Открытый урок по теме ,,Сумма n-первых членов геометрической прогрессии"
план-конспект урока по математике

ГБОУ школа №582 Приморского района г. Санкт- Петербурга

                               Конспект                                                               урока алгебры по теме «Сумма n- первых членов геометрической прогрессии» (9 класс)

                                                      Михайлова Лариса Валентиновна

                                                                                            учитель математики                                                                                                                                                                                                                        

                                                        20.02.14

                                                           СПБ

Тема: Геометрическая прогрессия. Сумма n- первых членов геометрической прогрессии.

Цели урока:

Образовательные:

1. Способствовать дальнейшему освоению теоретических знаний по теме «Геометрическая прогрессия»; продолжить формирование у учащихся умения применять формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии;
2. Формированию навыков решения практических задач;
3. Совершенствованию умения применять полученные знания для решения стандартных задач.

Развивающие:

1. Способствовать: развитию положительной мотивации к изучению предмета;
2. Обогащению словарного запаса учащихся, развитию монологической речи;
3.  Дальнейшему развитию логического мышления (умения анализировать, выделять, сравнивать и т.д.); переносить знания в новую ситуацию;
4. Развитию информационной культуры обучающихся.

Воспитывающие:

1. Способствовать формированию научного мировоззрения через целостное восприятие окружающего мира;
2. Развитию коммуникативных навыков;
3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей;
4. Дальнейшему развитию ответственного отношения к Родине, её природным богатствам;
5. Уважительному отношению к коллективу, результатам совместного     труда.

  Тип урока: урок применения знаний на практике 

 Методы обучения: практический, дедуктивный, наглядный, поисковый,    репродуктивный,  самостоятельная и групповая работа.

                                                                         Ход урока

1. Организационный этап. (0,5 мин)

Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас в хорошем настроении,  и надеюсь,  что после нашего общения оно станет ещё лучше! Желаю вам успехов на уроке! Девизом сегодняшнего урока будут слова:   «Творческим считается любое действие которое… вызывает удивление». (ДЖ. Брунер)(на доске) и не забывайте, что «Прогрессио - движение  вперед».

Не забывайте себя оценивать в листах самооценки.

             2.Задачи урока. (0,5 мин)

Мы с вами уже не первый урок изучаем данную тему.(Какую?) Какие вопросы вы хотели бы рассмотреть на уроке ?( пишу план на доске)

Например: -повторить формулы и их применение

-узнать , где применяются в жизни полученные на уроке знания

-готовиться к ГИА

           3.Проверка домашнего задания (Какие задачи вызвали затруднения?)(не более 5 мин). Отразите это в оценочных листах.

Проверка инд. задания : «Исторические сведения о геом. прогрессии»                                                             

                4.  Актуализация знаний. (3 мин)

      Задайте друг-другу вопросы по теме «Геометрическая прогрессия»:

Например:

1. Какую последовательность чисел можно назвать геометрической прогрессией. (Ответ: ГП называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.)
2. Приведите пример возрастающей геометрической прогрессии. (Ответ: 2;6;18;…)
3. Является ли последовательность нечётных чисел геометрической прогрессией? (Ответ: Нет) и т.п.

А теперь вспомним формулы геометрической прогрессии. Внимание, у вас на столе карточка с заданием №1 по записи формулы определите её назначение и соедините стрелками по смыслу. (в парах)

1.Формула знаменателя геометрической прогрессии.                

2.Формула n – го члена геометрической прогрессии

 3.Формула первый член геометрической прогрессии,

зная n – ый член и знаменатель?                                                    

4.Формула суммы n первых членов

 геометрической прогрессии для случая,

когда известны первый член и знаменатель

прогрессии.                                                  

5.Формула суммы n первых членов

геометрической прогрессии, если известны первый

и n – ый члены прогрессии?                            

6.Свойство геометрической прогрессии.

