мастер-класс "Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов"
статья по математике (4 класс) на тему

Слайд 1

Мастер- класс «Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов»

1.Цели мастер- класса

В настоящее время приоритет математического образования остаётся актуальным.

Тема моего мастер – класса «Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов», а какова моя цель сегодня? (ответы участников мастер – класса). А ваша цель? (ответы участников мастер – класса)

Цели мастер-класса:

• ознакомить учителей-слушателей курсов-с основными способами решения нестандартных математических заданий
• показать (совместно отработать)одиниз древнейших способов умножения многозначных чисел

2. Раскрытие темы

Слайд 2

Важнейшие задачи образования в начальной школе (формирование предметных и универсальных способов действий, обеспечивающих возможность продолжения образования в основной школе; воспитание умения учиться – способности к самоорганизации с целью решения учебных задач; индивидуальный прогресс в основных сферах личностного развития – эмоциональной, познавательной, регулятивной) реализуются в процессе обучения всем предметам. Однако каждый из них имеет свою специфику.

Предметные знания и умения, приобретённые при изучении математики в начальной школе, первоначальное овладение математическим языком являются опорой для изучения смежных дисциплин, фундаментом обучения в старших классах общеобразовательных учреждений.

Слайд 3

Слова Э.Канта «Не мыслям надобно учить, а учить мыслить» относятся ко всем предметам, а к математике тем более, особенно в части решения нестандартных задач.

Слайд 4

Исходя из общих положений ФГОС в целом и математического образования в частности, начальный курс математики призван решать различные задачи математического образования, в том числе:

• сформировать набор необходимых для дальнейшего обучения предметных и общеучебных умений на основе решения как предметных, так и интегрированных жизненных задач;
• обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе;
• сформировать устойчивый интерес к математике на основе дифференцированного подхода к учащимся;
• выявить и развить математические и творческие способности на основе заданий, носящих нестандартный, занимательный характер.

В своём мастер – классе я хочу вас познакомить с некоторыми способами решения нестандартных задач и в практической части с нестандартным (решатчатым) методом умножения многозначных чисел, который вы можете показать ребятам.

Слайд 5 арифметический

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический (аналитический) методы решения текстовых задач.

При арифметическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения последовательности действий и операций с имеющимися в тексте задачи (явно или косвенно) числами, величинами. Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестными, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью выполнения действий.

В качестве примера рассмотрим различные арифметические способы решения нестандартной (для младших школьников) задачи: «Для полива 8 яблонь и 4 слив мальчики принесли 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под сливы, если на полив одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на полив одной сливы?»

ЩелкСпособ 1

Если за исходное рассмотреть отношение между количеством деревьев (8 яблонь, 4сливы), то ответ на вопрос задачи может быть получен путем выполнения следующих действий.

1. 8 : 4 = 2 (раз) — яблонь больше, чем слив;
2. 2*3 = 6 (раз) — воды вылили больше под яблони;
3. 1 + 6 = 7 (част.) — в общем объеме воды;
4. 140 : 7 = 20 (вед.) — израсходовали на полив всех слив;
5. 140 - 20 = 120 (вед.) — израсходовали на полив всех яблонь.

Способ 2щелк

Если рассуждать, начиная с отношения, зафиксированного в тексте задачи последним (на полив яблони уходит воды в 3 раза больше), то цепочка будет другой.

1)8*3 = 24 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь;

2)        24 + 4 = 28 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь и
4слив;

3. 140 : 28 = 5 (вед.) — нужно для полива одной сливы;
4. 5*4 = 20 (вед.) — вылили под сливы;

5)        140 - 20 = 120 (вед.) — вылили под яблони.
Или:

4. 5*3 = 15 (вед.) — нужно для полива одной яблони;
5. 15*8 = 120 (вед.) — вылили под яблони;
6. 140 - 120 = 20 (вед.) — вылили под сливы.

Заметим, что решение задачи арифметическим методом можно оформить по-разному: в вопросно-ответной форме, по действиям, по действиям с пояснениями, в виде таблицы.

ЩёлкВсего 6 арифметических способов

Слайд 6 решение уравнением -алгебраический

При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения: после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, оно обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем (на основе выделенных в условии задачи зависимостей) составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни, не соответствующие условию задачи, отбрасываются. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязи его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.

