Сборник правил по математике. Система Л.В.Занкова
методическая разработка по математике (4 класс) по теме

Сборник правил по математике

для учеников 1-4 классов

Система Л.В.Занкова

Составитель:  учитель начальных классов гимназии №12 г. Белгорода

Рязанова Ирина Станиславна

                                                Натуральные числа

Числа, которые получают при счёте предметов, - называют натуральными числами

0-не натуральное число.

                                      Натуральный ряд чисел

Если натуральные числа записаны начиная с числа 1 и каждое следующее число больше предыдущего на единицу ,такую запись называют натуральным рядом чисел.

                            Чётные и нечётные числа

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называют чётными.

Числа, которые делятся на 2 с остатком, называют нечётными.

               Натуральные числа: разряды и классы

                                Дробные и смешанные числа

        Числитель                                                    Целая часть

2                                                                                        3

      7                                                                                 6     8

                Знаменатель        Дробная

                                                                                                       часть

                   1

    Число в записи дроби (над чертой) показывает, сколько частей взяли, называется числителем дроби.

Число в записи дроби (под чертой), показывает, на сколько частей разделили, называется знаменателями дроби.

Числа, которые состоят из натурального числа и дроби, называются смешанными числами.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя, называют неправильной дробью.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

                         Числовой (координатный) луч.

Числовой (координатный ) луч- наглядное изображение расположения чисел относительно друг друга.

Число, которое соответствует точке числового луча, называется её координатой.

0        1        2         3           4

                  Положительные и отрицательные числа

Если перед числом стоит знак (-), его называют отрицательным.

                                        5

Например:-352, -6 ,       6     и т. д.

Если перед числом стоит знак (+)  ,его называют положительным.

Числа, запись которых отличается только знаком + или - ,называются противоположными.

                                     Точные и приближённые числа.

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух видов. Одни в точности дают истинную величину, другие - только приблизительно. Первые называют точными, вторые - приближёнными.

Если точное число заменяют приближённым или просто известно прибли-

жённое число, используется знак        ~.  Он обозначает приближённо равно.

                              974 ~  970,  974 ~  980

                                                  Погрешность

Значение разности между точным и приближённым числом называют погрешностью.

                           783 ~ 780, 783- 780 = 3

                                          Округление чисел.

Округлить число с точностью  до десятков - это значит заменить его одним из ближайших чисел, у которых в разряде единиц нули.

Округлить число с точностью до сотен - это значит заменить его одним из ближайших чисел, у которых в разрядах единиц и десятков нули.

Если при округлении данное число заменяют меньшим, то говорят, что округление выполнено с недостатком. Если число заменяют большим , округление выполнено с избытком.

                             Среднее арифметическое

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно найти значение их суммы и разделить его на количество слагаемых.

                                          (93+89+97+96+90):5=93

2

Выражение- это запись, в которой числа соединены знаками действий, но нет знаков сравнения.

                                  Действия и их компоненты

                                                  Сложение

  Суммой чисел называют запись, в которой между числами стоит знак  

  сложения(+).

                            Название чисел при сложении

                 слагаемое           слагаемое        значение суммы

               2             +          3                  =    5

                                  сумма

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

                                                 Вычитание

Разностью чисел называют запись, в которой между числами стоит знак минус (-).

                             Название чисел при вычитании

           уменьшаемое          вычитаемое        значение разности

             6           -        2                =    4

                 разность

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить значение разности.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть значение разности.                                                 

                                           Умножение

Выражение, в котором числа соединены знаком умножения, называется произведением.

                             Название чисел при умножении

                   множитель           множитель      значение произведения

        8                   х              3              =   24

                произведение                                  

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель.

Если один множитель равен 0, то и значение произведения равно 0.

                                                  Деление

Выражение, в котором числа соединены знаком деления, называется частным.

                                  Название чисел при делении

                    делимое            делитель       значение частного

                 20         :          5                =   4

                               частное

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель  умножить на значение частного.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на значение частного.

