся, что в зале не более  зрителей. Пример: заняты все чётные ряды.

Ответ:  зрителей.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведена верная оценка наибольшего количества зрителей, но пример расположения отсутствует – 4 балла. Приведен верный ответ и пример расположения зрителей, но оценка наибольшего значения отсутствует или проведена неверно – 3 балла. За наличие потенциально полезных идей – 1-2 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.

2) Маша вычла из произведения целого числа  на целое число  произведение целого числа  на целое число  и заметила, что полученная разность делится на . Таня, наоборот, вычла из произведения  на  произведение  на . Верно ли, что полученная Таней разность делится на ?

Решение. Пусть . Тогда у Маши получилось число , а у Тани – число . Сумма этих чисел равна , то есть она делится на . Так как одно из двух слагаемых (число Маши) делится на , то и другое (число Тани) делится на , что и требовалось.

Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности – 6 баллов. Рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры – 2 балла. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.

3) Дан квадратный трехчлен . Известно, что  и  являются его корнями. Докажите, что .

Решение. Пусть  и  – данные корни. Тогда , так как  и  (основное тригонометрическое тождество). С другой стороны,  и  по теореме Виета. Следовательно,  Умножив полученное равенство  на  и перенеся  в правую часть, получаем  или .

Комментарий. Полное обоснованное решение – 7 баллов. Замечено, что сумма квадратов корней квадратного трехчлена равна единице – 2 балла. Записана теорема Виета при отсутствии дальнейшего продвижения – 1 балл. Приведено неверное доказательство – 0 баллов. 

4) Дан выпуклый четырёхугольник , в котором  и . В треугольнике  проведена биссектриса . Отрезки  и  пересекаются в точке , причем . Чему равно значение выражения ?

Решение. Пусть , ,  – точка пересечения  и . Треугольники  и  равны, откуда . Тогда  – биссектриса треугольника  и, значит,  – точка пересечения биссектрис треугольника  Поэтому  – биссектриса угла  и из равнобедренности треугольника  вытекает равенство . Так как треугольник  равнобедренный, мы получаем , откуда

Поэтому четырехугольник  – вписанный. Заметим, что  и  Тогда .

Ответ: .

Комментарий. Верное обоснованное решение – 7 баллов. В верном доказательстве имеются не вполне очевидные и не обоснованные переходы – 5 баллов. Если решение не доведено до конца, за доказательство полезных вспомогательных утверждений  2–3 балла.

5) Сколькими способами можно раскрасить фигуру, представленную на рисунке, в три цвета: синий, красный или белый, так, чтобы соседние клетки были покрашены в разные цвета? (Соседние клетки – клетки, имеющие общие стороны.)

Решение. Центральную клетку можно раскрасить тремя способами. После этого нам осталось раскрасить четыре одинаковых фигурки из шести клеток с одним и тем же ограничением на цвет клетки, соседней с центральной (назовём её клеткой ).

Рассмотрим квадрат . В таком квадрате должны быть две клетки одного цвета и расположены они должны быть по диагонали. Двумя способами выбираем диагональ, тремя способами её цвет и ещё по два способа на выбор цвета для остальных клеток, итого  способа. Однако при этом квадраты, покрашенные в два цвета, мы посчитали дважды, поэтому остаётся  способов. При этом, очевидно, для каждого из трёх цветов есть по  способов таких, что клетка, соседняя не только с клетками квадрата, имеет именно этот цвет. Эту клетку назовём клеткой . Клетка  может быть покрашена двумя способами. Для каждого из этих способов есть  способов раскраски квадрата таких, что клетка  покрашена в тот же цвет. Тогда клетку между ними можно покрасить двумя способами, итого  варианта.

Кроме того, для каждого из способов покрасить клетку  есть  способов раскраски квадрата таких, что клетка  имеет другой цвет. В этом случае клетка между ними красится однозначно, поэтому опять получаем  способа. Итого  способов раскраски каждой такой фигуры.

Ответ: .

Комментарий. Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 7 баллов. Верно разобраны все случаи, но при итоговом подсчете допущена арифметическая ошибка – 6 баллов. Верно разобраны какие-то отдельные случаи – 2-3 балла. Приведен только ответ – 0 баллов.