материалы к урокам математики
статья по математике по теме

Анализ условия арифметической задачи

Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования. (Л. М. Фридман, Е. М. Турецкий.)

Перед учеником, решающим арифметическую задачу, в качестве объекта в его исходном состоянии выступает некоторое сформированное в тексте условие задачи.

При этом в условии описывается некоторый сюжет на языке самых различных областей человеческого знания. Так, в задаче могут встретиться понятия из области физики (скорость, расстояние, время), из области экономики (цена, количество товара, его стоимость), из области геометрии, производственных отношений и т. д.

Обозначим язык из различных областей знаний, используемый для описания условий самых различных арифметических задач, как сюжетный язык.

Что значит «решить арифметическую задачу»? Это значит получить результат в форме числа.

Р е ш е н и е   з а д а ч и

Чтобы найти предмет действий по решению задачи в указанном выше смысле этого слова, обратимся к толковому словарю и к психологическому определению понятия «задача».

Задача – то, что требует исполнения, решения; упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т. п. (С. И. Ожегов.)

Задача – цель деятельности, которая должна быть достигнута согласно определенной  процедуре ее решения. Задача включает в себя требование (цель), условие (известное) и искомое (неизвестное), формирующееся в вопросе. Между этими элементами существуют определенные связи и зависимости, за счет которых осуществляются поиск и определение неизвестных элементов через известные.

Так как целью, данной в условии, выступает число, которое предстоит получить в результате решения задачи, то совершенно очевидно, что это число в скрытой, неявной форме содержится в условии задачи, т. е. задано в нем. Если бы ответ в скрытой форме не содержался в условии задачи, ее было бы невозможно решить. Следовательно, решить арифметическую задачу – значит, перевести ответ из скрытой (заданной) формы в явную форму, форму числа, а предметом действий по решению задачи является форма представления ответа.

Обратимся к процессу решения самой простой, в одно действие, арифметической задачи и сразу обнаружим, что ее невозможно решить, не представив предварительно условие задачи в форме числового выражения.  

             Анализ                Вычисления (+; –; ; : )

Таким образом, решение задачи разбивается на две части: анализ, смысл которого есть перевод условия задачи с сюжетного языка на язык числового выражения, которым представлено то же самое условие, но на языке арифметики, и собственно решение – переход от скрытого представления ответа задачи в форме числового выражения к явной форме – форме числа.

Изучение педагогического опыта свидетельствует о том, что педагогические  трудности в обучении детей решению арифметических задач связаны, в первую очередь, с обучением анализу их условий. При этом первой причиной таких трудностей часто является отсутствие осознания смысла анализа условия задачи самим учителем. Учитель часто готов рассказать о процедуре анализа, о том, как он учит анализу условий, но лишь на интуитивном уровне различает сюжетный язык и язык арифметики.

Представляется целесообразным отметить, что осуществить переход от сюжетного языка описания условия на арифметический означает поставить в соответствие определенные понятия, выражаемые на том и другом языках.

Нельзя сказать, что в настоящее время анализу как составной части арифметических  задач  уделяется то внимание, которого он заслуживает. З а д а ч и   а н а л и з а  не выделяются в самостоятельный класс, а решаются по ходу, как обеспечивающие. этим, в первую очередь,и  объясняются трудности  в  обучении процессу решения задач в начальной школе. Вместе  с  тем  этот  вопрос  наиболее  полно  решается  в  системе  обучения Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова. Остановимся на одном из существенных отличий процесса обучения детей анализу условий арифметических задач в данной системе.

А. А. Жуков справедливо считает: «Обучение переходу от вербального (словесного) описания условия задачи на сюжетном языке к его вербальной модели на языке, который мы обозначили как язык арифметики (часть, целое, равные и неравные части), – задача чрезвычайно сложная. Она не может быть успешно решена без учета объективных закономерностей овладения человеком существенно новыми для него действиями. Именно с этих позиций возникает необходимость разбиения процесса анализа условия арифметической задачи на части, предполагающие в развернутом виде:

– переход от условия задачи, представленного на сюжетном языке, к тому же условию на языке графическо-знаковой модели;

– переход от графическо-знаковой модели условия задачи к ее знаковой модели;

– переход от знаковой модели условия задачи к числовой модели – числовому выражению».

Эти переходы в системе развивающего обучения выделяются в самостоятельную задачу – задачу моделирования.

Обобщим сказанное в форме таблицы.

Процесс обучения детей анализу
условий арифметических задач

Моделирование – ведущий метод обучения
решению задач. Использование различных
приемов работы с задачами

Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ ее решения.

Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами действиями с их уменьшенными образцами: моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т. п. В роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, а их обобщенные заменители (например, круги, квадраты, отрезки, точки и т. п.). Показывая взаимоотношения величин с помощью отрезков с соблюдением масштаба, мы используем чертеж. Если же взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, то мы работаем со схематическим чертежом или схемой.

Как отмечает Л. Ш. Левенберг, «…рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их». (Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. – М., 1978).

Моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности.  

Модели являются эффективным средством поиска решения задачи. В процессе решения детям приходится переходить от одной формы записи к другой и находить среди них оптимальную. Однако не всякая запись будет являться моделью задачи. Для построения задачи и ее дальнейшего преобразования необходимо научиться выделять в задаче цель, данные величины, все отношения между величинами, пренебрегать несущественными связями для того, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий найти пути решения.

Процесс моделирования текстовой задачи повышает мыслительную активность детей, способствует развитию вариативности мышления, а значит, делает решение задач более приятным и интересным.

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Построению графической модели следует специально учить детей. Для этого можно использовать «Памятку».

1. Что будем изображать?

2. Как будем изображать?                                                

3. Что в первую очередь будем изображать?

4. Как числа, данные в задаче, помогут построить модель?

5. Как расположим модель?

6. Как на модели обозначим данные?

7. Что теперь полезно изобразить (до тех пор, пока не будут отражены все данные и все отношения между данными и искомыми параметрами)?

8. Как на модели обозначим вопрос задачи? (И. И. Целищева, С. А. Зайцева.)

Чтобы проверить, все ли данные задачи отражены на модели, можно прочитать задачу, показывая все на модели.

В процессе обучения графическому моделированию можно использовать следующие упражнения:

1. Сделай рисунок (чертеж) данной задачи.

2. Я прочитаю две задачи, а вы определите, к какой из них полезно сделать рисунок (чертеж).

3. Прочитайте задачу, показывая все данные на чертеже (рисунке).

4. Объясните, как построили чертеж (рисунок) к задаче.

5. Соответствует ли рисунок (чертеж) задаче? Что в нем лишнее (чего в нем недостает)? Что нужно сделать, чтобы рисунок (чертеж) соответствовал задаче?

Составления только одной модели к задаче недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно: составление текстов различных задач по модели, что будет способствовать развитию творческого мышления каждого ребенка.

Для формирования умения решать задачи у всех школьников можно предлагать следующие задания:  

– на постановку различных вопросов к условию;

– на составление условия по данному вопросу;

– на подбор числовых данных или их изменение;

– на составление задач по данному решению;

– на выбор нужной модели к данной задаче.

На основе построенной модели целесообразно включать задания на разнообразные преобразования задач:

– преобразование текстов, не являющихся задачами, в задачи;

– изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);

– изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);

– изменение вопроса (условия, данных) так, чтобы задача стала нерешаемой;

– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние (недостающие) данные;

– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние (недостающие) данные;

– изменение текста задачи так, чтобы в ее решении появилось обратное действие.

Помимо заданий, требующих преобразований текстов задач на основе модели, следует уделять внимание обучению детей:

– подбору и самостоятельному составлению обратных задач;

– сравнению задач с одинаковой фабулой, но различным математическим содержанием;

– сравнению задач с разной фабулой и одинаковым содержанием.

Постоянное использование всех этих аспектов работы с задачами дает хорошие результаты, способствует формированию умения их решать.

К сожалению, в  целях  экономии  времени  мало  уделяется  внимания  р е ш е н и ю   з а д а ч   р а з н ы м и   с п о с о б а м и. Это может быть объяснено тем, что такие задания в школьных учебниках встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются как важные. Однако опыт показывает, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи. Наряду с этим необходимо отметить, что решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся младших классов. Составление моделей к задаче – незаменимый этап в поиске различных способов ее решения.

Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения (даже если оно не является традиционным), у него появляется дополнительная возможность самореализации. Когда есть выбор при решении задачи, встает вопрос о нахождении рационального пути ее решения.

Модель способна помочь не только найти рациональный способ решения, но и проверить правильность ее решения, поскольку решение задачи разными способами – это один из видов такой проверки.

Использование графического моделирования при решении текстовых задач обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметических действий и предупредит многие ошибки в решении задач.

Модель задачи может быть использована для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает установить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения, помогает увидеть, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин, помогает сделать обобщение теоретических знаний, выводит ребенка на теоретическое осмысление проделанной учебной деятельности.

Моделирование – это необходимый компонент умения учиться.

Моделирование как учебное действие направлено на формирование умственных операций, необходимых для освоения правил построения и использования моделей в процессе научно-теоретического мышления. Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования, один из способов категоризации. Модель не обладает внешним сходством с реальным объектом, поскольку призвана отражать не внешние, а существенные его стороны.

Модель может выполнять функцию мотивировки – создавать условия для  осознания  необходимости  нового  способа  представления  своего опыта.

Моделирование, помимо всего прочего, еще является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Но следует помнить, что одного составления модели к задаче недостаточно. Необходимо использовать при решении математических текстовых задач различные приемы, которые способствуют формированию умения их решать.

Решение задачи двумя способами.

Задача. Купец отправлялся в гости к царю, а в это время навстречу ему из царского дворца выехал почетный караул. Через два часа они встретились. Какое расстояние между домом  купца и царским дворцом, если купец шел со скоростью 9 км/ч, а почетный караул – 7 км/ч?

После пересказа задачи составляется краткая запись:

Решение задачи записывается самостоятельно, по возможности, выражением.

1-й  с п о с о б:    9 · 2 + 7 · 2 = 32 (км).

