Системы линейных неравенств в школе
статья по математике

В данной статье я хочу поделиться своим опытом работы с системами линейных неравенств. Здесь рассматривается изучение темы на уроках математики в соответствии с ФГОС ООО. Учебный материал, связанный с линейными неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике организовано в отдельную содержательно-методическую линию. Материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования. В статье мною приводятся примеры системы неравенств, выделены значения, способствующие развитию учебных навыков учащихся основной школы в рамках изученной темы. Решить систему неравенств значит установить все значения переменной, при подстановке которых все неравенства системы имеют решение, либо доказать, что таких значений не существует. Последовательная и логично выстроенная подготовительная работа способствует развитию учебных навыков учащихся основной школы в рамках изучения системы линейных неравенств.

В соответствии с ФГОС ООО учебный предмет «Математика» является обязательным для изучения всеми учащимися, получающими основное общее образование, и служит структурным компонентом обязательной предметной области учебного плана основного общего образования «Естественно-научные предметы». Учебный материал, связанный с линейными неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике организовано в отдельную содержательно-методическую линию.

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину. Решить систему неравенств означает установить все значения неизвестной величины, при которых реализуются все неравенство системы, либо доказать, что таких не существует. Все решения системы неравенств формируют множество решений. Если система неравенств не реализуется ни при каких значениях х, то обозначают, что такие системы неравенств несовместимы. Область определения или область допустимых значений –это множество всех х при которых функция существует. Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е. под корнем стоит не отрицательное число. Линейные неравенства могут быть строгими - это определяется знаком неравенства >,<. Линейные неравенство нестрогие, если в них имеется следующий знак неравенства: ≥, ≤.         Если мы рассматриваем линейное уравнение, знаем, что на плоскости имеем право начертить прямую. Решением такого уравнения будет точка пересечения прямой с осью ОХ. Когда речь заходит о линейных неравенствах, это значит, что на плоскости мы имеем некоторое решение, которое находится в некотором диапазоне относительно построенной прямой. При рассмотрении систем линейных неравенств мы получаем две прямые на плоскости, которые ограничивают некоторый диапазон, в котором находятся все решения, удовлетворяющие неравенства.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств  задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например,  и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:

– система неравенств  задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);

– система неравенств  задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);

– система неравенств  задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что х не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая . Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости.

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:  

2. Если получилось ax ≤ b. Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.

Если a < 0, то знак меняется на противоположный.

Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков (табл.1).

Таблица 1.

Числовые промежутки

Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.

Последовательная и логично выстроенная подготовительная работа способствует развитию учебных навыков учащихся основной школы в рамках темы. Системы линейных неравенств – прекрасный материал для исследовательской работы, но в школьной программе для задач с параметрами не выделена отдельная тема потому, что материал достаточно сложный для всех учеников класса. Освоение данного материала требует большого количества времени. Но изучение данной темы не избежать в процессе обучения, так как задания, связанные с параметрами, включены и в задания ЕГЭ, и в задания ОГЭ.