Развитие логического мышления у младших школьников при формировании геометрических понятий
учебно-методический материал

Развитие логического мышления у младших школьников при формировании геометрических понятий

Развитие мышления у школьников предполагает формирование у них различных понятий, в том числе геометрических, так как последние выступают в качестве основной формы мышления.

Понятие является объектом исследования логики, психологии и т.д. В исследованиях по логике наиболее распространенным является определение понятия как формы мысли, представляющей собой отражение предметов и явлений со стороны их существенных признаков (Е.К. Войшвилло,

Д.П. Горский, Н.С. Строгович и др.).

Сущность понятия в психологии изучали Выготский Л.С., Леонтьев А.Н., Менчинская Н.А. В рамках данного исследования под понятием понимается форма мышления, отражающая и фиксирующая существенные признаки вещей и явлений окружающей действительности.

Источниками образования понятий у учащихся являются их жизненный опыт, повседневное наблюдение, восприятие различной информации, формирование научных понятий при обучении в школе. Основными приемами образования понятий являются анализ, синтез, сравнение, обобщение и абстрагирование.

В работах Войшвилло Е.К., Горского Д.П. выделены следующие познавательные функции научных понятий:

1. Понятие и система понятий являются концентрацией нашего знания, а потому лишь овладение определенной совокупностью понятий дает возможность человеку осмысливать явления, происходящие вокруг него.

2. Понятие о существенных свойствах и отношениях действительности являются важнейшим средством ориентировки в той массе предметов и явлений, с которыми человек сталкивается на каждом шагу; овладение известной совокупностью понятий дает возможность человеку осуществлять планомерную целесообразную деятельность по преобразованию мира, вырабатывать соответствующее поведение, соответствующее отношение к явлениям общественной жизни.

3. Овладение известной совокупностью понятий является необходимым условием дальнейшего прогресса науки; понятие является в этом случае базой, на которой осуществляется научный прогресс.

4. Понятие есть важнейшее средство упорядоченного мышления.

5. Научное понятие, система научных понятий есть средство овладение объективным знанием, не зависящим от воли и желания субъекта.

В исследованиях психологов и педагогов выявлены основные закономерности процесса усвоения понятий учащимися, изучены пути их формирования. Анализ работ (Выготский Л.С., Гальперин П.Я., Давыдов В.В., Кабанова-Меллер Е.Н., Леонтьев Л.Н., Менчинская Н.А. и др.) свидетельствует о том, что формирование понятий у учащихся может осуществляться разными способами. Способ формирования следует определять в зависимости от содержания понятия, уровня общего развития учащихся, их предшествующего опыта и объема знаний. Сущность процесса усвоения понятий заключается в усвоении содержания понятия, его объема, существенных связей и отношений данного понятия с другими понятиями.

Вопросам формирования понятий у учащихся в процессе обучения посвящены работы психологов Гальперина П.Я., Давыдова В.В., Кабановой-Меллер Е.Н., Менчинской Н.А. и др.

Проблема формирования понятий при обучении геометрии исследуется в работах Виленкина Н.Я., Владимирцевой С.А., Воловича М.Б., Воробьева Г.В., Далингера В.А., Епишевой О.Б., Зыковой В.И. и др. Основная цель большей части работ состоит в поиске средств формирования отдельных понятий. В качестве таких средств чаще всего выступают системы обучающих заданий.

Многие психологи в своих исследованиях отмечают, что процесс обучения должен строиться так, чтобы с самого начала дать правильное представление об изучаемом объекте. Это обусловлено тем, что первоначально даваемый образ является наиболее устойчивым, а переучивание всегда намного сложнее, чем обучение. Поэтому в начальной школе особенно важно дать правильное представление о вводимых понятиях. Средство формирования понятий - система специально подобранных заданий, раскрывающая сущность понятия. При составлении таких заданий следует ориентироваться на те умения учащихся, которые характеризуют сформированность понятия.

Учитывая систему необходимых умений, варьируя существенные и несущественные понятия, учитель может сам составлять задания и использовать их при формировании понятий.

