Теоретические основы формирования понятия уравнения в начальной школе; методика введения понятия уравнение на примере разных УМК
статья по математике (2 класс)

Теоретические основы формирования понятия уравнения в начальной

школе

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без

понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению

различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств

моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а

также они являются существенной частью математического образования.

Понятие уравнение относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение,  одновременно и строгое, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом математики.

В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова, дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Е.А. Крапивина, говорит о том, что уравнение, представляет собой

равенство, содержащее в себе неизвестное число, значение которого нужно

найти. [5]

И.А. Моргунова, указывает на то, что понятие уравнение, является

равенством, которое выполняется только при некоторых значениях входящих

в него букв. Буквы, которые входят в состав уравнения, могут быть

неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, а

другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными

данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами

латинского алфавита x, y, z, u, v, w).

Рассмотрев множество определений понятия уравнение можно

сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной,

которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое

значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется

корнем уравнения.

В школьном курсе математики термин  «уравнение» называют «выражение» или «предложение с переменной».

Можно выделить основные признаки понятия уравнение:

 - является равенством;

 - содержит букву, значение которой неизвестно и его надо найти

Понятие «решить уравнение», является центральным.

Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, способ решения которого уже известен.

Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным равенство х+0=х. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это равенство, как буквенную запись правила: при сложении любого числа с нулем получается то же самое число, то утверждение не является уравнением.

 У уравнения х+0=х сколько угодно решений: любое число х является его решением. У уравнения a+3=4+a нет решений, а у уравнения a+3=4 одно решение: a=1

В определении понятия уравнение используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.

И.А. Моргунова, говорит о том, что уравнения имеют важное

теоретическое значение, а также служат в практических целях. Большинство

задач о пространственных формах и количественных отношениях реального

мира сводится к решению различных видов уравнений.

По мнению А.В. Самойловой, знакомить учащихся в начальной

школе с понятием уравнения надо как можно раньше и в процессе их

решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи

компонентов и результатов действий.

Математические понятия, в свою очередь, являются важнейшей

неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном

курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с

большинством понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров

или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В.А. Далингер, считает, что внимание должно быть направлено на

умение определять понятия, а не на их заучивание. Следует правильно

донести до учащихся, что научные понятия изменчивы: определение

понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а затем

происходит процесс, который представляет собой развитие понятий, который

характеризуется как постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма

понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Как отмечает Г.Г. Кочеткова, формирование понятия, является

длительным и сложным процессом, которому следует уделять достаточное

внимание в образовательном процессе. Важным этапом при формировании

понятий, является усвоение его существенных признаков. Словесное

определение понятия должно быть итогом работы по усвоению

существенных признаков. Следует отметить, что бывает так, когда даётся

словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей

работе. Преувеличение роли при словесном определении, является одной из

причин пробелов в знаниях учащихся.

Совершенно иного мнения придерживается П. Я. Гальперин, который

считает, что формирование понятия не следует растягивать во времени, что

это можно осуществить в один приём, когда содержание нового понятия

усваивается одновременно, в полном объеме и правильном соотношении

признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения.

Развитие математических понятий происходит от простого к сложному,

или от конкретного к обобщенному. Развитие понятий может происходить

поэтапно, при этом на новом уровне обобщения, углубляющем или

расширяющем содержание развиваемого понятия.

В процессе усвоения научных знаний младшие школьники

сталкиваются с разными видами понятий. Формирование понятия уравнения в начальной школе подготавливает младших школьников к более успешному изучению математики в дальнейшем.

Методика введения понятия уравнение на примере разных УМК

Умение решать уравнения представляет большую сложность для младших школьников. Изучение уравнений в начальных классах обладает пропедевтическим характером. В этой связи крайне важной является подготовка детей в начальных классах к более глубокому изучению уравнений в старшей школе. В начальных классах в ходе работы над уравнениями проводится закрепление правил о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника и его площади, формирование вычислительных навыков и понимания связи между элементами действий, закрепление порядка действий и формирование умения решать текстовые задачи, осуществляется работа над формированием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения способствуют разнообразию видов заданий.

