Умножение и деление.Внетабличное умножение и деление.
статья по математике

Умножение и деление

Внетабличное умножение и деление.

К внетабличным относятся случаи умножения, где один из компонентов – двузначное число (20*3, 3*20, 23*4), и обратные им случаи деления (60:3, 60:20, 92:4, 92:23). При раскрытии приемов вычислений здесь используются различные теоретические знания:

1. Знания по нумерации:

2. Знания свойства арифметических действий:

3. Знание связи между результатом и компонентами деления (подбираем частное так, чтобы при умножении делителя на него получить делимое):

На подготовительном этапе к ознакомлению с новым вычислительным приемом отрабатывают те операции, которые входит в этот прием, а также изучают (или повторяют) соответствующий теоретический материал. Например, до ознакомления с умножением вида 23 ⋅ 4 отрабатывается умение умножать числа 20, 30, 40 на однозначное число.

Спец время отводится на изучение распределительного свойства умножения, учащиеся усваивают разные способы умножения суммы на число. В этом случае при ознакомлении с новым приемом дети сами могут «открыть» способ действия или познакомиться с ним по учебнику. На этапе закрепления дети упражняются в применении приема вычисления: сначала решают примеры в подробным, затем с кратким объяснением вслух, далее объясняют приемы вычисления про себя, а называют или записывают только ответ. Постепенно работа усложняется: вводятся новые случаи умножения и деления в задачах, уравнениях, примерах в несколько действий и т.п. Продолжая работу, начатую в 1 и 2 классах, в 3 классе необходимо создавать условия для большей самостоятельности учащихся на каждом этапе изучения учебного материала.

Наглядные пособия

При изучении внетабличного умножения и деления используются многие из ранее приготовленных пособий: наборное полотно и разнообразный дидактический материал – круги, квадраты, треугольники, пучки палочек и отдельные палочки и т.п., карточки с записью чисел и выражений, плакаты, иллюстрирующие содержание некоторых задач, или с краткой записью, линейки, чертёжные угольники, наборы геометрических фигур для проведения практических работ по измерению, сводная таблица умножения, плакаты, иллюстрирующие приёмы умножения и деления с числами 0 и 1.

Кроме того, полезно иметь новые пособия:

1. Плакат с записью некоторых латинских букв.

2. Карточки с записью латинских букв или выражений с переменными.

З. Плакаты с иллюстрациями содержания задач новых видов или с их краткой записью (ч. 2: с. 6-7, 9-10).

4. Плакаты с записью результатов табличного умножения по десяткам.

На первом уроке по теме (с. 4) в устные упражнения для повторения учитель включает такие вопросы и задания: «Сколько десятков составляют 20 единиц? 40 единиц? 70 единиц? Выразите в единицах числа: 3 дес., 5 дес., 10 дес.». Как уже отмечалось ранее, повторение и закрепление табличных случаев умножения и деления - ежедневная задача. На атом уроке в устный счёт можно включить упражнения на составление примеров. На доске учитель записывает трудные случаи умножения:

6 ⋅ 9                 7 ⋅ 8                8 ⋅ 8                7 ⋅ 9

Один ученик называет ответ примера на умножение, два других ученика составляют примеры на деление с этими числами (54 : 9 = 6, 54 : 6 = 9). Такие упражнения помогают учащимся зрительно и на слух запоминать тройки «дружных» чисел. Интересное задание на запоминание табличных случаев умножения предлагается на полях (с. 4). Чтобы установить, какой множитель пропущен в левой части равенства, надо догадаться, какое число, полученное при умножении числа 7, оканчивается цифрой 1. Это 21. значит, первый пример 7 • 3 = 21. В последнем примере возможны дна варианта: 8 .6 = 48 и 3.6 = 18. Такие многовариантные задания вызывают интересу детей, поэтому учитель может предложить аналогичные задания: 5 ⋅ • = *5, 4 ⋅ • = 2*, • ⋅ 3 = 1*. В случае затруднений можно разрешить детям воспользоваться таблицей умножения на обложке учебника.

Новый прием умножения и деления дети могут объяснить сами после того, как, работая в паре, ознакомятся с решением примеров в учебнике (с. 4). Для закрепления материала ученики выполняют примеры из № 1 с объяснением вслух.

