Выступление на ГМО
методическая разработка на тему

Развитие логического мышления при решении задач

Слайд 1

        "Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого

класса, - учить рассуждать, учить мыслить", - писал  А.А.  Столяр Слайд 2

        Развитие обучающихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Слайд 3

Если деятельность репродуктивная – ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит. Цель такой деятельности – формирование знаний, умений и навыков.

Если деятельность продуктивная – происходит активная работа мышления, связанная с логическими операциями анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения. Задумываясь над основанием собственных умений (рефлексируя), ребенок овладевает обобщенными способами действий, лежащими в основе этого умения, и тем самым приобретает знания, которые может конкретизировать при решении целого класса частных задач. В общем случае появлению конкретных знаний предшествует овладение методом получения этих знаний.

        Развитие  у  детей  логического мышления – это одна из важных  задач  начального  обучения.  Умение  мыслить логически,  выполнять  умозаключения  без  наглядной   опоры,   сопоставлять суждения по определенным правилам – необходимое условие  успешного  усвоения учебного материала.

      Основная работа для развития логического  мышления  должна  вестись  с

задачей. Ведь в любой  задаче  заложены  большие  возможности  для  развития

логического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный  инструмент для такого развития.

      Систематическое  использование  на  уроках  математики  и   внеурочных

занятиях специальных задач и заданий, направленных на  развитие  логического

мышления,  расширяет математический  кругозор  младших  школьников  и  позволяет  более  уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их  действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обусловливает высокий интерес школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются тем, что не требуют  вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. На своих уроках стараюсь показать различные методы решения задач.

         Слайд 4

        Основные методы решения задач:

1) метод рассуждений;
2) метод таблиц;
3) метод граф;

4) метод кругов Эйлера;
5) комбинированный метод.

Слайд 5

В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.

Слайд 6

Задача 1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?

Решение. Составим схему:

 Ответ. Раньше на 1 с пришла Лена.

Задача 2. Инопланетяне сообщили на Землю, что в системе их звезды есть три планеты: А, Б, В. Далее передача ухудшилась и были приняты два неверных утверждения:

1) А – не третья от звезды планета;
2) Б – вторая планета.

Решение. Составим схему:

Ответ. В – вторая планета.

        Таблицы хорошо применять, когда устанавливается соответствие между двумя множествами (можно и между тремя множествами), когда количество элементов во множествах одинаково и неодинаково. Перед составлением таблиц следует отработать правила их заполнения.

Задача 3. 

Барсук позвал к себе гостей:
Медведя, рысь и белку.
И подарили барсуку
Подсвечник и тарелку

Когда же он позвал к себе
Рысь, белку, мышку, волка,
То он в подарок получил
Подсвечник и иголку.

Им были вновь приглашены
Волк, мышка и овечка.
И получил в подарок он
Иголку и колечко.

Он снова пригласил овцу,
Медведя, волка, белку.
И подарили барсуку
Колечко и тарелку.

Нам срочно нужен ваш совет.
(На миг дела отбросьте.)
Хотим понять, какой предмет
Каким дарился гостем.

И кто из шестерых гостей
Явился без подарка?
Не можем мы сообразить,
Сидим... Мудрим... Запарка...

Слайд 7

Решение. Составим таблицу 6 x 4 и из первого четверостишия делаем выводы:

1) медведь, рысь, белка не дарили иголку и колечко;
2) мышка, волк, овца не дарили подсвечник и тарелку.

Получаем таблицу:

Ответ виден из таблицы.

Задача 4. Владимир, Игорь и Сергей преподают математику, физику и литературу, а живут они в Рязани, Туле и Ярославле. Известно также, что Владимир живет не в Рязани, Игорь живет не в Туле, рязанец – не физик, Игорь – не математик, туляк преподает литературу. Кто где живет и что преподает?

Слайд 8

Решение. Составим таблицу, выбрав основными параметрами имена и города. Тогда, учитывая, что рязанец – не физик, а туляк – литератор, получаем, что рязанец – математик, а житель Ярославля – физик.

Ответ виден из таблицы.

Задача 5. 

Кросс осенний вспоминая,
Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц.
А второй была лиса.

– Нет, – твердит другая белка, –
Ты мне эти штучки брось.
Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, – лось.

– Я, – промолвил филин важно, –
В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесьте все, найдите,
Кто был первым, кто вторым.

Решение. Предположим, что в словах первой белки истинная первая часть, т. е. первым был заяц, лось – вторым. Тогда оба высказывания второй белки ложны. Значит, второй была лиса, а лось был первым. Решение можно представить и в виде двух таблиц.

