Решение текстовых задач
методическая разработка по математике

Еще в 1867 году К.Д.Ушинский сказал: « У хорошего преподавателя бывает так, что арифметическая задача есть вместе занимательный рассказ, урок сельского хозяйства или домашней экономии , или историческая и статистическая тема и упражнение в языке.»

Из личного опыта мы знаем, что бывают учителя, у которых дети учатся математике неохотно  и с трудом, плохо ее понимают и не выучиваются как следует вычислять  и решать задачи; у других же учителей дети учатся той же математике  без больших усилий и с интересом, и усваивают ее сознательно и хорошо.  А случается и так, что дети, которые уже потеряли охоту к занятиям   по математике и считались недостаточно способными к этому предмету, потом, перейдя к другому учителю, обнаруживают и способности, и любовь к математическим знаниям.

Отчего это так бывает?

Разумеется, оттого, что не все учителя одинаково хорошо умеют обучать детей, т. е. помогать им приобретать должные познания и навыки; один применяет такие приемы обучения, которые делают математику ясной и доступной детям и способны приохотить детей к занятиям  счислением и измерением; другой этих приемов не знает или не умеет  ими пользоваться, и оттого у него дело обучения плохо ладится.

Для того, чтобы мы   могли разобраться в этом вопросе, мы должны дать себе отчет в том, зачем изучается математика в школе и чему учить на уроках, ей посвященных; а после этого нам легче будет вникнуть и в то, как учить детей решению задач .

Мы знаем, что в повседневной жизни нам часто приходится выполнять различные расчеты и измерения; напр., при всякой покупке мы должны уметь рассчитать, сколько придется заплатить за покупаемый товар, сколько получить сдачи, мы должны уметь рассчитать, на сколько дней нам хватит этой покупки, или как разделить этот запас хлеба между несколькими едоками; если нам  нужно сшить платье, мы должны знать, сколько на него пойдет ткани, и во что обойдется нам эта ткань, пуговицы и т. д.; если нужно оклеить обоями комнату, надо уметь измерить площадь стен и высчитать, сколько понадобится кусков обоев, сколько  это будет стоить и т. д. А для всего этого нам нужно уметь считать и
производить вычисление над целыми и дробными числами, нужно уметь
измерять длину, вес, время, площади и объемы—одним словом, надо иметь
целый ряд познаний и умений, которые мы можем приобрести только с
помощью изучения математики.
Но этим не исчерпывается задача обучения математике в школе
Учась выполнять разного рода вычисления и измерения, мы устанавливаем те или иные правила действий, свойства чисел или фигур, приемы
измерений и т. д., и применяем эти правила и выводы к решению задач
и других вопросов повседневной жизни; вместе с тем мы постоянно даем
себе отчет в том, почему данное вычисление - нужно произвести так, а
не иначе, почему данную задачу нужно решить напр. умножением, а не
другим действием, почему напр. всякий треугольник составляет половину
прямоугольника с тем же основанием и высотой и т. д. При этом мы
постоянно выполняем те или иные рассуждения и незаметно для себя
приучаемся рассуждать точно и правильно. Таким образом, изучение математики вырабатывает у нас привычку правильно мы-
слить, и вот другая цель, ради которой изучается математика в школе—
цель общеобразовательная: помочь учащимся развить у себя привычку к правильным суждениям, умозаключениям и выводам.
 

Современная жизнь предъявляет к человеку новые требования. Общество нуждается в людях творчески мыслящих, любознательных, активных, умеющих принимать нестандартные решения и брать ответственность за их принятия, а также умеющих осуществлять жизненный выбор. Задачи по математике играют образовательную роль: когда ученик её решает, он открывает для себя что-то, что раньше ему было неведомо – попадает в новую ситуацию, используя навыки и знания, полученные им на уроках, находит способ её решения, также, возможно, открывает для себя новые, смежные с уже известными ему, области науки, и др. Иначе говоря, решение математических задач учит человека математически мыслить, узнавать о математике новое, увеличивать математическое образование. После того, как человек успешно справился с несколькими примерами и задачами, количество становится качеством, и имеющийся (или полученный) метод становится его навыком, орудием, которое он сможет использовать в дальнейшем, тем самым его математическое образование опять же только растёт.

