Нестандартные задачи
учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему

Нестандартные задачи на уроках математики
в 3-м классе

Предлагаемый вашему вниманию материал является продолжением аналогичных задач для 1-го класса (см. № 41/2001) и для 2-го класса (см. № 12/2002).

К учителю

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требовании.

Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах:

"Маша пробежала 100 м, а навстречу ей...",
"Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго ...",
"Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик...".

В тексте важно все: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика. И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторые математические задачи можно инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения.

Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:

• о числе элементов некоторого множества;
• о движении, его скорости, пути и времени;
• о цене и стоимости;
• о работе, ее времени, объеме и производительности труда.

Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.

Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!

Нестандартные задачи нужно решать в классе ежедневно. Их можно черпать в учебниках математики для 5-6-го классов и в журналах "Начальная школа", "Математика в школе" и даже "Квант".

Число задач таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной на урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе. Среди предлагаемых задач есть такие, которые сильный ученик решает моментально. Тем не менее нужно требовать и от сильных детей достаточной аргументации, объясняя, что на легких задачах человек учится способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логичных рассуждений. В крайнем случае, можно добиваться от сильных учеников таких рассуждений, требуя построить объяснение, понятное для других – для тех, кто не понимает быстрого решения.

Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят это, – замечательно. Учитель может и сам показывать это. Однако недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во-вторых, в нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.

Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем уроков математики в учебном году). Возможно, Вам захочется поменять порядок следования задач или добавить задачу, которой здесь нет.

Тексты задач и их решение

1. 1 февраля 1999 г. был понедельник. Каким днем недели было 1 марта 1999 г.?

Решение. Задачи на эту тему актуальны в переживаемом нами начале века и тысячелетия, их несколько в этой книжке (№ 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121 и 141). Все они решаются подсчетом остатка от деления некоторого числа дней на число дней в неделе – на 7. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 1999 г. до 1 марта 1999 г. (так как 1999 г. был невисокосным, то в феврале было 28 дней); каким днем является день "понедельник + 28 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "понедельник + 28 дней" – снова понедельник).

Ответ: 1 марта 1999 г. был понедельник.Полезно составить календарь на февраль 1999 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный.

2. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – 1, 2 или 3?

Решение. На первое место можно поставить любую из трех данных цифр. На второе – тоже любую из этих трех цифр. Значит, первые два места могут быть заняты девятью способами: 11_ , 12 _, 13 _, 21 _, 22 _, 23 _,31 _, 32 _, 33 _. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из тех же трех цифр. Значит, все число можно записать 27 разными способами, от 111 до 333.
Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из трех цифр, второй – любая из трех цифр, третьей – любая из трех цифр; значит, всего таких чисел 3 x 3 x 3 = 27.

Ответ: 27 чисел.

3. Петя нашел один гриб, Коля – два, а Паша – три. Мама дала им 18 орехов и велела разделить их по заслугам. Сколько орехов получил каждый?

Решение. Паша собрал ровно половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов – девять. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал вдвое больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть.

Ответ: Петя – 3, Коля – 6, Паша – 9.

4. Во сколько вопросов можно узнать день рождения человека, если он на каждый вопрос отвечает "да" или "нет" (и всегда правдив)?

Решение. Один из 12 месяцев можно узнать в 4 вопроса (так как 12 > 8 и 12 < 16). Вопросы могут быть такими:
Родились ли вы в первом полугодии?
Родились ли вы в первом квартале полугодия?
Родились ли вы в первом месяце квартала?
(Задается, если на третий вопрос получен Ответ "нет") Родились ли вы во втором месяце квартала?
Число в данном месяце определяется в 5 вопросов (так как в месяце больше 16 дней и не больше 32). Эти вопросы могут быть такими:
Родились ли вы с 1 по 16 число?
Родились ли вы в первые 8 из тех 16 дней, которые определены предыдущим ответом?
Родились ли вы в первые 4 из тех 8 дней, которые определены предыдущим ответом?
Родились ли вы в первые 2 из тех 4 дней, которые определены предыдущим ответом?
Родились ли вы в первый из тех 2 дней, которые определены предыдущим ответом?
Нужно проиграть эти вопросы для разных случаев (подробно об этом говорится в моей книжке "Нестандартные задачи во втором классе").

Ответ: 9 вопросов.

5. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Решение. Сравниваем две монеты взвешиванием; если они уравновесятся, то фальшивая монета – третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она – фальшивая.

6. Перерисуй по клеткам отрезок АВ.

7. Третьеклассник Валера выполнял заданный на дом пример, когда началась его любимая передача. Его младшая сестренка Даша, любившая больше математику, чем мультики, подошла к столу и увидела такую запись в Валериной тетрадке:

Даша не знала таблицу умножения, но умела складывать любые числа и была сообразительной девочкой. Поэтому она сумела закончить пример, так что Валера даже сказал ей спасибо. Как Даша смогла это сделать?

Решение. Результаты умножения числа 952 на 3 и на 4 уже известны. Осталось умножить 952 на 7. Это можно сделать, сложив имеющиеся произведения, так как 7 = 3 + 4. Затем можно сообразить, куда вписать полученный результат, и произвести окончательное сложение.

Ответ:

8. Попытайся понять, как составлена эта последовательность: 720, 360, 120, 30. Напиши еще два ее члена.

Решение получается в результате обсуждения способов получения 360 из 720 и так далее. 360 можно получить из 720 вычитанием или делением. Вычитание числа 360 не приводит к получению третьего числа. Деление на 2 – приводит. Следующее число получается делением на 3, так как 360 : 3 = 120. Число 30 получается делением 120 на 4.

Ответ: Каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, деленному на 2, затем на 3 и т.д. Разделив 30 на 5, получаем 6, разделив 6 на 6, получаем 1.

9. Отец старше сына на 30 лет. Сохранится ли это соотношение на будущий год?

Решение. На будущий год отец станет на 1 год старше и сын станет на 1 год старше. Поэтому разность между их возрастами не изменится. Можно подойти к решению и немного иначе, сказав, что отцу в момент рождения сына было 30 лет, и этот факт не меняется с годами.

Ответ: да.

10. Илья стоит в хороводе. Пятый слева от Ильи тот же, что и шестой справа. Сколько людей в хороводе?

Решение. Между Ильей и пятым слева (назовем его Жорой) 4 человека. Между Ильей и шестым справа (а это тот же Жора) 5 человек. Итого в хороводе Илья, Жора и еще 4 + 5 = 9 человек.

Ответ: 11.

11. В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по 4 колеса. Сколько каких автомобилей в гараже, если колес всего 3024?

Решение.

Сколько было бы колес, если бы все автомобили были легковыми?

4 x 750 = 3000.

Сколько колес имеется потому, что среди автомобилей есть грузовые?

3024 – 3000 = 24.

На сколько колес у грузового автомобиля больше, чем у легкового?

6 – 4 = 2.

Сколько автомобилей – грузовые?

24 : 2 = 12.

Сколько автомобилей – легковые?

750 – 12 = 738.

Решение полезно проверить:

Сколько колес у 738 легковых автомобилей?

4 x 738 = 2952.

Сколько колес у 12 грузовых автомобилей?

6 x 12 = 72.

Сколько всего колес?

2952 + 72 = 3024.

Ответ: 738 легковых и 12 грузовых.

12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – нечетные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти нечетных цифр. На второе – любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты двадцатью способами: 13 _, 15 _, 17_, 19 _; 31_ ,35_, 37 _, 39_; 51 _, 53 _, 57_, 59 _; 71_ ,73_, 75 _, 79_; 91_, 93_ , 95_, 97_.
В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 13_ третье место можно занять цифрами 5, 7 или 9. Значит, всего чисел получится 60. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из пяти цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 5 x 4 x 3 = 60.

Ответ: 60 чисел.

13. Путь, который прошли туристы за понедельник, изображается на карте отрезком в 3 см, а путь, пройденный во вторник, – отрезком в 15 мм. В какой день они прошли больше и во сколько раз?

Решение. Отрезок в 15 мм в два раза меньше, чем отрезок в 3 см. Поэтому во вторник туристы прошли меньше, чем в понедельник, и притом в два раза.

Ответ: В понедельник пройден путь в два раза больший, чем во вторник.

14. Человек отвечает на вопросы только "да" или "нет" и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: "Ты уже соврал?", и он ответил "Нет". Остается ли за ним право соврать при ответе на следующие вопросы?

Решение. Он не мог соврать, потому что это была бы вторая ложь. Поэтому право соврать один раз за ним остается.

Ответ: да.

15. Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепочки. И они, поразмыслив, смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. Как они это сделали?

Решение. Чтобы в первый день отдать одно кольцо, придется его отпилить. Но это можно сделать так, чтобы от цепи отделилось еще одно кольцо или еще два кольца для расплаты за следующий день. Более выгоден второй вариант.

Ответ: Если распилить одно только третье кольцо, то можно расплачиваться за каждый день. В первый день отдать распиленное кольцо, во второй забрать его и отдать два отпиленных кольца, в третий день добавить к ним распиленное кольцо, в четвертый день забрать все обратно и отдать четыре кольца и т.д.

16. Перерисуй по клеткам.

17. Какой цифрой оканчивается выражение 2974 x  5698 – 4325 x 1748?

Решение. Первое произведение оканчивается на 2, второе на 0, значит, разность оканчивается на 2.

Ответ: 2.

18. Гном разложил свои сокровища в 3 сундука разного цвета, стоящих у стены: в один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, в третий – магические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги – правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зеленый сундук стоит левее синего?

Решение. По условию, сундук с камнями левее красного, а сундук с книгами правее красного. Значит, красный сундук стоит посередине и в нем лежат золотые монеты. Так как зеленый и синий сундук – крайние и зеленый стоит левее синего, то зеленый – крайний слева, а синий – крайний справа. Вспоминая, что камни левее, а книги правее красного сундука, приходим к выводу, что камни лежат в зеленом, а книги – в синем сундуке.

Ответ: в синем.

19. Из 15 котят 8 рыжих и 7 пушистых, и других нет. Есть ли среди этих котят хоть один рыжий и пушистый одновременно?

Решение. Нарисуем два пересекающихся круга. Левый пусть обозначает рыжих котят, а правый – пушистых котят. Возможны разные варианты рисунка. На первом имеются котята, рыжие и пушистые одновременно. На втором таких котят нет. Если бы правильным был первый рисунок, то тогда рыжих не пушистых котят было бы меньше восьми на то число, сколько котят находятся в общей части кругов (на нашем рисунке таких котят два), пушистых не рыжих было бы меньше семи на то же число (у нас на 2). Значит, всего котят было бы меньше 15. А на втором рисунке их как раз 15. Значит, правильный – второй рисунок.

Ответ: нет.

20. Однажды древнеримский полководец Юлий Цезарь послал тайное письмо, в котором каждая буква была заменена третьей от нее по алфавиту, расположенному кольцом. Расположи этим способом русский алфавит и зашифруй шифром Цезаря фразу "Век живи, век учись".

Ответ: ЕИН КМЕМ, ЕИН ЦЪМФЯ.

21. 1 февраля 1996 г. был четверг. Каким днем недели было 1 марта 1996 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 1996 г. до 1 марта 1996 г. (так как 1996 г. был високосным, то в феврале было 29 дней); каким днем является день "четверг + 29 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "четверг + 28 дней" – снова четверг, а "четверг + 29 дней" – пятница).

Ответ: 1 марта 1996 г. была пятница.
Полезно составить календарь на февраль 1996 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный.

22. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются?

Решение. На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр (трехзначное число не может начинаться нулем). На второе место можно поставить любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты шестнадцатью способами: 20 _, 24 _, 26_, 28 _; 40_ , 42_, 46 _, 48_; 60_, 62_, 64_, 68 _; 80_ , 82_, 84_, 86_. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из трех оставшихся цифр. Например, в случае 20_ третье место можно занять цифрами 4, 6 или 8. Значит, всего чисел получится 48. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из четырех оставшихся цифр, третьей – любая из трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 4 x 4 x 3 = 48.

Ответ: 48 чисел.

23. Масштаб карты равен 1:300000. Сколько километров в 1 см этой карты?

Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:300000, значит, в 1 см карты содержится 300000 см, то есть 3 км.

Ответ: 3 км.

24. Три брата пришли на постоялый двор, заказали пельмени и улеглись спать. Когда старший брат проснулся, он увидел на столе пельмени, пересчитал их и съел свою долю. После этого он снова уснул. Проснулся средний брат, пересчитал пельмени на столе и съел одну треть, не зная, что старший брат уже поел. После этого средний брат тоже уснул. Наконец, проснулся младший брат. Он съел третью часть имевшихся на столе пельменей. После этого он разбудил старшего и среднего брата и предложил им съесть оставшиеся 24 пельменя. Как должны братья разделить эти пельмени между собой?

Решение. Составим таблицу и будем ее заполнять.

Младший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 24 пельменя осталось. Значит, он съел 12 пельменей, и перед ним было 36 пельменей:

Средний брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 36 пельменей осталось. Значит, он съел 18 пельменей, и перед ним было 54 пельменя:

Старший брат съел одну треть всех имевшихся перед ним пельменей, после чего 54 пельменя осталось. Значит, он съел 27 пельменей, и перед ним был 81пельмень:

Итак, всего был 81 пельмень, а значит, каждому полагалось по 81 : 3 = 27 пельменей. Старший брат уже съел все полагавшиеся ему пельмени, средний съел 18, и еще 9 ему полагается, а остальные 15 пельменей полагаются младшему брату.

Ответ: Старшему – 0, среднему – 9, младшему – 15.

25. Среди трех монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как одним взвешиванием установить, какая монета фальшивая?

Решение. См. задачу 5.

26. Имеется пакет емкостью 600 г и салфетка. Как отмерить в мешок ровно 1 кг чая из ящика, содержащего 1кг 100 г чая?

Решение. 1) Отсыпать из ящика в пакет 600 г. 2) Пересыпать их из пакета в мешок. 3) Остальные 500 г высыпать из ящика в пакет. 4) Накрыть чай в пакете салфеткой и поверх нее насыпать (до края) 100 г из мешка. 5) Пересыпать 100 г с салфетки в ящик. 6) Остальные 1000 г высыпать в мешок. Все эти этапы представлены на следующей схеме.

27. Какой цифрой оканчивается выражение 8977 x x 3249 + 387387 : 819 – 851 x 243?

Решение. Первое произведение оканчивается на 3, частное – на 3, второе произведение – на 3. Окончательный результат оканчивается на 3.

Ответ: 3.

28. Составь магический квадрат 5х5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке.

Решение. Для этого в каждой строке и в каждом столбце должны находиться все числа от 1 до 5.

Ответ: например, так:

29. 4 человека стоят у лифта 5-этажного дома. Все они живут на разных этажах, от второго до пятого. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж – неудовольствие, подняться на один этаж – двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?

Решение. Прежде чем решать эту задачу, надо хорошо понять ее необычные условия. Для этого полезно разобрать, что получится, если лифт остановится, например, на четвертом этаже. Тогда без неудовольствий окажется жилец 4 этажа. Жилец 5 этажа получит двойное неудовольствие, так как ему придется подняться на один этаж (с 4 на 5). Жилец 3 этажа получит одно неудовольствие, жилец
2 этажа – два неудовольствия. Впрочем, еще лучше, если жилец 2 этажа поднимется пешком с 1 этажа на 2: неудовольствий столько же, а лифт не перегружен. Итого, если лифт остановится на 4 этаже, получится 2 + 1 + 2 = 5 неудовольствий.

Ответ: на четвертом этаже.

30. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.

Решение. Надо находить суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов ряда. Они равны между собой: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Таких пар, а значит, таких сумм будет 100 : 2 = 50. Значит, общая сумма равна 101 x 50 = 5050.

Ответ: 5050.

31. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 198675 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые?

Решение. Сумма первых трех цифр равна 1 + 9 + 8 = 18, и эти цифры долго не менялись и долго не будут меняться.. Менялись и будут меняться последние цифры, но их сумма должна быть равна тоже 18. Первая из этих трех цифр 6 долго не менялась и не будет меняться. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 12. Перед числом 75 такое ближайшее число 66, а после 75 – число 84.

Ответ: 198666 и 198684.

32. Сколько существует круглых четырехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?

Решение. Так как числа круглые, то они оканчиваются нулем, а так как ни одна цифра не повторяется, то на первые три места можно ставить любые из оставшихся четырех четных цифр (не повторяя их). На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр, от 2 до 8. На второе – любую из трех оставшихся цифр. Значит, первые два места могут быть заняты двенадцатью способами: 24_0, 26_0, 28_0; 42_0, 46_0, 48_0; 62_0, 64_0, 68_0; 82_0, 84_0, 86_0. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из двух оставшихся цифр. Например, в случае 24_0 третье место можно занять цифрами 6 или 8. Значит, всего чисел получится 24. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из трех оставшихся цифр, третьей – любая из двух оставшихся цифр, четвертой – только одна цифра нуль; значит, всего таких чисел 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Ответ: 24 числа.

33. Масштаб карты равен 1:400000. Сколько километров в 1 см этой карты?

Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:400000, значит, в 1 см карты содержится 400000 см, то есть 4 км.

Ответ: 4 км.

34. Какое число в задаче на вычисление пропущено: 51 : ... – 12?

Решение. Здесь пропущено число, на которое делится число 51, то есть либо пропущено число 1, либо 3, либо 17, либо 51. Но если пропущено 17 или 51, то получатся выражения, не имеющие смысла: 51 : 17 – 12 или 51 : 51 – 12.

Ответ: 1 или 3.

35. Куплены русская, немецкая, французская и английская марки. Стоимость покупки без русской марки 40 р., без немецкой – 45 р., без французской – 44 р., а без английской – 27 р. Сколько стоит русская марка?

Решение. Обозначим цену русской марки буквой р, немецкой – буквой н, французской – буквой ф, английской – буквой а. Тогда

н + ф + а = 40,

р + ф + а = 45,

р + н + а = 44,

р + н + ф = 27.