Анализ исследований по проблеме формирования понятий при обучении геометрии позволяет сделать следующие выводы:

1) формирование геометрических понятий – длительный по времени процесс; на каждом этапе обучения геометрии в школе можно говорить лишь о некотором уровне сформированности понятия;

2) понятие может быть полноценно усвоено лишь тогда, когда оно используется в собственном опыте; оно не должно даваться учащимся как готовое знание;

3) процесс формирования геометрических понятий состоит из следующих этапов:

• начальный этап – «образование понятия» (мотивация введения понятия, выделение существенных признаков, формирование определения, усвоение логической структуры определения, установление основных свойств, первичное применение);

• установление связей и отношений данного понятия с другими понятиями;

• обогащение понятия (выявление новых существенных признаков);

• применение понятия в решении творческих заданиях;

• установление новых связей и отношений данного понятия с другими понятиями;

• новое обогащение понятия;

4) формирование геометрических понятий следует строить с использованием наглядности, варьируя при этом несущественные признаки, с опорой на жизненный опыт учащихся;

5) учителю необходимо обучать учащихся работе с определениями понятий, знакомить с логической структурой определения, формировать умение исправлять ошибки в определениях.

Чем лучше усвоено школьниками формируемые у них понятия, тем легче им строить суждения, умозаключения и тем выше качество их знаний по предмету в целом. Процесс усвоения понятий оказывает непосредственное влияние на развитие математического мышления учащихся.

Анализ школьной практики показывает, что у школьников при формировании новых понятий при обучении геометрии в школе часто возникают определенные затруднения:

• не умеют выделять признаки понятий;

• не знают видов определений;

• допускают ошибки при формулировании определений понятий;

• чаще всего наблюдается тенденция к механическому заучиванию определений.

Отсюда следует, что процесс формирования понятий у многих младших школьников протекает неосознанно.

Возникнув, понятие уже само становится объектом познания. С другой стороны, понятие является одной из форм мышления и в этом смысле оно выступает как орудие познания.

Понятие является одной из высших форм мышления, форм отражения материальной действительности. Но понятие является не только формой отражения действительности, оно является такой формой отражения, которая раскрывает сущность свойства предметов, их внутреннюю противоречивую природу. Поэтому понятие есть знание существенных свойств предметов и явлений окружающей действительности, знание существенных связей и отношений между ними.

Основными характеристиками понятия как логической, методической и педагогической категории являются следующие:

1. содержание понятия;

2. объем понятия;

3. связи и отношения данного понятия с другими понятиями.

Каждое понятие несет свои существенные признаки, составляющие содержание понятия. Множество всех тех и только тех объектов, которые обладают этими признаками, составляют объем понятия. Чем больше объем понятия, тем беднее его содержание. Например, объем понятия «ромб» шире, чем объем понятия «квадрат», зато содержание первого (все стороны равны) уже, чем содержание второго (все стороны равны и все углы прямые). Понятие «треугольник» соединяет в себе класс возможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия);

Содержание понятия развивается с помощью определения, объем – с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта называется содержанием понятия об этом объекте .

Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте – треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольными. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Следовательно, объем понятия это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», так как в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, так как равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных, существенных свойств этого объекта. Однако для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить у него наличие лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия .

Итак, заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.

Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия.

Рассмотрим определение параллелограмма: «параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия – параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм - это четырехугольник;                             2)  противоположные его стороны параллельны.

Первое свойство это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство - это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольников.

Вот еще пример определения: «Ромб - четырехугольник, у которого все стороны равны между собой». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:

Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.

Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника – фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис – происхождение) .

Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, то есть имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, то есть они логически не определяемы. Такие понятия в математике называют первичными или основными.

Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, то есть первичным или основным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества и некоторые другие.

Одно и то же математическое понятие может быть определено различными способами. Например, такое простейшее понятие, как «треугольник», в разных учебниках по математике определяется по-разному: «Треугольник - это замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев»; «Многоугольник, имеющий три стороны, называется треугольником»; «Если А, В и С - любые три точки, не лежащие на одной прямой, то объединение трех отрезков: АВ, ВС и АС называется треугольником». Все эти понятия правильные.

Однако иногда ученики, воспроизводя определения, имеющиеся в учебнике, или строя определения самостоятельно, допускают типичные ошибки. Чтобы строить и воспроизводить определения математических понятий правильно нужно знать основные требования к логическому определению понятий. Рассмотрим эти требования, указывая наиболее часто встречающиеся ошибки в определении математических понятий.