Задача 6. Кто-то принес в класс цветы. Были высказаны различные предположения: это Андрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учитель сказал, что в одном из этих предположений одно имя названо правильно, а второе – неправильно, во всех же остальных предположениях оба имени названы неправильно. Кто принес цветы?

Решение. Обозначим буквами имена ребят и соединим отрезками имена из каждого предположения (см. рисунок):

Заметим, что заслуживает внимания только предположение, в котором одно из указанных имен названо правильно, т. е. мы должны найти отрезок, одному из концов которого соответствует правильно названное имя. Этот конец не может быть концом нескольких отрезков, так как правильно названное имя содержится только в одном предположении. Получаем ответ: Сергей.

Задача 7. Имеются кубики из картона и из дерева, большие и маленькие, зеленые и красные. Известно, что:

1) зеленых кубиков 16;
2) зеленых больших 6;
3) больших зеленых из картона 4;
4) красных из картона 8;
5) красных из дерева 9;
6) больших деревянных 7;
7) маленьких деревянных 11.

Сколько всего кубиков?

Решение. I. Порядок рассуждений: 3), 2), 6), 5), 7), 1), 4).

II. Можно сосчитать, сложив: 1), 4), 5). Из рисунка получаем: всего 33 кубика.

1.  5 + 4 + 2 + 3 + 7 + 4 + 8 = 33.
2. 16 + 8 + 9 = 33.

Задача 8. Известно, что первые пять мест займут мальчики: Валера, Коля, Миша, Игорь, Эдик. Их фамилии: Симаков, Чигрин, Зимин, Копылов, Блинов. Зрители уверены, что первым будет Копылов, вторым – Валера, третьим – Чигрин, четвертым – Эдик. Однако эти предположения не оправдались и первым был Миша, вторым – Симаков, третьим – Коля, четвертым – Блинов, а Чигрин не попал в четверку сильнейших. Кто из ребят какое место занял?

Указание. Задачу следует решить различными способами и найти все варианты ответов: I – Зимин Миша, III – Копылов Коля, II – Симаков Эдик или Симаков Игорь и т. д.

         Не только решение, но и конструирование логических задач способствуют  формированию  следующих важнейших характеристик творческих способностей: беглость мысли, гибкость ума, оригинальность, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Слайд 9

В своей практике при составлении логических задач использую следующий алгоритм:

1. Определения содержания текста (выбор объектов или субъектов).
2. Составление полной информации о происшедшем событии.
3. Формирование задачи с помощью исключения части информации или её искажения.
4. Произвольное формирование задачи. В случаи необходимости (недостаток информации, искажение её и т. д.) вводится дополнительное логическое условие.
5. Проверка возможностей решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено верно. Если  нет, то необходимо обратиться к пункту 6.
6. В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречива искажена.

Слайд 10

Воспользуемся этим алгоритмом для составления задачи.

1. Субъекты: Олень, Заяц, Волк.
2. Исходная информация: на лесной олимпиаде лучшим бегуном был Олень, вторым был Заяц, третьим - Волк.
3. Ничего не говорим об Олене.
4. Записываем условие задачи: «В лесной олимпиаде участвовали Олень, Заяц, Волк. В соревнованиях по бегу каждый из них занял одно из первых трёх мест. Заяц не был ни первым, ни третьим. Волк тоже  не стал чемпионом. Какое место занял каждый?»
5. Система последовательных рассуждений.

        Больше всех данных мы имеем о Зайце. Исходя из имеющейся информации, он не первый, и не третий, следовательно  - второй. Тогда Волк и не первый, и не второй, т. е. третий. Получаем, что первым был Олень. Так используется вариант алгоритма с исключением информации.

        Определёнными отличиями характеризуется вариант конструирования задач с искажением информации. Приведу пример использования алгоритма.

1. Субъекты: девочки Оля, Катя, Аня.
2. Исходная информация: три девочки были в комнате. На глазах у Оли и Ани Катя разбила стакан.
3. Лишаем информации очевидности: в ответ на вопрос, кто разбил стакан, девочки дают разные ответы. Катя говорит: «Ни я, ни Оля стакан не разбивали» Оля, наоборот, утверждает, что стакан разбила Катя. Аня заявляет, что стакан разбила она.
4. Формулируем условие задачи: « Аня, Катя, Оля были в одной комнате. Девочки видели,  как одна из них разбила стакан. В ответ на вопрос, кто разбил стакан, Катя сообщила, что ни она, ни Оля ничего не разбивали. Оля сказала, что стакан разбила Катя. Аня призналась, что стакан разбила она. Кто разбил стакан, если одна девочка сказала правду, а две – нет?»
5. Очевидно, что возможны три варианта построения цепочки логических  рассуждений, когда каждая рассматривается как возможная виновница.

а) Стакан разбила Оля.

