Фракталы
проект по математике (1 класс)
Предварительный просмотр:
Исследовательская работа
«Фракталы»
Автор: Мигаль В.М.
учащийся 1 класса
Оглавление
Компьютерная графика и игры 11
2. Исследовательская работа. 12
Рисование треугольника Cерпинского 12
Преобразование «листа папоротника» в треугольник Серпинского. 13
Введение.
Математика – разнообразная наука, в которой есть числа, формулы, уравнения, различные геометрические фигуры. Понимание всего этого может быть достаточно сложным, а кому-то даже неинтересным и скучным. Ну кто хочет заучивать эти сложные формулы? В этой работе мы познакомимся с красотой математики без ее чисел и формул.
Не так давно математики открыли такие интересные объекты, которые называются фракталы. Целью данных исследований было изучение свойств этих объектов и возможностей их применения в нашей с вами жизни.
Актуальность темы: фракталы существуют в окружающей нас среде. С помощью фракталов открываются новые возможности в различных областях науки. Их используют в своей работе учёные, инженеры, программисты, дизайнеры.
Цель работы: познакомиться с миром фракталов, научиться их распознавать.
Задачи:
1) Понять, что такое фрактал.
2) Изучить историю их открытия.
3) Рассмотреть некоторые виды фракталов, найти их в окружающей среде.
4) Понять их значимость в мире.
Методы: сбор информации; анализ и обработка полученной информации; проведение исследования; создание презентации, иллюстрирующей собранный материал.
- Теоретическая часть.
Определение.
Так что же такое фракталы? Фракталы – это объекты, обладающие свойством самоподобия, то есть, проще говоря, состоящие сами из себя.
Рассмотрим обыкновенную русскую матрешку.
Да-да, с точки зрения математики – ее тоже можно назвать фракталом, т.к. внутри одной матрешки содержится другая, чуть меньше размером, и так далее. Но может на этом все и заканчивается? Давайте обратимся к окружающему нас миру, ведь многие знания и открытия мы черпаем именно оттуда.
Фракталы в окружающем мире
Рассмотрим некоторые предметы, а также явления природы, каждое из которых можно назвать фракталом.
Например, один из самых ярких таких примеров – это капуста сорта «романеско». Давайте рассмотрим ее внимательнее: по сути – это пирамида, которая состоит из множества более мелких пирамидок. Каждая из них также состоит из ещё более мелких и так далее. Лист папоротника – сформирован по этому же принципу. Он состоит из как бы более мелких подобных листьев. Горы – при ближайшем рассмотрении большие горы состоят из более маленьких. Молния – это тоже фрактал с точки зрения математики. Очень многие формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, крона деревьев, языки пламени и так далее — случайные формы всех этих объектов можно назвать фракталами.
Но для чего необходимо понимание того, что эти предметы и явления представляют собой фракталы? Может быть это только красивые картинки, чем нам может помочь изучение фракталов? Здесь не зря приведен пример с горами. Давайте рассмотрим следующую историю из жизни.
В 1978 году компания «Боинг» проектировала экспериментальную модель самолета. Тогда у них работал молодой программист Лорен Карпентер, который должен был прорисовывать изображения проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент ему пришла в голову идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не хватало мощности компьютеров. Тогда Лорен случайно увидел в магазине книгу одного из основателей теории фракталов – Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.
Тогда программист Лорен попытался нарисовать на компьютере горы при помощи фрактальной математики. Принцип, который использовал Лорен был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.
Используя более крупные треугольники, Лорен дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт.
Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений.
Натан Коэн и радиоантенны
Другой пример применения фракталов в жизни реализовал радиофизик Натан Коэн. Как-то он посетил лекцию Бенуа Мандельброта и загорелся идеей сделать что-либо полезное. В то время радиофизик Натан занимался созданием радиоантенн с как можно большей чувствительностью. Тогда единственным способом для этого было увеличение размера антенны. Однако, в месте где жил Натан было запрещено размещать на крышах домов большие антенны.
И тогда Натан наобум сделал из обыкновенной проволоки антенну по форме снежинки фрактального типа. И на удивление, она заработала и была намного эффективнее и компактнее тогда существовавших.
Антенна Натана легла в основу современных антенн мобильных телефонов.
Радиометки
Рассмотрим пример еще ближе к жизни. Все мы были в магазинах, покупали с родителями одежду, игрушки, книги. А что произойдет, если попытаться выйти из магазина с какой-либо вещью, не оплатив её? – тут же запищит сигнализация. Как это работает? Обращали ли вы внимание, что на каждой, например, книге, на обложке наклеен небольшой бумажный квадрат?
На самом деле – это радиометка. Когда мы проносим ее через двери магазина, не оплатив товар, она побуждает сработать сигнализацию. Так вот, эта радиометка по сути – фрактальная антенна.
Примеры радиометок с фрактальными антеннами
Компьютерная графика и игры
Наконец, активное внедрение фракталов нашло применение в компьютерной графике. Давайте посмотрим на примеры игры Minecraft. Теперь мы уже понимаем, что горы, деревья, снежинки – все это нарисовано с применением принципов фракталов.
- Исследовательская работа.
Рисование треугольника Cерпинского
А можем ли мы нарисовать свой фрактал и на сколько это сложно? Нарисуем фрактал под названием «треугольник Серпинского» в программе «паинт». Она есть на любом компьютере и легка для освоения. Серпинский – польский математик, который и придумал этот фрактал. Что такое «треугольник Серпинского»? Возьмем треугольник (1) и вырежем из его центра перевернутый треугольник (2). Затем в каждом из образовавшихся трех треугольников также удаляем по перевернутому треугольнику (3). И так далее можно рисовать до бесконечности (4, 5).
Как это можно нарисовать на компьютере? Я делал это в обратной последовательности – сначала рисовал один треугольник, к нему присоединяется еще два. Затем эта фигура копируется и также дублируется 2 раза. И так повторяется много-много раз.
Преобразование «листа папоротника» в треугольник Серпинского.
Мы уже с вами говорили, что лист папоротника – тоже фрактал. На видеоролике можно показать, что возможно осуществить преобразование «листа папоротника» в «треугольник Серпинского». Вот она – красота математики!
Заключение
В своей работе я познакомился с таким сложным и интересным миром фракталов, узнал, где они встречаются в окружающем мире и как помогают в технике. Безусловно, это только начало исследования и пока я не могу понять их полностью. В практической части работы я научился рисовать фрактал на компьютере и оказалось это достаточно просто сделать.
Список литературы
- Бондаренко С. Бондаренко М. Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения. – Москва: 3DNews, 2013 [Электронный ресурс]. URL: https://3dnews.ru/754657
- Калевич А. 15 минут про фракталы. – Youtube, 2017 [Электронный ресурс]. URL: https://www.youtube.com/watch?v=EViaG2nM2hE
- - Превращение папоротника Барнсли в треугольник Серпиньского. – Youtube, 2018 [Электронный ресурс]. URL: https://www.youtube.com/watch?v=jVK6LV6JQfY&app=desktop