Сложив все эти равенства, получим

3р + 3н + 3ф + 3а = 156,

р + н + ф + а = 52, р = 12.

Ответ: 12 р.

Облегчить понимание этого решения можно, несколько переформулировав задачу.

35а. Коля, Петя, Вася и Леша покупали марки. На прилавке они увидели русскую, немецкую, французскую и английскую марки. Продавец сказал, что таких марок в магазине много. Коля купил немецкую, французскую и английскую марки, Петя – русскую, французскую и английскую марки , Вася – русскую, немецкую и английскую марки, Леша –русскую, немецкую и французскую. Узнай, сколько стоит русская марка, если известно, что Коля заплатил 40 р., Петя 45 р., Вася 44 р., Леша 27 р.

Решение. 1) Сколько заплатили вместе все четверо? 40 + 45 + 44 + 27 = 156 (р.).
По сколько марок каждой страны они купили? 4 – 1 = 3.
Сколько стоят вместе одна русская, одна немецкая, одна французская и одна английская марки? 156 : 3 = 52 (р.).
Сколько стоит одна русская марка? 52 – 40 = 12 (р.).

Ответ: 12 р.

36. Перерисуй по клеткам отрезок АВ.

Решение. От точки А можно придти в точку В, пройдя четыре клетки вправо и столько же вверх.

37. Какой цифрой оканчивается выражение

4891 x 4892 x 4893 x 4894 x 4895?

Решение. Так как в произведение входят числа 4892 и 4895, то оно оканчивается нулем.

Ответ: 0.

38. Продолжи последовательность: 2, 3, 5, 8.

Решение. 3 из 2 можно получить прибавлением единицы, 5 из 3 можно получить прибавлением двойки, 8 из 5 – прибавлением тройки. Можно и дальше прибавлять к числу на 1 больше, чем в предыдущем случае.

Ответ. 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... .

39. Перед нами стоят три закрытых ящика. Известно, что в одном ящике лежат два белых шарика, в другом – два черных, а в третьем ящике лежит один белый шарик и один черный. На каждом ящике имеется этикетка с надписью. На одном ящике написано: "Два белых", на другом написано "Два черных", на третьем "Один белый и один черный". Известно, что ни одна надпись не соответствует действительности. Нужно установить, какие шарики лежат в каком ящике. Для этого разрешается вынуть один шарик на ощупь из одного ящика. Из какого ящика нужно вынуть шарик?

Решение. Надо вынуть шарик из ящика с надписью "Один белый и один черный". Эта мысль может родиться из соображений симметрии: только этот ящик "симметричен сам себе", не имеет другого симметричного. Если мы вынем белый шарик, в этом ящике лежат два белых шарика, а если черный – два черных.

Ответ: из ящика с надписью "Один белый и один черный".

40. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(483 – 15) x (869 – ___) = 0.

Решение. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Первый множитель не равен нулю, значит, равен нулю второй множитель. Получается, что 869 – ___ = 0, а значит, пропущено число 869.

Ответ: 869.

41. 1 февраля 2000 г. был вторник. Каким днем недели было 1 марта 2000 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 2000 г. до 1 марта 2000 г. (так как 2000 г. был високосным, то в феврале было 29 дней); каким днем является день "вторник + 29 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "вторник + 29 дней" – среда).

Ответ: 1 марта 2000 г. была среда.

42. В столовой можно взять щи, бульон, гороховый суп, жареную рыбу и мясные котлеты. Сколько разных обедов из двух блюд – первого и второго – можно заказать в этой столовой?

Решение. На первое можно взять одно из трех блюд, которые можно кратко обозначить Щ, Б, Г. На второе можно взять любое из двух блюд: Р или К. Значит, весь обед может быть записан так: ЩР, ЩК, БР, БК, ГР или ГК.

Ответ: 6 обедов.

43. Масштаб плана равен 1 : 10. Какой отрезок обозначается на этом плане отрезком 1 см. Начерти план своего класса в этом масштабе.

Решение. Если масштаб плана 1 : 10, значит, в 1 см плана содержится 10 см, то есть 1 дм.

Ответ: 1 дм.

44. Электрические настенные часы со стрелками отстают каждые сутки на 6 минут. Хозяин поставил их на верное время, а сам уехал в командировку. Когда он вернулся, часы опять показывали верное время. Сколько суток он отсутствовал?

Решение. Часовой циферблат разделен на 12 частей, то есть на 12 часов. Отставая каждые сутки на 6 минут, часы снова будут показывать точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 12 час : 6 мин = (12 x 60) мин : 6 мин = 120 оборотов, или через 60 суток.

Ответ: хозяин отсутствовал 60 суток или несколько раз по 60 суток.

45. Среди девяти монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко тяжелее настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как двумя взвешиваниями установить, какая монета фальшивая?

Решение. Надо вспомнить задачи на взвешивание, когда монет всего три (см. задачи 5 и 25). Нам требуется первым взвешиванием установить, в какой тройке монет находится фальшивая, а вторым взвешиванием найти эту монету.

Ответ: первым взвешиванием сравниваем две тройки из данных девяти монет; если тройки уравновесятся, то фальшивая монета в третьей тройке, если одна из троек окажется тяжелее, то фальшивая монета в ней. Вторым взвешиванием сравниваем две монеты из той тройки, в которой находится фальшивая монета; если монеты уравновесятся, то фальшивая монета – третья, если одна из монет окажется тяжелее, то она – фальшивая.

46. Перерисуй по клеткам отрезок АВ.

Решение. От точки А можно придти в точку В, пройдя пять клеток вправо и три вниз.

47. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 7 x 8 x 7 x 8 x 7 x 8?

Решение. Данное выражение есть произведение трех чисел 56, оканчивающихся на 6. Произведение таких чисел оканчивается также на 6.

Ответ: 6.

48. Две ученицы, Люда и Валя, победили в математической олимпиаде. Нужно было выяснить, кому из них дать первую премию, а кому вторую. Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие, попросил их зажмуриться и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. После этого он сказал, что они могут открыть глаза. "Кто догадается, – сказал судья, – какого цвета на ней заколка, та получит первую премию." Девочки смотрели друг на друга. Каждая видела на другой красную заколку, но не знала, какая заколка на ней. Наконец, Люда сказала: "На мне красная заколка" – и получила первую премию. Как она могла додуматься до верного ответа?

Решение. Люда знала, что Валя сообразительная девочка. Если бы Валя увидела на Люде синюю заколку, она сразу догадалась бы, что на ней самой красная заколка (ведь синяя заколка была одна). И раз Валя молчала, значит, она не видела на Люде синюю заколку, а видела красную.

Ответ: Так как Валя молчала.

49. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно?

Решение. Нарисуем два пересекающиеся круга. Левый пусть обозначает ушастых щенят, правый кусачих, а в общей части будут ушастые и кусачие одновременно. Так как ушастых 8, а всего щенят 12, то в самой правой части рисунка находятся 4 щенка – не ушастые, но кусачие. Так как кусачих 9, а всего щенят 12, то в самой левой части рисунка находятся 3 щенка – не ушастые, но кусачие. Значит, в центральной части рисунка находятся 5 щенков – ушастых и кусачих одновременно.

Можно оформить это решение по вопросам.

Сколько щенят – не ушастые? 12 – 8 = 4.
Сколько щенят – не кусачие? 12 – 9 = 3.
Сколько щенят обладает только одним из этих качеств (только кусачие или только ушастые)? 4 + 3 = 7.
Сколько щенят обладают обоими качествами (кусачие и ушастые одновременно)? 12 – 7 = 5.

Ответ: 5.

50. Илья стоит в хороводе. 5-й слева от Ильи тот же, что и 7-й справа. Сколько людей в хороводе, если их меньше 10?

Решение. Условия, данные в задаче, осуществимы, только если в число четырех, стоящих между Ильей и еще одним (Жорой) засчитывается Илья и, быть может, также и Жора. Это получится, если в хороводе 4 человека. Их могло бы быть и двое, но двое – не хоровод.

Ответ: 4.

51. В день рождения Оли мама разложила на блюде пирожные в форме креста и сказала Оле: "Вот видишь, если начинать считать пирожные с левого, с верхнего или с правого конца и досчитать их до низу, всегда получится восемь пирожных – как раз столько, сколько тебе исполнилось лет.". Мама ушла готовить салат. А Оля подумала, что можно съесть несколько пирожных и так разложить оставшиеся, что мамино правило их счета будет выполняться. Что же придумала Оля?

Решение. Оля уменьшила перекладину креста и увеличила нижний конец на столько же пирожных.

Ответ виден на рисунке.

52. Пятеро друзей обменялись фотографиями. Сколько для этого понадобилось фотографий?

Решение. Каждый должен подарить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 x 5 = 20 фотографий. (Другой способ рассуждения: каждый должен получить по четыре фотографии; значит, всего понадобится 4 x 5 = 20 фотографий.)

Ответ: 20 фотографий.

53. В стакане чая растворили 10 г сахара. Маша выпила полстакана. Сколько сахара выпила Маша?

Решение. Так как сахар растворен в стакане чая, то можно считать, что в равных количествах чая содержатся равные количества сахара. Поэтому в половине стакана содержится половина всего сахара, то есть 5 г.

Ответ: 5 г.

54. Какое число в задаче на вычисление пропущено:

(483 – 23) : ___ – 5200 : 26?

Решение. Во-первых, должно быть осуществимо деление числа 483 – 23 = 460 на пропущенное число, а во-вторых, результат этого деления должен быть не меньше, чем число 5200 : 26 = 200.

Ответ: 1 или 2.

55. Имеются 5 монет. Три из них имеют массу по 10 г каждая. Об остальных двух монетах известно, что они имеют одинаковую массу, а на вид не отличаются от 10-граммовых. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну монету в 10 г?

Решение. Надо сравнить массы любых двух монет. Потом надо сравнить массы еще двух монет. Если в обоих случаях весы уравновесились или в обоих случаях не уравновесились, то пятая монета – 10-граммовая. Если в одном из случаев весы уравновесились, а в другом не уравновесились, то уравновесившиеся монеты – 10-граммовые.

Ответ: надо сравнивать массы монет, кладя на каждую чашу весов по одной монете.

56. Перерисуй по клеткам угол АВС и проверь транспортиром, что этот угол равен 45о.

57. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 2539 + 4873 + 2965 + 8427 + 6461?

Решение. Крайние слагаемые дают число, делящееся на 100, вторые от концов – также 100. Значит, сумма оканчивается на 65.

Ответ: 65.

58. Компьютер написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал компьютер?

Решение. 9 однозначных чисел написано 9 цифрами, 90 двузначных написано 180 цифрами, 900 трехзначных 2700 цифрами, число 1000 – четырьмя цифрами, итого 2890 цифр.

Ответ: 2893.

59. Расставь числа от 0 до 8 в девяти клетках квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 4 должно стоять в центре квадрата?

Решение. Первая часть задачи может быть решена подбором. Но еще лучше решить ее рассуждениями, как это сделано здесь.

• Найдем сумму всех чисел от 0 до 8. Она равна 36.
• Найдем сумму чисел в каждом из трех столбцов (или, что то же, в каждой из трех строк или в каждой из двух диагоналей). Она равна 36 : 3 = 12.
• Выпишем все тройки чисел от 1 до 8, дающие в сумме 12:

0 + 4 + 8 = 0 + 5 + 7 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7 = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5.

• В центр поместим число, имеющееся в четырех таких тройках. Это число 4.
• В один из углов поместим число, имеющееся в трех таких тройках. Это, например, число 1.
• Заполним еще один угол так, чтобы сумма чисел в диагонали равнялась 12.
• Заполним еще один угол любым из оставшихся чисел, входящих в три тройки (например, числом 5):
• Закончим работу, следя за тем, чтобы каждая сумма в строках, столбцах и диагоналях равнялась 12.

Ответ: один из возможных квадратов

:

60. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(___ – 254) x (585 + 2) = 0

Решение. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Но второй множитель не равен нулю, значит, равен нулю первый множитель. Получается, что ___ – 254 = 0, а значит, пропущено число 254.

Ответ: 254.

61. 1 февраля 1900 г. была пятница. Каким днем недели было 1 марта 1900 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить: 1) сколько дней прошло с 1 февраля 1900 г. до 1 марта 1900 г. (так как 1900 г. в григорианском календаре был невисокосным, то в феврале было 28 дней; заметим, что, в отличие от юлианского календаря ("старого стиля") в григорианском календаре годы, оканчивающиеся двумя нулями, являются високосными лишь в том случае, если они делятся на 400 : 1800 и 1900 – невисокосные, а 2000, 1600 и 2400 – високосные); 2) каким днем является день "пятница + 28 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "пятница + 28 дней" – снова пятница).

Ответ: 1 марта 1900 г. была пятница.

62. Пятеро друзей обменялись рукопожатиями. Сколько произошло рукопожатий?

Решение. Каждый должен сделать по четыре рукопожатия; значит, всего, как будто бы, получится 4 x 5 = 20 рукопожатий. Однако при таком подсчете каждое рукопожатие учитывается два раза: ведь в одном рукопожатии участвуют двое. Поэтому на самом деле рукопожатий вдвое меньше: 4 x 5 : 2 = 10.
В правильности такого решения можно убедиться, сделав к задаче чертеж. Каждый из друзей обозначается на нем точкой. Точек пять. А рукопожатие обозначается отрезком, соединяющим две точки. Так отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что друзья А и В пожали друг другу руку. Видно, что отрезков всего 10.
Еще лучше – представить задачу в явном виде. К доске вызываются пять учеников и судья. Первый ученик пожимает остальным руки. Судья записывает число произведенных рукопожатий: 4. Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски четверо. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. Судья записывает: 3. Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только трем ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше. Следующему остается пожать две руки, следующему – только одну. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку. Судья записал: 4, 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 10.

Ответ: 10.

63. В кастрюле сварили 2 л супа, положив в него 15 г соли. Сколько соли окажется в одной тарелке, если в нее налить 400 г супа?

Решение. Так как соль растворена в супе, то можно считать, что в равных количествах супа содержатся равные количества соли. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всего супа составляет одна тарелка. Можно считать, что 2 л супа имеют массу 2 кг, а потому в первом действии следует разделить 2 кг на 400 г.
2 кг : 400 г = 2000 г : 400 г = 5, поэтому одна тарелка составляет одну пятую часть кастрюли. Значит, и соли в тарелке одна пятая часть, то есть 15 г : 5 = 3 г.

Ответ: 3 г.

64. Компьютер выписал подряд все натуральные числа от 1 до 1000. Какая цифра оказалась на тысячном месте?

Решение. Сначала было написано девять однозначных чисел 9 цифрами, потом еще девяносто двузначных чисел 180 цифрами. Итого после написания всех чисел от 1 до 99 было написано 189 цифр. От 1 до 999 было написано 2889 цифр. Значит, тысячная цифра содержалась в трехзначном числе. Первое трехзначное число содержало с 190-й по 192-ю цифру. Чтобы добраться до тысячной цифры надо написать 1000 – 189 = 811 цифр, начиная с числа 100. На каждое число уходит 3 цифры. Значит, нужно написать 811 : 3 = 270 полных чисел и еще одну цифру. 270-е число после числа 99 – это число 371. Тысячная цифра – первая цифра числа 372.

Ответ: 1.

65. Среди девяти монет одна фальшивая. Она не отличается от настоящей монеты по виду, но немножко легче настоящей монеты. У нас имеются чашечные весы без гирь. Как двумя взвешиваниями установить, какая монета фальшивая?

Решение. См. задачу 45.

66. Сумма трех различных чисел равна их произведению. Что это за числа?

Решение. Осуществляется подбором. 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x x 3 = 6.

Ответ: 1, 2 и 3.

67. Какими двумя цифрами оканчивается выражение

79 x 25 x 83 x 16 – 43288?

Решение. Уменьшаемое является произведением, содержащим множитель 25 и множитель 16, а значит, делится на 100. Значит, уменьшаемое оканчивается двумя нулями, а все выражение – цифрами 12.

Ответ: 12.

68. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 2, 20, 40, 400, 800.

Решение. Второе число получается из первого умножением на 10, третье из второго – умножением на 2, далее снова умножение на 10 и т.д. Можно и дальше действовать так же, чередуя умножение на 10 и на 2.

Ответ: 2, 20, 40, 400, 800, 8000, 16000, ...

69. Часы отбивают каждый час столько ударов, сколько они показывают часов, а каждые полчаса – один удар. Сколько ударов сделают они с часу дня до двенадцати часов ночи?

Решение. (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) + 11.

Ответ: 89.

70. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря: ТСЕХСУЗРЯЗ – ПГХЯ ЦЪЗРЯВ.

Ответ: Повторение – мать учения.

71. Расставь числа от 1 до 9 в клетках этого квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Почему число 3 не может стоять в угловой клетке?

Решение. См. задачу 59.

Ответ: один из возможных квадратов:

Число 3 не может стоять в угловой клетке, так как 3 входит только в две тройки, дающие в сумме 15 (3 + 4 + 8 и 3 + 5 + 7), а угловая клетка входит в один столбец, в одну строку и в одну диагональ, то есть участвует в трех суммах.

72. В концерте решено исполнить произведения Глинки для симфонического оркестра: Вальс-фантазию, Аррагонскую хоту, Камаринскую и "Ночь в Мадриде". Сколькими способами можно установить порядок их исполнения?

Решение. На первое место можно поставить любое из четырех произведений, на второе – любое из трех оставшихся. Значит, выбор первых двух произведений можно осуществить 12 способами. В любом из этих способов третьим можно поставить любое из двух оставшихся произведений. Так что первые три произведения можно назвать 24 способами. Теперь последнее произведение определяется однозначно – это то, которое не названо среди первых трех. Значит, всего можно определить порядок следования произведений 24 способами. Кратко это решение можно высказать так: первым может быть исполнено любое из четырех музыкальных произведений, вторым – любое из трех оставшихся, третьим – любое из двух оставшихся, четвертым – одно оставшееся; значит, всего таких программ 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

73. 6 котов в 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, чтобы в 100 минут съесть 100 мышей?