1. Определения должны быть научно правильными.

Это означает, что, определяя то или иное понятие, надо это сделать так, чтобы не исказить научный смысл этого понятия.

2. Определения не должны содержать «порочного круга». Например, ошибки «порочного круга» в определении: «Угол называется прямым, если его стороны перпендикулярны» и «Прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы». Как видно, эти определения действительно образуют «порочный круг».

3. Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие.

Как бы ни было построено определение математического понятия, в нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию.

Нарушение этого понятия приводит к различным ошибкам. Так, например, иногда учащиеся, формулируя определение, вовсе не указывают родовое понятие. На предложение сформулировать определение равнобедренных треугольников, иногда можно услышать такой ответ: «Это такие, у которых две стороны равны».

Такая небрежность в формулировке определений недопустима. Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не ближайшее родовое понятие, а более широкое. Вот пример такого определения: «Параллелограмм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны». В этом определении указанно не ближайшее для параллелограмма родовое понятие – «четырехугольник», а более широкое – «фигура». И тем самым это определение становится неверным, ибо фигурой, у которой противоположные стороны параллельны, может быть не только параллелограмм, но и, например, правильный шестиугольник.

4. Определение не должно быть тавтологией.

Это означает, что определение не должно повторять в иной словесной форме ранее сказанное. Сущность такой ошибка заключается в том, что понятие определяется через само себя. Вот пример тавтологии: «фигура А называется симметричной фигуре В, если они расположены симметрично относительно оси симметрии» (здесь «симметричные фигуры» определены через понятие «фигуры, расположенные симметрично»). Ясно, что такое определение является грубо ошибочным.

4. Определение должно быть достаточным.

Это означает, что в определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия, но и другие объекты определяемого понятия. Если же это требование нарушается, то под определение можно подвести не только объекты определяемого понятия, но и другие объекты. Так, например, иногда ученики дают такое определение смежных углов: «Смежными называют углы, которые в сумме составляют 180».

5. Определение не должно быть избыточным.

Это означает, что в определении не должно быть указанно лишних признаков, являющихся следствием других признаков определяемого понятия. Например, весьма часто встречается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны между собой». Это определение является избыточным, так как достаточно равенства двух смежных сторон параллелограмма для того, чтобы были равны все его стороны. Следовательно, правильнее определить ромб следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны».

Мы указали лишь основные требования к определению математических понятий и привели примеры ошибок, возникающих при нарушении этих требований .

Таким образом, для того чтобы избежать таких ошибок, надо знать эти требования, учитывать их при формировании тех или иных определений, учится строить правильные определения.

В начальном курсе математики, в соответствии с традиционной программой (1 – 4), изучаются следующие геометрические понятия:

1 класс: сравнение предметов по форме (круглый, квадратный, треугольный и др.) и по размеру (больше – меньше, длиннее – короче); пространственные представления, взаимное расположение предметов.

2 класс: отрезок, сравнение длин отрезков с помощью измерения и приложением и наложением, сумма длин сторон многоугольника.

3 класс: прямой угол, прямоугольник (квадрат), их распознавание и изображение на клетчатой бумаге, нахождение суммы длин сторон многоугольника, измерение длины отрезка с помощью линейки, построение отрезков заданной длины, нахождение периметра и площади геометрических фигур.

4 класс: обозначение буквами точек, отрезков, углов, многоугольников, единицы измерения длины (см, дм, м, км, мм), единицы измерения площади.

К концу 4-го класса учащиеся должны:

- уметь распознавать и изображать на бумаге с помощью линейки многоугольник (треугольник, четырехугольник), строить на клетчатой бумаге прямой угол, прямоугольник (квадрат);

- уметь начертить отрезок данной длины, измерить длину данного отрезка;

- уметь вычислить периметр и площадь прямоугольника (квадрата) [50].

Важнейшей задачей учителя является определение методики, обеспечивающей раскрытия основного содержания геометрического материала начального курса математики на каждом уровне геометрического развития, а также методики реализации ведущих линий (направлений) изучения этого материала:

• Формирование геометрических представлений;

• Развитие мышления;

• Формирование пространственных представлений и воображения;

• Обеспечение связи изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики;

• Формирование теоретико-множественных представлений и их использование в обучении математике;

• Формирование навыков;

• Использование наглядности в обучении.

