Геометрическое содержание начального курса математики как средство развития у младших школьников умения моделировать Каменкова НГ, Иванова НА
методическая разработка по математике (1 класс)

Н.Г. Каменкова, Н.А. Иванова,

РГПУ им. А.И.Герцена,

kamkoc@mail.ru , justbrilyantina@mail.ru  

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ МОДЕЛИРОВАТЬ

В статье рассматриваются условия,  способствующие раскрытию потенциала геометрического содержания начального курса математики для развития у младших школьников умения моделировать; выстроен понятийный аппарат исследования, рассмотрены этапы, ступени и операционный состав умения моделировать, выделены направления обучающей деятельности, обозначены приемы моделирования. На основе анализа возможностей геометрического содержания выделены условия, положенные в основу  разработки проекта развития умения моделировать у второклассников на уроках математики; приведены иллюстрирующие примеры заданий геометрического содержания,  направленные на развитие компонент, входящих к операционный состав умения моделировать.

Ключевые слова: начальная школа, младший школьник, модель, моделирование, деятельность моделирования, умение моделировать,  компоненты умения моделировать, этапы моделирования, приемы моделирования,  диагностика умения моделировать, геометрическое содержание начального курса математики.

.

В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования приоритетным направлением современного образовательного процесса является развитие индивидуальных возможностей и способностей каждого ученика. Каждый предмет начальной школы подчинен цели формирования умения учиться, воспитания и развития качеств личности,  отвечающих требованиям информационного общества [1]. Поэтому особое место среди результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования на современном этапе занимают умения, связанные со способностью человека   управлять огромными потоками информации,   использовать знаково-символические средства представления информации для создания моделей объектов и процессов. На начальной ступени ключевым показателем развития знаково-символических действий является освоение моделирования.

Моделирование рассматривается в современной школе как один из компонентов умения учиться.  Как метод познания, моделирование является целью и средством формирования познавательных универсальных учебных действий (УУД). Это обязательный метапредметный результат современного общего образования, особая группа общеучебных универсальных познавательных действий в рамках знаково-символических действий. Моделирование не только способствует осознанности и  функциональности процесса обучения, но также является надежным и эффективным инструментом познания для всей последующей жизни [2]. Поэтому умение моделировать как метапредметное умение в начале XXI века становится объектом внимания отечественных и зарубежных исследователей в области психологии и дидактики.

М.А. Урбан выделяет исследовательское направление о возможности и целесообразности раннего приобщения учащихся к методу научного (в частности, математического) моделирования, считая, что основой для исследования вопроса о возможности обучения младших школьников приемам научного моделирования является понимание сущности этого метода познания [3].

В педагогике рассматриваются два основных направления моделирования в обучении: 1) моделирование как содержание, которое необходимо усвоить; 2) моделирование как средство обучения, как учебное действие. В соответствии с требованиями стандарта необходимо научить учащихся начальных классов осознанному и самостоятельному моделированию в процессе решения учебно-познавательных и учебно-практических задач. Однако, в практике школьного обучения,  моделирование рассматривается именно как средство обучения, в процессе изучения отдельных тем и вопросов,  в основном касающихся использования готовых моделей. Если, например, обратиться к математическому содержанию, то, как правило, исследуются особенности использования моделирования в процессе формирования вычислительных умений и умения решать арифметические текстовые задачи.  

Таким образом, возникает противоречие между требованием  стандарта  и недостаточностью его реализации в направлении развития у младших школьников умения моделировать.

Рассмотрим основные понятия, связанные с проблемой развития умения моделировать у обучающихся начальной школы.  

Под моделью, в широком смысле, понимается система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы-оригинала [4]. Более конкретную формулировку понятия модели дает А.В. Белошистая,  определяя модель как построенный по определенным правилам аналог исследуемого объекта, процесса, ситуации, который отражает структуру связей и отношений исследуемого объекта и должен быть способен замещать его так, чтобы его изучение дало нам новую информацию об этом объекте [5].

В научных исследованиях моделирование рассматривается под разными углами зрения: как метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель) (А.В. Карпенко,  [6]), как способ построения модели (А.В. Белошистая, [5]), как действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные, интересующие нас качества, стороны или свойства объекта или прототипа (В.В. Давыдов, [7]), как преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта и преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область (А.Г. Асмолов, [2]).

В Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования моделирование представлено как система следующих универсальных учебных действий:

• кодирование (использование знаков и символов как условных заместителей реальных предметов);
• декодирование (считывание информации);
• использование наглядных моделей (схем, чертежей, планов), отражающих пространственные отношения между предметами или их частями;
• самостоятельное построение схем, моделей [1].

Данный подход сочетается с трактовкой С.П. Баранова, который  рассматривает учебное моделирование как систему таких действий, как замещение, кодирование и декодирование, называя их этапами моделирования [8].

Умение моделировать Н. Г. Салмина определяет как умение оперировать учебными моделями с целью изучения существенных свойств оригинала и получения новой информации, необходимой для решения учебной задачи [9]. М.А. Урбан и Т.В. Смолеусова под комплексным умением моделировать понимают умение обучающихся строить учебные модели изучаемых понятий и способов действий с помощью вариативных средств (вербальных, визуальных, символических) [10].

Выделяя компоненты умения моделировать, Н.Г. Салмина называет следующие  действия:

1. Предварительный анализ
2. Перевод реальности или текста её описывающего на знаково-символический язык.
3. Работа с моделью, которая предполагает анализ построенной модели за счёт выделения дополнительных данных, вытекающих из основных.
4. Соотношение результатов полученных на модели с реальностью.

Аналогичные компоненты умения моделировать предлагает Т.В. Смолеусова:

1. извлечение существенной информации в оригинале;
2. построение модели оригинала;
3. нахождение решения внутри построенной модели;
4. интерпретация результата решения внутри модели на языке оригинала [11]. 

Каждый из компонентов должен выступить предметом усвоения обучающихся при изучении разных предметов.

Таким образом, выстраивая понятийный аппарат нашего исследования и ориентируясь на  взаимосвязь понятий модель – моделирование – умение моделировать – этапы моделирования – компоненты умения моделировать, мы будем придерживаться следующих подходов к их определениям (Таблица №2):

Таблица №2. Понятийный аппарат исследования

Модели и моделирование занимают особое место в обучении математике, поскольку язык математики – это язык моделей и обучение моделированию на уроках математики представляется естественным и необходимым. В начальной школе на уроках математики обучающиеся знакомятся с различными видами моделей (предметный рисунок, условный рисунок, символическая запись, схематический чертеж и др.), учатся работать с готовыми  учебными моделями, извлекают информацию,  закодированную  в модели,  создают модели самостоятельно, делая первые шаги в овладении моделированием.

Одной из разновидностей математического моделирования является геометрическое моделирование.

Геометрическое моделирование - это процесс перехода от реального объекта к абстрактной геометрической фигуре. 

Геометрическая модель – это воображаемая геометрическая фигура, адекватная по определенным параметрам реальному объекту [12].

На уроках математики младшие школьники знакомятся с абстрактными геометрическими фигурами и их элементами, являющимися символическими моделями реальных объектов. Анализируя геометрическое содержание учебников математики для начальной школы (авт. М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.), можно выделить следующие виды заданий с геометрическими фигурами: задания на узнавание геометрических фигур; задания на измерение; задания на вычерчивание и построение; задания на нахождение и выделение фигуры в сложном чертеже; задания на видоизменение заданной фигуры; задания на сравнение и классификацию фигур; задания на вычисление.

Изучение геометрического содержания в  начальной школе строится в соответствии с уровнями развития геометрического мышления,  выделенных А.М. Пышкало [13]. К моменту окончания обучения в младших классах обучающиеся должны достичь второго уровня, характеризующегося умением различать геометрические фигуры по форме и в целом, выделять свойства геометрических фигур, устанавливая их экспериментально в результате наблюдений, измерений, моделирования.

А.С. Турчин рекомендует на уроках математики в начальной школе использовать следующие приемы моделирования [14]:  соотнесение моделей, построение модели, выбор модели, изменение модели.

Таким образом, геометрическое содержание начального курса математики имеет очевидные возможности для развития у обучающихся компонент умения моделировать.  Однако, анализ геометрических заданий учебников математики показал, что их содержание реализует лишь отдельные компоненты деятельности моделирования. Как правило, учащимся предлагаются задания с самими геометрическими фигурами, в которых отсутствует предварительный анализ и перевод реальности на знаково-символический язык; работа с моделью и соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью также не реализуются.