Решение. Обычный ответ: "100 котов" – неверен. Правильный Ответ: "6 котов". Чтобы это понять, полезно себе представить 6 котов как единую "бригаду", которая в 6 минут съедает 6 мышей, а значит, в 1 минуту съедает 1 мышь. Но тогда она съест 100 мышей за 100 минут, что и требуется.

Ответ: 6.

74. Сколько разломов придется сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные кусочки?

Решение. Скорее всего, дети будут подсчитывать число разломов при некотором выборе порядка действий. Например, двумя разломами разделить шоколадку на три полоски, а потом каждую полоску шестью разломами разделить на отдельные 7 кусочков. Получается 2 + 6 x 3 = 20 разломов. Или сначала шестью разломами разделить шоколадку на семь полосок по 3 куска в каждом, а потом двумя разломами разделить каждую полоску на отдельные кусочки. Получается 6 + 2 x 7 = 20 разломов. Но нужно объяснить, что способов разлома существует много (сколько? – отдельная задача!). А во-вторых, не странно ли совпадение ответов? В любом случае получится 20 разломов потому, что первоначально мы имеем 1 (большой) кусок шоколада, а в конце должны получить 21 (маленький) кусочек. А каждый разлом увеличивает число кусков на 1. Первый разлом – два куска, второй – три, и так далее. Двадцатый разлом – 21 кусок.

Ответ: 20.

75. Перерисуй по клеткам угол АВС.

76. Какими двумя цифрами оканчивается выражение 3573 x 3574 x 3575 x 3578 – 3579.

Решение. Уменьшаемое содержит множитель 3575, делящийся на 25, и множители 3574 и 3578, делящиеся на 2. Значит, уменьшаемое делится на 100, а все выражение оканчивается на 21.

Ответ: на 21.

77. Два кладоискателя хотят разделить добычу поровну, чтобы никто не мог сказать, что его обманули при дележе. У них нет никаких средств для измерения добычи или ее частей, кроме собственного глазомера. Как им быть?

Ответ: один делит на две равные (по его мнению) части, а другой выбирает ту часть, которая ему больше нравится.

78. В классе все дети изучают английский и французский языки. Из них 17 человек изучают английский, 15 человек – французский, а 8 человек изучают оба языка одновременно. Сколько учеников в классе?

Решение. Нарисуем два пересекающиеся круга. Левый пусть обозначает изучающих английский, правый – изучающих французский. А в общей части будут те, кто изучает оба языка. По условию, в центральной части находятся 8 учеников. Значит, в левой части их 17 – 8 = 9, а в правой части их 15 – 8 = 7. Итого в классе 9 + 8 + 7 = 24 человека.
По вопросам эта задача решается так.

Сколько учеников изучает только английский? 17 – 8 = 9.
Сколько учеников изучает только французский? 15 – 8 = 7.
Сколько учеников в классе? 9 + 7 + 8 = 24.

Ответ: 24.

79. Какое число пропущено в следующем равенстве? 357 x (285 + 851) = 357 x 285 + ___ x 851.

Решение: По распределительному свойству умножения, 357 x (285 + 851) = 357 x 285 + 357 x 851.

Ответ: 357.

80. 1 сентября 2001 г. была суббота. Какой день недели был 1 октября 2001 г.?

Решение. В данной задаче нужно выяснить:
1) сколько дней прошло с 1 сентября 2001 г. до 1 октября 2001 г. (так как в сентябре 30 дней, то с 1 сентября 2001 г. до 1 октября 2001 г. прошло 30 дней);
2) каким днем является день "суббота + 30 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "суббота + 28 дней" – снова суббота, а "суббота + 30 дней" – понедельник).

Ответ: 1 октября 2001 г. был понедельник.

81. Пианист решил исполнить в концерте четыре сонаты Бетховена: Аврору, Аппассионату, Лунную и Патетическую. Концерт должен состоять их двух отделений. Сколькими способами можно распределить эти произведения по отделениям (по две сонаты в каждом)?
Решение ясно из списка:

1 отделение: Аврора, Аппассионата; 2 отделение: Лунная, Патетическая.
1 отделение: Аврора, Лунная; 2 отделение: Аппассионата, Патетическая.
1 отделение: Аврора, Патетическая; 2 отделение: Аппассионата, Лунная.
1 отделение: Аппассионата, Лунная; 2 отделение: Патетическая, Аврора..
1 отделение: Аппассионата, Патетическая; 2 отделение: Лунная, Аврора.
1 отделение: Лунная, Патетическая; 2 отделение: Аппассионата, Аврора.

Другой способ решения выглядит так. В первое отделение нужно поместить две сонаты, тогда второе отделение сформируется автоматически. Выбрать первую сонату можно четырьмя способами, вторую – тремя оставшимися. Значит, если учитывать порядок исполнения сонат внутри отделения, то существует 4x3 = 12 способов определения программы первого отделения. А так как порядок следования их мы определять не должны, то первое отделение (а значит, и второе) определяется шестью способами.

Ответ: 6 способов.

82. На окраску 3 кв. м пола уходит 50 г краски. Сколько краски уйдет на окраску пола в комнате площадью 12 кв. м?

Решение. 12 кв. м в четыре раза больше, чем 3 кв. м, а потому на них уйдет в четыре раза больше краски: 50 г x  4 = 200 г.

Ответ: 200 г.

83. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена: (223 + 81912174 + 23__ + 345287) : 10?

Решение. Число, стоящее в скобках, должно делиться на 10, поэтому оно должно иметь на конце цифру 0. Эта цифра получится лишь в том случае, если число 23__ будет иметь на конце цифру 6.

Ответ: 6.

84. Имеется 9 кг песка и гиря в 250 г. Как в три взвешивания на чашечных весах отмерить 2 кг песка?

Ответ: 1) делим пополам 9 кг; на одной из чашек оказывается 4 кг 500 г; 2) делим пополам 4 кг 500 г; на одной из чашек оказывается 2 кг 250 г; 3) кладем на другую чашку гирю и приводим весы в равновесие, отсыпая с нее лишний вес; этот лишний вес и составит 2 кг.

85. Перерисуй по клеткам угол АВС.

86. Расшифруй ребус: х 340 х – х 9 х 2 = 51 х 20.

Решение. Достаточно написать пример столбиком, и все пропущенные цифры станут очевидными.

Ответ: 53402 – 1982 = 51420.

87. На сковородке помещается два блинчика. На обжаривание блинчика с одной стороны требуется 1 минута. Как за три минуты обжарить на этой сковороде три блинчика?

Ответ: обжарить два блинчика с одной стороны (одна минута), один блинчик перевернуть, второй снять и положить на его место третий (одна минута), положить на сковородку второй и третий (одна минута).

88. Матери и сыну в этом году вместе столько же лет, сколько отцу и дочери. Сохранится ли это соотношение на будущий год?

Решение. На будущий год все, о ком говорится в задаче, станут на 1 год старше. Значит, мать и сын вместе станут на 2 года старше; отец и дочь вместе станут на 2 года старше. Поэтому разность между их возрастами не изменится.

Ответ: да.

89. Илья стоит в хороводе. 3-й слева от Ильи тот же, что и 11-й слева. Сколько людей в хороводе?

Решение. Из условия ясно, что второй подсчет дает еще 8 человек – полный хоровод или полные два или полные четыре хоровода. Получается 8 или 4 или 2 человека. Но 2 человека – это не хоровод.

Ответ: 8, или 4.

90. Магазин получил со склада 1000 линеек. Одни из них имеют длину 20 см, а другие 30 см. Общая длина линеек 220 м. Сколько 20-сантиметровых линеек получил магазин?

Решение.Какова была бы общая длина линеек, если бы все они были 20-сантиметровыми?
20 cм x 1000 = 20000 см = 200 м.
2) Какова лишняя общая длина, имеющаяся потому, что среди линеек есть 30-сантиметровые?
220 м – 200 м = 20 м.
3) На сколько 30-сантиметровая линейка длиннее 20-сантиметровой?
30 – 20 = 10 (см).
4) Сколько линеек – 30-сантиметровые?
20 м : 10 см = 2000 см : 10 см = 200.
5) Сколько линеек – 20-сантиметровые?
1000 – 200 = 800.

Решение полезно проверить:

Какова общая длина 30-сантиметровых линеек
30 см x 200 = 6000 см = 60 м.
Какова общая длина 20-сантиметровых линеек
20 см x 800 = 16000 см = 160 м.
3) Какова общая длина всех линеек?
60 + 160 = 220 (м).

Ответ: 800.

91. В субботу в 3 классе должно состояться четыре урока: русский язык, математика, труд и природоведение. Сколькими способами можно определить порядок следования этих предметов?

Решение. На первое место можно поставить любой из 4 уроков, на второе – любой из 3 оставшихся. Значит, первые два урока определяются 4 x 3 = 12 способами. В любом из них третье место можно занять двумя способами, итого 24 способа. Последний урок определяется автоматически.

Ответ: 24.

92. Если намотать 3 м веревки на катушку, получится 100 витков. Сколько витков получится, если намотать полтора метра? 12 метров?

Решение. Полтора метра вдвое меньше, чем 3 метра, поэтому полтора метра дадут нам 50 витков. 12 м вчетверо больше, чем 3 м, они намотаются в 400 витков.

Ответ: 50 витков. 400 витков.

93. Человек отвечает на вопросы только "да" или "нет" и имеет право один раз ответить неправду. После нескольких вопросов его спросили: "Ты уже соврал?", и он ответил "Да". Остается ли за ним право соврать при ответите на следующие вопросы?

Решение. Может быть, он соврал при ответах на предыдущие вопросы, и на последний вопрос ответил правду. А может быть, он не врал при ответах на предыдущие вопросы и соврал в ответе на последний вопрос. В любом случае он при последующих ответах не может врать.

Ответ: нет.

94. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленнее, чем первая. Которая из мух победит?

Решение. Нужно нарисовать первый этап соревнования: первая муха достигает потолка, когда вторая на половине пути к нему; первая возвращается к полу, когда вторая достигает потолка. Побеждает первая. Заметим, что несущественно, во сколько раз быстрее вторая муха ползет вниз, чем первая.

Ответ: первая.

95. Перерисуй по клеткам фигуру АВСD. Убедись, что АВСD – квадрат, то есть что все его стороны равны между собой и все углы – прямые.

96. Расшифруй ребус: 6 х 21 + 2 хх = х 958.

Решение. Достаточно написать пример столбиком, и все пропущенные цифры станут очевидными.

Ответ: 6721 + 237 = 6958.

97. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 1, 6, 28, 145.

Решение. Второе число получается из первого так: прибавляем 1 и умножаем на 3. Третье из второго – прибавляем 1 и умножаем на 4. Четвертое из третьего – прибавляем 1 и умножаем на 5. Можно и дальше действовать так же, прибавляя к предыдущему числу 1 и умножая результат на множитель, увеличенный на 1.

Ответ: 1, 6, 28, 145, 876, ...

98. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от потолка к полу и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее первой, а вверх вдвое медленнее первой. Которая победит?

Решение. Достаточно попросить мух бежать в другом порядке – как в задаче 95. От этого их скорости не изменятся, а значит, не изменится и время бега. Впрочем, можно проследить ход соревнования и в данном порядке. Пока первая муха достигнет середины стены, вторая будет уже на полу. На обратном пути вторая муха пробежит четверть стены, пока первая достигнет пола. Первой останется бежать вверх целую стену, а второй – три четверти стены. Но скорость первой мухи теперь в два раза больше, и она успевает к цели раньше.

Ответ: первая.

99. Какое число пропущено в следующем равенстве?

(429 – __) : (348 + 259) = 0.

Решение. Так как частное равно нулю, то делимое равно нулю. Получается, что 429 – ___ = 0, а значит, пропущено число 429.

Ответ: 429.

100. 1 сентября 2001 г. – суббота. Какой день недели 1 сентября 2002 г.? Сделайте более общий вывод.

Решение. В данной задаче нужно выяснить:

1) сколько дней между 1 сентября 2001 г. и 1 сентября 2002 г. (так как эти годы невисокосные, то 365 дней);
2) каким днем является день "суббота + 365 дней" (так как 365 дней – это 52 недели плюс один день, то "суббота + 365 дней" – это воскресенье).

Ответ: 1 сентября 2002 г. – воскресенье. Более общий вывод: невисокосный год продвигает календарь на один день недели.

101. В субботу в 3 классе должно состояться четыре урока: два урока русского языка, математика, и природоведение. Сколькими способами можно определить порядок следования этих предметов?

Решение. Лучше всего выписать все возможные расписания, вначале начинающиеся с РР, потом с РМ, потом с РП, потом с МР, потом с МП, потом с ПР, потом с ПМ:
РРМП, РРПМ, РМРП, РМПР, РПРМ, РПМР, МРРП, МРПР, МПРР, ПРРМ, ПРМР, ПМРР.
Можно рассуждать и иначе: назвать уроки русского языка Р1 и Р2, составить 24 расписания, как в задаче 92, а затем заявить, что уроков будет вдвое меньше, так как Р1 и Р2 друг от друга не отличаются.

Ответ: 12.

102. 50 г сахара растворили в 1 литре воды. От этой воды отлили один стакан вместимостью 200 г. Сколько сахара в этом стакане?

Решение. Так как сахар растворен, то можно считать, что в равных количествах воды содержатся равные количества сахара. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всей воды составляет один стакан. 1 л воды имеет массу 1 кг, а потому в первом действии следует разделить 1 кг на 200 г.
1 кг : 200 г = 1000 г : 200 г = 5, поэтому один стакан составляет одну пятую часть литра. Значит, и сахара в стакане одна пятая часть, то есть в стакане содержится 50 г : 5 = 10 г.

Ответ: 10 г.

103. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена:

(438 + 5681175 + 673__ + 3487897) : 10?

Решение. См. задачу 84.

Ответ: 0.

104. Какой вес можно отмерить гирями 1, 2, 4 и 8 г, если класть гири только на одну чашу весов?

Ответ: любой от 1 до 15 г.

Замечание для учителя: эти числа – степени числа 2. Продолжая этот ряд гирь, мы получим возможность минимальным числом гирь отмеривать любые веса, используя для гирь одну чашку весов.

105. Двое одновременно отправились из А в В. Первый поехал на велосипеде, второй – на автомобиле со скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Успел ли велосипедист помахать ручкой автомобилисту?

Решение. Вторую половину пути автомобилист шел столько же времени, сколько потребовалось велосипедисту на весь путь. Значит, автомобилист прибыл в Б позже велосипедиста как раз на то время, за которое он проехал первую половину пути. То есть вначале он намного обогнал велосипедиста, а к концу пути велосипедист обогнал его, пешего.

Ответ: да.

106. Расшифруй ребус: хххх – ххх = 1.

Решение. Разность двух чисел равна единице, если это – соседние числа. Значит, нужно найти два соседних числа, одно из которых трехзначное, а другое четырехзначное. Это числа 999 и 1000.

Ответ: 1000 – 999 = 1.

107. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 995995 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые?

Решение. Сумма первых трех цифр равна 9 + 9 + 5 = 23, и эти цифры долго не менялись. Менялись последние цифры, но их сумма должна была также равняться 23. Первая из этих трех цифр 9 долго не менялась. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 14. Перед числом 95 такое ближайшее число 86. Что касается следующего за данным счастливого билета, то у него сумма последних цифр уже не будет равняться 23, так как у чисел 996, 997, 998 и 999 сумма цифр от 24 до 27, а после 999 сумма цифр 0, 1 и так далее. Первое число с суммой цифр 23 будет 599.

Ответ: 995986 и 995599.

108. Имеются 8 монет. Возможно, что одна из них фальшивая (отличается от других по весу). Имеются чашечные весы. Сколько взвешиваний тебе понадобится, чтобы выяснить, есть ли среди монет фальшивая?

Решение. Достаточно положить на одну чашу весов четыре монеты, а на другую – другие четыре монеты. Если весы придут в равновесие, то фальшивых монет нет. В противном случае фальшивая монета имеется.

Ответ: одно.

109. В следующем тексте есть слово "Я". Шифр такой же, как у Цезаря, но сдвиг сделан не на 3 знака. Расшифруй текст.

Г – УТХПИЗСГГ ЕЧОЕД Е ДПЧДЕМЦИ.

Решение. Слово Я – это либо Г, либо Е. Если Е расшифровывается как Я, то Г расшифровывается как Ь. Но тогда первое слово фразы – Ь, что невозможно. Остается положить, что Я зашифровано буквой Г.

Ответ: Я – ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА В АЛФАВИТЕ.

110. Для перенумерования страниц книги (со второй страницы до последней) потребовалось ровно 100 цифр. Сколько страниц в этой книге?

Решение. На первые 9 страниц потребовалось 8 цифр (так как на первую страницу номер не ставился. Остальные 92 цифры потребовались на двузначные номера, то есть на 46 страниц книги. Значит, в книге 9 + 46 = 55 страниц.

Ответ: 55.

111. В одном колесе 18 зубцов, а в другом, зацепленном с ним, 30 зубцов. Первое колесо сделало 15 оборотов. А второе?

Решение. Это трудная задача. Нужно нарисовать на доске два зубчатых колеса: большое и маленькое. Первое должно быть примерно в два раза больше второго. Теперь нужно сосредоточить внимание на их единственной общей точке – точке зацепления (назовем ее точкой А). В то время, когда через точку А проходит один зубец первого колеса, через ту же точку проходит один зубец второго колеса. То есть за одно и то же время через точку А проходит одинаковое число зубцов первого и второго колес. Задача решается в несколько вопросов.
Сколько зубцов первого колеса прошло через точку А за 15 оборотов этого колеса?
15 x 18 = 270.
Сколько зубцов второго колеса прошло через точку А за то же время?
Столько же, 270.
Сколько оборотов должно сделать второе колесо, чтобы через точку А прошло 270 его зубцов?
270 : 30 = 90.

Ответ: 90 оборотов.