Вернемся к задаче, в которой требуется определить количество ведер воды, израсходованное на полив слив и яблонь. Это можно узнать, если будет известно численное значение ведер воды, которое уходит на полив одной яблони и одной сливы. Обозначим через xколичество ведер воды, вылитых под одну сливу, тогда на полив одной яблони нужно 3xведер воды. Так как полили 4 сливы, 8 яблонь и израсходовали 140 ведер воды, составим уравнение: 4x + 8*3х = 140. Решив его, получаем x= 5. Значит, для полива всех слив потребовалось 5*4 = 20 ведер воды, а яблонь — 140 - 20 = 120.

Проверку можно выполнить, соотнеся найденный результат с условием задачи или решив задачу другим способом или методом.

Известно, что в начальном курсе математики преобладает арифметический способ решения задач, алгебраический применяется значительно реже в силу недостаточного опыта обращения младших школьников с уравнениями.

Помимо указанных, в школьной практике используются и другие методы.

Слайд 7 графический

Задача Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Первый проехал 1/3пути, второй —5/8 пути. Произошла ли встреча велосипедистов?

Данная задача легко решается средствами арифметики: сложив две дроби и оценив полученное значение путем сравнения с единицей, ответим на вопрос задачи. Однако алгоритм сложения дробей с разными знаменателями изучается в курсе математики 6 класса и младшему школьнику неизвестен. Тем не менее, решение этой задачи вполне возможно осуществить и после изучения темы «Доли. Дроби» в начальном курсе математики.Если позволит время

Изобразим расстояние между пунктами отрезком, численное значение длины которого делится одновременно на 3 и на 8 — для конкретной задачи удобнее построить отрезок длиной 24 единичных отрезка.

Опираясь на чертеж, можно сформулировать ответ: «Встреча не произошла». Такой метод решения называется графическим.

 Слайд 8 Практическийспособ

Решим задачу:

«В гараже 20 легковых и грузовых автомобилей, причем на каждую легковую машину приходится4 грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в гараже?»,

ЩёлкИзобразим каждую машину символом-буквой. Известно, что на каждую легковую машину приходится 4 грузовые. Поэтому каждому символу, обозначающему легковую машину, поставим в соответствие четыре таких же символа — грузовые машины.

Л-Г-Г-Г-Г-5 машин,

Щёлк дальше нетрудно сообразить, что 20 машин разделить на 5, получится 4 раза:

Л-Г-Г-Г-Г-5 машин

Л-Г-Г-Г-Г-5 машин

Л-Г-Г-Г-Г-5 машин

Щёлк Дальше подсчитаем количество легковых машин (4) и грузовых: 4*4=16(грузовых)

Слайд 9 Схематический

Задача 2. Собрался Иван-царевич на бой с трехглавым и треххвостым Змеем Горынычем. «Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом он может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста, но запомни: срубишь хвост — два вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь голову — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет». За какое наименьшее число ударов Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?

Разбирая условие задачи, составим схему:

Рубка Хвоста приводит к росту двух новых: Х- 2Х

                                                     Аналогично, 2Х-Г

Г- Г

                                                                             2Г- ничего (0)

Так как по условию задачи только рубка двух голов Змея одновременно приводит к их полной ликвидации, то для полной победы над Змеем необходимо добиться, чтобы у него оставалось только четное число голов. Поскольку Змей имеет 3 головы, то следует рубить ему хвосты так, чтобы это привело к получению еще трех голов. В связи с этим действия Ивана-царевича можно изобразить схематично.

На схеме буквой Х обозначен хвост, Г — голова, овалом обозначена одна рубка. Согласно условию задачи рубка одного хвоста (они обведены овалами в первой строке) приводит к тому, что на месте каждого хвоста вырастает 2 новых (вторая строка). Если срубить 3 раза по 2 хвоста, то на месте каждой пары срубленных хвостов вырастает по 1 голове. Итак, у Змея Горыныча было 3 головы, да еще 3 выросли за счет рубки хвостов. Все 6 голов можно разрубить парами, что и сделано на третьей строке.