С целью выявления у младших школьников уровня умения моделировать, нами было проведено диагностическое исследование в апреле 2023 года в ГБОУ школа № 469 Выборгского района г. Санкт-Петербурга. В эксперименте приняли участие 46 учеников вторых  классов. Диагностическая работа содержала два блока заданий:

1) блок заданий, направленных на выявление уровня комплексного умения моделировать (методика М.А. Урбан и Т.В. Смолеусовой [10] на  содержании арифметических текстовых задач);

2)  блок заданий, направленных на выявление уровня графического моделирования (методика О.В. Варниковой [15] на содержании предмета Окружающий мир).

Результаты диагностики приведены в таблице 2:

Таблица 2. Уровни умения моделировать у учащихся 2 класса

Полученные результаты диагностики свидетельствуют,  что подавляющее большинство учащихся находятся на низком уровне как комплексного умения моделировать,  так и графического моделирования, и подтверждают актуальность нашего исследования. Таким образом, можно сделать вывод о недостаточности проводимой работы по развитию умения моделировать у второклассников исследуемой группы и необходимости разработки проекта по развитию данного умения на геометрическом содержании.

Разрабатывая проект, мы ориентировались на программу по математике УМК Школа России во 2 классе (учебники авторов М.И. Моро, М.А. Бантовой,  Г.В. Бельтюковой и др.[16],[17]), в  соответствии с которой  изучается следующее геометрическое содержание:

1. Миллиметр,  метр
2. Длина ломаной
3. Периметр многоугольника
4. Угол,  виды углов
5. Прямоугольник
6. Квадрат.

В основу разработки материалов проекта развития умения моделировать при изучении геометрического материала на уроках математики были положены следующие условия:

• соблюдение этапности деятельности  моделирования и операционного состава умения моделировать в период изучения геометрического содержания в начальной школе;
• отбор и использование приемов моделирования в соответствии с изучаемым геометрическим содержанием;
• использование разнообразного геометрического содержания;
• изучение геометрических фигур как образов реальных объектов;
• сочетание плоскостного и объемного моделирования;
• использование заданий игрового и конструкторского характера при изучении геометрического содержания.

Нами были определены следующие направления проектной работы по развитию  умения моделировать у учащихся 2 класса на геометрическом содержании:

1. Развитие умения моделировать в процессе формирования представлений о геометрических величинах (миллиметр,  метр,  длина ломаной, периметр многоугольника)
2. Развитие умения моделировать при изучении плоских геометрических фигур (угол, прямоугольник, квадрат)
3. Объемное моделирование

  В своем проекте мы не затрагивали аспекта использования цифровых ресурсов геометрического содержания по компьютерному моделированию в процессе развития у младших школьников умения моделировать, который представляет самостоятельное направление исследования [18].

Рассмотрим примеры организации деятельности         моделирования учащихся 2 класса при изучении геометрического содержания на уроках математики (УМК «Школа России»).

1. Развитие умения моделировать в процессе формирования представлений о геометрических величинах (миллиметр,  метр,  длина ломаной, периметр многоугольника)

Тема «Миллиметр»

На этапе введения понятия «миллиметр» происходит развитие извлечения существенной информации в оригинале.

Учащимся предлагается рассмотреть изображения (модели) нескольких реальных объектов (мелки, ребенок,  божьи коровки) и ответить на вопрос: какими единицами измерения длины мы будем пользоваться (Рис. 1)?

Рис. 1

Дети уже знают такие единицы длины  как сантиметр и дециметр. Они должны придти к выводу,  что мелки они будут измерять в сантиметрах,  ребенка – в дециметрах, а в чем измерить божью коровку, они не знают.

В данном случае,  оригиналом является изображение реального объекта. Данная проблемная ситуация, предложенная учителем, создается с целью развития умения извлекать существенную информацию в оригинале – размеры божьей коровки слишком малы, а те единицы измерения длины,  с которыми  дети знакомы, не подходят.

Замещение происходит с помощью следующего задания: учащимся предлагаются карточки с отрезками: 5 см,  2 см,  0,5 см (Рис. 2).

Рис. 2

Дети должны выбрать отрезок, соответствующий длине божьей коровки. Для этого они сравнивают отрезки по длине на глаз,  соотнося данные геометрические модели. В данном случае используется прием соотнесения моделей: учащиеся рассматривают модели и доказывают,  почему тот или иной отрезок подходит или не подходит по длине. Осуществление выбора отрезка происходит на основе реализации приема выбора модели – из всех моделей дети выбирают ту,  которая подходит.  

Учащиеся измеряют отрезки,  которые могут измерить с помощью  линейки; сравнивают длину отрезка, подходящего по длине для божьей коровки с одним сантиметром – она меньше.