2-й  с п о с о б:    (9 + 7) · 2 = 32 (км).

Какой способ решения задачи рациональнее и почему?

Составим уравнения к задаче:

х – 9 · 2 = 7 · 2,

х – 7 · 2 = 9 · 2

Это делается для того, чтобы дети не были ограничены в плане выбора способа решения задачи.

Задача.

Составить по краткой записи условие задачи и решить ее (можно с комментированием):

(П р и м е р. Два всадника выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 592 км. Скорость одного всадника – 25 км/ч, другого – 23 км/ч. Какое расстояние было между всадниками через 3 часа?)

Составить различные формы записи условия задачи.

Это задание дается для того, чтобы учащиеся выбрали наиболее целесообразную форму записи.

Задача.

Составить по схемам взаимно обратные задачи и решить их.

П р и м е р:

Задачи подбираются по нарастанию сложности.

Поскольку фактически вокруг одной задачи при таком подходе поднимается весь прилегающий «пласт», то есть при решении одной задачи деятельность учащихся является максимально разнообразной, тогда она будет давать более высокие результаты, чем решение нескольких однотипных задач без подобного углубления.

Чтобы добиться высоких результатов при решении текстовых задач на движение, прежде всего, у обучаемых надо сформировать систему понятий: время, скорость, расстояние; отношения между понятиями; условие; требование; кроме того, научить анализировать задачу. Дать метод составления схемы ситуации и плана решения. Это дается в условиях совместного действия (где участники процесса могут как помогать, так и мешать друг другу)  и, конечно же, применительно к одному участнику.

С другой стороны, необходимо включать в урок математические текстовые задачи, которые предполагают столкновение разных точек зрения, коллективного учебного диалога; создания отношения сотрудничества и делового партнерства между учителем и учениками. Задача должна рассматриваться как «объект для анализа, для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа решения». (Л. М. Фридман.)

На четвертом году учебы акцент должен перемещаться от групповых форм работы к индивидуальным.

Теперь предметом беспокойства учителя становятся дети, которые не предпринимают попыток к самостоятельному выполнению заданий.

Важно понять причину, по которой ребенок не хочет отделяться от группы, а значит, учителю необходимо найти педагогические приемы, позволяющие помочь ребенку преодолеть тот или иной психологический барьер. Главное – не заставлять ребенка работать в одиночку, а помочь ему.

Большую помощь могут оказать листы на печатной основе, охватывающие целую тему. Лист представляет собой несколько заданий. Лист – «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика. Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде задания с «отложенным сроком» исполнения, который учитель либо устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить его для себя срок (2–3 дня). Это путь формирования самодисциплины, это основа самовоспитания человека.

Ученик работает на листе. Такая организация обучения вызывает у ребенка положительные эмоции – ему нравится работать на печатной основе. Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному желанию.

Лист – долгосрочное задание

1. Сравни:

5 ч 6 мин * 56 мин                9 мин 20 с * 560 с

108 мин *1 ч 8 мин                734 с * 7 мин 34 с

1 сут 15 ч * 115 ч                206 ч * 2 сут 6 ч

2. Найди:

а) Скорость космического корабля, если он пролетел 56 км за 8 с.

б) Скорость плота на реке, если он за 4 ч проплыл 16 км.

в) Расстояние, которое проплыл окунь за 8 мин, если он будет плыть со скоростью 80 м/мин.

г) Время космического корабля, если при скорости 9 км/ч он пролетит 441 км.

3. Задача. 

От двух пристаней, расстояние между которыми 117 км, отправились одновременно навстречу друг другу по реке два катера. Один шел со скоростью 17 км/ч, другой – 24 км/ч. Какое расстояние будет между катерами через 2 часа после начала движения?

Закончи чертеж к задаче. Обозначь на нем данные и искомое.

Пользуясь чертежом, найди другой способ решения задачи и запиши его выражением.

4. Выполнив чертеж, реши задачу.

Задача.

Два поезда отправились с одной станции в противоположных направлениях. Один из них прошел 175 км, другой на 62 км меньше. На каком расстоянии один от другого находились поезда в это время?

5. Выполнив чертеж, реши задачу.

Задача.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Первые 2 часа он шел со скоростью 4 км/ч, а затем один час со скоростью 2 км/ч и оставшиеся 3 часа со скоростью 6 км/ч. Найди расстояние между пунктами А и В. На каком расстоянии от пункта А пешеход был через 6 часов?

6. Выполнив чертеж, реши задачу.

Задача.

Из города А со скоростью 5 км/ч вышел Ваня. Спустя 3 часа в том же направлении из города А выехал Женя на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Через какое время Женя догонит Ваню?

7. Реши задачу разными способами.

Задача.

Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за 3 часа 210 км, после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд шел от станции В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. определите расстояние АС.

Использование на уроках математики блицтурниров тоже дает положительные результаты.

П р и м е р:

а) Стрекоза пролетает а км за 2 часа. Какое расстояние она пролетит за 5 часов, если будет лететь с той же скоростью?

б) Заяц пробежал в км за 3 часа, а волк пробежал то же расстояние за 4 часа. У кого из них скорость больше и на сколько?

в) Лыжники были в походе 7 дней. Каждый день они шли по 6 часов со скоростью 9 км/ч. Сколько километров прошли лыжники?

И т. д.

Такие задания не только учат детей решать задачи, но и отрабатывают вычислительные навыки устного счета.

Решением проблемы, которая возникает на уроке при работе над текстовой задачей, является организация разноуровневой работы по карточкам. Ведь в то время, когда большая часть учащихся класса только приступает к осмысливанию содержания задачи вместе с учителем, другая, пусть меньшая, часть уже знает, как ее решать. Одни учащиеся способны видеть разные способы решения, другим необходима значительная помощь для того, чтобы просто решить задачу. Да и потребность в помощи различна у учеников. При этом определенная часть учащихся класса так и остается недогруженной, так как предлагаемые задачи слишком для них просты.

Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и то же время, отведенное для этого на уроке, можно использовать индивидуальные карточки. Карточки содержат системы заданий, связанные с анализом и решением одной и той же задачи, но на разных уровнях. В размноженном виде они предлагаются учащимся в виде печатной основы. Ученик выполняет задание письменно в специально отведенном для этого месте. Предлагая ученику вариант оптимального для него уровня сложности, можно осуществлять дифференциацию поисковой деятельности при решении задачи.

П р и м е р.

Задача.

Из двух городов, расстояние между которыми 770 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 50 км/ч, скорость второго – 60 км/ч. Через сколько часов поезда встретятся?

После решения задачи на индивидуальных карточках ставится цель: продолжить формирование умения составлять задачу, обратную данной по выражению.

З а д а н и е. Составить обратную задачу к данной по выражению 770 : 7 – 50.

Работа проводится по карточкам с учетом уровня умственной деятельности ученика.

1-й  у р о в е н ь.

Рассмотри данное выражение. Оно показывает, что должно быть известно в задаче. Догадайся, каким будет ее вопрос.

Для выполнения задания используй этот текст: «Из двух городов, расстояние между которыми … , вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда … км/ч, скорость второго поезда – … км/ч. Через сколько часов поезда встретятся?»

Представь нужные числа и запиши вопрос задачи.

2-й  у р о в е н ь.

Для выполнения задания воспользуйся чертежом. Обозначь на нем то, что дано. Подумай, каким будет вопрос задачи, и укажи его на чертеже.

3-й  у р о в е н ь.

Составленную тобой задачу изобрази с помощью чертежа.

Этот факт, что учащиеся решают одну и ту же задачу в разных вариантах, создает благоприятные условия для обсуждения задачи сразу же после ее решения. Это, с одной стороны, служит необходимой обратной связью для учителя, который получает таким образом общее представление о выполнении работы учащимися уже на уроке. С другой стороны, обратная связь осуществляется и для ученика: он еще помнит, какие имел трудности и сомнения, и получает либо подтверждение, либо опровержение своей деятельности и результатов. Кроме того, в ходе обсуждения результатов работы каждый ученик имеет возможность увидеть деятельность более высокого уровня.

Достижение более высокого уровня математической подготовки, необходимой для выполнения более сложного задания, становится целью каждого ученика.

Такая работа повышает самостоятельность учащихся.

К сожалению, в традиционном обучении в настоящее время практически отсутствует на уроках математики алгебраический способ решения задачи, а преобладает в основном арифметический, да и то только в виде решения задач по действиям. Поэтому дети весьма ограничены в плане выбора способа решения – они решают задачи по действиям или составляют математическое выражение, хотя в программе по математике есть решение простейших уравнений, но это не проходит пропедевтической нитью через решение задач за все годы начального обучения, у многих младших школьников так и не сформировано представление о том, что задачи могут решаться алгебраическим способом.

В. В. Давыдов говорил, что «ребенок не должен получать готовых знаний, должен напрягать свой ум и волю, должен чувствовать себя соавтором в решении возникающих проблем».

Отсюда напрашивается вывод: уже в 1 классе целесообразно при решении задач на нахождение неизвестного слагаемого показать детям на уровне первичных представлений, что данную задачу можно решить и с помощью уравнения, не вводя, естественно, это умение в ранг обязательных требований. Задуманную линию алгебраической пропедевтики можно реализовать на уровне творчески работающих учеников, не вводя эти вопросы в обязательные программные требования и государственные стандарты.

Модель педагогического процесса

Особенности построения уроков
в технологиях развивающего и традиционного
обучения

Из курса дидактики известно, что решение математических задач может быть репродуктивным (традиционное обучение) и продуктивным (развивающее обучение). Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид преобладает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей.

Основная цель репродуктивной деятельности – формирование у школьников ЗУН, развитие внимания и памяти.

Основная цель продуктивной деятельности – активизация мыслительных операций, таких как анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение, т. е. логические приемы умственных действий.

Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором решается важнейшая задача преподавания математики – развитие математического мышления и творческой активности учащихся.

В педагогической практике широкое распространение в настоящее время получила система развивающего обучения Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова, «которая нацелена на развитие у школьников теоретического мышления и творчества как основы личности». (В. В. Давыдов.)

Обучение решению математических задач ведется по методу проб и ошибок и целиком  зависит от уровня интеллектуального развития.