Почему дети не могут решить задачу?

• Не могут прочитать
• Не понимают о чем речь в задаче
• Не  видят элементов простой задачи
• Не удерживают учебную задачу( решили верно, ответ записан неверно)

В  книге С.Н.Лысенковой «Методом опережающего обучения»  есть глава «Проблемы при решении задач и пути их преодоления» говориться о том, что дети несмотря на достаточную подготовку к решению задач, самостоятельно не могли составить план решения  и выбрать действия. В чем дело? НЕ отработаны подходы к решению составных задач. Дети не видят в них элементов простой или типовой задачи. Значит , чем лучше поставлен на уроке анализ решения задач, тем легче с ней справится.

Поспешное и поверхностное отношение детей к обдумыванию решения задачи начинает складываться ещё в 1 классе. Из опыта знаю, что сразу же после ознакомления с содержанием задачи ребёнок спешит назвать ответ и только по требованию учителя сообщает решение задачи. Ошибки при этом маловероятны, потому что сюжеты задач близки жизненному опыту детей, числа в условии небольшие и, следовательно, нужное арифметическое действие и число – ответ можно найти даже по представлению, не прибегая к вычислениям. Решение задач кажется первокласснику совсем не сложным. Зарождается стремление и постепенно формируется прочная привычка сводить всю работу над задачей к простой вычислительной деятельности. Но процесс решения любой текстовой задачи, это известно всем, состоит из нескольких этапов:

• Восприятие и первичный анализ задачи. 
• Поиск решения и составление плана решения. 

• Выполнение решения и получение ответа на вопрос задачи.
• Проверка решения. 

Важнейшим этапом решения задачи является первый этап – восприятие задачи (анализ текста). Цель этапа – понять задачу, т.е. выделить все множества и отношения, величины и зависимости между ними, числовые данные, лексическое значение слов.

Результатом выполнения этого этапа является понимание задачи, так как с точки зрения психологии восприятие текста – это его понимание. Не поймешь задачу – не решишь ее. Для того чтобы добиться понимания задачи, полезно воспользоваться разными приемами, которые накопились в современной методике.

Приемы выполнения анализа задачи:

обыгрывание задачи;

разбиение текста задачи на смысловые части;

постановка специальных вопросов;

построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель, выражение);

определение вида задачи и выполнение соответствующей схемы – краткой записи.

Одной из важнейших целей в процессе обучения решению текстовых задач является развитие умения моделировать задачу с помощью схем. Использование схем особенно удобно для задач с большими числами, когда непосредственный рисунок сделать трудно или даже невозможно.. Составление схемы к условию задачи позволяет наглядно её представить и осознанно определить план решения, что способствует успешному решению.

Приемы работы со схемами

1) самостоятельно «одеть» схему;

2) составить задачу по схеме;

3) выбрать схемы к задачам;

4) комментирование задачи только по схеме (без данных);

5) соединить схемы с подходящим выражением.

Составление схемы к условию задачи позволяет наглядно её представить и осознанно определить план решения, что способствует успешному решению.

Алгоритм решения задачи

• Прочитай задачу.
• Определи , о чем говорится в задаче.
• Определи тип задачи.
• Составь план решения в зависимости от типа задачи.
• Запиши решение.
• Подумай, можно ли решить задачу другим способом.
• Проверь решение.
• Запиши ответ.