Далее вводится понятие миллиметра, его краткое обозначение – мм (кодирование), происходит установление  соотношения между сантиметром и миллиметром  (1см = 10 мм), дети вспоминают и проговаривают алгоритм измерения отрезков,  переходят к измерениям.  

На этапе  закрепления детям предлагается дополнить таблицу недостающими данными (Таблица 3):

Таблица 3. Таблица с недостающими данными

Выполняя  это задание, учащиеся работают с тремя видами моделей: изображением линейки, числовой моделью и схематической моделью.  Они используют приемы соотнесения моделей и построения моделей. Отметим, что данное упражнение направлено на развитие таких умений,  входящих в операционный состав умения моделировать, как извлечение существенной информации в оригинале (причем оригинал носит переменный характер) и построение модели оригинала.  Работая с разными моделями, дети выполняют и кодирование и декодирование, переходя от одной модели к другой, т.е. происходит изменение моделей.

Завершающий вид деятельности моделирования при изучении понятия «миллиметр» - поиск реальных объектов, размеры которых можно измерять в миллиметрах. Такое задание направлено на развитие умения интерпретировать результаты решения внутри модели на языке оригинала.

2. Развитие умения моделировать при изучении плоских геометрических фигур (угол, прямоугольник, квадрат)

Тема: Квадрат

        Учащимся предлагают сравнить керамические плитки для пола (Рис. 3 и Рис. 4):

                      Рис. 3                                                                     Рис. 4

В результате сравнения они должны сказать,  что на фотографии слева плитка прямоугольная, а на фотографии справа – квадратная. Таким образом,  мы начинаем изучение квадрата с рассмотрения реальных объектов – керамической плитки.

Далее происходит замещение реальных объектов (керамическая плитка) моделями  - геометрическими фигурами (прямоугольник,  квадрат):

С помощью приема соотнесения моделей учащиеся выявляют сходство и различие свойств прямоугольника и квадрата: и у прямоугольника и у квадрата по 4 стороны, по 4 одинаковых (прямых) угла, противоположные стороны равны;  но у квадрата все стороны равны.

Работа по закреплению  признаков квадрата может быть организована с помощью  моделей геометрических фигур,  из которых  нужно выбрать и раскрасить все квадраты (Рис. 1 или. Рис 2). В занимательной форме  (математическая сказка) обсуждается,  почему квадрат – это тоже прямоугольник.  

                                     Рис. 1.                                                          Рис. 2

Рисунки 1 и 2 отличаются уровнем абстрактности – рисунок 1 никак не связан с оригиналом из жизни, а рисунок 2 является моделью реальной ситуации с изображением  реальных объектов. Задание выполняется с использованием приемов соотнесения моделей и выбора моделей.

Развитие умения построения модели квадрата может быть организовано  в игровой форме.  Для игры в палочки  дети чертят заготовку (Рис. 3):  в тетрадях изображается 9 точек на расстоянии 1 см. В игру играют в парах. Ходы делаются по очереди. Ход заключается в следующем: участник рисует по сторонам клеток внутри игрового поля отрезок длины 1. На этом ход заканчивается и передаётся следующему участнику в случае, если в результате хода не образовался из ранее отмеченных отрезков или границ игрового поля квадрат со стороной 1 см. В случае, когда такой квадрат образуется, участник ставит в него свой символ (как правило, в игре с 2 людьми это крестик или нолик) и получает призовой ход (который обязан использовать). Когда всё игровое поле заполнено, то есть не осталось ни одного пустого квадрата и ни одного пустого отрезка длины 1, игра заканчивается. Начинается подсчёт очков, то есть символов в квадратах 1х1 каждого участника. Чем больше очков набрал человек, тем лучше, то есть выигрывает тот (или те), у кого больше всех очков. 

Рис. 3. Пример игры в палочки

В процессе данной игры используются приемы построения и изменения модели – в результате завершенной игры получается квадрат со стороной 2 см, который разбит на квадраты со стороной 1 см.

При изучении квадрата может быть реализовано и третье направление проекта – объемное моделирование с помощью конструирования кубика из квадрата (оригами, Рис. 4). Это может быть домашним заданием или заданием для организации внеурочной деятельности.

Рис. 4. Конструирование кубика

        После выполнения всех заданий на развитие умения моделировать  в рамках той или иной темы учебной программы геометрического содержания  учащиеся осуществляют самооценку [19].