Можно дать задание на сравнение: «Чем похожи и чем различаются примеры во втором и третьем столбиках?» - или предложить прочитать примеры второго столбика с использованием слов уменьшить и увеличить н выполнить прикидку ответов, записать примеры третьего столбика с помощью одного действия (умножения) и выполнить вычислении. После повторения порядка действий полезно показать детям, как правильно читать примеры первого столбика (к 45 прибавить произведение чисел 6 и 9 и из полученной суммы вычесть 90; из 20 вычесть 2, умноженное на 8, и прибавить 66). Если время позволит, то ученики могут записать решение этих примеров в тетрадях, обозначая цифрами порядок действий.

На следующем уроке вводится прием деления двузначного числа на двузначное (80 : 20) и закрепляются приемы вычислений, введенные на предыдущем уроке. Сразу надо подчеркнуть особенность новых примеров двузначное, делится двузначное поэтому В ответе получается однозначное число. Это число можно найти подбором: подобрать такое частное, чтобы, умножив делитель на него, получить делимое. Надо иметь в виду, что этот прием будет работать и далее: во внетабличном делении (84 : 14), в  делении с остатком (76 : 10, 98 : 20), в письменном делении на двузначное и трехзначное число.

Вместо подбора частного опираясь на действия с пучками десяткам прием: узнать, сколько раз в 8 десятках содержится по 2 десятка. Однако в дальнейшем этот прием ведет к трудно устраняемым ошибкам: 6 дес. : 3 дес. = 2 дес. = 20, 88 : 22 = 44 и др.

Усвоение приема деления для случаев вида 80 : 20 является подготовкой к изучению связи делимого, делителя и частного (с. 16). На этом уроке можно предложить учащимся заполнение таблицы с пропущенным делимым или решение нескольких примеров вида • : 7 = 9, • : 8 = 10 с формулировкой вывода (если частное умножить на делитель, то получится делимое). Затем можно рассмотреть объяснение примеров в учебнике (с. 5) и выполнить задание № 1. Для различения приемов вычисления можно предложить решить с объяснением пары примеров:

При делении на однозначное число делят число десятков на делитель, a при делении на двузначное число узнают, на какое число надо умножить делитель, чтобы получить делимое.

Для закрепления табличных случаев умножения и деления на этом уроке можно использовать ребусы на полях. При затруднении надо предложить ученикам найти произведения, которые оканчиваются цифрой 3 (цифрой 7), опираясь на таблицу на обложке учебника. С этой же целью выполняется задание № 7 (с. 5.). Как всегда, сначала учитель предлагает детям рассмотреть выражения и рассказать о них все, что они заметили. Затем можно предложить разбить эти выражения на две группы (в три действия и в два действия, со скобками и без скобок и др). Попутно повторяются правила порядка действий. После устного решения примеров второго и четвертого столбиков детям можно дать остальные примеры для самостоятельной работы с заданием: кто сможет, кроме данных двух примеров, составить и решить аналогичные примеры в каждом столбике (продолжить столбики похожими примерами).

Следующий урок отводится на изучение распределительного свойства умножения относительно сложения. В начальной школе его называют правилом умножения суммы на число. При рассмотрении любого свойства действия надо показать во-первых, как по-разному можно выполнить действия в заданном выражении и, во-вторых, что при этом значение выражения не изменяется. В устные упражнения предыдущих уроков следует включить задание прочитать выражения и найти их значения, опираясь на правила порядка действий:

(7 + 3) ⋅ 4                         (5 + 4) ⋅ 6                        (4 + 2) ⋅ 3

Способ нахождения значений таких выражений можно обобщить – сначала найти сумму, а затем умножить ее на число. Перед детьми ставится задача: научиться находить значения выражении другим способом. Для этого ученики к одному из выражений на доске и в тетрадях выполняют иллюстрацию.  Например, к выражению (4 + 2) ⋅ 3 дети на  строке рисуют 4 квадрата и 2 треугольника, а таких строк рисуют 3. Надо узнать, сколько всего фигур нарисовали. Ученики объясняют один способ: «Сначала узнаем, сколько фигур в одной строке, затем сколько в трех строках». Потом дети объясняют другой способ: «Сначала узнаем отдельно, сколько квадратов, сколько треугольников, а затем сколько фигур всего». По записям дети еще раз повторяют, как умножали на число сумму двух чисел, и сравнивают результаты (находили по-разному, но значение выражения не изменилось).  