1.Квадрат любого члена геометрической

 прогрессии, начиная со второго,

 через предыдущий и последующий члены

 b2n=bn-1* bn+1)

2. Sn=b1(qn - 1)/q – 1, где q не равно нулю .

3.bn=b1qn-1 

4.Sn=bnq-b1/q-1, где q не равно нулю                                                  

5. b1=bn/qn-1

 6.Необходимо   какой-нибудь член  прогрессии

  разделить на предыдущий q=bn+1/bn)

Ответы: (работа в парах); проверка с места на смарт доске:

В каких областях можно применять формулы геометрической прогрессии для решения практических задач?(экономика, физика, биология, исторические и логические задачи)

 5.Решение практических задач

Учитель: (работа в парах)

В раздаточном материале найдите задачу №2. Читаем задание вслух.

Задача: 

Андрей и Борис, готовясь к зачёту по английскому языку, каждый день с понедельника по пятницу выписывали слова из словаря . Андрей ежедневно увеличивал число слов в арифметической прогрессии, а Борис - в геометрической.

а) Завершите заполнение таблицы, кроме последней графы.

б) Сколько всего слов выписал каждый из ребят за 5 дней?

Существует рациональный способ решения? (2 ученика выполняют у доски), остальные в тетради.

6. Домашнее задание:

 Обратите внимание, на этих листах записано домашнее задание(на выбор).В понедельник мы обсудим ваши решения.

1) Найти или придумать задачи на использование геометрической прогрессии в практической деятельности человека;

2) Решить задачи:

В жилом микрорайоне открылся новый салон красоты , который в первый день посетило всего три клиентки . Каждая из них рассказала о салоне трём своим приятельницам, и те на другой день тоже посетили салон. В свою очередь , каждая из них рассказала о салоне трём своим знакомым , и те пришли на третий день . Если такая тенденция сохранилась в течении недели , то сколько человек посетило бы салон за неделю?

2) Некто приехал на 5 дней в столицу и в первый день потратил на покупки некоторую сумму денег. В каждый следующий день он тратил денег в два раза больше , чем в предыдущий . Всего он истратил 15500 рублей. Сколько денег он истатил в первый день?

7. Закрепление изученного .

 (подготовленные учащиеся)

Решим задачи на применение формул геометрической прогрессии.

1) Бактерия за 1 секунду делится  на три. Сколько бактерий будет в пробирке через пять секунд?

Ученик: Запишем последовательность: 1;3;9; 27; 81;…

Учитель: Как получили второй, третий член посл-ти? Как наз-ся это число?(знаменатель)

Вопрос к классу: Сколько бактерий будет в пробирке через 10 секунд?

( 19683)- только ответ

2) (жизненная).Однажды незнакомец постучал в окно к богатому       купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по100 000 р. А ты мне в первый день за 100 000 р. Дашь 1 копейку ,во второй день-2 копейки ,и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем» Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и заключили сделку.

Вопрос. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

8.Гимнастика для глаз

8.Индивидуальная работа.  (10 мин)

В этом году вам предстоит пройти ГИА по алгебре в форме тестов. Предложенный мною тест позволит вам подготовиться к ней, т.к. подобные задания встречаются в вариантах тестов ГИА. 

ИТАК, обратите внимание, на столах у вас лежат задания-измерители с одним правильным ответом в двух вариантах. Решение заданий теста оформляете в тетради. Всего заданий в тесте пять. Время работы 8 минут. Вопросов по организации работы нет! Время пошло!

ТЕСТ  ☺

Вариант 1.

1. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.

1) – 4;

2) 1;

3) 1/4;

4) 1/8;

5) – 1.

2. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2

1)– 1/8;

2) 1,25;

3) 1/8;

4)12,5;

5) – 1,25.

3. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.

1) 81;

2) 40;

3) 80;

4) –80;

5) – 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = 10, а b12 = 40?

1. 2;
2. 2 и -2;
3.  4;
4. 15;
5.  10.

5. В геометрической прогрессии (bn) найдите b5, если b3 = 8 + 2, а b4 = 1 + .

1. 7 + ;
2. 1;
3. 2;
4. 3;
5. -1.

Код ответов 23222

Вариант 2.

1. В геометрической прогрессии b1; b2; 3; 9;…. Найди b1.