Таким образом, наш проект предполагает организацию деятельности моделирования на основе единства содержательного, методологического и  структурного  компонентов развития у младших школьников умения моделировать,  ориентированную на развитие компонент умения моделировать, входящих в его операционный состав с соблюдением этапов моделирования, с использованием приемов моделирования на разнообразном геометрическом содержании в рамках учебной программы.

Библиографические ссылки

1. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. [Электронный ресурс]. URL: http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202107050028?ysclid=lobhufyns3330856538&index=1 (дата обращения: 22.09.2023)
2. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе. От действия к мысли : Стандарты второго поколения. Пособие для учителя / А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская [и др.] ; под ред. А. Г. Асмолова. – 3-е издание. – Москва : Просвещение, 2011. – 152 с. – (Стандарты второго поколения). – ISBN 978-5-09-025478-6. – EDN QYEFCD.
3. Урбан, М. А. Особенности и компоненты комплексного умения моделировать в современном начальном математическом образовании / М. А. Урбан, Т. В. Смолеусова // Science for Education Today. – 2020. – Т. 10, № 4. – С. 139-155. – DOI 10.15293/2658-6762.2004.09. – EDN AZDAWY.
4. Тютькова, И. А. Педагогический тезаурус : учебное справочное пособие / И. А. Тютькова. – Москва : В. Секачев, 2016. – 160 с. – ISBN 978-5-9920-0333-8. – EDN YIZXHQ.
5. Белошистая, А. В. Обучение решению задач в начальной школе: методическое пособие / А. В. Белошистая. - 2-е изд., испр. - Москва: ИНФРАМ, 2016. - 281 с.
6. Карпенко, А.В. Обучение младших школьников моделированию как способу учебно-познавательной деятельности: диссертация ... кандидата педагогических наук : 13.00.01. - Брянск, 2006. - 245 с. : ил.
7. Давыдов, В. В., Варданян, А. У. Учебная деятельность и моделирование. — Ер.: Луйс, 1981. - 220 с.
8. Баранов, С. П. Сущность процесса обучения / С.П. Баранов. - М.: 1981. - 142 с.
9. Салмина, Н. Г. Знак и символ в обучении / Н. Г. Салмина. – Москва : МГУ, 1988. - 286 с.
10. Урбан, М.А., Смолеусова, Т.В. Особенности и компоненты комплексного умения моделировать в современном начальном математическом образовании // Science for Education Today. Т.10, №5, 2020 . [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-i-komponenty-kompleksnogo-umeniya-modelirovat-v-sovremennom-nachalnom-matematicheskom-obrazovanii (Дата обращения: 28.10.2023)
11. Смолеусова, Т. В. Вариативность моделирования в образовании как условие реализации требований ФГОС // Сибирский учитель. – 2015. – № 6. - С. 55–57. [Электронный ресурс]. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25625645 (Дата обращения: 28.10.2023)
12. Деветериков,  Ю.Л. Лекционный курс по начертательной геометрии. – Тольятти: ТГУ, 2006. – 86 с.
13. Пышкало, А. М. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах : пособие для учителей. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Просвещение, 1973. — 208 с.
14. Турчин, А. С. Моделирование и обучение  / А. С. Турчин. –. Иваново : Иван. гос. ун-т, 2006. – 260 с.
15.  Варникова, О.В. Диагностика уровней сформированности у младших школьников действия графического моделирования // Воспитание, обучение, образование: передовые технологии, исследования и разработки: сборник научных трудов по материалам I Международной научно-практической конференции 21 марта 2018 г., Москва: Профессиональная наука, 2018. – 78 с., с 40-43.
16. Математика. 2 класс Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч.
    Ч. 1/[М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.]. — 5-е изд. — М. : Просвещение, 2022.—112 с.
17. Математика. 2 класс Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч.
    Ч. 2/[М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.]. — 5-е изд. — М. : Просвещение, 2022.—112 с.
18. Каменкова Н.Г. Информационные технологии в профессиональной подготовке магистра по направлению "Педагогическое образование». // Герценовские чтения. Начальное образование.  Т. 4. № 2. -  CПб.,  Изд-во ВВМ, 2013. – С. 221-226.
19. Каменкова Н.Г., Синельникова В.М. Учет учебных достижений младших школьников  как средство развития самооценки. // Герценовские чтения. На-
    чальное образование. Т. 5. № 1. -  CПб.,  Изд-во ВВМ, 2014. – С. 147-152