Внеклассное мероприятие
классный час по математике по теме

390. а) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?

б) На автостоянке стоит 24 автомобиля, причем легковых автомобилей в 3 раза больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей стоит на автостоянке?

391. а) На двух полках 72 книги, причем на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг на первой полке?

б) В двух пачках 48 тетрадей, причем в первой пачке в 2 раза больше, чем во второй. Сколько тетрадей в первой пачке?

392. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

393. а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше другой. По сколько метров полотна будет в каждой части?

б) Кусок лески длиной 8,6 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше другой. По сколько метров лески будет в каждой части?

394. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезти в школу?

б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?

395. Двое должны поделить между собою 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько рублей достанется каждому?

Для задач 396–397 на нахождение двух чисел по их отношению и разности алгебраическое решение учащиеся усваивают обычно лучше, чем арифметическое. Можно посоветовать учащимся в том случае, когда известны разность двух величин, составлять уравнение по схеме Б – М = Р, а не Б – Р = М или Б = М + Р, где Б — большая величина, М — меньшая, Р — разность.

В первом случае неизвестное будет в одной части уравнения и оно будет проще.

396. За конфеты заплатили в 3 раза больше или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?

б) За тетради заплатили в 4 раза больше или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

397. Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет моложе папы. Сколько лет папе?

б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет моложе мамы. Сколько лет маме?

398. 1) На солнышке грелись несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

2) На солнышке грелись кошка и несколько котят. У них лап на 21 больше, чем хвостов. Сколько котят у кошки?

Задачи 392–398 учащиеся могут решить и арифметически. Например, задача 398 (1) решается довольно просто: у каждой кошки лап на 2 больше, чем ушей; значит, кошек 10:2 = 5.

Следующая задача тоже про кошек. И про собак. Здесь нам приятно процитировать Рэймонда М. Смаллиана, который писал: «Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики — лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение». [22] Рассуждение это таково: Раздадим всем животным по 5 галет — всего 5·10 = 50 галет. Оставшиеся 56 – 50 = 6 галет надо раздать по одной собакам. Следовательно, собак 6, а кошек 10 – 6 = 4.

Однако учащиеся должны научиться решать эту задачу и с помощью уравнения. Хотя бы потому, что в следующих задачах не всегда удастся провести такое простое рассуждение.

399. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5. Сколько было собак и сколько кошек?

400. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе:

а) 19 голов и 46 ног;           б) 30 голов и 74 ноги.

Приведем возможный вариант решения.

Пусть в хозяйстве было x овец, тогда кур было 19 – x. Число ног у овец равно 4x, а у кур 2(19 – x). Составим уравнение:

4x + 2(19 – x) = 46.

Здесь надо обратить внимание учащихся на то, что за x можно было обозначить число кур, тогда уравнение имело бы вид:

2x + 4(19 – x) = 46.

Нельзя сказать, что это уравнение сложнее предыдущего, но если учащиеся не хотят получать отрицательные коэффициенты при x, то следующий раз они должны думать, какую из величин удобнее принять за x.

401. У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников? Сколько четырехугольников?

402. 1) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

2) Старинная задача. Сколько будет гривенников и двугривенных[1], если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные так, чтобы всех монет было 170?

403. На 100 р. куплено 5 м ткани двух сортов. Известно, что 1 м ткани первого сорта стоил 17 р., а 1 м ткани второго сорта стоил 22 р. Сколько метров каждого сорта купили?

404. Куплено 2 м одной и 3 м другой ткани на 180 р. Известно, что 1 м первой ткани в 3 раза дороже 1 м второй ткани. Сколько стоит 1 м каждой ткани?

405. 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За все время каждому теленку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый теленок, сколько каждая овца?

Арифметическое решение задачи 405 не сложно, но неудобно, так как приходится считать, будто бы телята сначала съели разницу в 28 кг, а потом ели корм с той же скоростью, что и овцы. Использование уравнения снимает трудности такого рода.

406. Доску длиной 6,75 м распилили на 2 части так, что одна из них была в 3,5 раза короче другой. Определите длину каждой части доски.

407. а) В первой вазе стояло в 3 раза больше роз, чем во второй, а в третьей — на 5 роз больше, чем во второй. Сколько роз стояло в первой вазе, если всего было 45 роз?

б) В первой вазе лежало в 2 раза больше конфет, чем в третьей, а во второй вазе — на 4 конфеты больше, чем в третьей. Сколько конфет лежало в первой вазе, если всего было 164 конфеты?

408. а) Купили краски, книгу и карандаши. Стоимость карандашей составляет 0,2 стоимости красок; книга на 20 р. дороже красок. Сколько рублей заплатили за карандаши, если книга и краски вместе стоят 64 р.?

б) Купили тетради, книгу и альбом. Стоимость тетрадей составляет 0,3 стоимости книги; альбом на 10 р. дешевле книги. Сколько заплатили за тетради, если книга и альбом вместе стоят 36 р.?

409. С трех участков собрали 237 т картофеля. С первого и второго — поровну, а с третьего участка собрали на 12 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько тонн картофеля собрали с каждого из трех участков?

410. Разделите число 480 на 3 части так, чтобы первая была на 40, а вторая на 80 больше третьей.

411. Веревку длиной 28 м разрезали на 3 части так, что вторая часть была в 3,5 раза, а третья в 2,5 раза больше первой. Найти длину каждой части.