Исходя из полученных ответов можно составить табл.1 (1- правда, 0 – ложь):

Цепочка рассуждений не приводит к ответу.

б) Стакан разбила Аня.

Тогда составим табл. 2:

Очевидно, что решение не получено.

в) Стакан разбила Катя.

Тогда составим табл. 3:

Задача решена.

Очевидно, что нужно привести пример составления задачи с использованием 6-го пункта алгоритма.

1. Объекты: газеты «Лопух», «Фикус» и «Крапива».
2. Исходная информация: через месяц прекращается выпуск газеты «Крапива».
3. Для составления задачи искажаем информацию. Делаем ее логически противоречивой.

В газетах появились противоречивые сообщения:

        «Лопух»: закрывается газета «Фикус».

«Фикус»: закрывается газета «Крапива».

«Крапива»: закрывается газета «Лопух».

4. Записываем условие задачи:

«Газеты «Лопух», «Фикус» и «Крапива» вышли с экстренными сообщениями:

        «Лопух»: закрывается газета «Фикус».

        «Фикус»: закрывается газета «Крапива».

        «Крапива»: закрывается газета «Лопух».

Какая газета не будет выпускаться, если закрывается только одна из них и известно, что одна газета сообщила правду, а две солгали?»

5. Рассмотрев три варианта, нетрудно установить, что решение найти невозможно. Переходим к следующему действию алгоритма.

6. Уточняем информацию. Во-первых, допускаем, что лгут все газеты, и, во- вторых, дополнительно изменяем сообщения газеты «Фикус»: «Крапива» не закрывается».

        Вернемся к п. 5.

5. Рассмотрим три варианта.

а) Закрывается «Лопух».

Составим табл. 4:

Не удовлетворяет условия задачи.

б) Закрывается «Фикус».

Табл. 5 имеет следующий вид:

Не удовлетворяет условия задачи.

в) Закрывается «Крапива».

Табл. 6 выглядит так:

Это решение задачи.

        Многолетний опыт использования алгоритма подобного рода показывает, что составление логических задач расширяет воспитательные возможности учителя, так как существенно сближает математику с гуманитарными предметами. Ребенок включается в составление задач, опираясь на свое воображение личный жизненный опыт. Дети часто наполняют задачи психологическим подтекстом и пережитыми жизненными ситуациями. Некоторые задачи могут стать поводом для бесед.

        Подобные задачи, которые практически отсутствуют в стандартных школьных учебниках и традиционно являются сложными для ребят, позволяют глубже усвоить рассматриваемые темы и алгоритмы, увидеть взаимосвязь между различными отделами математики, в конечном счете – развить творческое мышление.

        Процесс обучения носит комплексный характер как в плане организации самого процесса обучения, так в плане формирования у учащихся глубокого интереса к математике, умений и навыков решения задач, понимания системы математических знаний, решение с учащимися особой системы нестандартных задач, которые предлагаются не только на уроках, но и на контрольных работах. Таким образом, особая организация подачи учебного материала, хорошо продуманная система задач, способствует увеличению роли содержательных мотивов изучения математики. Уменьшилось число учащихся с ориентацией на результат.

        На уроке всячески поощряется не просто решения задач, а необычность применяемого учащимися способа решения задач, в связи с этим значение приобрело не просто получение результата в ходе решения задачи, но красота и рациональность способа.

        Для создания психо-педагогических условий повышения эффективности организации системы процесса обучения применяю принцип организации процесса обучения в форме предметного общения с использованием кооперативных форм работы учащихся. Это групповое решение задач и коллективное обсуждение выставления оценок, парная и бригадная формы работы.

        Регулярное использование на уроках математики системы специальных задач и заданий способствуют математическому развитию, повышает качество математической подготовленности.

        В классах, где последовательно и целенаправленно осуществляется работа по развитию умений и навыков самостоятельной деятельности, создаются условия, побуждающих ученика к активной и творческой деятельности, качество знаний выше. Дети легче преодолевают такие трудности, как зачёт, сдача ЕГЭ, становятся конкурентоспособными при поступлении в высшие учебные заведения и в дальнейшем легко привыкают к студенческой жизни.

Избранные страницы из книги И.Г. Сухина

"800 новых логических и математических головоломок".

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый  раз,  когда  он  делает  два

шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За  какое  время  он

дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?

2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке.  Только

он успел нарисовать 5 цифр:

                                    12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре  в  это  место  пришёл

другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что:

                                 12345 = 60

Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был  решён правильно.

3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если  известно,

что она является числом не простым, а составным?

4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что  если  бы

он просидел ещё 2 раза по столько, то его  возраст  составил  бы  наибольшее

двузначное число.

