Сборник старинных задач для обучающихся начальной школы
олимпиадные задания

Старинные задачи для 1 класса

1.  Задача-загадка «Коза».

Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля.

Спрашивается: по чему каждая коза пошла?

Решение: по земле.

2. Задача-шутка «Много ли ног?»

Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице.

Решение: две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы.

3. Задача-шутка «Одним мешком – два мешка».

Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить 2 мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница?

Решение: надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу.

4. Задача-загадка «Сколько уток?»

Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

Решение: всего летело три утки, одна за другой.

5. Задача-шутка «Возможно ли такое?»

Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а в ходьбе только четыре?

Решение: всадник на лошади.

6. Задача-загадка «Два отца и два сына».

Два отца и два сына поймали трех зайцев, а досталось каждому по одному зайцу. Спрашивается: как это могло случиться?

Решение: это были дедушка, его сын и внук. Из этих троих человек двое являются отцами и двое являются сыновьями.

7. Задача-загадка «Как это могло быть?»

У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

Решение: этот человек родился 29 февраля, т. е. день рождения у него бывает один раз в четыре года.

Старинные задачи для 2 класса.

1.  Житейские истории. «На мельнице».

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором – 54 четверти, а на третьем – 48 четвертей. Некто хочет смолоть на этих трех жерновах 81 четверть зерна за наименьшее время. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Решение:

1). 60 + 54 + 48 = 162 (четверти з.) – можно смолоть за сутки на 3 жерновах.

2). 162 : 81 = 2 (р.) – меньше нужно смолоть зерна.    (81 + 81 = 162: 2 раза по 81 ч.)

3). 24 : 2 = 12 (ч.) – наименьшее время. (24 ч: 2 р. по 12 ч.)

4). 60 : 2 = 30 (четвертей з.) – нужно насыпать в 1 жернов.

5). 54 : 2 = 27 (четвертей з.) – во 2 жернов.

6). 48 : 2 = 24 (четверти з.) – в 3 жернов.

Ответ:

за 12 часов можно смолоть зерно; насыпая в 1 жернов – 30 четвертей;

во 2 – 27 четвертей;

в 3 – 24 четверти зерна.

2.  Дележ и размен денег. «Размен по 2 и 3 копейки».

Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?

Решение (метод подбора):

Монет по 3 копейки должно быть нечетное число.

1 монета – 3 копейки; 11 монет по 2 копейки

3 · 1 + 2· 11 = 3 + 22 = 25

3 монеты – 3 копейки; 8 монет по 2 копейки

3 · 3 + 2 · 8 = 9 + 16 = 25

5 монет – 3 копейки; 5 монет по 2 копейки

3 · 5 + 2 · 5 = 15 + 10 = 25

7 монет – 3 копейки; 2 монеты по 2 копейки

 3 · 7 + 2 · 2 = 21 + 4 = 25

9 монет – 3 копейки

3 · 9 = 27 копеек > 25 копеек

Ответ: размен можно осуществить 4 способами.

3. Размен и дележ денег. «Размен по 3 и 5 копеек».

Как разменять 59 копеек пятнадцатью монетами по 3 и 5 копеек?

Решение:

I способ:

II способ:

1) 3 + 5 = 8 (к.) – по 1 монете.

2) 59 : 8 = 7 (ост. 3) (к.)

3) 5 · 7 + 3 · 8 = 59 (к.)

Ответ: 7 монет по 5 копеек; 8 монет по 3 копейки.

4. Сколько кому лет. «Сколько лет сыну?»

«Сколько лет твоему сыну?» - спросил один человек у своего приятеля. Приятель ответил: «Если к возрасту моего сына прибавить столько же да еще половину, то будет 10 лет». Сколько же лет сыну?

Решение:

Половина возраста – это одна часть, тогда

возраст сына - 2 части.

2 части + 2 части + 1 часть = 10

5 частей = 10

1 часть = 2 года

2 · 2 = 4 (г.)

Ответ: сыну 4 года.

5. Дележ и размен денег. «Сколько у кого денег?»

Двое крестьян поделили между собой 7 рублей, причем один получил на 3 рубля больше другого. Сколько денег досталось каждому из них?

Решение (метод подбора):

1) 7 = 1 + 6

     6 – 1 = 5 (5 > 3) не подходит по условию задачи

2) 7 = 2 + 5

    5 – 2 = 3 (3 = 3) подходит

3) 7 = 3 + 4

     4 – 3 = 1 (1 < 3) не подходит по условию задачи.

Ответ: 5 рублей получил первый крестьянин, 2 рубля получил второй.