Если 0 разделить на любое натуральное число, получится 0.

Делить на нуль нельзя:    а : 0

При делении с остатком делимое равно произведению делителя на значение частного плюс остаток.

                      83 : 9 =9 (ост.2)

                                                                                                                             3

    Чтобы узнать,  на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, нужно большее число разделить на  меньшее.

Уравнение-это равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение - значит, найти его корни или установить, что корней нет/

При проверке правильности найденных корней их обязательно подставляют в исходное уравнение.                                  

                                        Действия с дробями.

Действия с дробями с разными числителями и одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями , нужно сложить их числители и записать тот же знаменатель.

                              5            3           8

                               14    +   14   =    14

Чтобы вычесть дробь с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемое и приписать тот же знаменатель.

                  9             4            5

                                       12           12    =    12

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно на него умножить числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения

         2     х     5   =     10

        13                       13

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная данной.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.  

  Если  а> b, то     a  >    b  . Например:              5          >       3

                               c          с                                    12             12

 Если у дробей равные числители и разные знаменатели, то больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше.                                  

                     2  >  2                   3 >    3

                     3     11                  7        9

                                          Возведение в степень

Умножение нескольких равных множителей можно заменить возведением в степень.                       3

                                       7 х 7 х 7 =7                                             3

7- показывает,  какое число повторяется множителем, а      - сколько таких множителей.

                                                          3

                             7

          основание степени                показатель степени

                                                 3

                              7    =  373

                    степень                                                     значение степени

   Любая степень чисел 0 и 1 равна этим же числам.

                                        6             10

                                            0   = 0 ;   1   =  1.

                                                                                                                                                     4

   Величины и единицы их измерения

                                                   Длина

Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр(см), дециметр(дм),  метр(м), километр(км).

        1см = 10 мм

                                         1дм = 10см =100мм

        1м = 100см = 1000мм

        1км = 1000м

                                                   Масса

Единицы измерения массы: грамм (г), килограмм (кг), центнер (ц),

тонна (т).

        1кг = 1000г

        1ц = 100кг =100 000г

        1т = 10ц =1000кг =1000 000г

                                                  Ёмкость

Литр (л)- единица измерения количества жидкостей.

Когда узнают, сколько литров помещается в посуду, говорят, что измеряют её вместимость.

                                                     Время

Единицы измерения времени: секунда (сек.), минута (мин), час(ч).

сутки (сут.), неделя (нед.), месяц (мес.), год (г.), век (в.).

1мин = 60сек.                             1нед. = 7 сут.

1ч = 60 мин = 3600сек.                          1мес. = 28,29,30 или 31 сут.

1сут. = 24 ч = 1440мин =86 400сек.     1год = 12мес.= 365 или 366 сут.

                                                                  1век =100 лет

Из четырёх лет подряд 3 года равны 365 суткам, а один год -366. Такой год называют високосным.

 Сложение вычитание - называют действиями первой ступени.

Умножение и деление - это действия второй ступени.

         Порядок выполнения действий в выражении без скобок.

Если в выражении без скобок есть несколько действий одной ступени, их выполняют в том порядке, в котором они стоят слева направо.

                           1)          2)                                            1)       2)

                          75 – 37 +54                                          24 : 6 х 5

Если в выражении без скобок есть действия разных ступеней, сначала выполняют по порядку все действия второй ступени (умножение и деление),а затем все действия первой ступени (сложение и вычитание).

                         1)     3)   2)   4)

                        6 х 4 – 5 х 3 +38

      Порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

Если в выражении скобки встречаются два раза, сначала выполняют действия в первых скобках, потом во вторых, а потом с получившимися в скобках числами.

                                 1)       3)     2)

                           (65 - 56 ) х (93 - 87)

Если в выражении одни скобки находятся внутри других, сначала выполняют действия во внутренних скобках.

                       1)       2)   3)        4)

        (( 744 – 456) : 8 + 142) х 2

Порядок выполнения действий в выражениях, содержащих действие возведения в степень.