112. Имеются 8 монет. Одна из них фальшивая (отличается от других по весу). Имеются чашечные весы. Сколько взвешиваний тебе понадобится, чтобы узнать, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая?

Решение. Первым взвешиванием сравниваем две четверки монет. Вторым взвешиванием сравниваем две пары монет из какой-нибудь четверки. Если во втором взвешивании весы уравновесились, то фальшивая монета – среди другой четверки, а если нет, то она – во взвешиваемой четверке. Тем самым становится ясно, легче она или тяжелее, чем настоящая.

Ответ: два.

113. Можно ли выложить, соблюдая правила игры в домино, все косточки так, чтобы на одном конце оказалась шестерка, а на другом – пятерка?

Решение. В комплекте косточек домино семь косточек имеют шестерку: 0-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6 и 6-6. Если цепочка начинается с одной из шестерок (не считая косточки 6-6), то еще четыре косточки следуют парами и остается одна незакрытая шестерка, которая и должна завершать цепочку. При этом косточка 6-6 может стоять где угодно между двумя другими шестерками или на конце цепочки.

Ответ: нет.

114. Перерисуй по клеткам треугольник АВС.

115. Расшифруй ребус: АР + РАК = АКР.

Решение. Перепишем ребус столбиком:

Так как Р + К = Р, то К = 0. Теперь ребус приобретает такой вид:

Отсюда А = 5, а Р = 4.

Ответ: 54 + 450 = 504.

116. Расставь круглые числа от 20 до 100 в девяти клетках этого квадрата, чтобы суммы чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям равнялись между собой. Сколько таких размещений можно придумать?

Решение. см. задачу 59. Центр заполняется однозначно числом 60, так как это единственное число, входящее в четыре тройки, дающие в сумме 180, а центральная клетка входит в один столбец, в одну строку и в две диагонали, то есть участвует в трех суммах.
Верхний левый угол можно заполнить любым из чисел 30, 50, 70 и 90, так как каждое из этих чисел входит в три тройки. После этого нижний правый угол заполняется однозначно.
Верхний правый угол заполняется одним из двух оставшихся чисел, входящих в три тройки, после чего весь квадрат заполняется однозначно.

Ответ: Восемь возможных квадратов:

117. Знаешь ли ты, что среди всех пород кошачьих только гепарды не втягивают когти. Когти у них всегда снаружи, как у собак. Среди обитателей площадки молодняка в зоопарке 18 – котята и щенята разных пород. Из них 9 – щенята, а 13 не втягивают когти. Сколько обитателей – гепарды и сколько котят других пород?

Решение. Среди 13 малышей, не втягивающих когти, 9 – щенята, значит, 4 – гепарды. Котят других пород 18 – (9 + 4) = 5.

Ответ: 5.

118. Какое число пропущено в следующем равенстве? 844 + 289 – ___ = 289.

Ответ: 844.

119. 1 сентября 2003 г. – понедельник. Какой день недели 1 сентября 2004 г.? Сделайте более общий вывод.

Решение. В данной задаче нужно выяснить:
1) сколько дней между 1 сентября 2003 г. и 1 сентября 2004 г. (так как эти 2004 год високосный, то 366 дней);
2) каким днем является день "понедельник + 366 дней" (так как 366 дней – это 52 недели плюс два дня, то "понедельник + 366 дней" – это среда).

Ответ: 1 сентября 2004 г. – среда. Более общий вывод: високосный год продвигает календарь на два дня недели вперед.

120. За 3 часа автобус проходит 200 км. Сколько километров проходит этот автобус за 6 часов с той же скоростью?

Решение. 6 часов вдвое больше, чем 3 часа, поэтому автобус пройдет за 6 часов вдвое больший путь, чем за 3 часа, то есть за 6 часов он пройдет 200 км x 2=400 км.

Ответ: 400 км.

121. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена: (78534 – 7853___) : 5?

Решение. Чтобы число, стоящее в скобках, делилось на 5, оно должно оканчиваться либо на 5, либо на 0. Для этого вычитаемое должно оканчиваться либо на 9, либо на 4. Однако, если бы вычитаемое оканчивалось на 9, то оно было бы больше уменьшаемого.

Ответ: 4.

122. Какими четырьмя гирями можно отмерить любой вес от 1 до 40 г, если класть гири на обе чаши весов?

Решение. Чтобы взвесить 1 г, возьмем гирю в 1 г. Чтобы взвесить 2 г, возьмем гирю не в 2 г, а сразу в 3 г. Тогда можно будет взвесить также и 3 г, и 4 г. Следующий вес – 5 г. Возьмем наибольшую возможную для этого гирю – 9 г. Тогда 5 г получится как 9 – (1+3), а кроме того можно будет отмерить любой вес от 6 до 13 г (6 = 9–3, 7 = 9+1–3; 8 = 9–1 и т.д. до 13=1+3+9). Нам можно взять еще одну – четвертую – гирю. Возьмем ее побольше, но чтобы с ее помощью можно было взвесить 14 г. Так как у нас есть возможность отмерить 13 г, то возьмем четвертую гирю в 27 г. Тогда 14 г получится как 27 – 13. Легко проверить, что взятыми четырьмя гирями можно отмерить любой вес от 1 до 40 г. (1+3+9+27 = 40).

Ответ: 1 г, 3 г, 9 г, 27 г.

Замечание для учителя: эти числа – степени числа 3. Продолжая этот ряд гирь, мы получим возможность с помощью минимального набора гирь отмеривать любые веса.

123. Перерисуй по клеткам треугольник АВС, а потом и весь рисунок.

124. Расшифруй ребус: УДАР + УДАР = ДРАКА.

Решение. Перепишем ребус столбиком:

Ясно, что первая цифра суммы Д = 1, так как сумма двух четырехзначных чисел не может превышать 19999. Ребус приобретает такой вид:

Третья цифра суммы А равна либо 2, либо 3. Однако, цифра А стоит в конце суммы и получается от сложения двух равных чисел Р. Значит, А – четная цифра, она не 3, а 2. Снова перепишем ребус:

Сумма Р + Р может дать на конце двойку в двух случаях: при Р = 1 и при Р = 6. Однако, Р = 1 невозможно, поскольку Д = 1. Значит, Р = 6, К = 5, а У либо 3, либо 8. Но так как сумма пятизначная, то У = 8.

Ответ: 8126 + 8126 = 16252.

125. Попытайся понять, как составлена эта последовательность, и продолжи ее: 1, 2, 6, 24, 120, 720.

Решение. Второе число получается из первого умножением на 2, третье из второго умножением на 3 и т.д.

Ответ: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...

126. По круговой беговой дорожке длиной 400 м бегут Андрей и Виктор. Андрей бежит быстрее и обгоняет Виктора через каждые 12 минут. Через 36 минут после начала бег был прекращен. Кто пробежал больше и на сколько?

Решение. Андрей пробежал больше, чем Виктор, так как бежал то же время с большей скоростью. За каждые 12 минут Андрей пробегает на 1 круг больше, чем Виктор. Значит, за 36 минут Андрей пробежал на 3 круга больше, а три круга – это 1200 м.

Ответ: Андрей пробежал больше на 1200 м.

127. Сумма и произведение четырех чисел равны 8. Что это за числа?

Решение. Осуществляется подбором:

1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4

Ответ: 1, 1, 2 и 4.

128. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, и Маяковского, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Некрасов и Маяковский стояли рядом?

Решение. Свяжем томики Некрасова и Маяковского. Тогда получится три объекта: томик Пушкина, томик Лермонтова и связка из двух томиков. На первое место ставим, как требуется в задаче, томик Пушкина. Тогда на второе место можно поставить либо томик Лермонтова, либо связку. Так что имеется всего две возможности. Но связку можно было сделать двумя способами: первым Маяковского или первым Некрасова. Значит, возможностей всего четыре. Вот они: ПЛНМ, ПЛМН, ПНМЛ, ПМНЛ.

Ответ: 4.

129. Одно колесо телеги в 3 раза больше другого. Большое колесо сделало в течение пути 1000 оборотов. А второе?

Решение. Пока большее колесо сделает один оборот, меньшее сделает три оборота. Значит, пока большее колесо сделает 1000 оборотов, меньшее колесо сделает 1000 x 3 = 3000 оборотов.

Ответ: 3000.

130. Человек отвечает на вопросы только "да" или "нет" и имеет право один раз ответить неправду. В сколько вопросов можно отгадать задуманное им число от 1 до 4?

Решение. Можно каждый вопрос повторять. В том единственном случае, когда ответы будут разными, придется задать тот же вопрос в третий раз.

Ответ: не более 5 вопросов.

131. Имеются 8 монет. Одна из них фальшивая, более легкая. Имеются чашечные весы. Сколько взвешиваний тебе понадобится, чтобы найти эту монету?

Решение. Первым взвешиванием сравниваем две четверки монет. Вторым взвешиванием сравниваем две пары монет из более легкой четверки. Третьим взвешиванием сравниваем монеты из более легкой пары. Более легкая монета – фальшивая.

Ответ: три.

132. Перерисуй половину и дорисуй целое.

133. Расшифруй ребус: КТО + КОТ = ТОК.

Решение. Перепишем ребус столбиком:

Так как под О + Т и Т + О стоят разные цифры, то О + Т больше 10. Из второго столбика получаем, что Т + О + 1 = = О + 10, откуда Т = 9. Теперь ребус приобретает такой вид:

Из первого столбика теперь видно, что К = 4, а значит, из третьего столбика получаем, что О = 5.

Ответ: 495 + 459 = 954.

134. В кувшине впятеро больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 8 стаканов воды меньше, чем в кувшине. Сколько воды в кувшине?

Решение. Начертим два отрезка, один из которых впятеро больше другого, и обозначим числом 8 их разность:

Во втором отрезке одна часть, тогда в первом отрезке пять частей, и четыре части равны 8 стаканам. Отсюда следует, что в одной части 2 стакана, а в пяти частях их 10.

Ответ: 10 стаканов.

135. Улитка ползет по столбу высотой 20 м. Каждый день она поднимается на 2 м и каждую ночь опускается на 1 м. Через сколько дней она достигнет вершины?

Решение. Иногда говорят, что улитка каждые сутки поднимается на 1 м, а значит, ей понадобится 20 дней. Однако после 18 суток она поднимется на 18 м и за следующий, девятнадцатый день поднимется еще на 2 м и достигнет вершины.

Ответ: 19 дней.

136. Какое число пропущено в следующем равенстве? (445 + 896 + 978) x __ = 0.

Ответ: 0.

137. 1 января 1995 г. было воскресенье. Какой день недели был 1 января 1996 г. А 1 января 1997 г.?

Ответ: понедельник; среда.

138. Сколько можно расставить на шахматной доске ладей, чтобы ни одна из них не угрожала другой?

Решение. Ладья ходит и бьет по горизонталям и вертикалям. Например, положение двух ладей на этом рисунке такое, как требуется,

а на этом рисунке – не такое:

две ладьи на нем бьют друг друга. Ясно, что нельзя расставить больше восьми ладей, как требуется в задаче, так как на шахматной доске всего восемь горизонталей. А восемь ладей можно расставить по-разному: так,

и так,

и еще многими способами.

139. Два туриста делали на завтрак бутерброды. К ним подошел третий турист, и они дали ему поесть: первый дал ему 3 бутерброда, а второй 2 бутерброда. Третий турист заплатил за угощение 10 р. Как должны были разделить между собой эти деньги первые два туриста?

Решение. Третий турист съел 5 бутербродов и заплатил за них 10 р. Значит, за каждый бутерброд он заплатил 2 р. Поэтому первому туристу причитается 6 рублей, а второму 4 р.

Ответ: первому туристу – 6 р, второму – 4 р.

140. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена: (85698 – 424__) : 10?

Ответ: 8.

141. Какой вес можно взвесить одной гирей в 1 г и любым количеством гирь в 2 г, если класть гири только на одну чашу весов?

Решение. Любое нечетное число граммов отмеривается гирями в 2 г и в 1 г, а любое четное число – гирями в 2 г.

Ответ: любой.

142. Расшифруй ребус: БРА + БАР = РАБ.

Решение. См. задачу 137.

Ответ: 495 + 459 = 954.

143. Как определить высоту кирпичного дома, имея в руках только линейку длиной 30 см?

Ответ: измерить толщину одного кирпича и слоя извести и умножить результат на число кирпичных слоев в доме.

144. Дедушке 56 лет, а его внучке 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внучки?

Решение. С годами меняется возраст дедушки и внучки, но не меняется разность их возрастов. Дедушка всегда будет старше внучки на 56 – 14 = 42 года. Значит, можно нарисовать их возрасты в интересующий нас момент двумя отрезками, один из которых больше другого на 42 и в то же время в 2 раза:

Из рисунка сразу следует, что в тот момент дедушке будет 84 года, а внучке 42 года. Осталось выяснить, через сколько лет это произойдет. Для этого достаточно вычесть из 84 лет нынешний возраст дедушки или из 42 нынешний возраст внучки.

Ответ: через 28 лет.

145. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли надеяться, что через 72 часа будет солнечная погода?

Решение. Это задача-шутка. Через 72 часа пройдут ровно трое суток, и опять будет ночь, так что солнца не будет.

Ответ: нет.

146. В театре билеты продаются по цене 30 р. и 40 р. Всего в театре 12 рядов по 25 мест в каждом ряду. Общая стоимость всех билетов равна 10000 р. Сколько билетов продается по 40 р.?

Решение.

1) Сколько всего мест в театре?
25 x 12 = 300.
2) Какой была бы общая стоимость билетов, если бы все они были 30-рублевые?
30 x 300 = 9000 (р.).
3) Сколько лишних рублей получается потому, что среди билетов есть 40-рублевые?
10000 – 9000 = 1000 (р.).
4) На сколько 40-рублевый билет стоит дороже, чем 30-рублевый?
40 – 30 = 10 (р.).
5) Сколько билетов 40-рублевые?
1000 : 10 = 100.

Решение полезно проверить:

Сколько билетов 30-рублевые?
300 – 100 = 200.
Сколько стоят все 40-рублевые билеты?
40 x 100 = 4000 (р.).
Сколько стоят все 30-рублевые билеты?
30 x 200 = 6000 (р.).
Сколько стоят все билеты?
4000 + 6000 = 10000 (р.).

Ответ: 100.

147. Сколькими способами можно рассадить на три кресла трех людей?

Решение. На первое кресло можно посадить любого из трех человек, после этого на второе кресло можно посадить любого из двух оставшихся, итого первых двух человек можно посадить шестью способами. Третий человек сядет в оставшееся кресло. Так что всего способов шесть. Желательно нарисовать все эти способы на доске и в тетрадях:

1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.

Ответ: 6.

148. Два туриста варили в котле похлебку. Один положил в нее 3 пакета питательных веществ, а другой 5 пакетов. К ним подошел еще один турист, и они втроем всю похлебку съели. Третий турист заплатил за угощение 8 р. Как должны были разделить между собой эти деньги первые два туриста?

Решение. Это трудная задача.
Ответ: "первому туристу – 3 р., второму – 5 р." – неверен. Правильно разделить деньги так: "Первому туристу –1 р., второму – 7 р.". Дело в том, что первые два туриста тоже ели похлебку. Первый съел одну треть похлебки, второй одну треть и третий одну треть. 8 р., которые заплатил третий турист – стоимость одной трети похлебки. Значит, вся похлебка стоила 24 р. Каждый пакет питательный веществ поэтому стоил 3 р. Первый турист съел похлебки на 8 рублей, а положил 3 пакета, то есть вложил в общую еду 9 р. Ему полагается 1 р. Второй турист вложил 5 пакетов, то есть 15 р., а съел похлебки на 8 р. Ему полагается 7 р.

Ответ: первому – 1 р., второму – 7 р.

149. 16 волейбольных команд играют между собой по олимпийской системе. В 1/8 финала встречаются все команды по парам; проигравшие выбывают, остается 8 команд-победителей. В 1/4 финала эти команды встречаются между собой по парам, проигравшие выбывают, остается 4 команды. В 1/2 финала эти команды встречаются между собой по парам. Остаются 2 команды. Они встречаются в финале. Сколько матчей при этом происходит?

Решение. Всего из 16 команд выбыло 15. Каждая из них выбыла после одной проигранной встречи. Значит, всего встреч – 15.

Ответ: 15.

150. В корзине яблоки трех сортов. Сколько яблок нужно вынуть из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них оказалось хотя бы 3 яблока одного сорта?

Решение. Может быть, нам повезет, и первые же три яблока окажутся одного сорта. Но может, и не повезет, и мы вынем целых шесть яблок по два каждого сорта. Но седьмое яблоко будет уже одного сорта с какими-нибудь двумя, вынутыми раньше.

Ответ: От трех до семи.

151. Нарисуй обе половинки одинаково.

152. Расшифруй ребус: Я x ЛЯ = ОЛЯ.

Решение. От умножения Я на Я получается число, оканчивающееся на Я. Это возможно, если Я равно 0, 1, 5 или 6. Я = 0 не может быть, так как от умножения нуля на любое число должен получиться нуль, а умножение Я на ЛЯ дало не Я, а ОЛЯ. Я = 1 не может быть, так как от умножения единицы на любое число должно получиться это число, а умножение Я на ЛЯ дало не ЛЯ, а ОЛЯ. Остается проверить Я = 5 и Я = 6.
Если Я = 5, то ребус выглядит так: 5 x Л5 = ОЛ5. Приходится проверять все значения Л, кроме 0 и 5. Получаем два подходящих результата: 5 x 25 = 125 и 5 x 75 = 375.
Если же Я = 6, то ребус выглядит так: 6 x Л6 = ОЛ6. Это невозможно. Убедиться в этом можно последовательной проверкой всех Л, кроме 0 и 6. Но можно доказать это и короче. Ведь если умножить 6 на Л6, то получится 60Л + 36. Значит, цифра десятков в произведении должна быть тройкой, и достаточно проверить только Л = 3.

Ответ: 5 x 25 = 125 или 5 x 75 = 375.