В технологии развивающего обучения особое место занимает такое познавательное действие, как моделирование.

Моделью в широком смысле слова (модель некоторого объекта А (оригинала)) называется объект В, выбранный или построенный субъектом К, по крайней мере, для одной из следующих целей:

– замена А в некотором мысленном или реальном действии, если понятно, что В более удобно для этого действия в данных условиях (модель – замещение);

– создание представления об объекте А (реально существующем или воображаемом) с помощью объекта В (модель – представление);

– истолкование объекта А в виде объекта В (модель – интерпретация);

– исследование объекта А с помощью объекта В (модель – исследование). (А. Я. Ханчин.)

Принцип моделирования является базисным в построении программы.

Для чего служат модели?

Во-первых, моделирование является «инструментом» изучения понятия.

В представлении Д. Б. Эльконина «понятие – знание о существенных отношениях между отдельными сторонами предмета или явления».

(В. В. Давыдов.)

Во-вторых, моделирование помогает развитию способности абстрагировать, обобщать, то есть соединять свойства изучаемого явления и переносить их на другие явления (предметы). Моделирование помогает получить обобщенный способ действия, материализовать его в модели, схеме, значке.

В-третьих, это средство наглядности и фиксации, для обобщения изученного материала.

В-четвертых, усиливает желание детей учиться, то есть само отношение учащихся к учебному предмету, к учению делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной, так как при решении конкретной математической задачи школьники учатся:

– понимать, что эта задача представляет собой модель некоторой реальной ситуации;

– выстраивать последовательность различных моделей;

– переводить полученное решение на язык исходной задачи и при этом овладевают методами моделирования.

Текстовая задача – это «словесная модель заданной ситуации», а процесс решения задачи – это «процесс преобразования модели». (Н. Ф. Талызина.)

Уже с первых уроков начинается работа по развитию у учащихся действия моделирования. Умение моделировать отношения и действия по уравниванию проявляется в умении решать текстовые задачи и составлять задачи по схемам и формулам. Такой подход к обучению решения задач в системе Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова является отличительной особенностью обучения решению задач по традиционной системе обучения.

Составление уравнения в задаче – алгебраический метод – яркий пример математического моделирования.

Задача 4. Маша и Дима помогали в столовой наливать компот. У Маши было А стаканов компота, а у Димы – на В стаканов компота больше. Сколько стаканов компота было у Маши и Димы вместе?

С помощью фигурной скобки показать общее количество стаканов компота у Маши и Димы.

Преобразовав схему, вводим вместо вопроса букву, обозначающую неизвестную величину (х), и предлагаем учащимся по схеме составить уравнение (формулу). Их может быть несколько:

А + А + В = х;                 х – А = А + В;                 х – (А + В) = А;

х – А – А = В;                 х – (А + В) =А;                 х – А – В = А.

х – В = А + А;                 И т. д.

Обучение алгебраическому способу решения текстовых задач раньше, чем арифметическому, имеет под собой содержательное обоснование.

Во-первых, если учить решать задачу сначала по действиям арифметическим способом и на их основе учить составлять выражение, то возникает вопрос: зачем ребенок должен писать выражение, кому и для чего оно нужно, если задача уже решена?! При таком подходе к обучению у ребенка полностью отсутствует мотивация, ведь он пишет выражение после того, как решил задачу. для ребенка важно сделать обобщение. Именно выражение обобщает, удерживает, схватывает все связи и отношения между известными (данными) величинами и дает возможность целостно увидеть способ нахождения неизвестной величины.

Во-вторых, мы не сможем обучить ребенка многим интересным и рациональным способам решения задач, так как в арифметическом способе используются только следующие приемы:

– запись по действиям;

– запись в виде выражения.

Эти приемы используются в традиционном обучении.

Процесс решения текстовой задачи с буквенными данными будет осуществляться в семь этапов в течение четырех лет (рис. 1). (Э. И. Александрова.)

Таким образом, элементами новизны при работе над задачей становятся:

а) осмысление того, что же такое текстовая задача;

б) введение новой формулы моделирования – краткой записи;

в) установление связи между задачами «на процессы» и известными схемами к арифметическим действиям.

С х е м а  1. Этапы решения текстовых задач

Новый подход к составлению краткой записи задачи стал возможным вследствие длительной и кропотливой работы над составлением схемы, на которой, как и в уравнении (выражении), не пишутся наименования, указывающие на род величины.

Кроме умения составлять краткую запись, детям понадобится и умение ее преобразовывать.

Причина, по которой нужно преобразовывать краткую запись, – это построение схемы.

Задача. По краткой записи придумай сюжет и реши эту задачу. Краткую запись, если можно, преобразуй. (И. И. Аргинская.)

З а м е ч а н и е. Обратить внимание на то, что при такой исходной краткой записи задачи в ее тексте было сказано, что первое в 5 раз меньше второго (I = II : 5), оно же на 15 меньше третьего (I = III – 15) и оно же на 5 больше четвертого (I = IV + 5).

Если первая величина в 5 раз меньше второй величины (I = II : 5), то это значит, что вторая величина в 5 раз больше первой  (II = I  5).  И т. д.

Это, в свою очередь, означает арифметические действия.

Сразу начертить первый отрезок таким, чтобы он удовлетворял одновременно трем условиям, невозможно. Поэтому удобнее, прежде чем чертить схему, преобразовывать краткие записи, которые составлены к косвенным задачам.

Действие 1. Преобразование краткой записи.

Если первая величина меньше второй в 5 раз, значит, вторая в 5 раз больше, чем первая.

Если первая величина на 15 меньше, чем третья, значит, третья на 15 больше, чем первая. Аналогичные рассуждения проведем относительно четвертой величины и дополним краткую запись.

Действие 2. Работа с графической моделью (схема).

Здесь отчетливо видно, что буквой х удобнее обозначить первую величину, которая, что тоже хорошо видно на схеме, повторяется 8 раз.

«Ступенчатую» схему преобразуем в «линейную»:

Действие 3. Составление уравнения по схеме и его решение.

х ∙  8 + 15 – 5 = 60                 

Или

8 х + 15 = 60 + 5;                 

Или

8 х + (15 – 5) = 60;

8 х = 60 + 5 – 15;

8 х = 50;

х = 50 : 8;

х = 6,25.

Зная значение первой величины, определим значение остальных.

6,25 ∙  5 = 31,25.

6,25 + 15 = 21,25.

6,25 – 5 = 1,25.

Для выбора арифметического действия при нахождении каждой из оставшихся величин, о которых спрашивается в задаче, можно опираться на схему и на преобразованную краткую запись (к. з.).

Подробно описывая способ работы над задачей, отметим, что на уроках необходима пооперационная отработка способа решения задачи: сначала отрабатывается связка

затем рассматривается преобразование краткой записи:

И, наконец, переход от краткой записи к схеме:

Остальные операции: преобразование схемы, переход от схемы к уравнению, преобразование (решение) уравнения, вычисление результата с последующим ответом на вопросы (требования) задачи – детям уже хорошо знакомы.

Общая схема работы над задачей (а она должна быть составлена сразу после появления нового вида модели, а не по завершении изучения подходов к решению задач) выглядит так (схема 3) (формулировки этапов упрощены):

С х е м а  2. Общая схема работы над задачей

Из этой модели, отражающей способ работы над задачей, видно, что не только краткая запись, схемы и уравнение могут по необходимости преобразовываться, такому преобразованию могут быть подвержены  текст задачи и вычисления.

Итак, опыт убеждает в том, что, если обучать учащихся решать текстовые задачи, идя путем моделирования, младший школьник учится понимать математику.

Решая различные математические текстовые задачи, ученик к концу обучения умеет контролировать выполнение собственных действий. Эффективность контроля повышается, если используются схемы (модели), фиксирующие отношения и алгоритмы.

Моделирование в обучении имеет два аспекта: как способ познания, которым овладевают учащиеся; как одно из основных действий в системе учебной деятельности.

Для развивающего обучения существенны оба аспекта, поскольку моделирование как способ познания – характеристика научно-теоретического мышления, способность «воспринимать действительность посредством особых специфических объектов, сконструированных в историческом процессе науки, моделей реальных явлений и процессов».  

(Работа с любой задачей в традиционной системе обучения предполагает задание типа: «Что известно? Что надо найти? Прочитайте условие, вопрос. Выполните краткую запись или запишите задачу в таблице. В итоге, умение решать задачи сформировано у младших школьников на недостаточном уровне».)

Одной из причин такого положения является то, что традиционная практика обучения учащихся решению текстовых задач не способствует в должной мере осознанному усвоению математических знаний, предусмотренных программой, развитию мышления и творческой активности учащихся. Зачастую обучение решению задач сводится к показу образца и разучиванию способов решения. При этом основное внимание направлено на реализацию единственной цели – получение ответа на вопрос задачи.

Учитель традиционного обучения сообщает учащимся, что это задача и ее можно разделить на две части: условие и вопрос. Затем читает условие и задает вопросы:

– Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?

(Пример: 6  1 = 5)

 – Это запись решения. Какое число вы получили? (5.) 

 – Это ответ задачи.

 Затем педагог показывает детям, как записать решение и ответ задачи.

Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и (или) выполнения рисунка и решения задачи в ущерб осознанному поиску ее решения.

Задача (1 класс). В вазе лежит всего 6 яблок, из них одно зеленое, а остальные – красные. Сколько красных яблок в вазе?

Краткая запись                 Рисунок  (или есть в учебнике,

                                        или рисуют учащиеся)

Всего – 6 ябл.

Зеленые – 1 ябл.

Красные – ? 

На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, не остается времени, а ведь это самое главное, ради чего и решается задача.

При составлении краткой записи к простым задачам у ученика часто возникает больше затруднений, чем при ее решении. Ученик не понимает, почему из текста некоторые слова нужно отбросить, а остальные записать в виде таблицы, – ведь после этих преобразований выбор действия для решения задачи легче не стал. Напротив, выделение «ключевых» слов в задаче часто приводит  к неправильному решению.

