История развития числа и счета, письменной нумерации.
учебно-методический материал

История развития числа и счета, письменной нумерации.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами - результат будет разный).

Развитие понятия натурального числа

Изучение истории математики  в периода ее зарождения, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множестве, числе, величине, об арифметических действиях, системах счисления и других и использовать эти закономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях  развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло собой также отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии - чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами другой совокупности или непосредственно с помощью некоторого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой перехода к счету. Однако число как общее свойство равночисленных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д.

Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах или стадией ручного счета.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если совокупность имела больше 33 элементов, использовали палочки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возможность использования частей тела, начинали пользоваться палочками (причем все палочки были приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каждого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обеих совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого

способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник М.М.Миклухо-Маклай (1846—1888) описывает жизнь папуасов - жителей Новой Гвинеи, любимый способ счета которых состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, например ≪бе, бе, бе,...≫. Досчитавши до 5, он говорит ≪ибонбе≫ (рука), потом загибает пальцы другой руки, снова повторяет ≪бе, бе, бе, ...≫, пока не дойдет до ≪ибон-али≫ (две руки). Тогда он идет дальше, пока не дойдет до ≪самба-али≫(две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше совокупностей приходилось пересчитывать, простое установление равночисленности и счета на пальцах уже не могло удовлетворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет больших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую систему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами  (парами, тройками, десятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-банара» —10 корзин с едой, но отдельно «на», которому бы соответствовало число 10, не используется.

Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у них нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и отображать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностями, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пережило все человечество. Во всех языках, в том числе и славянском, есть такие грамматические формы, как единичная, двойственная и множественная. Слово, которое обозначает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройственности. Эти речевые формы  - пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становится мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно

привело к тому, что позднее начала осознаваться количественная сторона этой группы. Количественная характеристика группы предметов постепенно приобретает самостоятельное значение. Так возникло понятие числа и его название, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались, прежде всего, для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так, например, возникло слово-число сорок. В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова сорок, или сорочок, тот же самый, что и в слове сорочка. На шубу шло 40штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или сорочок, соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.

        Выражение сорок сороков, часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.

        Что касается счета сороками, то есть и еще одно предположение, что это исходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев. Таким образом досчитывали до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.

Первые числа были своеобразными «островами», определенными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десятками, дюжинами некоторых предметов, т.е. числа-совокупности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа - это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами. Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для характеристики определенного способа действий с конкретным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание первых двух десятков предметов не сопровождается этими словами-классификаторами. А счет последующих единиц словесно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть».

Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут  за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих языках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннадцати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу на следует понимать именно как положенное на. Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд натуральных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI=5+1;ХС=100-10 и т.д.    

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был однородным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобретало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было основой для возникновения запретов, связанных с этими числами. Некоторые из этих поверий сохранились до настоящего времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бесконечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы большое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом осмыслении арифметики.

Упражнения для самопроверки

Понятие натурального ... возникло на заре развития человеческого обще-            

ства. Сначала человек научился отделять ... как основное качество ... от других качеств (пространственных и количественных).  На этой стадии развития в понятии ...отражались свойства,... готовых (стандартных) множеств.

В практической деятельности человеку приходилось сравнивать множества, устанавливать взаимно-... соответствие, т.е При этом широко использовались части собственного тела (пальцы рук), отсюда и название... счет.

Числа-совокупности были прообразами ... чисел. Первые натуральные числа были островками и называются... числами.... числа появились как результат операций с узловыми числами.

Постепенно определился последовательный ряд ... чисел — натуральный ряд.

количество числа множества

числа качества однозначное

считать ручной

натуральных узловыми

алгорифмические

натуральных

Возникновение натурального числа появилось на позднем этапе развития мышления, т.к. предполагает способность к созданию и оперированию абстрактными понятиями. Чтобы усмотреть общее между множеством, состоящим из пяти рыб и множеством из шести звезд, нужна высокая степень умения абстрагироваться от второстепенного, умение выделять главное.

На раннем этапе формирования понятия числа устанавливалась равночисленность множеств. Н-р, люди знали, что два охотника добыли одинаковое количество дичи, но числом это не выражали.

Затем возникла необходимость  выражать численность одних множеств через численность других. Однако, в качестве эталонов выступают различные множества, состоящие из подручных предметов. Н-р, поймал столько рыбы, сколько крючков в ведре.

Позже определенное множество выступает в качестве единственного эталона количества. Н-р, пальцы на руках, ногах.

Позже общее свойство всех равночисленных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в «чистом» виде, т.е. как абстрактное понятие натурального числа. (рука дичи, рука и нога)

Далее в качестве эталона численности выступают сами натуральные числа, когда люди говорят не «рука яблок», а пять яблок (в слове пять сохранилось воспоминание о пясти, т.е. ладони)

И наконец, в дальнейшем возникает понятие о больших натуральных числах, бесконечного множества натуральных чисел.

В математике известны различные теории натуральных чисел, среди которых количественная и порядковая.