5. Барон Мюнхгаузен  пересчитал  число  волшебных  волос  в  бороде  старика

Хоттабыча. Оно оказалось  равным  сумме  наименьшего  трёхзначного  числа  и

наибольшего двузначного. Что это за число?

6. Раздели самое маленькое четырёхзначное  число  на  наименьшее  простое  и

узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница  Гингема

из повести-сказки А. Волкова "Волшебник Изумрудного города".

                ЗАЧЁРКИВАНИЕ, ПРЕВРАЩЕНИЕ, ОТГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ

7. Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5  и  7;

кроме того, оно нечётное и не делится на 3.

8. Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и  3;

кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7.

9. Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы  получившееся  число

делилось на 9. Каково оно?

10. Вычти из произвольного двузначного  числа  сумму  его  цифр.  Всегда  ли

разность разделится на 3? А на 9?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ

11. Напиши такое трёхзначное число, чтобы первая цифра была по крайней  мере

на 2 больше, чем третья.  Например:  311.  Запиши  его  цифрами  в  обратном

порядке: 113. Из первого  вычти  второе:  получится  198.  Это  число  снова

напиши наоборот: 891. И два последние числа сложи.

                              891 + 198 = 1089

Удивительное дело: какие бы числа мы ни брали, в ответе всегда будет 1089!

Теперь предложи провести все эти  действия  с  числами  кому-то  из  друзей.

Представляешь, как он удивится, когда  ты,  не  спрашивая  у  него,  сколько

получилось в результате (как это бывает в  других  математических  фокусах),

сам назовёшь ответ! Для эффекта  можешь  сообщить  его  не  сразу,  а  через

несколько секунд, как бы что-то подсчитывая в уме.

Почему так происходит?

12. Попроси товарища задумать  какое-нибудь  двузначное  число,  вычесть  из

него сумму его  цифр,  зачеркнуть  в  полученном  результате  одну  цифру  и

сообщить, какое число осталось. После этого ты тотчас скажешь,  какая  цифра

зачёркнута! Для этого ты всего-навсего из 9 вычтешь  оставшееся  однозначное

число.

Пример: 97 – 16 = 81, 8 зачёркивается и друг говорит,  что  осталось  1.  Ты

выполняешь в уме вычитание и получаешь в результате зачёркнутую цифру:

                                 9 – 1 = 8.

Почему так происходит?

Примерные задания для детей, мотивированных к интеллектуальной

деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет

      1. Сидели на скамеечке 4 девушки: Ольга, Наталья,  Людмила  и  Оксана.

Оксана сидела рядом с Ольгой, А Наталья была в синем платье. Людмила была  в

зеленом. Оксана была не последней. Красное платье Ольги хорошо сочеталось  с

синим платьем одной из подруг. Платья  у  девушек  были  красного,  желтого,

синего и зеленого цветов. Нарисуйте,  в  каком  порядке  сидели  девушки,  и

какого цвета у них  были  платья.  Если  можно,  дайте  несколько  вариантов

правильных ответов.

      2. На столе лежало 5 синих и 7 красных  карандашей.  Девочка  взяла  6

карандашей. Взяла ли она хоть 1  красный  карандаш?  Докажите  (Нарисуйте  и

объясните).

      3. Посмотрите на схему:

      Догадайтесь,  каких  животных  мы  можем  поместить  в  заштрихованную

область нашей схемы. Докажите. Перечислите животных и напишите объяснение.

      4. Есть 5 квадратов,  выложенных  с  помощью  спичек.  Переложите  три

спички так, чтобы  получилось  три  прямоугольника,  и  не  осталось  лишних

спичек.

      5. У Кати был день рожденья. Вечером должны были прийти гости. Катя  с

мамой испекли торт и решили  заранее  порезать  его  на  части,  чтобы  всем

хватило по кусочку, включая Катю и маму. Мама разрезала торт  пополам.  Катя

каждую половину разрезала еще раз пополам. Дальше резать было сложно -  торт

сыпался, крошился,  и  она  отдала  нож  маме.  Мама  каждый  кусочек  торта

разрезала еще на 3 одинаковые части.

      Сколько гостей должно было прийти к Кате? Объясните.

      6. Найди закономерность в расстановке чисел  в  квадрате  (6  х  6)  и

заполни пустые клетки.

|1         |          |7         |            |13          |16        |

|19        |22        |          |28          |31          |34        |

|          |40        |43        |            |49          |          |

|55        |          |          |            |67          |70        |

      Ответ: число + 3 = следующее число

|1          |4         |7          |10          |13         |16         |

|19         |22        |25         |28          |31         |34         |

|37         |40        |43         |46          |49         |52         |

|55         |58        |61         |64          |67         |70         |