6.  Часы. «Сколько раз бьют часы?»

Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов?

Решение:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 (уд.)

Ответ: 78 ударов отобьют часы за 12 часов.

7. Затруднительные ситуации. «Девичья хитрость».

Золотошвея, взяв в учение 20 девушек, разместила их в 8 комнатах. По вечерам она обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне дома было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подруги и остались ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать гостей и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки в двух последних случаях?

2  3  2

3      3

2  3  2

Решение:

1. 24 девушки                                                             2. 16 девушек

   1     5     1                                                                    3     1     3              

   5            5                                                                    1            1

   1     5     1                                                                    3     1     3

Старинные задачи для 3 класса

1. Забавные истории. «Смекалистый слуга».

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это – правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья». Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение:

▲ - сумма украденных денег          ● - жалованье слуги

▲ + 10 = ●

▲ + 20 = 2 · ●

2 · ● - ● = ▲ + 20 - ▲ - 10

● = 10 (р.)

▲ = 0 (р.)

Ответ:

постоялец не имел денег;

10 рублей в год получал слуга.

2. Житейские истории. «В жаркий день».

В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

Решение:

Сколько косцов выпьет этот бочонок за 1 ч.?

(косцов потребуется в 8 р. больше)

1. 6 · 8 = 48 (к.)

Сколько косцов выпьет этот бочонок за 3 ч.? (в 3 р. меньше)

2. 48 : 3 = 16 (к.)

Ответ: 16 косцов выпьют такой же бочонок за 3 часа.

3. Житейские истории. «Бочонок кваса».

Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

Решение:

Сколько бочонков выпивает муж один и с женой за 140 дней?

1) 140 : 14 = 10 (б.) – выпивает один муж

2) 140 : 10 = 14 (б.) – выпивает муж с женой

3) 14 – 10 = 4 (б.) – выпивает одна жена

4) 140 : 4 = 35 (дн.)

Ответ: за 35 дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

4. Житейские истории. «Сколько яиц в лукошке?»

Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я клал их по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне, сколько в том лукошке яиц было».

Решение:

Нужно найти число, которое делится нацело на 7, а при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1. Если искомое число уменьшить на 1, то получится число, делящееся на 2, 3, 4, 5 и 6.

Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2, 3, 4, 5 и 6, есть 60. Значит, нужно найти такое число, которое делилось бы на 7 нацело и было бы вместе с тем на 1 больше числа, делящегося на 60.

Рассмотрим числа 61, 121, 181, 241, 301 и т. д. Первое из выписанных чисел, делящееся на 7, есть 301.

Ответ: 301 яйцо было в лукошке.

5. Денежные расчеты. «Покупка птиц».

Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел ему покупать по 3 копейки за штуку, уток по копейке за штуку, а малых чирков по два на копейку. Сколько гусей, сколько уток и сколько малых чирков купил работник? (1 алтын = 3 копейки)

Решение:

1) 3 · 16 = 48 (к.) – дали работнику.

2) 20 птиц:

      15 гусей по 3 копейки

      1 утка по 1 копейке

      2 пары чирков по 1 копейке (4 чирка по 2 копейки) 

Ответ: 15 гусей, 1 утка и 4 малых чирка купил работник.

6. Сколько кому лет. «Каков возраст братьев?»

Средний из трех братьев старше младшего на два года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами. Найти возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.

Решение:

Ст. – ?, на 4 года >, чем средний + младший

Ср. - ?                                                                       96 лет

Мл. - ?, на 2 года <, чем средний

1) 2 + 2 + 4 = 8 (л.) – больше

2) 96 – 8 = 88 (л.) – поровну в 4 частях

3) 88 : 4 = 22 (г.) – младшему

4) 22 + 2 = 24 (г.) – среднему

5) 22 + 24 + 4 = 50 (л.) – старшему.

Ответ:

22 года – младшему брату,

24 года – среднему брату,

50 лет – старшему брату.

7. Денежные расчеты. «Четыре купца».

Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложив свои деньги без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей, сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько денег у каждого купца?

(2-й + 3-й + 4-й = 90 (р.); 1-й + 3-й + 4-й = 85 (р.); 1-й + 2-й + 4-й = 80 (р.); 1-й + 2-й + 3-й = 75 (р.))

Решение:

1) + 2) + 3) + 4):

1) 3 · (1-й + 2-й + 3-й + 4-й) = 90 + 85 + 80 + 75

    3 · (1-й + 2-й + 3-й + 4-й) = 330.

    1-й + 2-й + 3-й + 4-й = 110 (р.) – всего у 4-х купцов.