Аналогичная работа проводится и на следующем уроке. Учитель обращает внимание детей на возможность выбора способа вычисления в зависимости от данных чисел: в первом выражении можно найти значение любым способом, во втором удобнее умножить каждое слагаемое на число, а в третьем удобнее найти сначала сумму, а затем умножить ее на число.

На каждом из этих уроков закрепляются рассмотренные на первом и втором уроках приемы умножения и деления ( с. 6, №3, с. 7, № 8).

После того как дети научатся умножать числа 20, 30, 40 на однозначное число, они смогут объяснить, как умножить двузначное неразрядное на однозначное число.

На доске учитель записывает два-три выражения вида (30 + 6) ⋅ 2, (20 + 4) ⋅ 4, значения которых дети находят удобным способом.  Затем он спрашивает: «Какое число в виде суммы записано в скобках? Какой пример вы решили?» - и дописывает пример слева:

36 ⋅ 2 = (30 + 6) ⋅ 2 = 30 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 72

Аналогичная работа проводится с другими выражениями.

Можно выделить опорные слова: заменяю…, получится пример… , вычисляю… . С помщью этих слов дети объясняют и записывают решения нескольких примеров. (Например: 25 ⋅ 3. Заменяю суммой чисел 20 и 5. Получится пример: сумму чисел 20 и 5 умножить на 3. Вычисляю: 20 умножаю на 3, получится 60; 5 умножаю на 3, получится 15. К 60 прибавляю 15, получится 75.)

На следующем уроке, решив с устным пояснением и подробной записью пару примеров из упражнения №1, можно перейти к краткому пояснению. (19 ⋅ 4 = 76: 19 – это 10 и 9; умножим 10 на 4, получится 40; затем умножим 9 на 4, получится 36; к 40 прибавим 36, получится 76».

На третьем уроке изученное свойство не проговаривается при объяснении приема вычисления, поэтому особое внимание надо уделять специальным упражнениям на применение знания свойства в новой ситуации. Полезно предложить детям объяснить свой ответ, не выполняя вычислений.

В дальнейшем на уроках по закреплению изученных приемов можно увеличить количество заданий, выполняемых устно без записи примеров.

Продолжая работу над усвоением распределительного свойства, учитель может дать детям задание прочитать и проанализировать ряд выражений, а затем записать короче ( в 2 действия) и найти их значения:

                13 ⋅ 2 + 17 ⋅ 2                        7 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7                         12 ⋅ 4 + 8 ⋅ 4

На каждом уроке учителю следует предлагать детям самостоятельные работы по теме, включающие все изученные случаи.

Закрепление знаний табличных случаев умножения и деления, а также действий с 0 и 1 требует ежедневных разнообразных упражнений.

Во внетабличном умножении таблицы с числами 6, 7, 8, 9 закрепляются недостаточно хорошо, поскольку результаты вычислений ограничены числом 100.

В качестве более сложных заданий на выбор можно предлагать задания на составление выражений по схеме (• ⋅ • - • ⋅ •), на сравнение выражений на подбор чисел, пропущенных в заданных равенствах (8 ⋅ • + 14 = 70) и др.

Поскольку алгебраический материал при изучении внетабличного умножения тесно связан с вычислительной линией, рассмотрим прежде всего упражнения с выражениями, уравнениями, равенствами и неравенствами.

Следующие две недели отведены на изучение приемов внетабличного деления и вопросов, связанных с обоснованием этих приемов. Так, на первом уроке изучаются разные способы деления на число суммы двух чисел, каждое из которых делится на это число. Так как данное свойство аналогично изученному свойству умножения, то можно после чтении нескольких выражений на основе правила порядка действий предложить детям самим находить другой способ деления, при котором значение выражения не изменилось бы. Чтобы дети осознали, что иные способы не подходят, учитель может доске выполнить предлагаемые детьми вычисления и показать, что получается другое значение выражения. Для закрепления материала учащиеся рассматривают иллюстрацию и читают объяснение по учебнику (с.13). Выполняя по учебнику упражнение № 1 (с. 13, дети должны заметить, что не всегда можно делить каждое слагаемое на данное число, хотя сумма чисел может делиться на это число: (11 + 13) : 6.