В начальных классах рассматриваются уравнения только с одной переменной.

Виды уравнений, рассматриваемых в начальных классах:

I. Простые уравнения: х – 4=6

II. Усложненные уравнения:

1. Уравнения, в которых переменная находится в правой части: 6= x-4

2. Уравнения, в которых правая часть представляет числовое выражение: х-4=36:6

3. Уравнения, в которых числовое выражение находится в обеих частях: х-(16:4)=4+2

4. Уравнения, в которых неизвестное входит в состав выражения с переменной: (х+5)-4=6

5. Уравнения, представленные комбинацией уравнений (1-4) (х+5)-4*2=36:6

6. Уравнения, в которых неизвестное находится в обеих частях 2*х-8=х+5 (только в программе Аргинской)

Проанализировав разные учебно-методические комплексы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

Автор развивающего обучения Д.Б. Эльконин, предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения математики, но при этом, не используя взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.

«Школа России» Моро М.И.

Программа «Школа России» (учебник математики под редакцией М.И. Моро) рассматривает изучение алгебраической линии уже в 1 классе, включая достаточное количество заданий алгебраического характера.

Этот фактор обосновывается ориентацией в средней школе на использование учебника математики Н.Я. Виленкина.

При изучении темы «Уравнения», в учебниках для второго класса

автором которых является М.И. Моро, дается следующее определение

«Уравнение – это равенство, содержащее в себе неизвестное число, которое

следует найти. Неизвестное число в уравнении обозначают с помощью

маленьких латинских букв, например, p, t, u, но наиболее часто

используются буквы x, y и z»

Впервые младшие школьники знакомятся с уравнениями в первом классе при изучении действий сложения и вычитания. Столь раннее включение этой темы в программу призвано решить задачу осознания связи, которая существует между компонентами и результатом арифметических действий при сложении и вычитании.

С первого класса решают примеры с «окошками», являющиеся подготовкой к введению понятия уравнения.

 «Вставьте в «окошко» пропущенное число:

+ 2=8,       – 5=8» и др., которые решаются методом подбора подходящего числа. Позднее, вместо «окошка» используют буквенную символику и знакомятся с понятием уравнения. Однако для их решения используют тот же метод – метод подбора. В дальнейшем учитель показывает ограниченность и трудоемкость метода подбора, предлагая учащимся такое уравнение, решение которого не столь очевидно, и которое подводит их к целесообразности использования другого метода его решения. На этапе введения понятия «уравнение» полезно предлагать задания, которые наряду с формированием умения решать уравнения позволяют осуществлять в процессе обучения приёмы умственных действий (анализ, синтез, классификация и др.).

Задание из учебника[7]:

Разбейте данные математические записи на группы:

4 + 6 = 10 13 – х = 7 76 = 76 к : 40 – 18 = 85.

– На сколько групп можно разбить данные математические выражения? (На две группы.)

– По какому признаку вы разбили их на две группы?  (Одни математические выражения содержат переменную, другие – не содержат.)

– Можно сказать, что равенство 4 + 6 = 10 является верным? ( Да, это верное равенство)

– Можно о равенстве 13 – х = 7 сказать, что оно верное? ( Нет, нельзя, пока не знаем значений переменной.)

– Как называют равенства, содержащие переменную? (Выражения с переменной.)

С помощью таких заданий учитель знакомит учащихся с понятием «уравнение».

Для закрепления понятия «уравнение», «корень уравнения» предлагается система заданий:

- Найдите среди записей уравнения, прочитайте их:

 3 + 4; у – 6 = 8; 9·3 + 7; к : 2 = 6; 13 – 15.

- Решите каждое следующее уравнение, перебирая по порядку числа, начиная с нуля: а + 8 = 11,

9 – х = 9, 7 – а = 5.

-Имеет ли уравнение 25 + к = 9 корень?

Выполняя аналогичные задания, учащиеся приходят к выводу, что уравнения могут иметь единственный корень или не иметь корней.

Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений: а + в и а - в, если а = 42, в = 90 или а = 100, в = 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями.

В 3 классе учащиеся знакомятся с уравнениями на деление и умножения, с помощью компонентов математических действий (деление и умножение).

Далее, как в уравнениях на сложение и вычитание,  с помощью части и целого решаются уравнения на умножение и деление по данному алгоритму:

Деление

Делимое : делитель = частное

1.Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

2.Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Умножение

Множитель ∙ множитель = произведение

1.Чтобы найти неизвестный множитель, надо  произведение разделить на известный множитель.

«Перспектива»  Петерсон Л.Г.

Изучение уравнений начинается также с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи» (Л.Г. Петерсон «Математика 1», ч. 1, урок 15):

     ?             +                            =        

Затем также, как и в программе  «Школа России» учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в окошке («Математика 1», ч. 1, урок 20), например:

□ + 3 = 9                       6  + □ = 7

8  – □ = 2                       □ – 5 =5

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

- Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

- Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучивается. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила [11]

- Целое равно сумме частей.

- Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

К концу изучения темы дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом:

1. читаю уравнение;

2. нахожу известные и неизвестные компоненты (части и целое);

3. применяю правило (по нахождению части или целого);

4. нахожу, чему равен Х;

5. комментирую через компоненты действий [9]

Следующий этап - решение уравнений на умножение и деление: а • Х = b; а : Х = b; Х : а = b. Уравнения этого вида решаются на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. Поэтому изменяется и графическое обозначение компонентов уравнения:

        5

2

1 этап: Решение с одновременным комментированием правил нахождения площади и его сторон. Например, Х : 2 = 5 ( Х - площадь прямоугольника, 2 и 5 - его стороны).

Х = 2 • 5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны)

Х = 10

Х = 2 • 5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны)

Х = 10

2 этап: Решение уравнений с комментированием (через площадь прямоугольника и его стороны). Комментирование через компоненты действий после решения уравнения.

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе - знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п.

К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:

- решение простых уравнений,

- анализ решений уравнений по компонентам действий,

- чтение записи выражений в два - три действия,

- порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них. [8]

На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 4 = 4; Р - 3 = 5; Z : 5 = 3 и т.п.

Как у Петерсон Л.Г., так и у Моро М.И. после изучения простых уравнений, переходят к более сложным (составным), которые решаются в два и более действий, в начальной школе уравнения имеют только одну переменную.

Алгоритм решения составного уравнения:

1.Найди в левой части последнее действие, обведи его в кружок.

2.Сверху подпиши компоненты действия.

3.Выбери правило.

4.Компонент с неизвестным оставь слева.

5.Вычисли результат правой части.

6.Получилось простое уравнение?  

Нет  - значит  возвращайся в пункт 1.

Да – решай, начиная с пункта 3.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям, ведь эта тема изучается с начальной школы до конца школьного курса. Очень важно, чтобы в начальной школе учащиеся освоили основные способы решения уравнений для дальнейшего решения более сложных уравнений.

Проанализировав два учебно-методических комплекса, можно сделать общие требования по уровню подготовки младшего школьника по теме «Уравнения»

Требование к уровню подготовки обучающихся к концу 1 класса:

-Понимать термины: «Уравнение», «Равенство», «Неравенство»

-Уметь решать уравнения вида: х+а=в, а+х=в разными способами.

Требования к уровню подготовки обучающихся к концу 2 класса:

- Знать термины: «Уравнение», «Решить уравнение».

- Уметь решать простые уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя.

Требования к уровню подготовки обучающихся к концу 3 класса:

- Решение неравенств на основе уравнений.

- Решение более сложных уравнений, на основе изученных правил, алгоритмов.

Требования к уровню подготовки обучающихся к концу 4 класса:

- Знать свойства равенств и их использования для решения уравнений.

- Уметь решать уравнения, содержащее неизвестное в обеих частях.

 - Уметь решать системы неравенств на основе решения соответствующих уравнений.