Таким образом, Змей Горыныч побежден девятью ударами.

Слайд 10 табличный

Табличным способом оформляется практическое решение и целого класса логических задач — на установление отношений, например: «Беседуют трое друзей: Белов, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?»

Для решения задачи воспользуемся таблицей, отмечая по горизонтали фамилии, а по вертикали — цвет волос. По условию задачи Белов — не блондин, Чернов — не брюнет, а Рыжов — не рыжий. Это позволяет поставить минусы. 3 щелчка

Предложение «Брюнет сказал Белову» означает, что Белов — не брюнет, поэтому поставим еще один минус.

Очевидно, что Белов — рыжий, следовательно, Чернов и Рыжов соответственно блондин и брюнет.

Ответ: Белов- рыжий, Чернов- блондин, Рыжов- чёрный.

 Слайд 11 перебор

Графический и практический методы решения нестандартных математических задач в большей или меньшей степени имеют место в учебной деятельности младших школьников. Однако при их решении учащиеся чаще обращаются к методам упорядоченного перебора (полной индукции) и подбора. Рассмотрим его использование на примере задачи: «Можно ли найти два натуральных числа, из которых одно больше другого на 4, а их произведение равно 48?»

При решении этой задачи на начальной ступени рекомендуют воспользоваться методом полной индукции — рассмотреть все возможные варианты пар чисел, значение произведения которых равно 48, а затем выбрать подходящий (если таковой имеется). А данные перебора записать в виде таблицы.

Очевидно, что дальше вести перебор не имеет смысла. А потому, ответ нет. Хочу отметить, что ответ даём по вопросу: не то, что задача не имеет решения (мы не нашли такой пары чисел, удовлетворяющих условию задачи), а то, что «Нельзя найти два натуральных числа из которых одно больше другого на 4, а их произведение равно 48?»

Заметим, что математически решение данной задачи сводится к составлению и решению уравнения x«(x+ 4) = 48, которое так же не имеет решения в натуральном ряде чисел.

 Слайд 12 предположение

Особо остановимся на методе решения текстовых арифметических задач, который называется предположение ответа или метод одного ложного предположения. Суть его состоит в следующем. Выдвигается гипотеза: пусть ответ задачи будет таким-то. Путем рассуждений и вычислений проверяется принятая гипотеза, т. е. устанавливается, выполняются ли при ней условия задачи. В случае, когда число не удовлетворяет условиям задачи, находят отклонение гипотезы от точного ответа: если отклонение отрицательно, т. е. гипотеза меньше ответа, то отклонение прибавляется к гипотезе; если гипотеза больше ответа, т. е. отклонение положительно, то оно вычитается из гипотезы; если отклонения нет, то гипотеза принимается за ответ задачи.

Рассмотрим задачу: «Отец обещал сыну за каждую правильно решенную задачу опускать в копилку 10 монет, а за каждую неправильно решенную задачу сын должен возвращать отцу по 5 монет. После того как было решено 20 задач, у сына в копилке оказалось 80 монет. Сколько задач сын решил неправильно и сколько без ошибок?»

Предположим, что 10 задач решено верно. Узнаем, сколько денег в копилке окажется при этом: 10*10 - 5*10= = 50 (мон.). Получили, что 50 < 80 (отклонение отрицательно). При принятой гипотезе количество денег уменьшилось бы на 80 - 50 = 30 (мон.). За каждую правильно решенную задачу вернем по 10 + 5 = 15 (мон.). Теперь узнаем, на сколько принятая гипотеза меньше истинного ответа: 30 : 15 = = 2 (з.), поэтому количество задач, решенных без ошибок, составит 10 + 2 = 12 (з.), а неправильно решенных 10 - 2 = = 8 (з.) или 20 - 12 = 8 (з.). Способом установления соответствия между данными и искомыми легко определяется правильность решения предложенной задачи: 10*12-5*8=80 (мон.).Эту задачу можно решить также перебором.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический, практический и арифметический, графический и арифметический. В этом случае считают, что задача решена комбинированным или смешанным методом.

Итог: нестандартные задачи –они потому и нестандартные, что всеми выше указанными способами всех задач не решишь.А потому 2*2 не только 4, а ещё и без 5    3*3.