Каждая методическая линия должна быть определена для каждого уровня геометрического развития с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся.

Важным общим началом методики изучения геометрического материала является достижение активизации познавательной деятельности учащихся в обучении на каждом этапе.

1. Формирование геометрических представлений. Особенности методики формирования геометрических знаний определяются задачей достижения всеми учащимися к концу III класса второго уровня геометрического развития. Но это еще недостаточно для владения геометрическими понятиями, поэтому изучение геометрических фигур и их отношений доводится в основном до уровня представлений.

Работа по изучению геометрического материала должна проводиться как в естественнонаучной дисциплине: свойства фигур выявляются экспериментально, усваиваются необходимая терминология и навыки. Поэтому важное место в обучении должен занимать лабораторный метод.

Общаясь с разнообразными материальными моделями геометрических фигур, выполняя с этими моделями большое число опытов, учащиеся выявляют наиболее общие их признаки, не зависящие от материала, цвета, положения, веса и т.п.

В I классе должно быть завершено первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями, что выполняется с помощью окружающих материальных вещей, готовых моделей и изображений (первый уровень). У учащихся постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры, то есть переход на более высокий (второй) уровень геометрического развития.

Значительное место в методике отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В I классе это позволяет из множества фигур выделить множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д. Во II и III классах это позволяет уточнить свойства фигур, их классификацию. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских (круг – многоугольник, окружность – круг и т.д.) фигур, плоских и пространственных фигур (квадрат - куб, круг – шар и т.п.). Например, при ознакомлении с кубом следует найти в нем характерные точки, отрезки, многоугольники, при ознакомлении с шаром следует (реально) показать его круговые сечения. Во II – III классах (второй уровень) эффективным, вызывающим качественные сдвиги в процессе формирования геометрических представлений является использование отношений взаимного положения фигур для установления их свойств. Например, использование отношений взаимного положения (пересечения) отрезка и прямой на плоскости позволяет учащимся убедиться в конечности отрезка и бесконечности прямой.

Созданный запас геометрических представлений обеспечивает необходимую основу для проведения в дальнейшем работы по формированию геометрических понятий .

2. Развитие мышления учащихся. В процессе изучения материала у учащихся формируются навыки индуктивного мышления, воспитываются умения делать простейшие индуктивные умозаключения. Одновременно с этим постепенно развиваются и используются навыки дедуктивного мышления.

Развитие учащихся осуществляется через формирование приемов умственных действий таких, как анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение.

В I классе ведется работа по первоначальному ознакомлению с фигурами. Уже при этом дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей методики обучения в этот момент является обеспечение целенаправленного и полного анализа фигуры, на основе которого в дальнейшем выделяются ее существенные свойства и происходит отвлечение от несущественных свойств. В ходе такой работы с необходимостью возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, условных изображений. Однако их введение не может являться формальным актом. Например, введение буквенных обозначений фигур и их элементов в I классе может оказаться преждевременным потому, что учащиеся еще не достигли того уровня геометрического развития, когда они различают элементы фигур. Символика в этом случае «не работает», а потому не усваивается всеми учащимися смысл ее употребления. Но уже во втором классе введение буквенной символики помогает не только отличить фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений.

Уже в III классе (второй уровень), когда дети овладели значительным запасом представлений, возникает потребность к обобщениям, учащиеся уже должны уметь давать описания фигур и их свойств, близкие к определениям.

Одна из задач методики изучения геометрического материала состоит в систематическом осуществлении первоначального ознакомления учащихся (особенно III класс) с классификацией фигур; со структурой логического исследования.

Организационно работа по развитию мышления не расчленяется, и логические категории сами по себе не являются предметом изучения .

3. Формирование пространственных представлений и воображения. Пространственные представления (образы) отражают соотношения и свойства реальных предметов, то есть свойства трехмерного видимого или воспринимаемого пространства.

Психологи и педагоги различают два вида пространственных представлений: образы памяти и образы воображения.