Одной из современных образовательных технологий, способствующей развитию умения анализировать жизненные ситуации, оценивать альтернативы, выбирать оптимальный вариант и планировать его осуществление, является кейс-технология или метод конкретных ситуаций.  За последние годы кейсы довольно широко распространились в практике обучения. Главное предназначение кейс-технологий - развивать способность прорабатывать различные проблемы и находить их решение, другими словами научиться работать с информацией. Если такой подход в течение учебного цикла применяется многократно, то у обучающихся вырабатывается устойчивый навык решения практических задач. По сравнению с широко распространенными методами активного обучения школьников эта технология не столь известна. Еще менее опробована она в применении к математике в школе, поскольку в отличие от гуманитарных дисциплин она предполагает разрешение участниками учебных групп проблемы, по своей сути, не имеющей однозначного решения.

Умение воспользоваться теорией, обращение к фактическому материалу, ситуационный анализ - вот важнейшие характеристики кейс-метода.

Итак, кейс-технология – это интерактивная технология для краткосрочного обучения на основе реальных или вымышленных ситуаций, направленная не столько на освоение знаний, сколько на формирование у слушателей новых качеств и умений.

Данная технология имеет многоплановые цели:

• научить обучающихся как индивидуально, так и в составе группы анализировать информацию;
• сортировать информацию для решения выбранной задачи;
• выявлять ключевые проблемы предложенной ситуации;
• генерировать альтернативные пути решения и оценивать их;
• выбирать оптимальное решение и формировать программы действий:

Помимо этих целей при применении кейс - технологии достигаются и социальные компетентности.

Планируемые результаты. Обучаемые:

• получают коммуникативные навыки;
• развивают презентационные умения;
• формируют интерактивные умения, позволяющие эффективно взаимодействовать и принимать коллективные решения;
• приобретают экспертные умения и навыки;
• учатся учиться, самостоятельно отыскивая необходимые знания для решения ситуационной проблемы.

Типы кейсов:

1. Практические кейсы. Реальные жизненные ситуации, детально и подробно отраженные. При этом их учебное назначение может сводиться к тренингу обучаемых, закреплению знаний, умений и навыков поведения (принятия решений) в данной ситуации. Кейсы должны быть максимально наглядными и детальными.
2. Научно-исследовательские кейсы. Они выступают моделями для получения нового знания о ситуации и поведения в ней. Обучающая функция сводится к исследовательским процедурам.
3. Обучающие кейсы. Отражают типовые ситуации, которые наиболее часты в жизни. Ситуация, проблема и сюжет здесь не реальные, а такие, какими они могут быть в жизни, не отражают жизнь «один к одному».

Примерная структура кейса:

1. Ситуация – случай, проблема, история из реальной жизни
2. Контекст ситуации  -  хронологический, исторический, контекст места, особенности действия или участников ситуации.
3. Комментарий ситуации, представленный автором
4. Вопросы или задания для работы с кейсом
5. Приложения

Задачи имеют одно решение и один путь, приводящий к этому решению. Кейсы имеют много решений и множество альтернативных путей, приводящих к нему. Кейс-технология неэффективна в отношении ситуаций, лишённых проблемности, не имеющих альтернативных путей решения, жестко регламентированных.

Подведение итогов в группах.

Каждой группе даётся 5-6 минут. Заслушивается выступление представителей от каждой группы и обсуждение решения с применением кейс- технологии. Работа каждой группы оценивается по 3 пунктам, результат заносится в таблицу. В зависимости от количества баллов ученики получают оценки за работу на уроке.

Всем известно, что решение задач представляет особую трудность в обучении. Особенно труден этап анализа текста задачи. Но так как эта работа неотъемлемая часть урока математики, а всякое трудное действие вызывает у детей негатив, то, для поддержания интереса необходимо разнообразить виды деятельности, пробудить заинтересованность, удивление. Поэтому того обязательного минимума задач, который предусмотрен действующими учебниками, бывает недостаточно. Дети на протяжении определенного отрезка времени мыслят по шаблону, перейти на новый тип задачи им бывает трудно. И тут нам на помощь приходят нестандартные задачи. Поддерживая интерес к таким заданиям, мы воспитываем интерес к математике как к науке. Решать нестандартные задачи желательно ежедневно, так как они развивают умение анализировать, сравнивать, классифицировать, необходимое не только на уроках математики, развивают творческие способности. Решение нестандартных задач это искусство, которым можно владеть лишь в результате глубокого постоянного анализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач. Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий. Включая нестандартные задачи в урок, необходимо помнить, что они должны соответствовать теме урока или серии уроков и возрастным особенностям детей.