                                        1) 2)  5) 3)4)

                                   4          3

                                         5 х 7 + 9 : 3       

                                 Основные законы действий

        Сложение

Переместительный закон сложения: От перемены мест слагаемых значение суммы не изменится.

                                                а +в = в +а

Сочетательный закон сложения: Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится. 

                               а+ в+ с=(а+в)+с= а+(в+с)

                                                 Умножение

Переместительный закон умножения: От перемены мест множителей значение произведения не изменится.

                                 а  х  в = в  х  а

Сочетательный закон умножения: Если при умножении нескольких чисел

произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение

общего произведения не изменится.

              а  х  в х  с= (а х в) х с = а х (в х с)

Распределительный закон умножения относительно сложения: При умножении суммы на число значение выражения не изменится, если умножить на него каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

                        (с + к ) х е = с  х  е + к  х е

                                          Деление

Распределительный закон деления относительно сложения: При делении суммы на число значение выражения не изменится, если разделить на него каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

                                   (а + в) : с = а : с + в : с

                                                                                                                              5

              Свойство вычитания числа из суммы: Если число нужно вычесть   из суммы, его можно вычесть из одного слагаемого и результат сложить с другим слагаемым.

               (а +в) – с = (а - с) + в

Свойство деления числа  на произведение: Если число нужно разделить на произведение двух множителей, его можно разделить на один множитель, а получившийся результат разделить на другой множитель.

                            а : (в х с )= а : в : с             

                        Величины и единицы их измерения

                                                   Длина

Единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр(см), дециметр(дм),  метр(м), километр(км).

        1см = 10 мм

                                   1дм = 10см =100мм

        1м = 100см = 1000мм

        1км = 1000м

                                                   Масса

Единицы измерения массы: грамм (г), килограмм (кг), центнер (ц),

тонна (т).

        1кг = 1000г

        1ц = 100кг =100 000г

        1т = 10ц =1000кг =1000 000г

                                                  Ёмкость

Литр (л)- единица измерения количества жидкостей.

Когда узнают, сколько литров помещается в посуду, говорят, что измеряют её вместимость.

                                                     Время

Единицы измерения времени: секунда (сек.), минута (мин), час(ч).

сутки (сут.), неделя (нед.), месяц (мес.), год (г.), век (в.).

1мин = 60сек.                                         1нед. = 7 сут.

1ч = 60 мин = 3600сек.                          1мес. = 28,29,30 или 31 сут.

1сут. = 24 ч = 1440мин =86 400сек.     1год = 12мес.= 365 или 366 сут.

                                                                  1век =100 лет

Из четырёх лет подряд 3 года равны 365 суткам, а один год -366. Такой год называют високосным.

                                                                                                                            6              

                                                Объём

Объём показывает, сколько места занимает предмет в пространстве.

Единицы измерения объёма: кубический миллиметр (мм ), кубический сантиметр (см ), кубический дециметр (дм ), кубический метр ( м ), кубический километр (км ).

                                                                    3

                                    1 куб. см. или  1см

                                            3               3

                                     1 см =1000 мм

                                             3              3                       3                                                  

                                     1 дм =1000 см =1000 000 мм

                                           3               3                       3                

        1 м = 1000 дм =1000 000 см

                                            3                             3                                                    

        1км = 1 000 000 000 м

                   Площадь

Площадь-это внутренняя часть какой-нибудь геометрической фигуры.

Единицы измерения площади: квадратный миллиметр (мм ), квадратный сантиметр (см ), квадратный дециметр (дм ), квадратный  метр(м ), квадратный километр (км ).

                                                 2                2

                                            1см = 100мм

                                            2            2                   2

        1дм =100см = 10 000мм

                                        2             2                   2                        2                                      

                                   1м = 100 дм = 10 000 см = 1000 000 мм

                                                 2                      2

                                          1км = 1 000 000 м

                     Периметр. Формулы нахождения периметра.

Периметр (Р) -это сумма длин сторон любой геометрической фигуры.