Трудности в составлении краткой записи возникают также и потому, что требуют определенного уровня развития словесно-логического мышления, в то время как ребенок в этом возрасте лучше работает на образном уровне.

Использование приведенного рисунка (яблоки, … , ...) также не только не помогает, но и мешает процессу поиска решения задачи. Причины:

1) у учащихся нет необходимости выбора арифметического действия, так как для ответа на вопрос задачи достаточно произвести пересчет;

2) рисунок можно использовать при небольших числовых данных; к тому же совершенно невозможно использовать подобный рисунок к задаче, в которой числовые данные заменены буквами или геометрическими фигурами;

3) различные внешние рисунки, на которых изображены то яблоки, то елочки, то… не позволяют ученику отвлечься от несущественных признаков и увидеть то существенное, общее, что объединяет задачи.

Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. При первичном знакомстве с задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие.

Задача. В первый день шофер был в пути 4 часа, во второй день – 6 часов. За 2 дня он проехал 700 км.  Сколько километров он проехал с одинаковой скоростью?

Все сказанное позволяет заключить, что для решения задач нужна другая наглядность, другие подходы, приемы.

Такой наглядностью может стать схематический чертеж (этот подход осуществлен в программе Эльконина – Давыдова).

Подобный  подход при решении математических текстовых задач приняла Н. Б. Истомина. В ее учебниках реализована концепция развивающего обучения.

На подготовительном этапе учащимся предлагаются задания на интерпретацию текстов, представляющих описание различных ситуаций, в виде математической записи или схематического рисунка.

Таким образом происходит знакомство детей с задачей по программе Н. Б. Истоминой.

На доске, на фланелеграфе – дерево, на котором растут сливы, 12 штук.

Коля сорвал 6 слив. Нина сорвала 2 сливы.

К доске вызывается мальчик, «срывает» сливы и кладет их в корзинку.

Все сорванные сливы мы положили в корзинку, но пересчитать их мы не можем, поэтому нужно подумать, что нужно сделать – прибавить или вычесть, чтобы найти те сливы, которые сорвали Коля и Нина вместе.

Учащиеся записывают решение и ответ, можно сделать схематический рисунок.

Рисунок помогает разобраться в содержании задачи, способствует развитию мышления и зрительной памяти.

Работа с учебником заменена на работу с фланелеграфом, позволяющую использовать прием «скрытая наглядность». При таком подходе внимание детей фиксируется на том, что для ответа на вопрос задачи следует выбрать соответствующее действие и выполнить его.

После получения ответа наглядность может быть сосчитана, что позволяет проверить правильность полученного ответа.  

На подготовительном этапе проводится также специальная работа по формированию представлений о схеме.

Карандаши длиннее ручки на 2 см. Догадайся, как показать это, пользуясь отрезками. 

В первом классе по учебникам Н. Б. Истоминой учащиеся знакомятся с темой «Сложение и вычитание отрезков». Основная цель темы – познакомить младших школьников со способом построения суммы и разности отрезков. Это полезно не только в плане формирования обобщенных представлений о конкретном смысле сложения и вычитания, но и для осознанного использования схем при решении задач.

Программа Н. Б. Истоминой отличается от стандартной другим методическим подходом и вызывает интерес к обучению решению текстовых математических задач.  

Для того чтобы решить любую задачу, необходимо построить математическую модель – выделить в условии существенные признаки.

Согласно существующим методам это делается с помощью некоторых рассуждений. Но, как показала практика, подобные рассуждения трудно воспринимаются младшими школьниками.

Н. Б. Истомина предлагает представить всю важную информацию в наглядной и легко обозримой форме – в виде графической схемы.

Рисование схем заставляет ученика: во-первых, внимательно перечитывать текст задачи несколько раз; во-вторых, переносить действия объектов в абстрактную форму; в-третьих, дает возможность искать решение самостоятельно.

Таким образом, обучение решению задач получается быстрее и сознательнее, чем в рамках других традиционных методик.

Если посмотреть учебники авторов традиционного обучения, то мы увидим, что при изучении темы «Формирование вычислительных умений в пределах 100» учащиеся знакомятся с разрядной моделью числа, с которой связываются соответствующие случаи сложения и вычитания:

Предлагаемая модель является эффективным способом вычислительной деятельности ребенка. Но, к сожалению, нет продолжения работы с моделью.

При изучении этой темы можно было бы дать детям понятия «целое» и «часть» как подготовительную работу для изучения таких тем, как «Задача. Решение задач», «Уравнение».

При изучении компонентов действия сложения и действия вычитания в традиционном обучении учащимся объясняют и показывают это при помощи схемы или схематического рисунка:

Вот оно, моделирование! Вот «целое» и «части»! Но об этом не говорится в традиционном обучении и продолжения нет, а есть механическое заучивание правила…

Учитель строит работу с ребенком на основе максимально емких информационных блоков, которые ребенку быстрее и проще запомнить, чем понять и научиться их анализировать, переносить, конструировать… Огромное количество алгоритмов (жестких правил), которые следует запомнить и «отработать». Но при этом малейшее нарушение исходных стандартных условий, на которые ориентирован алгоритм, может «выбить ребенка из колеи» и совершенно «застопорить процесс». (А. В. Белошистая.)

Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач в традиционном обучении давно применяется в школьной практике, но без должной системы и последовательности, что объясняется неправильным пониманием роли наглядности в обучении и развитии учащихся. До сих пор многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательно должна быть только на начальном этапе обучения, а с развитием абстрактного мышления у детей она свое значение теряет. А между тем наглядность, особенно графическая, нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий.

Приложения

Теория задач в схемах

Приложение 1

Классификация задач

Приложение 2

Классификация
способов решения задач, их группы

Приложение 3

Виды задач

Приложение 4

Методы решения

1. Знаковая.

2. Знаково-буквенная.

3. Буквенная (формула).

4. Числовая.        

Психодиагностическая таблица определения
типичных трудностей в обучении

Развитие творческого мышления
младших школьников в обучении математике

В настоящее время существует острая социальная потребность в творчестве и творческих индивидах. Развитие у младших школьников творческого мышления также важнейшая задача в сегодняшней школе. Стремление реализовать себя, проявить свои возможности – это то начало, которое заметно во всех формах человеческой жизни – стремлении к развитию, расширению, совершенствованию, зрелости, тенденции к выражению и проявлению всех своих способностей.

Учителю, взявшему установку на развитие у учащихся мышления, необходимо соблюдать следующие  у с л о в и я:

– чётко представлять, что именно он должен развивать на материале учебного предмета;

– знать, у кого развивать.

Для этого: а) знать возрастные и индивидуальные особенности учащихся; б) обладать навыками диагностики;

– знать, как развивать, то есть какие современные технологии можно использовать для развития мышления младших школьников;

– осуществлять контроль не только знаний, умений, навыков, но и уровень развития мышления учащихся.

Выполнение этих условий дает хороший результат в выявленной проблеме и решает её положительно.

Основная цель современного образования – создать условия для разностороннего развития личности.

Содержательная информация об уровне умственного развития школьника, индивидуальных особенностях его мыслительной деятельности, качествах ума необходима учителю:

– для  осуществления личностно ориентированного подхода;

– организации совместной с родителями деятельности по совершенствованию качеств ума школьников;

– выявления одарённых детей;

– педагогической рефлексии;

– организации творческой деятельности.

В младшем школьном возрасте решение любой задачи происходит в результате внутренних действий с образами. Для соответствующей переработки теоретического программного содержания необходимо формировать и развивать у учащихся способность к таким мыслительным операциям, как анализ, синтез, сравнение, группировка, классификация, абстрагирование.

Д. Б. Эльконин справедливо отмечал: «Давно замечено, что можно много знать, но при этом не проявлять никаких творческих способностей, то есть не уметь самостоятельно разобраться в новом явлении, даже из относительно хорошо известной сферы науки». Действительно, творческая деятельность (продуктивная) оказывает положительное влияние на развитие учащихся. Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит своё выражение в мыслительных операциях. Овладение учащимися этими логическими приёмами не только обеспечивает новый уровень усвоения, но даёт существенные сдвиги в умственном развитии. Овладев этими приёмами умственных действий, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по усвоению знаний. Хорошее логическое мышление необходимо каждому. Ведь и в учёбе, и в жизни устойчивого успеха добиваются только те, кто действует логично, последовательно, непротиворечиво.

Развитие мышления в значительной мере идёт стихийно. Большинство учащихся, даже старших классов, не овладевает начальными приёмами логического мышления, поэтому этим приёмам необходимо начинать учить с начальной школы.

Основная цель педагогической деятельности – создать условия для развития интеллектуальных способностей каждого учащегося на основе расширения базового компонента содержания, формирования потребностей к саморазвитию и самообучению, к творческому труду.

Исходя из этой цели поставлены следующие  з а д а ч и:

1. Научить учащихся анализировать и синтезировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, действовать по аналогии; нестандартно, творчески мыслить.

2. Развивать способность к переносу полученных мыслительных навыков на незнакомый материал, умение пользоваться ими на других уроках и в повседневной жизни.

3. Формировать начальные основы психологической культуры: стремление самостоятельно добывать знания, испытывать потребность в учебной деятельности.

4. Расширять границы познания учащихся за счёт использования творческих методов и приёмов обучения.

5. Развивать творческое мышление.

Для обеспечения поставленных задач в педагогической деятельности использовались  п о д х о д ы:

– личностно ориентированный;

– дифференцированный;

– индивидуальный;

– гуманистический.

П е д а г о г и ч е с к и е   т е х н о л о г и и:

– игровая технология;

– технология интерактивного обучения;

– технология проблемного обучения;

– педагогика сотрудничества.

Целостность системы находит своё выражение во взаимосвязи всех её частей: новой цели обучения соответствуют новые дидактические принципы и содержание образования, особые свойства методической системы, системы изучения результативности развития и усвоения знаний, умений и навыков.

В традиционной методике начального обучения использовался крайне ограниченный круг знаний, а также делалась ставка на многократность – однообразное повторение, что является одной из главных причин низких результатов в общем развитии детей и в учении.