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:

• способ решения занимательных задач неизвестен. Для их решения характерно применение метода проб и ошибок. Эти поисковые пробы могут закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения;
• занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа подачи задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставят их в условия необходимости ее решения;
• занимательные задачи составлены на основе знаний законов мышления.

В любом случае догадке как способу решения задачи предшествует тщательный анализ: выделение в задаче существенных признаков, установление связей между исходными данными, установление исходных свойств, попытки опереться на ранее решенные задачи и т.п.

Однако метод проб и ошибок нерационален, ненадежен. Гораздо важнее научить детей тем приемам умственной деятельности, которые более необходимы для решения задач: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация.

Методы (приемы) решения.

Методы (приемы) работы над задачей:

1. Изучение условия задачи;
2. Выдвижение идеи (плана) решения;
3. Поиск аналогии, сравнительные чертежи.
4. Разбиение задачи на подзадачи.
5. Решение одной задачи несколькими способами;
6. Прием разбора готового решения;

Нестандартные задачи по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие группы:

• задачи на взвешивание
• задачи на переливание;
• задачи, решаемые с «конца»;
• задачи на установление взаимно-однозначного соответствия между множествами;
• задачи о лжецах;
• задачи о переправах;
• задачи, решаемые с помощью логических выводов и т.д.

Способы решения логических задач:

• способ рассуждений;
• способ составления таблиц;
• способ построения графов;
• способ  кругов Эйлера

Задачи на взвешивание – достаточно распространенный вид математических задач.  В таких задачах от решающего требуется выделить отличающийся по весу предмет за ограниченное число взвешиваний.

        Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения  не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача:

Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение:

Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.

Возможны два варианта:

1.Равновесие.

     Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди  тех монет, которые не взвешивались.

2.Одна из кучек легче.

          Значит в ней фальшивая монета.

Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую среди трёх монет (по методу первого взвешивания).

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача:

В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как при помощи пятилитрового бидона и трёхлитровой банки отмерить 4 литра молока?

Решение:

Задачи  на установление  взаимнооднозначного соответствия между множествами

Многие логические задачи  связаны с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми имеются некоторые зависимости.           Требуется установить взаимнооднозначное соответствие между элементами данных множеств. Решение задач такого типа оформляется в виде таблицы. Элементы одного множества располагаются по строкам, другого – по столбцам. Если по условию задачи между элементами множеств есть соответствие, то в клетке на пересечении данных строки и столбца ставится «плюс», в случае отсутствия зависимости – «минус». Рассмотрим этот метод на примере конкретных задач.

Задача:

Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные фигуры. Кто-то вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то круг из бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги. Галя и Валя вырезали круги. Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку. Наташа и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?

Решение:

Задачи, решаемые с «конца».  Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом рассуждения при решении, которое выполняется с «конца» задачи. В математической литературе он назван методом инверсии.  

  Простейшим примером такой стратегии может служить игра в  лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша.

 Задача:

Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст  части трем стражам, у него осталось одно яблоко?»

Решение:

(1+1)*2=4 – третьи ворота

(4+1)*2=10 – вторые ворота

(10+1)*2=22 – первые ворота

Надо собрать 22 яблока.

Помните, что решение задач - есть вид творческой деятельности, а поиск решения - процесс изобретательства. В умении решать нестандартные задачи входят моральные качества: настойчивость, терпение, воля к победе.