Пространственные представления памяти отражают предмет почти в том виде, как он был дан для восприятия. Представления памяти в начальном курсе математики можно распределить на группы в зависимости от их содержания: образы реальных предметов, образы геометрических тел (материальных моделей) и фигур, образы чертежей и рисунков геометрических фигур и т. д. Учащиеся воспроизводят по памяти виденные ими ранее образы.

Представления воображения отличаются от представлений (образов) памяти тем, что они являются новыми образами, возникающими после мыслительной переработки (воссоздающее воображение) заданного материала. Например, учащиеся по словесному описанию представляют геометрическую фигуру, выполняют затем ее рисунок или чертеж, или по условному изображению представляют фигуру.

В I классе (первый уровень) пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта и пространственной ориентировки реальных предметов, материальных моделей геометрических фигур.

Во II и III классах (второй уровень) характер работы по формированию пространственных представлений. Следует, например, формировать представление об одной фигуре с опорой на непосредственное восприятие другой фигуры. Например, представления о кубе с опорой на непосредственное восприятие модели квадрата, изготовленного из палочек и пластилина.

Непрерывное и систематическое ознакомление младших школьников с фигурами, их свойствами, отношениями геометрических фигур, ознакомление с измерениями геометрических величин обеспечивает овладение кругом основных геометрических представлений и навыков, которые используются в повседневной деятельности, в жизни .

4. Связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойств чисел, операций над ними и, наоборот, использовать числа для изучения свойств геометрических образов.

В I классе модели фигур следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для пересчитывания (счетный материал). Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольника.

В I классе учащиеся знакомятся с измерением отрезков. Это позволяет устанавливать связь между отрезками и числами. Во II классе устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами. Геометрические фигуры должны быть использованы при ознакомлении учащихся с долями единицы.

При изучении геометрических величин рекомендуется тщательно знакомить учащихся с фигурами - объектами измерений. Учитель должен систематически проводить работу, подготавливающую представления, лежащие в основе понятия «геометрическая величина» (длина, площадь, объем), содействующую формированию общих представлений об измерении геометрических величин.

На основе этих представлений учащиеся узнают, что длина отрезка – это число, полученное определенным способом с помощью другого (единичного) отрезка, а площадь фигуры (не только многоугольника) – число, полученное с помощью единичного квадрата [53, с. 34].

5. Формирование навыков. Учитель должен систематически проводить работу, обеспечивающую формирования навыков использования измерительных и чертежных инструментов, построения геометрических фигур, умений описывать (словесно выражать) процессы и результаты работы, выполненной учеником. Важным методическим условием реализации этой системы является обеспечение осознанности учеником выполнения действий, и лишь достижение автоматизированного действия.

Результатом обучения геометрии является не только создание прочных практических навыков измерений и построений фигур, но и формирование представлений о точности.

Работа по формированию навыков должна проводиться распределено почти на каждом уроке. Это создает условия для более частого применения знаний, умений и навыков в учебной деятельности детей, обеспечивает выработку прочных навыков .

6. Использование наглядности. Роль и место средств наглядности в изучении геометрического материала на каждом этапе обучения и для каждого уровня геометрического развития различны.

Если в самом начале I класса (первый уровень) основным средством наглядности является конкретная вещь, то уже в конце I класса и во II классе важным средством наглядности становится геометрическая материальная модель (в том числе чертеж).

В III классе (второй уровень) заметно повышается роль геометрического чертежа. Геометрический чертеж постепенно становится средством наглядности.

Целенаправленная деятельность учителя по формированию геометрических представлений создает благоприятные условия, как для успешного усвоения курса математики, так и для овладения основами знаний по другим предметам, а также содействует формированию приемов мыслительной деятельности, совершенствованию в учебном труде, умению самостоятельно решать сложные задачи, позволяет активизировать познавательную деятельность детей в обучении.

Изучении геометрического материала в I – III классах не обособляется от арифметического. Совместное изучение арифметического и геометрического материала способствует более углубленному изучению каждого из них и программы по математике в целом. Однако некоторые вопросы по геометрии приходится рассматривать обособленно.

Модели геометрических фигур (треугольников, квадратов, кругов, прямоугольников), а затем отдельные элементы фигур широко используются при обучении счету и вместе с тем помогают детям получить первые представления о геометрических фигурах и их свойствах.