Как показала практика, предложенные в учебнике упражнения нуждаются в дополнительном расширении и обогащении большим числом специальных заданий, задач и упражнений содержательно-логического и нестандартного характера, заданий, требующих применения знаний в новых условиях. Вследствие этого изменено содержание учебного материала:

1. В работу включаются процессуальные задачи, которые способствуют развитию умений сравнивать, анализировать, обобщать, прогнозировать, планировать; их решение способствует формированию операционного стиля мышления.

2. В работу включаются задачи экономического характера, которые учат рациональным приёмам (актуальная проблема современности), развивают смекалку, воспитывают логическое мышление.

3. Происходит увеличение масштаба развивающих игр и упражнений, творческих заданий, основанных на применении мыслительных операций.

4. В систему упражнений включаются задачи повышенной трудности (нестандартные задачи), способствующие формированию самостоятельности мышления, воспитанию творческой активности.

5. Используются задания с уровневой проблемностью.

6. Усиливается развивающая функция тренировочных упражнений.

Изменения происходят и в организации процесса обучения:

1. Часть заданий (самостоятельные, контрольные работы) составляется учащимися.

2. Изменяется методика проведения каждого структурного компонента.

3. При снятии эмоционального напряжения, возникающего в связи с боязнью ошибиться, учащимся предоставляется свобода выбора способов выполнения учебных заданий.

Активность учителя уступает место активности учащихся. Большое внимание уделяется выработке умения убеждать, отстаивать свою точку зрения. Изменяется подход к оцениванию работ, ответов учащихся. В первую очередь оцениваются процесс достижения результата, оригинальность и самостоятельность.

Проводимая работа ориентирована на основные положения Концепции модернизации российского образования, Концепции содержания непрерывного образования,  на  идеи  ведущих педагогов и психологов: зарубежных – Дж. Гилфорда, Е. П. Торренса, Л. Термена, М. Воллоха, А. З. Зака,   а   также   отечественных:   П.  Я.  Галперина,   Д.  Б.  Богоявленского,
В. Л. Даниловой, З. И. Калмыковой, Е. Г. Алиевой (в области творческого мышления), И. С. Якиманской (о самостоятельном добывании знаний и способах действия), доктора педагогических наук Н. Б. Истоминой (о методике обучения математике в начальных классах), Л. С. Выготского (акцент на формирование логических приёмов, активно включаемых в творческую деятельность школьников).

А. З. Зак (НИИ общей и педагогической психологии АПН) показывает в своей статье, что для развития общего логического мышления большое значение имеют внеклассные занятия по математике. Для этих занятий в статье предлагаются задачи, решение которых связано с умением правильно делать выводы.

Н. В. Мельник (учитель школы № 10 г. Зимы Иркутской обл.), работая над развитием логического мышления на уроках математики и занятиях математического кружка, заметила, что при самостоятельном решении задач даже слабые ученики рассуждают, выделяют вопрос, строят доказательство, делают выводы.

Т. Е. Горшкова делает вывод, что прививать вкус к наблюдению закономерностей, к их анализу и осмыслению необходимо уже в начальной школе. Способность обнаруживать закономерности проявляется у детей очень рано, и её нужно развивать.

В статьях С. И. Волкова, Н. Н. Столярова приводятся задания, направленные не только на то, чтобы углубить изученный материал, но и способствовать развитию логического мышления, которое является основой познавательных способностей детей. Все это будет способствовать качественным положительным изменениям в математическом образовании младших школьников.

В книге Л. Ф.Тихомировой и А. В. Басовой «Развитие логического мышления детей» приводятся игры и упражнения, которые позволяют строить работу с детьми интересно, естественно, способствуют развитию у них восприятия, внимания, памяти, воображения, становлению интеллектуальных функций и мыслительных операций.

С момента интенсивного развития мышления, отмечал Л. С. Выготский, начинается интеллектулизация всех основных функций, то есть ребёнок начинает осмысливать эти функции, разумно относиться к своей деятельности.

И. С. Якиманская утверждает, что «…учение не есть беспристрастное познание. Это субъектно значимое постижение мира, наполненное для ученика личностными смыслами, ценностями, отношениями, зафиксированными в его субъективном опыте. Содержание этого опыта должно быть раскрыто, максимально использовано, обогащено и при необходимости преобразовано в ходе образовательного процесса».

В основе этой методики, строящейся на субъективизации и прогнозировании, лежит традиционная система обучения. Под субъективизацией процесса обучения понимается сознательное и активное включение школьника в планирование, организацию и осуществление его учебно-познавательной деятельности.

О б у ч е н и е   с т р о и т с я   н а   п р и н ц и п а х:

1) вариативности, то есть признании разнообразия содержания и форм учебного процесса;

2) разноуровневости учебного материала;

3) обоснованного, аргументированного, доказательного ответа школьника;

4) учёта индивидуальных возможностей и способностей учащихся, использования их личного опыта;

5) сотрудничества учителя и учащихся;

6) активности учащихся и соответствующей позиции учителя.

Личностно ориентированные ситуации органически связаны с методами и приёмами организации познавательной деятельности учащихся. Это приёмы проблемно-поисковые, исследовательские, методы диалогического общения (диалог, эвристическая беседа, групповые формы работы).

Наряду с обычным уроком и нетрадиционными уроками проводятся занятия-поиски, интегрированные уроки, занятия-исследования.

Среди форм организации учебной работы преобладает парная, групповая формы, коллективное взаимодействие:

1) мигрирующие группы;

2) статичные группы (группы постоянного состава);

3) пары сменного состава;

4) статичные пары;

5) фронтальная работа в кругу.

На занятии-поиске индивидуальная работа чередуется с групповой.

Создаются условия для развития творческого мышления:

– доминирование развивающих возможностей учебного материала над его информационной насыщенностью;

– доминирование собственной исследовательской практики над репродуктивным усвоением знаний;

– ориентация на интеллектуальную инициативу ребёнка, стремление найти оригинальный, альтернативный путь решения;

– стремление к максимально глубокому исследованию проблемы;

– высокая самостоятельность учебной деятельности.

– индивидуализация – создание условий для полноценного проявления и развития личностных функций учащихся;

– проблематизация – ориентация на постановку перед детьми проблемных ситуаций.

Уроки строятся так, чтобы обеспечить постоянную работу мышления, чтобы учащиеся на них сумели:

1) почувствовать конкретную трудность;

2) определить её (выявить проблему);

3) сформулировать гипотезу по её преодолению;

4) получить решение проблемы;

5) проверить гипотезу с помощью наблюдений или другими способами.

Уровневая проблемность заключается в следующем: проблемные задания самого высокого уровня сложности не содержат подсказки, высокого – содержат одну подсказку, среднего уровня – две подсказки, низкого – ряд последовательных заданий и вопросов, которые постепенно подводят учащихся к выводу.

Такая организация работы рациональна: все дети думают, есть возможность выявить индивидуальные особенности мыслительной деятельности, дети овладевают мыслительными операциями, упражняются в них, развивается их творческое мышление.

Приёмы умственной деятельности рассматриваются:

– как способы организации учебной деятельности;

– способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуют его интеллектуальный потенциал и познавательные способности.

В этих условиях появляется и новая режиссура урока, учитывающая все виды общения.

В начале урока под руководством учителя происходит сообщение темы и выбор форм организации учебной деятельности, соответствующих этой теме. При формулировании цели и темы у учащихся создаётся внутренняя установка к усвоению знаний. Она действует в течение урока и стимулирует учебную деятельность учеников. Предопределение школьниками содержания своей деятельности активизирует мышление и развивает его.

Ребята не просто слушают, а сотрудничают в диалоге, высказывают свои мысли.

В ходе бесед-рассуждений осуществляются поиск, анализ, сопоставление, обобщение. Идёт работа по поиску и отбору содержания знания, которое подлежит усвоению. Создаётся атмосфера заинтересованности каждого ученика.

Выход на тему урока, проведение пропедевтической работы организуется в кругу. Обратная связь осуществляется с помощью сигнальных карточек, абаков, мимики, жестов, устных ответов.

В устный счёт включаются дополнительные задания, активизирующие мышление. Благодаря этим заданиям у детей развивается одна из важнейших и вместе с тем наиболее простых мыслительных операций – сериация. От урока к уроку серии картинок становятся сложнее.

На этапе изучения нового материала применяется частично-поисковый метод ознакомления с новым понятием или правилом. Организуется он в виде поиска-рассуждения поэтапно:

1) исходный материал готовит учитель;

2) проводится беседа-рассуждение, состоящая из вопросов и ответов учащихся, в процессе которых дети по частям формулируют новое понятие или правило;

3) вывод формулируется школьниками.

Все три этапа тесно связаны, логически взаимообусловлены.

При изучении новой темы и при знакомстве с новым понятием используются приёмы классификации и сравнения. Без сравнения школьники не могут приобрести систематических знаний. Задания на классификацию могут быть различных видов:

– Подготовительные задания. К ним относятся: «Убери (назови) лишний предмет», «Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов». Сюда же можно отнести задания на развитие внимания и наблюдательности: «Какой предмет убрали?», «Что изменилось?» и т. д.

– Задания, в которых на классификацию указывает учитель.

На этапе изучения нового используется прием аналогии, когда ученики находят новые способы деятельности и проверяют свою догадку. Они должны сами увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях, то есть сделать заключение по аналогии. Но для того чтобы учащиеся смогли высказать «догадку», необходимо определённым образом организовать их деятельность. Чтобы подвести учащихся к формулировке математических свойств, используется приём обобщения (эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений). Используя индуктивные умозаключения, учащиеся самостоятельно «открывают» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, то есть использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают. Формируя у младших школьников умение обобщать, им предлагаются задания, при выполнении которых они могут сделать неверное обобщение.

На этапе изучения нового деятельность учащихся носит аналитико-синтетический характер. Способность к этой деятельности находит своё выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции. Формированию этих умений способствуют:

– рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий;

– постановка различных заданий к данному математическому объекту. Если ребёнок смог доказать и объяснить своё решение, значит, он прав со своей точки зрения.

В процессе обобщения выделяются три приёма:

1) план-рассуждение;

2) таблица с кодированием;

3) схема.