2) 110 – 90 = 20 (р.) – у 1-ого купца.

3) 110 – 85 = 25 (р.) – у 2-ого купца.

4) 110 – 80 = 30 (р.) – у 3-ого купца.

5) 110 – 75 = 35 (р.) – у 4-ого купца.

Ответ: 20 рублей, 25 рублей, 30 рублей, 35 рублей.

Старинные задачи для 4 класса

1. Житейские истории. «Собака и заяц».

Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака – за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

Решение:

1) 500 : 2 = 250 (с/мин) – скорость зайца.

2) 1300 : 5 = 260 (с/мин) – скорость собаки.

3) 260 – 250 = 10 (с/мин) – скорость догонки.

4) 150 : 10 = 15 (мин.)

Ответ: за 15 мин собака догонит зайца.

2. Путешествия. «Из Москвы в Вологду».

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?

Решение:

1) 45 – 40 = 5 (в/д) – скорость догонки.

2) 40 : 5 = 8 (д.)

Ответ: на 8 день второй догонит первого.

3. Путешествия. «Через сколько дней путники встретятся?»

Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

Решение:

1) 40 + 30 = 70 (в/д) – скорость сближения.

2) 700 : 70 = 10 (д.)

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

4. Путешествия. «Путешественники».

Один путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:

Сколько таких расстояний пройдет каждый из путешественников за 30 дней?

1) 30 : 10 = 3 (расстояния) – пройдет первый

2) 30 : 15 = 2 (расстояния) – пройдет второй

3) 3 + 2 = 5 (расстояний) – проходят вместе

4) 30 : 5 = 6 (дн.)

Ответ: через 6 дней путешественники встретятся.

5. Путешествия. «Два воина».

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно с ним и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день – 2 версты, в третий день – 3 версты, в четвертый – 4 версты, в пятый – 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого. Через сколько дней второй воин настигнет первого?

Решение:

1) 12 – 1 = 11 (в.) – отставание в первый день

2) 12 – 2 = 10 (в.) – отставание во второй день

3) 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 66 (в.) – отставание на 12-й день

На 13-й день расстояние начнет между ними сокращаться.

4) 13 – 12 = 1 (в.)

5) 14 – 12 = 2 (в.)

6) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 (в.) – расстояние уменьшится на 23-й день.

Ответ: через 23 дня второй воин настигнет первого.

6. Денежные расчеты. «За какое время окупятся куры?»

Один человек купил три курицы и заплатил за них 46 копеек. Первая курица несла по 3 яйца через 4 дня, вторая – по 2 яйца через 3 дня, а третья – по 1 яйцу через 2 дня. Продавал он яйца по 5 штук за полкопейки. За какое время окупятся куры? ( 10 штук за 1 копейку).

Решение:

1) 10 · 46 = 460 (шт.) – яиц нужно для того, чтобы окупились куры

2) 3 · 3 + 2 · 4 + 1 · 6 = 9 + 8 + 6 = 23 (яйца) – за 12 дней

3) 460 : 23 = 20 (р.) – по 12 дней

4) 12 · 20 = 240 (дн.)

Ответ: за 240 дней окупятся куры.

7. О правилах «фальшивых», или «гадательных».

«Какова цена сукна?»

Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна, 13 рулонов черного, 5 красного, 19 зеленого, 7 лазоревого и уплатил за них 486 рублей. Цена же их была неравная: за черный рулон он платил на четыре рубля больше, чем за белый, за красный – на три рубля меньше, чем за черный, за зеленый на два рубля меньше, чем за красный, а за лазоревый на один рубль больше, чем за зеленый. Сколько денег он платил за каждый рулон?

Решение:

Самый дешевый это зеленый рулон. Найдем насколько каждый раз  переплачивали за все остальные рулоны.

1) 1 · 20 + 5 · 13 + 2 · 5 + 1 · 7 = 102 (р.) – переплатили за остальные рулоны

2) 486 – 102 = 384 (р.) – всего заплатили за 64 рулона по одинаковой цене

3) 384 : 64 = 6 (р.) – стоит 1 рулон зеленого сукна

4) 6 + 2 = 8 (р.) – стоит 1 рулон красного сукна

5) 6 + 1 = 7 (р.) - стоит 1 рулон лазоревого сукна

6) 8 + 3 = 11 (р.) - стоит 1 рулон черного сукна

7) 11 – 4 = 7 (р.) - стоит 1 рулон белого сукна

Ответ: 6 рублей – за зеленый, 7 рублей – за белый и лазоревый,

8 рублей – за красный, 11 рублей – за черный рулон.