Периметр фигуры измеряется в: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.

Периметр прямоугольника

                      Р= (а+b) x 2 или Р= а х 2+ b x 2

 Периметр квадрата    

                                           Р= (а х 4)

                                Действия над величинами

Чтобы действие между величинами было возможным, нужно их выразить в одну и ту же единицу измерения величины.

Чтобы деление величины на величину было возможным. Делимое и делитель нужно выразить одной и той же единицей измерения этой величины.

            24 м : 60 см = 2400см : 60см = 40см

                        18 кг : 75 г = 18000г :75 г = 240 г

                    Формулы определения объёма призмы

Объём прямоугольной призмы равен значению произведения её длины, ширины и высоты.

  V=a x b x h , где  V- объём прямоугольной призмы,   a- её длина,      

   b- ширина, h- высота.

Объём произвольной прямой призмы равен значению  произведения площади её основания и высоты.

   V= Sx h, где  V-объём призмы, S-площадь её основания, h-высота.

                           Формулы определения площади:

Прямоугольника

Площадь прямоугольника можно узнать, перемножив длину на ширину.

                                          S=a x b

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно основание (а) умножить на высоту(h).

                                                 S= a x h

Треугольника

Площадь любого треугольника равна половине произведения длины его стороны и проведённой к ней высоты.

                                             S = (a x h) : 2

Квадрата

                 S=a x a, где а-сторона квадрата

                                                                                             7                                                                                                                       

                                    Геометрические фигуры

 Плоскостные: точка, прямая, отрезок, луч, линии (замкнутые, незамкнутые, ломаные, кривые, прямые), углы (прямые, острые, тупые) , многоугольники, круги.

 Объёмные: шар, конус, цилиндр, призма, пирамида.

Прямая-это линия, не ограниченная ни с одной, ни с другой стороны. Прямую линию можно мысленно продолжить в обе стороны безгранично.

Прямую можно обозначить одной строчной латинской буквой или двумя заглавными.

Отрезок-это линия, ограниченная с обеих сторон.

Отрезок можно обозначить двумя заглавными латинскими буквами или одной строчной.

Луч-это линия, с одной стороны ограниченная, а с другой стороны –нет.

Луч можно обозначить двумя заглавными латинскими буквами или одной сторочной.

Треугольник - геометрическая фигура, в которой три угла и три стороны.

Треугольник можно обозначить заглавными латинскими буквами.

                          В

                 А          С

 Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

 Треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным.

 Треугольник, у которого все три угла острые, называется остроугольным.

 Равносторонним называют треугольник, у которого все стороны равны.

 Равнобедренным называют треугольник, у которого две боковые стороны равна.                                                          0

 Сумма углов треугольника равна 180  .

 Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой его стороны или её продолжения и образующий с ней прямой угол. Любой треугольник имеет три высоты.

    Четырёхугольник-это геометрическая фигура, у которой четыре угла и четыре стороны. Четырёхугольник можно обозначить четырьмя заглавными латинскими буквами.

                                          В                          С

                                                         D

                                 А                              D

   Прямоугольник-это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

   Противоположные стороны прямоугольника равны.

                   В                                                  С

                             А                                                D

                                    АВ=СD  и  AD=BC

   Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

                                         B                    К

                                               A                    N

   Диагональ многоугольника – это отрезок, который соединяет вершины       двух его углов, не имеющих общей стороны.

        P        K

        N        M

                                                                                                                            8

Линию, которая является границей круга, называется окружностью.

Точка, вокруг которой чертят окружность,- центр окружности.

Радиус- это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой на окружности.

Диаметр- это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий

две точки на этой окружности.

Если вершиной угла является центр окружности, угол называют центральным углом.

                                                    Е

        Т              оооооо

Стороны центрального угла являются радиусами окружности.

Радиусы одной окружности равны между собой.

Отрезок, который соединяет две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр - самая длинная хорда окружности.

        B

        C                  F

                                       A        P

         Q                       D

                                                              N