Для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков применяются задания на классификацию такого вида:

– задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание классификации. Используются игры, в которые включены элементы поиска и творчества. Применение приёма классификации способствует формированию положительных мотивов в учебной деятельности, так как подобная работа содержит элементы игры и поисковой деятельности, что, в свою очередь, повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельность выполнения работы.

На этапе закрепления на общем развитии учащихся благотворно сказывается решение процессуальных задач. Их умеренное использование в обучении математике способствует формированию интеллектуальных математических умений. Для развития самостоятельности мышления и воспитания творческой активности используются задачи повышенной трудности. При их решении учащиеся пользуются различными символами, образами, а ответы получают в результате логических рассуждений, что значительно продвигает их в умственном развитии. Ребятам предлагаются задачи:

– с недостающими данными;

– с излишними данными;

– с меняющимся содержанием;

– на воображение;

– с многовариантными решениями;

– с элементами занимательности.

Большое влияние на развитие творческого мышления оказывает решение задач с экономическим содержанием и игры, в которые включены элементы поиска и творчества.

Богатые возможности для развития мышления младших школьников открывает система предлагаемых в учебнике упражнений, направленных на формирование необходимых вычислительных умений и навыков. Содержание развивающих заданий, построенных на основе тренировочных упражнений, связано с математическим содержанием изучаемого материала. Они дополняют учебную работу школьников творческой деятельностью по осмыслению важнейших математических идей, логических связей, овладению методами познания. Опора на учебник облегчает работу учеников, даёт им наглядную основу для выполнения заданий.

Дополнительные возможности для усиления развивающей функции тренировочных упражнений заключаются в следующем:

1. Постановка дополнительных вопросов:

– вопросы на раскрытие смысла некоторых логических понятий;

– вопросы на сравнение;

– вопросы на классификацию;

– вопросы, требующие установления основных существенных признаков понятий;

– вопросы на установление причинно-следственных связей;

– вопросы на установление закономерностей.

2. Выделение известных фактов из условия.

3. Рассмотрение частных и предельных случаев.

4. Частичное изменение условия задачи.

5. Решение различными способами.

6. Переформулирование задания.

7. Постановка вопросов учащимися. Чтобы детям было легко и приятно работать, чтобы к работе подключались социальные навыки (навыки общения), организуется работа учеников в постоянных парах. В пары подбираются учащиеся, между которыми сложились отношения доброжелательности. Пары работают в атмосфере взаимопонимания и взаимопомощи, исчезают страх и тревожность.

Закрепить и обобщить учебный материал в ненавязчивой, интересной форме позволяет работа в парах сменного состава.

В середине урока, когда требуется зафиксировать и обобщить результаты проведённого поиска, исследования (после работы в парах), то есть подвести промежуточные итоги, используется фронтальная работа в кругу.

В кругу подводится и общий итог.

Итоговые уроки и уроки закрепления организуются как уроки-мастерские, которые развивают творческий потенциал каждого ученика.

В конце занятия с детьми обсуждается не только то, чем овладели на уроке, но и его эмоциональная сторона. Урок оценивается в баллах:

интересный урок        +2 +1      0     – 1 – 2 неинтересный

полезный урок        +2 +1      0     – 1 – 2 бесполезный

лёгкий урок                +2 +1      0     – 1 – 2 трудный

Отметки, выставляемые учащимся, аргументируются.

Чтобы определить, насколько ученики справились с требованиями, предъявляемыми школьной программой, часто используются тесты. Тесты являются инструментом не столько оценки, сколько диагностики. Они позволяют определить не только «проблемную зону», но и конкретную «болевую точку», дают возможность установить и построить соответствующую индивидуальную коррекционную работу.

Для проверки ЗУН используются самостоятельные и контрольные работы, составленные самими учащимися. Включение детей в учебную деятельность предполагает развитие таких мыслительных действий, как анализ, рефлексия, планирование.

Составление контрольных заданий и устных упражнений организуется регулярно начиная со 2 класса. Контрольные работы предлагается составлять учащимся до проведения основной (подготовленной учителем) контрольной работы по итогам пройденной темы. Выбор ученика, составляющего задания, основан на желании и инициативе самого ребёнка. На первых этапах такая работа предлагается наиболее способным ученикам, затем включаются и все остальные. Лучшие работы оформляются в уголке «Учись учиться». Контрольные работы, составленные учениками, выполняются с большим интересом и желанием не допустить ни одной ошибки.

Для получения положительного результата соблюдаются требования к личностно ориентированному уроку.

Таким образом, школьники учатся сравнивать, сопоставлять, находить общее, логически рассуждать, выражать свои мысли в определённой последовательности, формулировать определение понятий, творчески мыслить.

Наиболее удачно этот эффект достигается посредством включения школьников в одну из наиболее высоких форм интеллектуальной деятельности, именуемой антиципацией. Именно она позволяет включать школьников в процесс планирования, целеполагания предстоящей деятельности. Посредством антиципации формируется установка учеников на осознанную, целенаправленную работу, происходит мобилизация основных качеств личности.

Организация такой образовательной среды устраняет деление на «сильных», «средних» и «слабых» – задания всем даются посильные, конечный результат – формулировка правила на одном из уровней проблемности.

Идёт отслеживание тенденций личностного развития, индивидуальной траектории развития ребёнка, фиксируется характер и направленность познавательной активности.

Наблюдения показали, что у детей к 3–4 классу начинает складываться индивидуальная избирательность к содержанию, виду и форме учебного материала.

Для развития творческого мышления специфическое значение имеют внеклассные занятия «Занимательная математика». На них всегда достаточно времени для осуществления проблемного метода обучения, для выявления самобытности каждого ученика, для индивидуального подхода, для исследования разных подходов, разных путей поиска. В этих условиях у детей развиваются такие важные качества мышления, как глубина, гибкость, лёгкость, которые являются сторонами его самостоятельности

Решение процессуальных эвристических задач

В этих задачах требуется «открыть» (разработать) специфический для конкретной задачи способ достижения поставленной цели, точно и понятно описать его. Эвристические процессуальные задачи вовлекают детей в творческую, поисковую деятельность, содействуют развитию многих общеинтеллектуальных умений.

Задача 1.

С помощью четырёх четвёрок, знаков действий и скобок запиши все натуральные числа от 1 до 10.

Условие задачи:

4   4   4   4 = 1       4   4   4   4 = 6

4   4   4   4 = 2       4   4   4   4 = 7

4   4   4   4 = 3       4   4   4   4 = 8

4   4   4   4 = 4       4   4   4   4 = 9

4   4   4   4 = 5       4   4   4   4 = 10

Один из вариантов решения:

(4 + 4 – 4) : 4 = 1      (4 + 4) : 4 + 4 = 6

4 : 4 + 4 : 4 = 2          4 – 4 : 4 + 4 = 7

(4 + 4 + 4) : 4 = 3      4 – 4 + 4 + 4 = 8

4 × (4 – 4) + 4 = 4     4 : 4 + 4 + 4 = 9

(4 × 4 + 4) : 4 = 5      (44 – 4) : 4 = 10

Задача 2.

Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать из родника 4 литра воды?

Обозначим: А – родник, В – пятилитровый бидон, С – трёхлитровая банка.

Одно действие обозначаем по типу А С. При этом первая буква показывает, откуда берём воду, вторая – куда переливаем.

Р е ш е н и е

Иногда решение эвристических процессуальных задач оформляется в виде схемы.

Структура, действия и операции процесса решения
текстовых математических задач

Как известно, важным вопросом, который необходимо обсудить, является вопрос о путях построения процесса обучения решению математических задач, обеспечивающих полноценное развитие.

«Необходимо помнить, что краткая запись условия не самоцель, а только средство, помогающее решению задачи, и каждый ребенок может использовать то, что ему действительно помогает достигнуть конечного результата, а не то, что ему в этом мешает». (И. И. Аргинская.)

Задача: Винни-Пух и Пятачок поехали на велосипедах в гости к Кролику, но разными путями. Пятачок ехал по шоссе 3 ч со скоростью 9 км/ч. Винни-Пух ехал по проселочной дороге, которая была на 6 км короче, со скоростью на 2 км/ч меньше, чем Пятачок. Кто раньше приедет к Кролику: Винни-Пух или Пятачок?

Действие 1. Изучение условия задачи.

Существуют различные формы записи условия.

А.

Б.

Время Пятачка – 3 ч

Время Винни-Пуха – ?

Кто раньше приедет к Кролику – ?  

В.

Выбираем последнюю форму записи как наиболее целесообразную.

Действие 2. Поиск плана решения задачи.

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, – ее ответ.

Ученик мысленно задает себе вопросы и отвечает на них согласно схеме рассуждений восходящего анализа:

– Какой главный вопрос задачи?

– Что достаточно знать, а что нет? Какой новый вопрос возник?

– Что достаточно знать, чтобы на него ответить?

– Что из этого известно, а что нет? И т. д.

В результате появляется  п л а н   р е ш е н и я.

С х е м а   а н а л и з а

Находим последовательно:

– длину дороги Пятачка;

– длину дороги Винни-Пуха;

– скорость винни-Пуха;

– время Винни-Пуха;

– сравниваем время Пятачка и Винни-Пуха.

Действие 3. Решение задачи (осуществление плана решения).

Уточним смысл термина «решение задачи». Этим термином обозначают разные понятия:

а) решением задачи называют результат, т. е. ответ на требования задачи;

б) решение задачи – процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (решение задачи арифметическим способом), и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (вся деятельность человека, решающего задачу). (Л. П. Стойлова.)

С х е м а   с и н т е з а  (решения)

Оформление решения (решение в вопросно-ответной форме):

1. Какова длина дороги Пятачка?

9  3 = 27 (км)

2. Какова длина дороги Винни-Пуха?

27 – 6 = 21 (км)

3. Какова скорость Винни-Пуха?

9 – 2 = 7 (км)

4. Сколько времени Винни-Пух был в пути?

21 : 7 = 3 (ч)

О т в е т: Пятачок и Винни-Пух приедут к Кролику одновременно.

Другие способы оформления решения.

Решение с пояснением:

1. 9  3 = 27 (км) – проехал Пятачок.