153. Кота Барсика посадили в подвал за дурное поведение. Барсик питался там одними мышами. Он поймал их за 4 дня 80 штук. При этом его мастерство день ото дня возрастало, и он каждый день ловил столько мышей, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мышей поймал Барсик в каждый из этих четырех дней?

Решение. В четвертый день он поймал столько же, сколько во все предыдущие дни. Значит, в четвертый день он поймал половину всех мышей. И так далее.

Ответ: 10, 10, 20, 40.

154. В корзине носки двух цветов одного размера. Сколько носков нужно вынуть из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара носков?

Решение. Может быть, нам повезет, и первые же два носка окажутся одного цвета. Но может, и не повезет, и мы вынем два носка разного цвета. Но третий носок будет уже одного цвета с каким-нибудь, вынутым раньше.

Ответ: от двух до трех.

155. Чтобы умножить число 52 на 11, достаточно вставить между цифрами 5 и 2 их сумму 7 : 52 x 11 = 572. Объясни, почему это верно. Придумай еще примеры. Как быть в случае, если сумма цифр больше, чем 9?

Решение. Для объяснения достаточно умножить 52 на 11 столбиком. Сразу видно, что сумма 5 + 2 вставляется между цифрами 5 и 2. Если сумма цифр больше, чем 9, к разряду сотен добавляется единица.

156. 2001 г. начался с понедельника. С какого дня недели будет начинаться 2002 г.? 2003 г.? 2004 г.? 2005 г.?

Ответ: со вторника; со среды; с четверга; с субботы.

157. К Новому году четырем сестрам-близнецам подарили четыре разные игрушки. Сколькими способами они могут разделить их между собой?

Решение. Первой сестре может достаться любая игрушка, после этого второй сестре может достаться любая из трех оставшихся игрушек. Значит, первые две сестры могут получить игрушки 4 x 3 = 12 разными способами. В каждом из этих 12 случаев третья сестра может получить одну из двух оставшихся игрушек, так что первые три сестры могут получить игрушки 24 способами. Четвертой сестре достанется единственная оставшаяся игрушка.

Ответ: 24.

158. 12 вилок стоят 325 руб. 25 коп. Сколько стоят 36 таких вилок?

Решение. 36 вилок стоят втрое больше, чем 12 вилок, то есть 975 руб. 75 коп.

Ответ: 975 руб. 75 коп.

159. Какая цифра в задаче на вычисление пропущена:

(42591 – 4259__) : 2?

Решение. см. задачу 124.

Ответ: 1.

160. Какой вес можно взвесить одной гирей в 3 г и любым количеством гирь в 2 г, если класть гири на обе чаши весов?

Решение. Любое нечетное число граммов отмеривается гирями в 2 г и в 3 г, а любое четное число – гирями в 2 г.

Ответ: Любой.

161. Расшифруй ребус: ВАР x Р = ДАР

Решение обычно осуществляется подбором.

Ответ: 125 x 5 = 625.

162. В корзине 12 пар перчаток одного цвета, размера и качества. Сколько перчаток нужно вынуть из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара перчаток?

Решение. Может быть, нам повезет, и первые же две перчатки подойдут друг к другу. Но может, и не повезет, и мы вынем 12 левых или 12 правых перчаток. Но тринадцатая перчатка будет уже на другую руку и образует пару с перчаткой, вынутой раньше.

Ответ: от двух до тринадцати.

163. Пес Тузик на 12 кг тяжелее кота Барсика, а Барсик вчетверо легче Тузика. Сколько весит Барсик?

Решение. Начертим два отрезка, один из которых вчетверо больше другого, и обозначим числом 12 их разность:

Во втором отрезке одна часть, тогда в первом отрезке четыре части, и три части равны 12 кг. Отсюда следует, что в одной части 4 кг, а в четырех частях их 16.

Ответ: 4 кг.

164. Сколько существует пятизначных чисел, записываемых двумя единицами и тремя двойками?

Решение. Если мы из имеющихся пяти мест займем два места единицами, то двойки расставятся сами собой на оставшиеся места. Поэтому достаточно выяснить, сколько существует способов выбрать два места из пяти. Перечислим эти места для единиц и напишем рядом получающиеся числа:

1-е и 2-е: 11222; 1-е и 3-е: 12122; 1-е и 4-е: 12212; 1-е и 5-е: 12221; 2-е и 3-е: 21122; 2-е и 4-е: 21212; 2-е и 5-е: 21221; 3-е и 4-е: 22112; 3-е и 5-е: 22121; 4-е и 5-е: 22211.

Ответ: 10.

Нестандартные задачи на уроках математики
в 4-м классе

К УЧИТЕЛЮ

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требовании.
Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах:

• "Маша пробежала 100 м, а навстречу ей …",
• "Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго …";
• "Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик …".

В тексте важно всё: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика. И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторые математические задачи можно инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения.

Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:

• о числе элементов некоторого множества;
• о движении, его скорости, пути и времени;
• о цене и стоимости;
• о работе, ее времени, объеме и производительности труда.

Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.

Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!

Нестандартные задачи нужно решать в классе ежедневно. Их можно черпать в учебниках математики для 5–6 классов, в журналах "Математика в школе" и даже "Квант".

Чтобы облегчить поиск таких задач для решения на уроках в четвертом классе, мы предлагаем эту книжку. Она - продолжение аналогичных книжек для первого, второго и третьего классов. Число задач в ней таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной на урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе. Среди предлагаемых задач есть такие, которые сильный ученик решает моментально. Тем не менее нужно требовать и от сильных детей достаточной аргументации, объясняя, что на легких задачах человек учится способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логических рассуждений. В крайнем случае можно добиваться от сильных учеников таких рассуждений, требуя построить объяснение, понятное для других – для тех, кто не понимает быстрого решения.

Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят их – замечательно. Учитель может и сам показывать это. Однако недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во-вторых, в нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.

Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем уроков математики в учебном году). Возможно, вам захочется поменять порядок следования задач или добавить задачу, которой здесь нет. Это тем легче сделать, что задачи в книжке идут вперемежку по своей тематике.

ТЕКСТЫ ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЕ

1. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу?

Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков. То есть к любой паре брюк можно подобрать четыре варианта "пиджак + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:

А еще лучше сделать такой рисунок.

Ответ: 12.

2. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?

Решение. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.

3. Продолжи последовательность: 8, 6, 10, 6, 12, 6, ... .

Решение. Все четные члены последовательности равны 6, а все нечетные получаются прибавлением числа 2 к предыдущему нечетному члену.

Ответ: 8, 6, 10, 6, 12, 6, 14, 6, 16, 6, ... .

4. Разгадай ребус: 5* + **3 = **01.

Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным.

Ответ: 58 + 943 = 1001.

5. В одной бочке 50 л жидкого дегтя, в другой – 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?

Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.
В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.
И сопроводить решение таким рисунком:

Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.

Ответ: поровну.

6. В двух кучах лежат камни. Двое играющих по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число камней в кучах. Если один игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число камней в кучах, доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет.
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Камни для этого иметь необязательно. Можно просто написать на доске:

В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во втором случае надо предоставить первый ход противнику и каждым своим ходом уравнивать кучи.

Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах.

7. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь четыре" зашифруй фразу "Век живи – век учись".

Решение. Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква шифруемой фразы заменяется другой, следующей за ней (или перед ней) на определенное число букв. Шифр "прибавь четыре" означает, что каждую букву фразы "век живи – век учись" нужно заменять четвертой от нее буквой.

Ответ: Ёио кмём – ёио чымха.

8. Известно, что a + b = 7. Чему равно (а + 8) + b?

Решение. Задачу можно изложить, например, так. У Вовы в двух карманах было 7 рублей. Он положил в левый карман еще 8 рублей. Сколько теперь у него денег в обоих карманах?

Ответ: 15.

9. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):

Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.

Ответ: 1-й способ

2-й способ

10. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?

Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12. А если друзей пятеро, то фотографий нужно 20 (см. последний рисунок). Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5.

Ответ: 5.

11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?

Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению.
Арифметическое решение подсказывается рисунком:

Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12.
Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства:

=

Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем:

= 6.

Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем:

(число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6.

Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину:

(число Катиных пятерок) – х = 6.

Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2х, и уравнение примет вид:

2х – х = 6.

Ответ: 6.

12. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.

13. Известно, что a + b = 12. Чему равно а + (b + 5)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему (см. например, задачу 8).

Ответ: 17.

14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?

Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.

Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:

=

Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:

= 4.

Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:

(число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4.

Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче:
х – число Петиных марок. Получается, что:

(число Сашиных марок) – х = 4.

Теперь уже многие догадаются, что число Петиных марок равно 3х, и уравнение примет вид:

3х – х = 6.

Ответ: 2.

15. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.

16. Из надписи 1234567891011121314151617181920 вычеркни 21 цифру, не меняя порядка цифр, чтобы оставшееся число было:

а) возможно большим; б) возможно маленьким.

Решение. Всего в надписи 31 цифра. Нужно оставить из них 31 – 21 = 10 цифр.

а) Чтобы число было наибольшим, нужно сделать его старшие цифры наибольшими. Первой сделаем цифру 9, вычеркнув первые восемь цифр: 91011121314151617181920.
Сделать второй цифрой 9 нам не удастся, так как тогда останется такое число: 9920, а нам нужно число десятизначное. Не удастся сделать второй цифрой и 8, и 7, а вот 6 можно сделать второй цифрой, вычеркнув 13 цифр. Остальные цифры останутся невычеркнутыми.

Ответ: 9617181920.

б) Чтобы число было наименьшим, нужно сделать его старшие цифры наименьшими. Первой сделаем цифру 1, второй – 0, вычеркнув девять цифр: 1011121314151617181920.
Сделать третьей цифрой 0 нам не удастся, не удастся вообще использовать нуль не в качестве последней цифры. Поэтому используем единицы в качестве следующих семи цифр.

Ответ: 1011111110.

17. Известно, что a + b = 70. Чему равно (а – 3) + b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 67.

18. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?

Решение. Попытка обвести фигуру, начиная, например, с точки А, не приведет к цели. А начав с точки В или с точки С, мы можем решить задачу. Все дело в том, что из точки В ведут три пути и из точки С – тоже три. Если выйти из точки А, то точку В придется проходить так: войти в нее по первому пути, выйти по второму, войти по третьему, и уже не выйти из нее, так как больше путей нет, а дважды проходить один и тот же путь нельзя. То есть если начинать из точки А, то в точке В нужно завершить обход фигуры. Но то же можно сказать и о точке С: ее тоже нельзя пройти, и если начать движение из А, то нужно лишь закончить обход в С. Однако мы не можем завершить обход в двух разных точках: в В и в С.
Если же начать путь в В, то можно завершить его в С. А если начать путь в С, то можно завершить его в В.

Ответ: Из точки В или из точки С.

19. Друзья при встрече обменялись рукопожатиями. Рукопожатий было 15. Сколько было друзей?

Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то рукопожатие было бы всего одно. Если бы их было трое, то рукопожатий было бы три, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из второго рисунка видно, что рукопожатий было бы 6. Если друзей пятеро, то рукопожатий 10 (см. третий рисунок). А если их шестеро, то рукопожатий 15 (см. последний рисунок).

Ответ: 6.

20. Известно, что a + b = 24. Чему равно (а + 7) + (b – 2)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 29.

21. В левом нижнем углу шахматной доски (на поле а1) стоит ладья. Два игрока по очереди ходят ею на любое число полей вправо или вверх. Побеждает тот, кто попадет ладьей в правый верхний угол доски (на поле h8). Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы ходить ладьей на диагональ а1–h8. Если один игрок сделает это, то другой обязательно уйдет с этой диагонали. И рано или поздно игрок, ставящий ладью на эту диагональ, поставит ее на поле h8, то есть выиграет.

Ответ: Нужно предоставить первый ход партнеру и каждым своим ходом возвращать ладью на диагональ а1–h8.

Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Шахматы для этого иметь необязательно, а вот доску, разлинованную в клетку, иметь полезно. На такой доске мгновенно рисуется шахматная доска и отмечаются точками положения ладьи после каждого хода.

22. У Милы вчетверо больше кукол, чем у Лены, а у нее на 12 кукол меньше, чем у Милы. Сколько кукол у Милы?

Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Милы 16 кукол, а у Лены их 4.

Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:

=

Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 12? Дописываем:

= 12.

Многие догадаются, что двенадцати равна разность числа кукол Милы и Лены:

(число кукол Милы) – (число кукол Лены) = 12.

Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначать через х ту величину, о которой спрашивается в задаче, было бы неудобно: у Милы кукол больше, чем у Лены, и пришлось бы х делить на 4. Поэтому обозначим через х число кукол Лены:
х – число кукол у Лены. Получается, что:(число кукол Милы) – х = 12.
Теперь уже многие догадаются, что число кукол Милы равно 4 х, и уравнение примет вид:

4 х – х = 12.

Ответ: 16.

23. В клетке сидят две змеи одинаковой толщины. Одна из них длинная, другая – короткая. Придумайте такой лаз из клетки, чтобы короткая змея могла через него выбраться из клетки, а длинная – не могла.

Ответ: Лаз должен пересекать сам себя, имея форму петли. Тогда короткая змея пролезет через него, а длинная запрет сама себя:

24. Разгадай ребус:

Решение. Последовательность решения может быть такой:

И так далее.

Ответ: 234785 x 3215.

25. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?

Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.

Ответ: Из точки А или из точки D.

26. Известно, что a + b = 14. Чему равно ( а + 7) + (b – 7)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 14.

27. Бригада из пяти плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?

Решение. Конечно, можно решить эту задачу с помощью уравнения:,

х + 1000 + 180 = 6х,
5х = 1180,
х = 236.

Но гораздо лучше эту задачу оживить таким, например, рассказом.

Пятеро плотников и один столяр выполнили работу по остеклению большого балкона. Когда они показали работу хозяину, он остался очень доволен и дал им за это деньги. Работники сосчитали деньги и увидели, что сумма делится на шесть. Они разделили деньги поровну. Но тут один из плотников сказал: "Так несправедливо. Столяр выполнил более важную работу, чем мы, плотники. Так что нужно и денег дать ему больше. Дадим ему больше на 30 рублей". Все согласились. Плотники собрали 30 рублей и отдали их столяру. После этого нужно потребовать пересказать всю эту историю. А затем пусть дети ответят на вопросы:

1) Можно ли считать, что вначале столяр и плотники получили средний заработок? (Да, так как вначале деньги разделили поровну.)
2) Сколько денег собрали затем с каждого плотника? (30 р. : 5 = 6 р.)
3) Сколько денег имел каждый член бригады первоначально? (200 р. + 6 р. = 206 р.)
4) Сколько денег получил столяр в результате?
(206 р. + 30 р. = 236 р.)

Ответ: столяр заработал 236 рублей.

28. Сколько кратчайших путей ведет из домика Кенги в домик Совы по этим дорожкам?

Решение. Из точки К в точку А ведет один путь. Точно то же можно сказать о точках Б, В, Г, Д и Е. В точку Ж ведут из К два пути: один через точку А, другой – через Д. В точку Н ведут 3 пути, в точку О – 6 путей, в точку И – 4 пути, в точку М – 5 путей, в точку П – 10 путей. В точку С ведет 15 путей.

Ответ: 15.

29. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более легкую) монету из 25 монет?

Ответ: Тремя, так как число монет больше 9, но не больше 27.

30. Бригада из шести плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?

Решение. Задача решается точно так же, как и задача 27. Ее можно использовать, чтобы убедиться, что дети поняли решение задачи 27.

Ответ: Столяр заработал 235 рублей.

31. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь два" расшифруй фразу "ргонглъг ж росв бпд нгогроср".

Решение. Заменяем каждую букву той, которая идет за ней второй по алфавиту.

Ответ: Терпенье и труд всё перетрут.

32. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?

Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.

Ответ: Из точки В или из точки D.

33. Продолжи последовательность: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, … .

Решение. Каждая тройка членов – это числа вида 1, 2, 3 с одинаковым, каждый раз увеличивающимся на один числом нулей на конце.

Ответ: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000, 10000, 20000, 30000, … .

34. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько нужно установить на сейфе разных замков и как распределить ключи от них, чтобы никакой член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это сделать?

Решение. Нужно добиться, чтобы ни один человек не мог сам открыть сейф, но любой подошедший к нему второй человек мог бы помочь ему это сделать. Для этого требуется, чтобы каждый не мог открыть одного замка, который открывает каждый из двух его товарищей. Не дадим первому ключа от одного замка, второму – ключа от другого замка, третьему – ключа еще от одного замка. Тогда хватит трех замков. (Полезно устроить инсценировку с ключами, нарисовав сейф и замки на доске.)

Ответ: 3 замка, причем:
1-й человек не имеет ключа от замка № 1, но имеет ключи от замков № 2 и № 3;
2-й человек не имеет ключа от замка № 2, но имеет ключи от замков № 1 и № 3;
3-й человек не имеет ключа от замка № 3, но имеет ключи от замков № 1 и № 2.

35. В левом нижнем углу шахматной доски 8 x 8 стоит король. Два игрока по очереди ходят им на одно поле вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали. Побеждает тот, кто попадет королем в правый верхний угол доски. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы ходить королем на выгодные поля и не ходить на невыгодные. Изучим с этой точки зрения шахматную доску.

Поле h8 – выгодное. Значит, поля g8, g7, h7 – невыгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на h8). Значит, поля f8 и h6 – выгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник с них попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные.
Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на b2, а затем ходить на поля, отмеченные плюсами (это черные поля, стоящие в четных горизонталях и в четных вертикалях шахматной доски).
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Шахматы для этого иметь необязательно, а вот доску, разлинованную в клетку, иметь полезно. На такой доске мгновенно рисуется шахматная доска и отмечаются точками положения короля после каждого хода.

36. Известно, что a – b = 9. Чему равно (а + 7) – b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 16.

37. Доктор Айболит должен попасть к больному Бегемоту. Сколько существует кратчайших путей из точки А в точку Б на этом рисунке?