412. Один человек спросил своего приятеля:

— Сколько лет твоему сыну?

— Если к возрасту моего сына прибавить столько же, да еще

половину, то будет 10 лет.

Сколько же лет сыну?

413. Одного человека спросили:

— Сколько Вам лет?

На что он ответил:

— Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет.

Сколько лет этому человеку?

414. Старинная задача. Летит стая гусей и навстречу ей гусь.

— Здравствуйте сто гусей! – сказал гусь.

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было столько, еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь — вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

С задачи 415 начинается цепочка задач, решение которых при водит к уравнению с неизвестным в правой и левой части, получаемому приравниванием двух величин, выраженных через x.

415. На двух полках 72 книги. Когда с первой полки переставили на вторую 14 книг, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

416. В двух бумажниках было 250 р. Если из одного переложить в другой 25 р., то в обоих бумажниках денег станет поровну. Сколько рублей было в каждом?

417. На первом складе в два раза больше муки, чем на втором. Когда из первого склада вывезли 48 т, а из второго 11 т, то муки на складах стало поровну. Сколько тонн муки было на первом складе первоначально?

418. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км,

одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 50 км/ч больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 1,2 ч?

2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 132 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 2,2 ч?

419.* Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?

Эта задача интересна тем, что ее арифметическое решение легче алгебраического. Рассмотрим оба способа решения.

I способ. Минутная стрелка догонит часовую первый раз после 1 часа, второй раз — после 2 часов, ... , 11-й раз — после 11 часов: ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет 12:11 = 1 1/11 ч.

II способ. Пусть первая встреча произойдет через x ч, за это время минутная стрелка сделает x оборотов, а часовая x/12 оборотов, причем минутная стрелка сделает на 1 оборот больше, чем часовая. Составим уравнение:

x – x/12 = 1;

x = 11/11.

Начиная с задачи 420 учащиеся должны освоить еще один прием составления уравнений, который заключается в выражении какой-либо величины через x разными способами.

420. а) Задумали число, увеличили его на 28. Оно увеличилось в 3 раза. Найдите задуманное число.

б) Задумали число, увеличили его на 35. Оно увеличилось в 6 раз. Найдите задуманное число.

421. а) Написали число, приписали к нему справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.

б) Написали число, оканчивающееся нулем, зачеркнули этот нуль. Число уменьшилось на 117. Найдите первое число.

422.* Старинные задачи. а) Летели галки, сели на палки: по две сядут — одна палка лишняя, по одной сядут — одна галка лишняя. Сколько было галок, сколько палок?

б) Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке, и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки, и осталось 5 берез без галок. Сколько было галок и сколько берез?

Решим задачу 422 (а). Пусть было x палок. Тогда число галок можно подсчитать двумя способами: 2(x – 1) или x + 1. Составим уравнение:

2(x – 1) = x + 1,

x = 3,

x + 1 = 4.

Было 4 галки и 3 палки.

423. Задача С.А. Рачинского. Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

424. Старинная задача. Куплены тетради для учеников первого класса. Если каждому дать по 9 тетрадей, то не хватило бы семи ученикам по тетради, а потому каждый получил по 8 тетрадей, и тогда еще осталось 16 тетрадей. Сколько куплено тетрадей и сколько было учеников в классе?

425. Старинная задача. Некто, желая раздать деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 к., то у него не хватит

10 к., а если каждому дать по 12 к., то останется 14 к. Сколько было нищих и сколько у него было денег?

426. Старинные задачи. 1) Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесет по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит газета?

2) В обществе желали собрать некоторую сумму денег в пользу бедного семейства. Если каждый из присутствующих пожертвует по 1 р., то соберется на 3 р. больше предполагаемой суммы; если же каждый внесет по 50 к., то не хватит 11 р. Сколько особ было в обществе, и как велика была предположенная к сбору сумма?

427. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

428. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

429. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

430. Работники получили за некоторую работу по 120 р. Если бы их было на 2 меньше, то каждый из них получил бы по 150 р. Сколько было работников?

431. Бригада трактористов должна вспахать поле за 5 дней, но трактористы перевыполняли норму на 2 га каждый день, поэтому выполнили все задание за 4 дня. Сколько гектаров в день вспахивала бригада?

432. а) Поезд должен был пройти расстояние между двумя станциями за 4 ч, но был задержан на первой станции на 0,5 ч и, чтобы прибыть на следующую станцию по расписанию, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

б) Трактористы должны вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, они выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?

в) Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколько деталей ежедневно обтачивает токарь, если пятидневную норму он выполняет за 3 дня?

433. Старинная задача. За 1007 р. куплена карета, сани и дрожки; цена саней составляет 2/3 цены дрожек; цена дрожек 2/3 цены кареты. Сколько заплачено за каждую вещь?

434. Старинная задача. На вопрос: «Который час?» был дан ответ: «2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени.

435. В двух библиотеках 50 000 томов. За год количество книг первой увеличилось на 5 %, а второй на 6 %, так что общее количество книг увеличилось на 2 800. Сколько книг было в каждой библиотеке первоначально?

436. Ученик рассчитал, что стоимость одной книги составляет 70 % имеющихся у него денег, а другой книги — 60 %. Если бы у него было еще 18 р., то он смог бы купить обе книги. Сколько денег было у ученика?

437. Старинная задача (Греция).

— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.

Сколько учеников посещали школу Пифагора?