1.  5;
2.  1;
3.  -1/4;
4.  1/3;
5.  – 1.

2. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 5 q = 1/5

1)– 1/25;

2) 1,25;

3) 1/625;

4)12,5;

5) – 6,25.

3. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 5.

1. 81;
2. 156;
3.  80;
4.  60;
5. – 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b5 = 6, а b8 = 48?

1) 2 и -2;

2) 8;

3) 2;

4) 4;

5) 10.

5. В геометрической прогрессии (cn) найдите c6, если c4 = 3 + 2, а  c5 = 1 + .

1. 2 + ;
2. 1;
3. 2;
4. 3;
5. -1.

Код ответов 43232

Итак, время вышло, прошу вас поменяться работами, для выполнения взаимопроверки. Готовы! Внимание на экран, критерии оценивания (!)

Все получили отметки!  Проставьте их в ваши оценочные листы.

Поднимите руки, кто получил отметки 5 и 4. Молодцы! 

Карточка:

Выберите одну задачу и решите её в группе, оформите в тетради.

Все эти задачи можно найти в книге Я.И. Перельмана –популяризатора физико-математических наук которому в декабре 2007 г, исполнилось125 лет. Он автор более 100 книг по занимательной математике и физике.    

Учащиеся выполняют на отдельном листе…Кто готов – к доске…

1.(Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?

2. (Экономика )

Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей.

3. Некто продал лошадь за 156 р. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

-Нет мне расчета покупать за такую цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди ,лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6.

За первый гвоздь дай мне всегок., за второй -к., за третий -1 к.и т.д.

Покупатель ,соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь ,принял условия продавца ,рассчитывая ,что за гвозди придется уплатить не более 10 р.

 На сколько покупатель проторговался?

5. Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану-1 коп., за другую -2 коп., за третью-4 коп, и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 р. 35 коп. Спрашивается число его ран.

6. Ихтиологи начали искусственное разведение сибирского осетра на рыбной ферме в 2010 году с 10 особей. К началу  2013 года количество рыб увеличилось до 2160 особей. Применяя знания формул геометрической прогрессии, рассчитайте, какой будет численность рыб в 2014году? Решение запишите в тетрадях.  На координатной плоскости постройте график «Изменение численности осетра сибирского в условиях искусственного разведения».

  7.Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих.

     Население поселка Кировского составляет чуть больше 1600 человек. Через сколько дней заболеют  гриппом все жители нашего поселка?

   8.Мальчик на перемене съел булочку .Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются.) Сколько дизентерийных палочек будет в кишечнике через 6 часов?

8. Итог урока

И мне хочется ещё раз обратиться к нашему лозунгу «Прогрессио – движение вперед»

1. Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?
2. А в чём заключается наш прогресс?
3. Скажите, что у нас не получилась из  запланированного?

Заполните оценочные листы. Обратите внимание на графу настроение

Спасибо за урок!

                           Лист самооценки учащегося 9б класса

Фамилия, имя:

Моё настроение в конце урока:

Общая отметка за урок:

ТЕСТ ученика 9 Б класса Ф.И.

Вариант 1.

1. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.

1) – 4;

2) 1;

3) 1/4;

4) 1/8;

5) – 1.

2. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2

1)– 1/8;

2) 1,25;

3) 1/8;

4)12,5;

5) – 1,25.

3. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.

1) 81;

2) 40;

3) 80;

4) –80;

5) – 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = 10, а b12 = 40?

1. 2;
2. 2 и -2;
3.  4;
4. 15;
5.  10.

5. В геометрической прогрессии (bn) найдите b5, если b3 = 8 + 2, а b4 = 1 + .

1. 7 + ;
2. 1;
3. 2;
4. 3;
5. -1.

ТЕСТ ученика 9 Б класса Ф.И.

Вариант 2.

1. В геометрической прогрессии b1; b2; 3; 9;…. Найди b1.

1.  5;
2.  1;
3.  -1/4;
4.  1/3;
5.  – 1.

2. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 5 q = 1/5

1)– 1/25;

2) 1,25;

3) 1/625;

4)12,5;

5) – 6,25.

3. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 5.

1. 81;
2. 156;
3.  80;
4.  60;
5. – 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b5 = 6, а b8 = 48?

1) 2 и -2;

2) 8;

3) 2;

4) 4;

5) 10.

5. В геометрической прогрессии (cn) найдите c6, если c4 = 3 + 2, а  c5 = 1 + .

1. 2 + ;
2. 1;
3. 2;
4. 3;
5. -1.

                                      Раздаточный материал

1. Заполните таблицу:

2. Задача:

Андрей и Борис, готовясь к зачёту по английскому языку, каждый день с понедельника по пятницу выписывали слова из словаря . Андрей ежедневно увеличивал число слов в арифметической прогрессии, а Борис -  в геометрической.

а) Завершите заполнение таблицы, кроме последней графы.

б) Сколько всего слов выписал каждый из ребят за 5 дней?

6. Домашнее задание: (на выбор)

1) Найти или придумать задачи на использование геометрической прогрессии в практической деятельности человека;(по желанию)

2) Решить задачи:

В жилом микрорайоне открылся новый салон красоты , который в первый день посетило всего три клиентки . Каждая из них рассказала о салоне трём своим приятельницам, и те на другой день тоже посетили салон. В свою очередь , каждая из них рассказала о салоне трём своим знакомым , и те пришли на третий день . Если такая тенденция сохранилась в течении недели , то сколько человек посетило бы салон за неделю?

2) Некто приехал на 5 дней в столицу и в первый день потратил на покупки некоторую сумму денег. В каждый следующий день он тратил денег в два раза больше , чем в предыдущий . Всего он истратил 15500 рублей. Сколько денег он истатил в первый день?

3)***№476 ;477

Задачи на применение формул геометрической прогрессии :  

1.(Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?

2. (Экономика )Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей.

3. Некто продал лошадь за 156 р. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

-Нет мне расчета покупать за такую цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди ,лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6.

За первый гвоздь дай мне всегок., за второй -к., за третий -1 коп.и т.д.

Покупатель ,соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь ,принял условия продавца ,рассчитывая ,что за гвозди придется уплатить не более 10 р.

 На сколько покупатель проторговался?

4. Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану-1 коп., за другую -2 коп., за третью-4 коп, и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 р. 35 коп. Спрашивается число его ран.

5. Ихтиологи начали искусственное разведение сибирского осетра на рыбной ферме в 2010 году с 10 особей. К началу  2013 года количество рыб увеличилось до 2160 особей. Применяя знания формул геометрической прогрессии, рассчитайте, какой будет численность рыб в 2014году? Решение запишите в тетрадях.  На координатной плоскости постройте график «Изменение численности осетра сибирского в условиях искусственного разведения».

6.Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих.

 Население поселка Кировского составляет чуть больше 1600 человек. Через сколько дней заболеют  гриппом все жители нашего поселка?

 7.Мальчик на перемене съел булочку .Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются.) Сколько дизентерийных палочек будет в кишечнике через 6 часов?

1.Формула знаменателя геометрической прогрессии.                

2.Формула n – го члена геометрической прогрессии

 3.Формула первый член геометрической прогрессии,

зная n – ый член и знаменатель?                                                    

4.Формула суммы n первых членов

 геометрической прогрессии для случая,

когда известны первый член и знаменатель

прогрессии.                                                  

5.Формула суммы n первых членов

геометрической прогрессии, если известны первый

и n – ый члены прогрессии?                            

6.Свойство геометрической прогрессии.

1.Квадрат любого члена геометрической

 прогрессии, начиная со второго,

 через предыдущий и последующий члены

 b2n=bn-1* bn+1)

2. Sn=b1(qn - 1)/q – 1, где q не равно нулю .

3.bn=b1qn-1 

4.Sn=bnq-b1/q-1, где q не равно нулю                                                  

5. b1=bn/qn-1

 6.Необходимо   какой-нибудь член  прогрессии  

  разделить на предыдущий q=bn+1/bn)