Решение. В точку К Айболит может попасть тремя способами, а значит, он может прибыть к Бегемоту через точку К тремя способами. Через точку М он может прибыть к Бегемоту шестью способами. Итог: из А в Б ведут девять путей.

Ответ: 9.

38. Трое соревновались, кто из них самый сообразительный. Они обратились за решением спора к мудрецу. Тот показал им пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал. Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Как можно об этом догадаться, видя белые колпаки на других, но не видя своего колпака?

Решение. Можно рассуждать так. Я вижу два белых колпака. На мне может быть белый или черный. Если бы на мне был черный колпак, то второй человек видел бы один белый колпак и один черный. Он думал бы, что если на нем черный колпак, то третий должен сразу сказать, что на нем белый: ведь черных колпаков всего два. Но третий не говорит, что на нем белый колпак, значит, думал бы второй, на мне белый. Но поскольку второй молчит, то он не видит на мне черного колпака. Значит, на мне белый.

Ответ: Потому что другие молчат.

39. Если Андреев даст Петрову 300 рублей, то у них будет поровну. На сколько у Андреева денег больше, чем у Петрова?

Ответ: На 600 рублей.

40. Известно, что a – b = 11. Чему равно а – (b + 5)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 6.

41. Турнир по волейболу проводится по необычным правилам. Команда А считается превосходящей команду В в двух случаях: если она победила команду В в личной встрече или если она победила команду С, победившую команду В (ничьих в волейболе не бывает). Чемпионом объявляется команда, превосходящая все другие команды. Докажите, что в этом турнире могут оказаться три чемпиона.

Решение. Представим себе, что в таком турнире три команды обыграли всех остальных, а между собой сыграли так: первая обыграла вторую, вторая обыграла третью, а третья обыграла первую. Тогда каждая из них превосходит все остальные команды. Например, вторая превосходит третью, так как обыграла ее, вторая превосходит первую, так как обыграла третью, которая обыграла первую, вторая превосходит все остальные команды, так как обыграла их.

42. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:

Ответ:

43. В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000 рублей за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб. Каков был гонорар за первую статью?

Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам:

=

= 4000

(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + (второй гонорар) = 4000

(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + 2000 = 4000

х – половина первого гонорара

2 х – первый гонорар

2 х – х + 2000 = 4000

Ответ: 4000 рублей.

44. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более тяжелую) монету из 60 монет?

Решение. Четырьмя, так как число монет больше 27, но не больше 81.

45. Разгадай ребус:

Решение. Сразу видно, что последняя цифра третьей строки – 4 и что средняя цифра второй строки – 0:

Первый множитель оканчивается либо цифрой 1, либо цифрой 6, так как умножение ее на 4 дает 4 на конце. Но умножение первого множителя на 5 дает число с нулем на конце. Поэтому первый множитель оканчивается на 6.

Ответ: 236 x 504 = 118944.

46. Сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 5?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – тоже любую из пяти цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 5 = 25 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из пяти цифр. Поэтому всего таких чисел 25 x 5 = 125 чисел.

Ответ: 125.

Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 3? Тогда ответ – 27, и все числа можно выписать: 111, 112, 113, 121, 122, 123 и т. д.

47. Этими кубиками написано число 7. Какие числа надо написать на гранях двух кубиков, чтобы получился календарь, то есть чтобы можно было писать кубиками все числа от 01 до 31?

Решение. Цифру 1 надо иметь на обоих кубиках, чтобы писать 11. Точно так же нужно иметь на обоих кубиках 2, чтобы писать 22. На обоих кубиках нужен и нуль, чтобы писать 01, 02, …, 09. Остается из 12 граней двух кубиков свободных 6 граней, на которых надо разместить 7 цифр: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Задача кажется неразрешимой. Однако нам не нужна девятка: ее заменяет перевернутая шестерка.

Ответ: На одном кубике надо написать 0, 1, 2, 3, 4 и 5, на другом 0, 1, 2, 6, 7 и 8.

48. В левом нижнем углу шахматной доски 6 x 7 стоит ферзь. Два игрока по очереди ходят им на любое число полей вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали.
Побеждает тот, кто попадет ферзем в правый верхний угол доски. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы ходить ферзем на выгодные поля и не ходить на невыгодные. Изучим с этой точки зрения нашу доску.

Поле f7 – выгодное. Значит, поля, отмеченные знаком – на рисунке, – невыгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на f7). Значит, поля d6 и e5 – выгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник с него попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные.

Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на а4, а затем при любом ходе противника ходить на d6 или на е5, или сразу на f7.

49. Продолжи последовательность: 10, 200, 3000, … .

Решение. Каждый следующий член получается из предыдущего увеличением на 1 начальной части предыдущего члена (получающейся отбрасыванием стольких нулей на конце, каков номер члена), а также увеличением на единицу числа нулей.

Ответ: 10, 200, 3000, 40000, 500000, … .

50. Если считать этаж, на котором живет Катя, сверху, то получится вшестеро больше, чем если считать снизу. На каком этаже живет Катя, если в ее доме больше 10 и меньше 20 этажей?

Решение. Так как в доме меньше 20 этажей, то сверху можно насчитать либо 6, либо 12, либо 18 этажей (ведь это число делится на 6). Если сверху насчитывается 6 этажей, то снизу 1 этаж, и этажей в доме меньше 10, что противоречит условию. Если сверху 12 этажей, то снизу 2, то есть Катя живет на втором этаже, а над ней еще 11 этажей, и вместе это больше 10 и меньше 20, что соответствует условию. Наконец, если сверху 18 этажей, то снизу 3 этажа, Катя живет на 3 этаже, а над ней еще 17 этажей, то есть всего в доме 20 этажей, что противоречит условию.

Ответ: На третьем.

51. Известно, что a – b = 29. Чему равно (а – 3) – b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 26.

52. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. С какой точки можно начать обводку?

Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.

Ответ: С точки А или с точки В.

53. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, находящихся друг от друга на расстоянии 20 км. Скорость каждого велосипедиста 10 км/час. Одновременно вместе с первым выбежала собака. Собака бегала между велосипедистами: добежав до второго, она возвращалась к первому, потом опять ко второму и так далее до тех пор, пока они не встретились. Сколько пробежала собака, если ее скорость равнялась 20 км/ч?

Решение. Иногда начинают высчитывать, сколько пробежала собака до второго велосипедиста, потом – сколько до первого и так далее. А все очень просто. Велосипедисты ехали до встречи ровно час, и столько же времени бегала собака со скоростью 20 км/ч.

Ответ: 20 км.

54. Докажи, что эту фигуру нельзя обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

Решение. На фигуре больше двух точек, в которых сходится нечетное число путей. Поэтому нельзя начать обводку в одной из них и закончить в другой. Придется проходить через третью точку, что невозможно.

55. Сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 5?

Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – любую из оставшихся четырех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 4 = 20 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех оставшихся цифр. Поэтому всего таких чисел 20 x 3 = 60 чисел.

Ответ: 60.

Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 4? Тогда ответ – 24, и все числа можно выписать: 123, 124, 132, 134, 142, 143 и т.д.

56. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря, если известно, что буква Ё в ней шифруется, как Е: "пзмомбмамозю росвлю гг лг ащмбаможръ".

Решение. В этой фразе есть слово "гг". В русском языке таких слов, состоящих из одинаковых букв, нет. Однако если е и ё обозначаются одинаково, то "гг" может обозначать слово "ёё". Это и дает нам в руки отгадку: г расшифровывается как е, то есть расшифровка идет по правилу "прибавь два".

Ответ: "Скороговорка трудна, ее не выговорить".

57. В каком числе столько же цифр, сколько букв?

Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить, годится ли в качестве ответа число 1. В нем одна цифра, а букв четыре: о, д, и, н. Точно так же не годится число 2 и вообще никакое однозначное число. А какое число годится – пусть дети подумают сами.

Ответ: 100 и 1000000.

58. Известно, что a – b = 21. Чему равно (а + 7) – (b – 4)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 32.

59. В понедельник Андреев заработал вдвое больше Петрова. Во вторник Андреев истратил 100 рублей, а Петров заработал еще 200 рублей. После этого у них оказалось денег поровну. Сколько заработал каждый из них в понедельник?

Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам:

=

(Осталось у Андреева) = (Осталось у Петрова)

(Заработок Андреева в понедельник) – 100 =

= (Заработок Петрова в понедельник) + 200

х – заработок Петрова в понедельник

2х – заработок Андреева в понедельник

2х – 100 = х + 200

Ответ: Андреев – 600 р., Петров – 300 р.

60. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?

Решение. Первым взвешиванием сравним тысячу монет с другой тысячью монет. Если весы уравновесятся, фальшивая монета – та, которая не попала на весы. Тогда вторым взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты. Если же весы не уравновесятся, то возьмем, например, более легкую тысячу монет и вторым взвешиванием сравним ее половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи, то есть фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая монета среди более легкой тысячи, то есть она легче, чем настоящая.

61. В каком числе столько же единиц, сколько букв?

Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить, годится ли в качестве ответа число 1. В нем одна единица, а букв четыре: о, д, и, н. Точно так же не годится число 2. А число 3 годится: в нем три единицы, и оно записывается тремя буквами: т, р, и. Но это число не единственное – пусть дети найдут еще одно такое число.

Ответ: 3 и 11.

62. Известно, что a – b = 0. Чему равно (а + 6) – (b + 6)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 0.

63. Сыграйте в игру "Кто первый скажет: сорок?" Играют двое. Начинающий называет одно из четырех чисел: 1, 2, 3 или 4. Второй прибавляет к названному числу одно из тех же чисел и так далее. Выигрывает тот, кто первый сможет назвать число 40. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

А как надо играть, если проигрывает назвавший 40?

Решение. В первой игре надо назвать 40.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 36 до 39. Для этого надо назвать 35.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 31 до 34. Для этого надо назвать 30.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 26 до 29. Для этого надо назвать 25.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 21 до 24. Для этого надо назвать 20.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 16 до 19. Для этого надо назвать 15.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 11 до 14. Для этого надо назвать 10.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 6 до 9. Для этого надо назвать 5. Это можно сделать, если противник назовет любое число от 1 до 4.
Во второй игре надо заставить противника назвать 40. Для этого надо назвать 39.
Это можно сделать, если противник назовет любое число от 35 до 38. Для этого надо назвать 34.
И так далее.

Ответ: В первой игре надо предоставить первый ход противнику, в свою очередь назвать число 5 и далее, независимо от того, какие числа называет противник, называть числа, оканчивающиеся на 0 или на 5.

Во второй игре надо ходить первым, назвать число 4 и далее, независимо от того, какие числа называет противник, называть числа, оканчивающиеся на 9 или на 4.

64. Сколько существует двузначных чисел, у которых вторая цифра больше первой?

Решение. На 1 начинаются восемь таких чисел: от 12 до 19, на 2 – семь, на 3 – шесть, на 4 – пять, на 5 – четыре, на 6 – три, на 7 – два, на 8 – одно число.

Ответ: 36.

65. Разгадай ребус:

Решение. Напишем очевидные цифры:

Теперь определяется первый множитель:

405 x * дает 2**5, значит, * = 5, и второй множитель разгадан.

Ответ: 405 x 205 = 83025.

66. Продолжи последовательность: 2, 2, 4, 12, 48, … .

Решение. Каждый член последовательности равен предыдущему, умноженному на 1, 2, 3, … .

Ответ: 2, 2, 4, 12, 48, 240, 1440, … .

67. Перечеркни эти девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.

Решение дано на рисунке.

68. Известно, что a * b = 8. Чему равно (а * 3) * b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 24.

69. Переложи две спички, чтобы равенство стало верным:

Ответ:

70. Папа с сыном играют в шашки. У папы на две шашки больше, чем у сына, а всего у них 12 шашек. Сколько шашек у каждого?

Решение. Возможны четыре способа решения.

1-й способ. Обозначим через х число шашек у сына, а через х + 2 – число шашек у папы. Тогда (х + 2) + х = 12.
2-й способ. Обозначим через х число шашек у сына, а через 12 – х – число шашек у папы. Тогда (12 – х) – х = 2.
3-й способ. Обозначим через х число шашек у папы, а через х – 2 – число шашек у сына. Тогда х + (х – 2) = 12.
4-й способ. Обозначим через х число шашек у папы, а через 12 – х – число шашек у сына. Тогда х – (12 – х) = 2.

Однако наиболее приемлем в 4-м классе первый способ – уравнение решается легче.

Ответ: 7 и 5.

71. Сложи из шести спичек четыре треугольника.

Решение дано на рисунке.

72. В классе причесанных девочек столько же, сколько непричесанных мальчиков. Кого в классе больше, девочек или непричесанных учеников?

Решение. Очевидно, класс состоит из причесанных девочек, причесанных мальчиков, непричесанных девочек и непричесанных мальчиков. Число девочек в классе есть сумма числа причесанных девочек и числа непричесанных девочек. Число непричесанных учеников есть сумма числа непричесанных мальчиков и числа непричесанных девочек. Но первые слагаемые этих сумм равны по условию, а вторые слагаемые совпадают (см. рисунок).

Ответ: Одинаково.

73. Сколько существует семизначных чисел, у которых каждая цифра – 1, 2 или 3?

Решение. На первое место можно поставить любую из трех цифр. На второе – любую из трех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 3 x 3 = 9 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех цифр. Поэтому всего таких чисел 9 x 3 = 27 чисел.

Ответ: 27.

74. Известно, что a * b = 15. Чему равно а * (b * 3)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 45.

75. Пять победителей конкурса "Кто громче крикнет" получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?

Решение. Трое съели 15 орехов. После этого у них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до этого у них было столько, сколько выдали троим. Значит, 15 орехов было выдано одному из них.

Ответ: 75.

76. На верхней полке было в 7 раз больше книг, чем на нижней. Когда с верхней полки взяли 12 книг, а на нижнюю поставили еще 8 книг, то на верхней полке оказалось в три раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:
(Стало на верхней полке) = 3 x (Стало на нижней полке)
х – было на нижней полке,
7х – было на верхней полке,
7х – 12 = 3 x (х + 8).

Ответ: На верхней 63, на нижней 9.

77. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?

Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число шариков в ящиках. Это можно сделать первым ходом, взяв из второго ящика 30 шариков. Партнер обязательно нарушит полученное равенство, а мы опять восстановим его. Число шариков все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число шариков в ящиках, доведет это равенство до 0 – 0, то есть выиграет.

Ответ: Нужно начать игру, взяв из второго ящика 30 шариков и в дальнейшем каждый раз уравнивая их число.

78. Известно, что a x b = 12. Чему равно (а x 3) x b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 36.

79. Задача из Древней Греции. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у всех муз и граций плодов стало поровну. Сколько плодов было у каждой грации до встречи, если у муз не было ни одного плода?

Решение. Минимальное число плодов, которое могла отдать грация каждой музе, равно 1. В этом случае каждая муза получила бы по три плода. Значит, у каждой музы и каждой грации в результате оказалось бы по три плода. Всего, таким образом, в задаче имелось 3 x 12 = 36 плодов. Поэтому у каждой грации первоначально имелось по 36 : 3 = 12 плодов.
Проверим полученное предположение. Если у каждой из 3 граций было по 12 плодов и если каждая грация дала каждой из 9 муз по одному плоду, то у каждой грации осталось по 3 плода, а у каждой музы стало тоже по 3 плода.
Однако это решение не единственное. Если предположить, что каждая грация отдала каждой музе по 2 плода, то мы приходим к ответу 6, а если по 3 плода, то ответ будет 24. Вообще можно считать, что грация передает каждой музе по одинаковой кучке плодов, и тогда ответом будет 12, умноженное на число плодов в этой кучке.

Ответ: Любое число, делящееся на 12.

80. Ученый Винежер придумал такой способ шифровки текста. Вначале задумывается какое-нибудь слово (ключ шифра). Затем определяются номера букв этого слова в алфавите. А затем в шифруемом тексте каждая буква заменяется на следующую за ней в алфавите с таким сдвигом, который указывает полученный ключ. Например, зашифруем фразу "Сегодня хорошая погода" с помощью ключа "гав". Определим номера букв в ключе:

Теперь сдвинем буквы в соответствии с ключом, повторяя его, сколько нужно раз:

Последняя запись и будет шифром. Объясни, как, зная ключ "гав", прочитать запись "Хжжтерг цсфпыда ттдсзб".

Ответ: Нужно записать под данной фразой цифры 413…, а затем сдвигаться по алфавиту назад на столько букв, какова цифра под расшифровываемой буквой.

81. Известно, что a x b = 18. Чему равно (а x 2) x (b : 3)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 12.

82. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, другой – в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в этом турнире?

Решение. Чтобы понять условие, нужно разобраться, какие игры и в каких городах проведет каждая команда. Начнем, например, с команды Москвы. Она проведет две игры с петербуржцами: одну в Москве, одну в Санкт-Петербурге. Она проведет две игры с Великим Новгородом: одну у себя, другую в гостях – и т. д. Результатом такого рассмотрения становится рисунок, на котором изображено пять стадионов и отмечено, какие команды приедут в гости на эти стадионы. Теперь ясно, что в каждом городе состоится по 4 матча, а всего матчей будет 5 x 4 = 20. Полезно спросить, сколько было бы матчей на каждом стадионе и сколько всего, если бы команд было 10. А самые сильные ученики могут придумать формулу n x (n – 1), обозначающую число встреч в двухкруговом турнире с n участниками.

Ответ: по 4 на каждом стадионе; всего 20.

83. Старинная русская задача. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?

Решение. Самую маленькую цену – цену собаки – примем за 1 часть. Тогда цена коровы равна 4 частям, цена лошади – 16 частям, а общая цена покупки равна 1 + 8 + 16 = 25 частям. И так как 200 рублей равны 25 частям, то все цены легко определяются.

Ответ: Собака стоила 8 р., корова – 32 р., лошадь – 128 р.

84. В пакете лежат конфеты. Если раздать их детям по 5 конфет каждому, то двоим конфет не достанется. А если раздать их по 4 конфеты, то в пакете останется еще 176 штук. Сколько конфет в пакете?

Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:
Конфет при первой раздаче = Конфет при второй раздаче
х – число детей
х – 2 – число детей, которым досталось по 5 конфет при первой раздаче
5 (х – 2) = 4х + 176.

Ответ: 920.

85. Известно, что a x b = 27. Чему равно (а : 3) x (b : 3)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 3.

86. Среди 18 монет есть одна фальшивая, более легкая. Как одним взвешиванием на чашечных весах без гирь отобрать среди этих монет 6 настоящих?

Ответ: Разделив монеты на 3 группы, надо сравнить вес двух шестерок.

87. Возьми любое трехзначное число и припиши к нему такое же число. Получится шестизначное число. Раздели его на 7. Что получится, раздели на 11. Что получится, раздели на 13. У тебя получится то трехзначное число, с которого ты начал. Почему?

Решение. Приписав к трехзначному числу такое же число, мы умножили его на 1001. А разделив полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, мы снова разделили его на 1001. Заметим, что эту задачу легко превратить в игру, когда один ученик пишет на листе бумаги трехзначное число и передает его второму, второй дописывает число до шестизначного и передает его третьему, третий делит число на 7 и т. д. и, наконец, результат возвращается первому.

Ответ: 7 x 11 x 13 = 1001.

88. У мальчика в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом. Если в оба кармана положить еще по 10 орехов, то в правом кармане их будет вдвое больше, чем в левом. Сколько орехов в каждом кармане?

Решение. Одно из возможных уравнений составляется так:

Будет орехов в правом кармане = 2 x (Будет орехов в левом кармане)
х – имеется орехов в левом кармане
3х – имеется орехов в правом кармане
3х + 10 = 2 x (х + 10).

Ответ: 10 в левом, 30 в правом.

89. Известно, что a : b = 8. Чему равно (а x 3) : b?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 24.

90. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить поровну между 12 людьми. Как это сделать, разрезая каждый батон на равные части, но не разрезая ни один на 12 частей?

Решение. Можно каждый из трех батонов разделить на четыре части, а каждый из остальных четырех батонов разделить на три части. Получится 12 четвертушек и 12 третьих долей батона. Каждому из 12 людей надо дать по одной четвертушке и по одной трети батона. Тем самым будет роздан весь хлеб, и притом каждый получит поровну. Это служит достаточным основанием для доказательства, что задача решена. В таком виде ее могут решить люди, не умеющие работать с дробями. Но в 4-м классе можно подтвердить результат арифметически. Заметим, что именно так работали с дробями древние египтяне, сводившие всякую задачу о дробях к задаче о долях.

Ответ: см. рисунок выше.

91. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в один круг: каждая пара встречается один раз. Сколько всего матчей в этом турнире?

Матчей будет вдвое меньше, чем в двухкруговом турнире, то есть не 20, а 10. Заметим, что если бы команд было 10, то матчей было бы (10 x 9) : 2 = 45, а общая формула числа матчей при n участниках выглядит так: Ту же задачу можно решить на чертеже, на котором отрезок обозначает матч. Отрезков, как мы видим непосредственно, десять. И, наконец, можно эту задачу театрализовать. Вызовем к доске пятерых учащихся и приколем им нагрудные знаки: М., С-Пб., В.Н., Н.Н. и Е. Шестому ученику дадим нарукавную повязку судьи соревнования. Договоримся обозначать матчи рукопожатиями. Сначала пожимает руки товарищам москвич. Судья фиксирует на доске, что он сделал 4 рукопожатия – 4 матча. Москвич садится на место, а петербуржец пожимает руки остальным – 3 рукопожатия. И так далее. Судья подсчитывает число матчей:
4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ответ: 10.

92. Как с помощью сосудов 4 и 7 л налить из-под водопроводного крана в чайник ровно 2 л воды?

Решение. Эту задачу можно решать двумя способами.

Первый способ состоит из таких операций: наливаем воду из крана в меньший сосуд, переливаем ее из меньшего сосуда в больший, выливаем воду из большего сосуда.

Второй способ состоит из таких операций: наливаем воду из крана в больший сосуд, переливаем ее из большего сосуда в меньший, выливаем воду из меньшего сосуда.

Надо попробовать оба способа и выбрать наиболее короткий.

1-й способ

В чайник 1 л, после этого операции повторяются. Итого первым способом можно выполнить требуемое за 10 переливаний.

2-й способ

Как видно, второй способ короче на одно переливание.

Заметим, что задачу можно существенно упростить, потребовав вылить в чайник 3 литра воды.

93. Старинная китайская задача. Имеются вещи. Если считать их тройками, то останется 2; если считать пятерками, то останется 3; если считать семерками, то останется 2. Сколько вещей?

Решение. Задача решается либо составлением системы, либо подбором. В 4-м классе возможен только второй путь решения.

Из первого условия ясно, что число вещей может быть таким: 5, 8, 11, … .
Из второго условия ясно, что число вещей может быть таким: 8, 13, 18, … .
Из третьего условия ясно, что число вещей может быть таким: 9, 16, 23, … .
Напишем эти последовательности до получения совпадающих членов во всех трех:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … .
8, 13, 18, 23,… .
9, 16, 23, … .

Ответ: 23.

94. Сделай рисунок симметричным:

95. Разгадай ребус: x ***

Решение. Нужно заметить, что при умножении первого множителя на 8 получается трехзначное число, а при умножении на первую и на третью цифры получаются четырехзначные числа. Значит, второй множитель – это 989. Остается выяснить, какое число при умножении на 8 дает трехзначное произведение, а при умножении на 9 – четырехзначное. Это число большее, чем 111, и меньшее, чем 125. В то же время известно, что при умножении на 9 оно дает число, оканчивающееся на 9. Значит, оно оканчивается на 1. Итак, это 121.

Ответ: 121 x 989 = 119669.

96. Известно, что a : b = 28. Чему равно а : (b : 2)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 14.

97. Задача из "Арифметики" Л. Магницкого. Найти число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4.

Решение. Прибавим к искомому числу единицу. Тогда полученная сумма будет делиться без остатка и на 2, и на 3, и на 4, и на 5. Таким свойством обладает число, делящееся на 60. Поэтому полученная нами сумма равна 60, либо 120, либо 180 и т.д.

Ответ: Число, на единицу меньшее любого числа, делящегося на 60.

98. Найди сумму первых ста нечетных чисел. Великий русский математик Андрей Николаевич Колмогоров решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.

Решение. Сумма нескольких первых нечетных чисел равна их числу, умноженному на себя: 1 = 1x 1, 1 + 3 = 2 x 2, 1 + 3 + 5 = 3 x 3 и т. д. Это хорошо видно на чертеже.

Ответ: 100 x 100 = 10000.

99. Известно, что a : b = 10. Чему равно (а x 3) : (b x 5)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 6.

100. Шесть котов в шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы в сто минут съесть сто мышей?

Решение. Обычный ответ "100 котов" неверен. Шестерка котов, о которых говорится в задаче, в 6 минут съедает 6 мышей, то есть за каждую минуту она съедает одну мышь.

Ответ: 6 котов.

102. Одна из 75 одинаковых по виду монет – фальшивая, она несколько отличается по весу от остальных. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить, легче или тяжелее эта монета, чем остальные?

Решение. Разделим монеты на три группы по 25 монет и сравним веса первой и второй группы, а затем – первой и третьей группы.

103. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 5 до 25?

Решение. Нулей столько, сколько множителей 10 в этом произведении. Множитель 10 состоит из множителей 2 и 5. Пятерок в данном наборе множителей меньше, чем двоек, поэтому десяток будет столько, сколько пятерок. Пятерки встречаются в числах 5, 10, 15, 20 и 25. Но в числе 25 две пятерки, значит, всего пятерок в этом произведении 6.

Ответ: 6.

104. В надписи "гбжщве дгмё фсрземлсетэ", зашифрованной шифром Винежера, имеется слово "явка". Известно, что ключ состоит из четырех букв. Расшифруй надпись.

Решение. Слово "явка", присутствующее в тексте, – единственное четырехбуквенное слово "дгмё". Значит, я перешло при шифровке в д, в – в г, к – в м, а – в ё. В первом случае имеем сдвиг на 5 букв, во втором – на 1, в третьем – на 2, в четвертом – на 6 букв, что соответствует такой расшифровке:

Ответ: "Бывшая явка провалилась".

105. Кузнечик прыгает по прямой. Каждый прыжок вправо равен 3 дм, а каждый прыжок влево равен 5 дм. Сможет ли он попасть из точки А в точку В, лежащую вправо от А на расстоянии 1 дм?

Решение. Надо, чтобы 3х – 5у, где х – число прыжков вправо, а у – число прыжков влево, было равно 1. Это получается, например, при х = 7, у = 4.

Ответ: Можно сделать из А (в любом порядке) 7 прыжков вправо и 4 прыжка влево.

106. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50.

Решение. 4 + 6 + 8 + … + 46 + 48 + 50 – это сумма двадцати четырех чисел. Пары чисел, одинаково удаленных от концов этого выражения, составляют в сумме 54 : 4 + 50 = 6 + 48 = 8 + 46, так как каждый раз первое слагаемое увеличивается на 2, а второе уменьшается на 2. Таких пар 12. Значит, общая сумма равна 54 x 12.

Ответ: 648.

107. В обычном домино наибольшее значение клетки – 6 очков. В нем всего 28 косточек. Сколько будет косточек в домино, у которого наибольшее число очков – 7?

Решение. Представим себе, что мы должны сделать такое домино и что нам в качестве полуфабриката выдали отдельные квадратики. Мы должны склеить эти квадратики по два в косточки домино. На одних квадратиках мы поставим по семь точек (рисунок), на других – по шесть, на третьих – по пять, на четвертых – по четыре, на пятых – по три, на шестых – по две, на седьмых – по одной, а восьмые оставим без точек. Подсчитаем, сколько квадратиков каждого вида нам нужно будет подготовить для склеивания. Возьмем, например, пустышки. Они понадобятся для изготовления восьми разных косточек. В этих косточках таких квадратиков будет девять. Значит, квадратиков каждого вида нужно по девять. А таких видов, как мы уже выяснили, восемь. Теперь нетрудно подсчитать, сколько понадобится квадратиков, а потом – сколько получится косточек.

Ответ: 36.

108. Известно, что a : b = 30. Чему равно (а : 3) : (b : 3)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 30.

110. В шахматном турнире 10 шахматистов играют в один круг. Сколько будет сыграно партий?

Решение. Если бы они играли в два круга, то партий было бы 90 (например, каждый играет белыми по 9 партий, и всего партий 9 x 10 = 90). А так как играется только один круг, то партий вдвое меньше.

Ответ: 45.

111. Гавиал, кашалот и пеликан съели 31 рыбу. Кашалот съел рыб во столько раз больше, чем пеликан, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько рыб съел каждый из них?

Решение. Составим пропорцию: К : П = П : Г, откуда П x П = К x Г. Подберем такие три числа К, П и Г, которые удовлетворяют этому условию и в то же время в сумме дают 31. Это 1, 5 и 25.

Ответ: Кашалот съел 25 рыб, пеликан съел 5 рыб, гавиал съел 1 рыбу.

112. Известно, что a : b = 8. Чему равно (а x 3) : (b x 3)?

Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 8.

113. Как с помощью прямоугольной плитки размерами 5 x 7см начертиить на листе бумаги отрезок длиной 1 см?

Решение. Во-первых, начертим отрезок достаточной длины. Во-вторых, отложим на нем три отрезка по 5 см, а затем на этом отрезке от его конца отложим два отрезка по 7 см. Получится 5 x 3 – 7 x 2 = 1 (см).

114. Трое хотят попасть из города А в деревню Б за кратчайшее время. Расстояние от А до Б – 30 км. У них есть 2 велосипеда. На велосипеде вдвоем или втроем ехать нельзя. Скорость их на велосипеде 15 км/ч, а пешком 5 км/ч. За какое время они могут попасть в Б?

Решение. Важно поровну распределить время движения на двух велосипедах между тремя людьми, чтобы никто не отстал от остальных. Этого можно добиться, если первый и второй сядут на велосипеды, а третий пойдет пешком. Проехав 1/3 пути, первый должен сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Второй должен проехать 2/3 пути, сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Третий, дойдя до велосипеда, оставленного первым, садится на него и едет до пункта Б. Первый, пройдя 1/3 пути пешком, дойдет до велосипеда, оставленного вторым, сядет на него и доедет до Б. В результате каждый пройдет 10 км пешком, а 20 км проедет на велосипеде.

Ответ: За 3 часа 20 мин.

115. Разгадай ребус:

Решение. Во-первых, ясно, что Е = 0 и А = 1:

Теперь видно, что В = 5:

Остальное очевидно.

Ответ: 5240 + 5210 = 10450.

116. В 1 кг сплава олова и никеля содержится 40% олова. Сколько олова надо добавить в этот сплав, чтобы оно составило 50% сплава?

Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 400 г, а никеля – 600 г. Чтобы олово составило половину сплава, нужно довести его до 600 г.

Ответ: 200 г.

117. Двое путников одновременно вышли из пунктв А в пункт В. Первый половину времени, затраченного им на переход, шел со скоростью 5 км/час, а затем пошел со скоростью 4 км/час. Второй же первую половину пути прошел со скоростью 4 км/час, а затем пошел со скоростью 5 км/час. Кто из них раньше пришел в пункт В?

Решение. Для обоих путников одинаково пройденное расстояние. Первый половину времени шел со скоростью 5 км/ч, а значит, он с большей скоростью прошел больше половины пути. Второй же ровно половину пути прошел с большей скоростью, значит, первый потратил времени меньше.

Ответ: Первый.

118. 1 кг грибов имел влажность 99%. Его подсушили до 98% влажности. Сколько теперь весят эти грибы?

Решение. Очень трудно предугадать ответ этой задачи. Советую попробовать сделать это в классе. Дети будут называть числа, близкие к 1 кг. А между тем, во время подсушивания испарялась вода, а сухое вещество, которого было и осталось 10 г, из 1% превратилось в 2%. Так что масса грибов уменьшилась вдвое.

Ответ: 500 г.

119. В шахматы играют 20 человек, без ничьих, на выбывание. Сколько будет сыграно партий?

Решение. Это еще одна форма соревнований: проигравший одну партию сразу выбывает. Должно выбыть 19 человек, значит, партий должно быть столько, сколько человек должно выбыть.

Ответ: 19.

120. У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно поставить свои часы. Как мне удалось это сделать?

Решение. Я завел свои часы и запомнил, сколько времени они показывают. Придя к другу и уходя от него, я оба раза посмотрел на его часы, а поэтому я знал, сколько времени я пробыл у него и во сколько от него ушел. Придя домой, я определил по своим часам, сколько времени я отсутствовал, а вычтя из этого времени то время, которое пробыл у друга, определил, сколько времени я потратил на путь к нему и от него. Разделив это время пополам и прибавив его к последнему показанию часов друга, я определил время прибытия к себе домой. (Например, пусть я поставил свои часы на 12.00, придя к лругу, увидел, что на его часах 16.00, уходя от него увидел на его часах 17.00, а придя домой, увидел, что мои часы показывают 13.30. Тогда я определяю, что отсутствовал 1,5 часа, из них ровно час был у друга, значит, на дорогу в оба конца потратил полчаса, а на путь от друга домой – 15 минут. Я ставлю свои часы на 17.15.)

121. Как с помощью сосудов 3 и 7 л налить из-под водопроводного крана в чайник ровно 2 л воды?

Решение.

122. В 1 кг сплава олова и никеля содержится 50% олова. Сколько никеля надо добавить в этот сплав, чтобы он составил 60% сплава?

Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 500 г и никеля – 500 г. Чтобы никель составил 60% сплава, нужно сделать так, чтобы 500 г олова составляли 40% сплава, то есть чтобы в сплаве было 1250 г.

Ответ: 250 г.

Продолжение…

Нестандартные задачи на уроках математики в 4-м классе

123. Сорок учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждой шеренге и по 4 в каждой колонне. В каждой шеренге выбран самый низенький ученик, а затем из 4 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждой колонне был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров?

Решение. Пусть в той же колонне, что Андреев и в той же шеренге, что Петров, стоит Сергеев. Тогда он выше Андреева и ниже Петрова, то есть Петров выше Андреева.

Ответ: Петров.

124. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 80% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?

Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 80%, а 40% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 40%.

Ответ: 50%.

125. В клетках квадрата 3х3 были записаны натуральные числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерли. Остались 24 в нижнем правом углу, 15 в центре и 9 правее 15. Восстановите стертые числа.

Решение. Обозначим через а число в правом верхнем углу:

Так как суммы цифр во всех столбцах, строках и диагоналях одинаковы, то каждая из них равна а + 33. Значит, в левом нижнем углу стоит число 18:

Поставим число b левее числа 15:

Так как сумма в левом столбце равна сумме во второй строке, то есть равна 24 + b, то в верхнем левом углу стоит число 6:

У нас заполнилась диагональ, по которой можно найти сумму чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой диагонали. Эта сумма равна 6 + 15 + 24 = 45. Теперь можно заполнить и все остальные клетки.

Ответ:

126. Выписаны подряд все числа от 1 до 60, без пробелов между цифрами: 123456789101112…585960. Надо вычеркнуть 100 цифр, чтобы оставшееся число оказалось наименьшим.

Решение. Всего выписано 111 цифр (9 – на однозначные числа и еще 102 на 51 двузначное число). Значит, после вычеркивания 100 цифр останется 11-значное число. Чтобы оно было самым маленьким, нужно поставить в нем на первое место 1, а на последующие – нули. Однако нулей в нашей записи всего 6. Если мы выпишем их все, то за последним нулем цифр уже не останется. Попробуем оставить нули только от чисел 10, 20, 30, 40 и 50. Тогда у нас получится такое число: 10000051525354555657585960. От него можно оставить после 100000 еще 5 цифр. Так как нуль поставить нельзя, поставим самую маленькую из возможных – 1, вычеркнув первую пятерку после пяти нулей: 1000001525354555657585960. Теперь можно вычеркнуть еще две пятерки и все цифры между 4 и последним нулем, оставляя следующие за ними цифры: 10000012340.