2. 27 – 6 = 21 (км) – проехал Винни-Пух.

3. 9 – 2 = 7 (км/ч) – скорость Винни-Пуха.

4. 21 : 7 = 3 (ч) – время Винни-Пуха.

О т в е т: Пятачок и Винни-Пух приедут к Кролику одновременно.

Запись в виде числового выражения:

1. Длина дороги Пятачка:  (9  3) км

2. Длина дороги Винни-Пуха: (9  3 – 6) км

3. Скорость Винни-Пуха: (9 – 2) км/ч

4. Время Винни-Пуха: (9  3 – 6) : (9 – 2) ч

Числовое выражение:

(9  3 – 6) : (9 – 2) = 3 (ч)

Устно находим его значение.

О т в е т: Винни-Пух и Пятачок приедут к Кролику одновременно.

Запись решения в виде действий:

1. 9  3 = 27 (км)

2. 27 – 6 = 21 (км)

3. 9 – 2 = 7 (км/ч)

4. 21 : 7 = 3 (ч)

О т в е т: Пятачок и Винни-Пух приедут к Кролику одновременно.

Можно решить задачу другим арифметическим способом или решить с помощью составления уравнения.

Обратим внимание на некоторую особенность использования термина «решение задачи». Дело в том, что этим термином обозначаются два связанных между собой, но все же неодинаковых понятия. Когда мы говорим: «Процесс решения задачи», то подразумеваем всю деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до получения результата (схема 1). Когда мы говорим: «Поиск решения задачи» или «Анализ решения задачи», это лишь те действия,  которые мы производим над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

Действие 4. Изучение решения задачи. Проверка правильности решения.

Способ проверки зависит от конкретной задачи. (В данном примере можно осуществить путем составления и решения одной из обратных задач.)

Дополнительная работа над задачей после ее решения.

Составление и решение обратных задач.

Задача 2. Пятачок и Винни-Пух поехали на велосипедах в гости к Кролику.

Они прибыли туда одновременно, хотя ехали разными дорогами. Дорога Винни-Пуха была короче на 6 км. Пятачок ехал 3 часа со скоростью 9 км/ч.

На сколько медленнее ехал Винни-Пух?

1. 9  3 = 27 (км) – длина дороги Пятачка.

2. 27 – 6 = 21 (км) – длина дороги Винни-Пуха.

3. 21 : 3 = 7 (км/ч) – скорость Винни-Пуха.

4. 9 – 2 = на 2 (км/ч).

О т в е т: на 2 км/ч медленнее ехал Винни-Пух.

Задача 3. Пятачок и Винни-Пух поехали на велосипедах в гости к Кролику разными путями, но прибыли туда одновременно. Пятачок ехал 3 часа со скоростью 9 км/ч, Винни-Пух ехал медленнее на 2 км/ч. На сколько километров отличается дорога Винни-Пуха?

Решить самостоятельно.

Назначение этого этапа – установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач.

Умение решать задачи относится к сложным: надо довести до автоматизма умение выполнять арифметические действия; надо овладеть операциями анализа, синтеза, сравнения, обобщения; надо видеть возможности разных способов решения.

Усиление развивающей функции
тренировочных упражнений

Постановка дополнительных вопросов.

1. Вопросы на раскрытие смысла некоторых логических понятий.

а) 56 : 8        18 : 2

    28 : 4        30 : 6

    42 : 7        64 : 8

Среди приведённых предложений назовите те, которые выражают верную мысль:

– число 28 в четыре раза больше числа 7;

– в числе 56 число 8 содержится 6 раз;

– среди выражений есть два, значения которых – чётные числа;

– среди выражений есть те, значения которых равны;

– значение одного из выражений – двузначное число.

б) Вопросы на разъяснение смысла слов все, каждый, некоторые.

5 × 4 – 25 : 5          47 + 5 × 3 – 18

35 : 7 + 4 × 4          51 – 32 + 6 × 3

24 : 3 – 2 × 4           30 : 6 + 29 – 7

Среди предложений назови верные утверждения:

– каждое выражение содержит 3 арифметических действия;

– все выражения содержат действия двух ступеней;

– в некоторых выражениях первым действием выполняется действие умножения;

– значение некоторых выражений – однозначное число;

– значение всех выражений – чётные числа.

Закончи предложения, чтобы они выражали верную мысль:

…(некоторые, все) выражения содержат действие деления;

…(некоторые, все) выражения содержат действие умножения;

…(некоторые, все) выражения содержат действия двух ступеней.

Сформулируй суждения, которые были бы верными:

– для всех выражений;

– для некоторых выражений;

– для всех выражений второго столбика;

– для некоторых выражений первого столбика.

в) Вопросы на разъяснение смысла некоторых связок (и, или).

40 : 8 + 7 × 5        62 – 5 × 4 + 39         (90 – 45) : 5

5 × 6 + 36 : 9        80 – 15 – 5 × 5         4 × (32 – 23)

28 : 4 + 3 × 9        31 – 32 : 8 × 6          (16 + 24) : 5

Среди выражений выберите те, которые:

– содержат действия деления и вычитания;

– содержат действия сложения или умножения;

– содержат действия умножения и деления;

– имеют значение больше 7 и меньше 10;

– имеют значение меньше 9 или больше 50.

2. Вопросы на сравнение.

(54 – 46) × 7          9 × 3 + 8 × 7          4 × (100 – 92)

37 – (24 – 8)          (54 – 49) × 8          9 × (36 – 28)

45 + (62 – 9)          2 × 6 – 27 : 3         81 : 9 – 63 : 7

– Сравни выражения в первом столбике. Чем они похожи, чем отличаются?

– Какое выражение «лишнее»? Почему?

– Сравни выражения во втором столбике. Какое выражение «лишнее»? Объясни.

– Сравни выражения в третьем столбике и найди среди них «лишнее». Как вы рассуждали?

– Чем похожи все выражения? Какие выражения среди них «лишние»? Объясни свой выбор.

3. Вопросы на классификацию.

(47 + 8) : 11         3 × (72 – 60)

(86 – 72) × 5        4 × (91 – 80)

90 – 9 : 9              82 – 25 : 5

– Чем похожи все выражения? Чем они отличаются? Разбей выражения на две группы. Дополни каждую группу своим примером.

4. Вопросы, требующие установления основных существенных признаков понятий.

Выпиши уравнения, в которых неизвестное число равно 5:

40 : х = 8           х : 2 = 5         х × 4 = 20          7 × х = 35

– При каких условиях запись будет уравнением?

– Достаточно ли для этого наличие неизвестного, обозначенного буквой?

5. Вопросы на установление причинно-следственных связей.

(20 + 30) × 2         20 + 30 × 3

– Вычисли значения выражений. Объясни, что послужило причиной изменения значения второго выражения.

42 – (12 + 9)        (50 + 8) – 20        (65 + 17) – 7

– Как изменится значение каждого выражения, если в них убрать скобки? Объясни.

– Как изменятся значения выражений, если в скобках будет дана не сумма чисел, а их разность? Докажи.

– Как изменятся значения выражений, если в них, где возможно, по-другому расставить скобки? Почему не во всех выражениях можно расставить скобки иначе?

5. Вопросы на установление закономерностей.

11 – 6        12 – 9        18 – 9

12 – 7         11 – 8       17 – 8

Сравни разности в каждом столбике. Сравни уменьшаемое, вычитаемое, значение разности в каждой паре. Что вы заметили? Какой вывод можно сделать? Как изменится значение разности при увеличении (уменьшении) уменьшаемого и вычитаемого на 1?

Выделение известных фактов из условия.

Вычисли: 254 × 46

×  254

    46

–––––

   1524

+

   1016

––––––

 11684

Прочитай запись. Вычисли значение выражения. Что ещё можно узнать, используя запись умножения в столбик?

254 × 46         11684 : 46         254 × 6

46 × 254         11684 : 254       254 × 4

254 × 40         1524 + 10160

Рассмотрение частных и предельных случаев.

– Какими числами можно заменить делитель 8? Назови среди них самое большое, самое маленькое. Какое значение, большее 72, может принимать А? Можно ли назвать самое большое значение, которое принимает переменная А? Может ли значение А быть меньше 8? Обоснуй свой ответ.

Частичное изменение условия задачи.

Измени выражение так, чтобы его значение можно было бы найти несколькими способами.

Заменить одно из чисел, входящих в запись выражения, например:

(356 – 284) : 9       (164 + 236) : 5

Числа можно изменить таким образом, чтобы каждое число в скобках делилось на 9.

70 × 8 + 60 × 5

25 × 3 + 15 × 4

В записи одного из слагаемых изменить множитель таким образом, чтобы можно было использовать правило умножения суммы на число или числа на сумму.

Решение различными способами.

5 × 2 + 5 × 4

2 × 4 + 2 × 5

8 × 5 + 8 × 3

9 × 4 + 9 × 3

Найти значение этих выражений можно различными способами:

– с использованием таблицы умножения найти произведения, а затем сумму полученных произведений;

– с использованием конкретного смысла умножения представить каждую сумму в виде произведения и найти его значение с помощью таблицы умножения или представить произведение в виде суммы;

– представить данные суммы в виде произведения можно и с использованием правила умножения числа на сумму.

Переформулировка задания.

Даны числа 4, 5, 7, 8, 9, 12.

Каждое чётное число уменьши в два раза, а нечётное увеличь в 9 раз.

Смысл задания уточняется и формулируется в следующем виде:

– Каждое число, которое делится на 2, надо разделить на 2, а каждое число, которое не делится на 2, умножить на 9.

– Что значит разделить 12 на 2? Как по-другому сформулировать задание?

– Найти частное чисел 12 и 2; узнать, во сколько раз 12 больше 2; во сколько раз 2 меньше 12; узнать, какое число надо умножить на 2, чтобы получить 12.

Постановка вопросов учащимися.

– Посмотри на выражения. Составь вопросы со словами:

Как… Какие… Можно ли… Найдётся ли… Всегда ли… Сколько… Является ли… Что произойдёт, если… На сколько… Почему… и т. д.