Ответ: 10000012340.

127. Фразу "Страшнее кошки зверя нет" зашифруй кодом Виженера с помощью шифра "дева".

Решение. 

Ответ: Цшубэузё пфыло несд узу.

128. Сколько разломов надо сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные квадратики?

Решение. Вначале можно попробовать конкретные пути. В каждом случае будет получаться одно и то же: 23 разлома. И наконец, надо объяснить, что каждый разлом добавляет новый кусок. После первого разлома будет два куска, после второго три и так далее. Так как из одного куска нужно получить 24, то разломов будет 23.

Ответ: 23.

129. Имелось 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11 г. Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые?

Решение. Надо перенумеровать мешки. Затем надо взять из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее до десятого, из которого надо взять десять монет. Все эти монеты вместе надо взвесить. Если бы все монеты были настоящими, то все взятые монеты весили бы 10 + 20 + 30 + … + 90 + 100 = 550 г. Но они будут весить больше на столько граммов, сколько среди них фальшивых монет. А число фальшивых монет равно номеру мешка, из которого они взяты. (Например, если монеты весят 556 г, то фальшивых монет 6 и все они из одного мешка. А 6 монет мы брали из шестого мешка.)

130. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать?

Решение. В результате распределение орехов должно быть таким: 16, 16, 16.
Поэтому предпоследнее распределение должно быть таким: 16, 24, 8.
Перед этим распределение орехов может быть более разнообразным. Но нас должно заинтересовать такое, в котором есть хоть одна кучка с 22 или с 14 или с 12 орехами. Это может выглядеть так: 12, 20, 16.
Если теперь не трогать кучку в 12 орехов, то перед этим возможны такие распределения: 12, 10, 26, или 12, 28, 8.
Второе распределение можно получить из первоначального.

Ответ: Возможен следующий путь решения: 22, 14, 12 – 8, 28, 12 – 16, 20, 12 – 16, 8, 24 – 16, 16, 16.

131. В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 30% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?.

Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 30%, а 15% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 15%.

Ответ: 25%.

132. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток, а потом еще 100 км на север, снова оказаться в точке отправления?

Ответ: Во-первых, это Северный полюс. Но, кроме того, это бесконечное множество точек, лежащих невдалеке от Южного полюса и отвечающих следующему условию: если пройти из такой точки на юг, то окажешься на параллели, длина которой равна 100 : n км, где n – любое натуральное число.

133. 3 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 3. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

3 м – 200 р.
4,5 м – х р.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 9 м? 200 х 3 = 600 (р.).
2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 2 = 300 (р.).

Возможно и иное решение, так как 4,5 м = 3 м + 1,5 м, а 1,5 м стоят 200 : 2 = 100 (р.).

Ответ: 300 р.

134. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой таблице равна 15. Заполните пустые клетки таблицы:

Решение. Расставим буквы в пустые клетки таблицы:

Так как по условию 6 + a + b = a + b + c, то с = 6. Таким же образом равна 6 каждая из букв, стоящая через 2 после с. Это f, h, k. Так же доказывается, что каждая буква стоящая через две до и после 4, равна 4. Это е, b, j, m. Наконец, из условия 6 + a + b = 15 получаем, что а = 5. То же значение имеют все буквы, стоящие через две после а.

Ответ:

135. Разгадай ребус:

Решение. Так как А х А оканчивается на Е, не равное А, то А не может равняться 0, 1, 5 и 6. Так как при этом Е не равно 9, то А не может равняться 3 и 7. Значит, А может равняться только 2, 4, 8 или 9. Но В х A оканчивается на В, поэтому А не равно 2, не равно 4 и не равно 8. Значит, А = 9 и В = 5. После этого выясняется, что Е = 1, Ч = 2. Остается найти Д. Учитывая, что Д должно быть не больше 4, проверяем две оставшиеся возможности: Д = 3 и Д = 4.

Ответ: 459 х 459 = 210681.

136. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100?

Решение. Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.

Ответ: 24 нуля.

137. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маршака и Барто, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маршак и Барто стояли рядом?

Решение. Соединим томики Маршака и Барто в одну связку. Поставив на первое место томик Пушкина, на следующие три места мы можем поставить в любом порядке томик Лермонтова, томик Некрасова и связку. Это можно сделать шестью способами. А так как томики Маршака и Барто можно соединить двумя способами, то способов расставить книги вдвое больше.

Ответ: 12.

138. Муравей сидит на передней грани куба в точак А и желает попасть на верхнюю грань в точку В. Как узнать, по какому кратчайшему пути должен он ползти?

Решение. Если бы события происходили в одной плоскости, ответ был бы прост: ползти по прямой. Поэтому нужно распрямить развертку куба и определить возможный путь. В случае на нашем рисунке это путь АСВ.

Ответ: Распрямить развертку куба и провести прямую линию из точки А в точку В.

139. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?

Решение. Выигрывает тот, кто возьмет 35-й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29-й шарик, 23-й, 19-й, 13-й, 7-й, 2-й шарик.

Ответ: Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.

140. 2001 год начался с понедельника. А с каких еще дней недели может начинаться век?

Решение. Нужно принять во внимание следующие факты.

1) В невисокосном году 365 дней, то есть 52 полные недели и еще 1 день, так что невисокосный год сдвигает календарь на один день недели.
2) В високосном году 366 дней, то есть 52 полные недели и еще 2 дня, так что високосный год сдвигает календарь на два дня недели.
3) Високосными в нашем григорианском календаре (календаре "по новому стилю") считается любой год, номер которого делится на 4, кроме тех лет, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, то есть, например, годы 2000, 2004 и 2400 – високосные, а годы 2100 и 2200 – невисокосные).
4) В первом веке третьего тысячелетия, а также во втором и в третьем его веке будет по 24 високосных года, а в четвертом веке будет 25 високосных лет.
5) Первый век третьего тысячелетия сдвинет календарь на 124 дня недели, то есть на 5 дней. То же будет и во втором и в третьем веке. А четвертый век (2301–2400 гг.) сдвинет календарь на 6 дней.

Значит, 2101 год начнется с субботы, 2201 – с четверга, 2301 – со вторника, 2401 – с понедельника, так же, как и 2001 год. И в дальнейшем каждые 400 лет все будет повторяться.

Ответ: Век может начинаться с понедельника, вторника, четверга и субботы.

141. 7,5 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

7,5 м – 200 р.
4,5 м – х р.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

3) Сколько стоят 22,5 м? 200 х 3 = 600 (р.).
4) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (р.).

Ответ: 120 р.

142. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?

Решение. Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй – другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых.

Ответ: Не более трех.

143. Десяток яиц стоит 16 р. 52 к. Сколько стоят 15 таких яиц?

Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 к. на 15. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:

10 яиц – 1652 к.
15 яиц – х к.

Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:

1) Сколько стоят 30 яиц?
2) Сколько стоят 15 яиц?

Возможно и иное решение, так как 15 яиц = 10 яиц + 5 яиц, 5 яиц стоят 8 р. 26 к.

Ответ: 24 р. 78 к.

144. В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть перчаток, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных перчаток?

Решение. Можно случайно вытянуть первые десять черных перчаток с левой (или правой) руки, а потом еще 5 синих перчаток с одной руки, так что никакие две из этих 15 перчаток могут не образовать пары. Но уже шестнадцатая перчатка будет в пару с одной из пятнадцати первых.

Ответ: Не более шестнадцати.

145. Коля поймал за 5 дней 512 мухи. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней?

Решение. За последний день он поймал столько мух, сколько в первые 4 дня, то есть половину всех мух. На четвертый день – половину мух, пойманных за 4 дня. И так далее.

Ответ: На пятый день – 256, на четвертый – 128, на третий – 64, во второй – 32, в первый – 32.

146. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна?

Решение. Возможны суммы от 2 до 12. В таблице показано, как могут получаться эти суммы:

Как видно, наибольшим числом способов получается сумма 7 – шестью способами. Это и есть наиболее вероятный результат бросания кубиков. Я не советую учителю пускаться в объяснения о том, что такое вероятность. Пусть дети просто услышат это слово в данном конкретном случае.

Ответ: 7.

147. Разгадай ребус:

Решение. Так как Е + Е оканчивается на Е, то Е = 0. Очевидно, что А может равняться только 1. Поэтому В > 4. При том В – число четное, так что В равно 6 или 8. Если В = 6, то имеем:

С – число четное, поэтому С = 8, но тогда получается:

Это невозможно, так как Д подобрать нельзя.

Остается В = 8:

Теперь для С остается выбор: С = 4 или С = 9. Проверка показывает, что подходит только первый вариант. Далее все просто.

Ответ: 8790 + 8790 = 17580.

148. Составь не меньше 10 разных сумм из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в эту сумму два раза.

Решение. Самое маленькое значение такой суммы 3 (это 1 + 2), а самое большое 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, так что задача имеет решение.

Ответ: Это, например, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, 4 + 5, 1 + 4 + 5, 2 + 4 + 5, 3 + 4 + 5.

149. Фразу "ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз" расшифруй кодом Виженера с помощью шифра "вега".

Решение.

ълр егсащз з пёф шин дфпыыл зссз
364 136413 6 413 641 36413 6 4136

Ответ: "Чем дальше в лес, тем больше дров".

150. Составь не меньше 10 разных произведений из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в это произведение два раза.

Ответ: 1 х 2, 1 х 3, 1 х 4, 1 х 5, 2 х 5, 3 х 5, 4 х 5, 2 х 4 х 5, 3 х 4 х 5, 2 х 3 х 4 х 5.

151. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда?

Решение. Если бы первый поезд стоял на месте, то пассажир второго поезда ехал бы мимо него со скоростью 45 км/ч. А так как первый поезд ехал навстречу со скоростью 36 км/ч, то пассажир второго поезда ехал мимо него со скоростью 36+45 = 81 (км/ч). Следовательно, путь длиной в поезд он проделал со скоростью 81 км/ч за 6 секунд, то есть за 1/600 часа. Умножив это время на скорость, мы получим ответ.

Ответ: 135 м.

152. Разгадай ребус:

Решение. Для решения удобно переписать ребус так:

Сразу видно, что С = 1 и что D = 0:

Значит, А = 5:

Теперь все ясно.

Ответ: 10761 – 5610 = 5151.

153. Задача Л. Эйлера. Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Первому покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму – половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца; третьему – половину нового остатка и еще пол-яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале?

Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.
Что было у крестьянки перед встречей с четвертым покупателем? Что-то, половина чего была продана, после чего осталось пол-яйца. Но, значит, пол-яйца были второй половиной того, что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянки было одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки.
Перед встречей с третьим покупателем у нее было это яйцо и те пол-яйца, которые она продала третьему, и все это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол-яйца и удвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьим покупателем.
Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол-яйца и удвоив полученное, будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем.
Проделав еще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале.

Ответ: 15 яиц.

Заметим, что полученный ответ следует проверить:
1-му покупателю продано 15 : 2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось 7 яиц,
2-му покупателю продано 7 : 2 + 0,5 = 4 яйца, после чего осталось 3 яйца,
3-му покупателю продано 3 : 2 + 0,5 = 2 яйца, после чего осталось 1 яйцо,
4-му покупателю продано 1 : 2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталось ничего.

154. Алеша, Боря, Витя и Гена сыграли между собой по одной партии в шахматы. Первые три мальчика все партии между собой сыграли вничью. Как распределились между ними места в этом соревновании, если Боря занял более высокое место, чем Витя, но менее высокое, чем Алеша?

Решение. Это задача со специфическим сюжетом – о турнире. Конечно, можно решить ее устно: результаты Алеши, Бори и Вити различны из-за того, что они по-разному сыграли с Геной. Значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с Геной вничью, а Витя проиграл Гене. После этого уже можно подсчитать, сколько очков набрал каждый и определить их порядок в итоге соревнования. Однако, ясно, что результаты надо как-то записывать. И очень полезно показать, как делается это в спортивных соревнованиях: познакомить детей со способом записи турнира в виде турнирной таблицы. Ддя наших четырех шахматистов турнирная таблица выглядит так:

В течение турнира таблица заполняется. Если, например, Гена выиграл у Бори, то это отмечается в таблице так:

А то, что Алеша с Борей сыграли вничью, отмечается в таблице так:

В предпоследнем столбце записывают, сколько очков набрал каждый. В последнем записывают, какое место занял каждый участник. Запишем условия задачи в нашу таблицу:

Теперь учтем, что Алеша набрал очков больше, чем Боря, а Боря больше, чем Витя. Это произошло потому, что они по-разному сыграли с Геной. Так как существует всего три возможности: выиграть партию, сделать ничью или проиграть, то, значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сделал с ним ничью, а Витя проиграл. Занесем эти данные в таблицу и подсчитаем очки и места:

Ответ: Первое место занял Алеша, второе и третье поделили Боря и Гена, четвертое место занял Витя.

155. Имеется много жетонов стоимостью в 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей?

Решение. Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 – как 3 + 3 + 3, в 10 – как 5 + 5. Прибавляя к этим суммам нужное число трехрублевых жетонов, мы получим любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3-рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 – 10) : 3 = 37.

Ответ: Да.

156. Разгадай ребус:

Решение. Так как ХА х У = ХА, то У = 1. Так как Х – П = Х, то П = 0. Имеем:

Так как А х А оканчивается на А, причем А не равно 1, то А = 5 или А = 6. Если А = 5, то:

Вариант А = 6 легко опровергается проверкой.

Ответ:

157. Задача Л.Н.Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать.
Нарисуем два луга, один больше другого вдвое.
Разделим большой луг на две части. Первая часть – это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть – работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.
Меньший луг тоже разделим на две части. Первая часть меньшего луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов. Значит, первая часть меньшего луга равна 1/3 большого луга. 1/3 меньшего луга = 1/6 большого луга.

Вторую часть меньшего луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся артель косила две трети большого луга полдня, то артель состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

158. Поезд прошел мост длиной в 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?

Решение. Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.

Ответ: 1200 м.

159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?

Решение. Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения – на 30 секунд, получим скорость.

Ответ: 25 м/сек.

160. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.

Решение задачи аналогично решению задачи 154.

161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, сли сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

Решение. За полный оборот большого колеса через точку сцепления пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота – 40 х 32 = = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает
1280 : 16 оборотов.

Ответ: 80 оборотов.

162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?

Решение. Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.

Ответ: 875 м/мин.

163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какие числа пропущены?

(385 – ____ + 8) х (____ : 385 + 9).

Решение. В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, на во второй скобке – не меньше 385.

Ответ: 385.

164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?

Решение. Это может быть, если разрыв между прибытием трамваев на остановку не одинаков.
Например, представим себе такое расписание

При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1.

165. Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/ч?

Решение. За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда.

Ответ: 70500 м/ч.

166. У Васи по математике вдвое больше пятерок, чем четверок. Сколько у него четверок и пятерок, если всего их 12?

Ответ: 3 четверки и 6 пятерок.

167. Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?

Решение. За 1 минуту происходит следующее. Паровоз короткого поезда проезжает мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проезжает мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной сумме скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).

Ответ: 500 м/мин.

168. На острове живут правдивые люди и лжецы. Как одним вопросом у первого встреченного островитянина узнать, ведет ли данная дорога в город?

Ответ: Вопрос: "Что бы Вы мне ответили, если бы я спросил Вас, ведет ли эта дорога в город?"

169. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1-е место, Бунин занял 2-е место, Воронов и Гусев разделили 3-4-е места, Дымов занял 5-е место, а Егоров, занявший 6-е места, выиграл у Гусева. 5 партий турнира закончились вничью, причем Бунин сделал только одну ничью. Восстановить результаты всех партий.

Решение задачи аналогично решению задач 154 и 160, но еще более сложно.

170. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:

1) Андрей – первое, Борис – второе,
2) Андрей – второе, Геннадий – третье,
3) Вадим – второе, Геннадий – четвертое.

В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?

Решение. Приходится анализировать варианты. Это можно делать по-разному. Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью и так далее. Однако удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.
Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, то есть Борис – не второй (но и не первый, так как первый – Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, так как Андрей – не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий – третий. Поэтому Борис – не третий, а четвертый, и мы получаем такое распределение:
Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. Осталось с этой точки зрения просмотреть третий ответ. "Вадим – второй" – правда, "Геннадий – четвертый" – неправда. Все сходится.
Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.
Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ.
Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее – нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис – второй, из второго – что Геннадий – третий, но тогда полностью лжив третий ответ.

Ответ: Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый.

171. Какой цифрой оканчивается выражение

23 х 24 х 25 + 321321 : 13?

Решение. Первое слагаемое оканчивается нулем, а второе семеркой.

Ответ: 7.

172. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.

Решение. Общее число рукопожатий, сделанных всеми людьми, четно. И если бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.

173. В краже дырки от бублика подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:

А: Это сделал Б.

Б: Это сделал Г.

В: Это сделал не я.

Г: Б лжет, что это сделал я.

Правду сказал только один из них. Кто совершил кражу?

Решение. Нужно несколько упростить заявление Г и составить таблицу их заявлений:

А теперь посмотрим, сколько ответов окажутся правдивыми и сколько ложными в каждом из возможных случаев.
Случай первый. Кражу совершил А. Тогда заявления А и Б ложны, а заявления В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай второй. Кражу совершил Б. Тогда заявления А, В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай третий. Кражу совершил В. Тогда заявления А, Б и В ложны, а заявление Г правдиво, что согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай четвертый. Кражу совершил Г. Тогда заявления А и Г ложны, а заявления Б и В правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".

Ответ: Кражу совершил В.

175. Пусть запись а г b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение х г 3 = 5 г х.

Решение. Эту задачу нужно дать непосредственно за предыдущей тем детям, которые предыдущей задачей заинтересовались. Запись х г 3 обозначает то же, что и запись х Е 3 в предыдущей задаче. Поэтому и решение и ответ в этой задаче те же.

Ответ: х = 5.