Продуманное включение в урок таких заданий способствует, наряду с реализацией непосредственных дидактических целей обучения, формированию интеллектуальных умений, активному включению школьников в творческую деятельность.

Формирование представления о задаче

Цель: формирование представления о задаче у учащихся.

Задачи:  разобраться,  что  такое  задача;  определить,  какие  бывают задачи;  развивать  математическую речь, культуру общения при работе в группе.

Оборудование: карточки со словами «задача», «условие», «требование», «взаимосвязь»; карточки для самостоятельной работы; листы с заданием для работы в группе.

Ход урока

I. Постановка учебной задачи «Что такое задача?».

– Что такое задача? (Ответы детей.)

– «Задача» произошло от слова «задать».  «Задача» (лексическое значение) – то, что нужно сделать, какое-то упражнение.

– То, что я сейчас прочитаю, будет являться задачей или нет?

1) Мама купила своей дочке бананы, а папа купил киви. Дочка сказала им спасибо. (Это не задача, так как нет в этом тексте (рассказе) ни чисел, ни вопроса.)

2) Мама купила своей дочке 2 банана, а папа купил 3 киви. Дочка Катя сказала им спасибо. (В этом тексте (рассказе) есть числа, но нас они ни о чем не спрашивают, то есть в этом тексте (рассказе) нет вопроса (цели, требования), а значит, это не задача.)

3) Мама купила своей дочке 2 банана, а папа купил 3 киви. Сколько всего  фруктов  купили  своей  дочке  родители?  (Этот  текст  будет  задачей, так как есть условие (данные, числа) и есть требование (цель, вопрос).)

– Что такое задача? (Дети отвечают, а учитель прикрепляет карточки со словами «задача», «условие», «требование», «взаимосвязь» на доску, то есть составляется схема задачи.)

Учащиеся вместе с учителем находят в задаче условие, требование и записывают на доску. (Задача 3.)

Требование

Условие

Связь

II. Составление задач по схемам (или по картинкам) коллективно.

III. Самостоятельная работа по карточкам на закрепление новой темы урока.

• Прочитай задачу. Подчеркни красным цветом условие задачи, а синим – требование.

а) На детской площадке играли 6 детей, к ним пришли играть еще 7 детей. Сколько детей стало играть на детской площадке?

б) В вазе лежало 11 конфет. Из нее взяли 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе?

в) Найди число карандашей в коробке после того, как к 5 лежащим в ней карандашам положили еще 2.

– Что такое задача?

IV. Работа в группах. (Каждой группе выдается лист с заданием.)

• Определить  и  доказать:  тексты  под  какой  буквой  будут  являться задачей.

а) На клумбе росло 9 ромашек. 3 из них сорвали. Сколько ромашек осталось на клумбе?

б) На столе в вазе стоят 2  розы и  7 тюльпанов. Мешают ли розы тюльпанам?

в) Юра решил 7 примеров. Ира решила больше примеров, чем Юра. Сколько примеров решила Ира?

г) У Светы было 3 яблока, а у Коли было 4 яблока и 3 апельсина. Сколько яблок было у детей?

д) На полянке росло 3 подосиновика и 4 груздя. Сколько подберезовиков росло на полянке?

О т в е т.

а) Задача.

б) Биологическая задача.

в) Задача с недостающими данными.

г) Задача с лишними данными.

д) Не задача, т. к. нет взаимосвязи между условием и требованием.)

– Как  вы  определили,  какой  текст  является  задачей,  а  какой  не является?

– Возникли ли у вас трудности при нахождении задач?

V. Коллективная работа.

1. К  данным  условиям  придумай  требования,  чтобы  получились задачи.

1) У Димы в пенале было 3 ручки, у Оли – 2, а у Кати – 4.

2) В классе занималось 12 учеников, потом 3 из них ушли.

2. К  данным  требованиям  придумай  условия,  чтобы  получились задачи.

1) Сколько книг осталось на полке?

2) Требуется узнать, сколько ведер картофеля собрали за день?

VI. Итог урока.

– Что такое задача? (В задаче должно быть условие, из которого мы узнаем данные числа и что они выражают. В задаче должно быть требование, в котором указано, что требуется найти. И эти условие и требование должны быть взаимосвязаны.)

Вернуться к схеме «Задача».

– Какие бывают задачи?

Домашнее задание.

Объяснить родителям, что такое задача, какие бывают задачи.

Нахождение и запись решения задачи

Цель: в ходе «квазиисследовательской» деятельности формировать личность ребенка как субъекта действия обучения.

Задачи: формировать представление о решении задачи; учиться находить и записывать решение задачи; воспитывать интерес к решению задачи и к предмету математике.

Оборудование: карточки со словами «Задача», «Условие», «Требование», «Взаимосвязь», «Решение»; магниты; большой лист бумаги, на котором нарисована  с х е м а:

(Количество этих листов зависит от количества групп в классе; маркер (каждой группе); каждой группе – тарелочку с 12 конфетами (например, 5 конфет в красных фантиках, 4 – в зеленых фантиках, 3 – в желтых фантиках); учебник: Чекин, А. П. Математика. 1 класс. – 2 ч. – М.: Академкнига/Учебник, 2007. С. 36, задания 1, 2.

Ход урока

I. Психологическая установка на работу.

– Улыбнемся друг другу (стоя). Сядьте тихо, удобно, закройте глаза, опустите голову на грудь.

Повторяйте за мной:

Я в школе на уроке.

Сейчас начну учиться.

Я радуюсь этому. (Пауза.)

Внимание мое растет.

Я, как разведчик, все замечу.

Память моя крепка.

Голова мыслит ясно. (Пауза.)

Я хочу учиться.

Я очень хочу учиться.

Я готов к работе.

Я работаю!

II. Актуализация имеющихся знаний.

При фронтальной работе учащиеся вспоминают, что такое задача и какие бывают задачи.

– Что такое задача? (Учащиеся отвечают, а учитель прикрепляет на  доску карточки со словами «Задача», «Условие», «Требование», «Взаимосвязь».)

– Какие бывают задачи? (Задачи бывают с недостающими данными, с лишними данными.)

III. Новая тема «Нахождение и запись решения задачи».

1. В в е д е н и е   в   т е м у.

– Что такое решение задачи? (Учитель прикрепляет на доску карточку со словом «Решение».)

– Вспомните задачу про поленья. (Можно ее решить на уроке, если учащиеся не решали эту задачу, или вспомнить аналогичную.)

Задача. 

Бабушка попросила детей принести несколько поленьев дров. Миша сказал: «Я принес 5 поленьев». «А я принесла 3 полена», – сказала Маша. «Сколько же всего поленьев вы принесли?» – спросила бабушка. «Я сейчас схожу и пересчитаю», – предложил Миша. «Не нужно никуда ходить», – остановила его Маша…

Маша ее решила, когда поняла, что для ответа на бабушкин вопрос можно что сделать? (Сложить данные числа 5 и 3.)

5 + 3      (Записать на доске.)

– Что это будет? (Решение задачи, которое записали в виде суммы двух чисел 5 и 3.)

– В чем заключается решение задачи? (Решение задачи заключается в правильном выборе действия над данными числами.)

– Это тема нашего сегодняшнего урока «Нахождение и запись решения задачи». (Тему урока записать на доске.)

2. Р а б о т а   в   г р у п п а х.

К схеме составить задачу и решение и объяснить учащимся других групп.

О т в е т ы: 4 + 5;  9 – 5;  9 – 4.

– В чем заключается решение задачи?

(В такой работе воспитывается умение принять либо отвергнуть позицию другого; сопоставление точек зрения; рефлексия своих действий и поступков, действий и поступков своих товарищей в группе; формы организации коллективно-распределенной деятельности; форма обучения – диалог (ученик – ученик, ученик – группа). Совместная рефлексивная деятельность позволяет в результате размышлений решить нужную задачу.)

3. С а м о с т о я т е л ь н а я   р а б о т а   п о   у ч е б н и к у:

Чекин, А. Л. Математика, с. 36, № 2.

– Подчеркните текст, который является задачей. Для каждой задачи найдите и подчеркните ее решение.

1. Чему равна сумма чисел 6 и 3?

6 + 3          3 + 6

2. Стоит Антошка на одной ножке. Что это такое?

1 + 1         1 + 0

3. Сколько карандашей в двух коробках, если в каждой лежит по 6 карандашей?

6 + 2         6 + 6

4. Сколько задач нужно еще решить ученику, если он решил 3 из 7, которые ему задали?

3 + 7        7 – 3

5. Сколько букв в слове МАТЕМАТИКА?

5 + 5         8 + 2

– Что вы заметили, когда выполняли это задание? (Встретилась загадка.)

– Почему вы решили, что это была загадка?

– Что такое задача?

– В чем заключается решение задачи?

4. С а м о с т о я т е л ь н а я   р а б о т а. (Каждой группе учащихся выдается тарелочка с 12 конфетами.)

– Наша жизнь состоит из разных, в том числе и математических, задач и нахождения решений к ним.  Посмотрите, что лежит в тарелочке. (Конфеты.)

– Придумайте задачу и запишите решение в тетради. (Каждый ученик самостоятельно придумывает задачу и записывает решение. После этого – проверка.)

Решения могут быть разными:

5 + 4 + 3                 3 + 4 + 5                 (3 + 5) +4

5 + 3 + 4                 3 + 5 + 4                 (5 + 4) + 3

4 + 5 + 3                 4 + 3 + 5                 5 + (4 + 3)   и т. д.

– Почему получились разные решения? (Были составлены разные задачи.)

Домашнее задание.

– Объясните, пожалуйста, своим родителям, в чем заключается решение задачи.

– Чтобы правильно объяснить родителям, давайте вспомним, в чем же заключается решение задачи?

Рефлексия.

– Поднимите, пожалуйста, руку те, кто не понял тему «Нахождение и запись решения задачи».

– Поднимите, пожалуйста, руку те,  кто считает, что сегодня очень хорошо работал, кто может себе сказать «Молодец!».

– Кто понял похуже, почему?

– Кто из ваших товарищей сегодня хорошо работал?

– Кому вы сегодня хотите сказать «Спасибо»?