Учащиесчя должны увидеть, что два способа деления суммы на число возможны тогда, когда каждое слагаемое делится на это число.

На этом уроке, как и на предыдущих, закрепляется табличнoe умножение и деление, внетабличное умножение. При решении ребусов учитель обращает внимание детей на то, что во втором и четвертом равенствах в частном получается двузначное число. Можно взять во втором равенстве в качестве частного 13 (23, 33, 43), затем выбрать делитель (например, 4, 3, 2), умножить частное на делитель и найти делимое. Рассматривается несколько решений.

На следующем уроке вводится прием деления двузначного числа на однозначное (с. 15) Сразу рассматриваются разные случаи: более трудные (78 : 2) и более легкие (69 : 3). Поэтому учителю важно сразу дать общий прием деления, пригодны для любых чисел.

Сначала надо провести подготовительную работу - повторить свойство деления суммы на число: например, найти значение выражения (60 + 12) : 6 удобным способом. Затем выяснить, сколько всего разделили на 6 (число 72) и как делили 72 удобным способом. Аналогичное задание дети выполняют по учебнику устно. Далее учитель предлагает выполнить задание №1 (с. 15) частично с записью на доске и в тетрадях, частично устно. При этом выясняется, что 72 можно по-разному заменить суммой чисел, каждое из которых делится на 4. Учении вписывают несколько сумм, но выделяют из всех сумму 40 + 32, так как её легко делить на 4 (разделим первое слагаемое – узнаем, сколько в частном будет десятков, разделим второе слагаемое – узнаем, сколько в частном будет единиц). Особое внимание надо уделить второму заданию из № l, когда 72 делят на 3.Здесь в качестве первого слагаемого берут наибольшее число десятков, которое делится на 3, - это 6 дес., или 60, в качестве второго слагаемого берут 12 (72 – 60). Итак, дети делят одно и то же число 72, но в зависимости от делителя заменяют его суммой по-разному:

72 : 4 = (40 + 32) : 4 = 18

72 : 3 = (60 + 12) : 3 = 24

На следующих двух уроках закрепляется умение делить двузначное число на однозначное; кроме того, ведется подготовительная работа к изучению самого трудного приема – деления двузначного числа на двузначное (87 : 29).

Для закрепления материала дети объясняют связи чисел во второй тройке примеров и выполняют задание № 1 (с. 17). Знание связей между числами при делении они применяют в дальнейшем для проверки правильности деления, a также для решения уравнений.

Перед тем как познакомить детей с проверкой деления, полезно хотя бы на одном примере рассмотреть связь между частным, делителем и делимым (к примеру 54 : 6 составить два обратных примера). Кроме того, надо показать ученикам пользу проверки (либо при решении задачи № 4 (с. 17) двумя способами, либо при решении примеров на сложение и вычитание). После этого учебная задача научиться проверять умножение и деление будет принята детьми с большим пониманием. Учитель может предложить детям догадаться, как проверить, верно ли нашли частное 90 : 5 = 16, не выполняя деление снова.

Для закрепления материала можно выполнить с объяснением решение и проверку пары примеров из упражнения № 1, остальные можно проверить и решить устно.

Знание связи между делимым, делителем И частным применяется при объяснении приема деления двузначного числа на двузначное (87 : 29), где частное находят подбором (с. 18). Подбор начинают с числа 2. Умножив делитель на частное, получают число, которое надо сравнить с делимым: если они не равны, подбор продолжают, если равны, значит, частное найдено.

Сам прием подбора известен детям, и на подготовительном этапе урока о нем можно напомнить, включив в устные упражнения решение с объяснением примеров 90 : 30, 80 : 40, a также решение уравнений подбором (с. 18, №3)

Полезно новый прием сравнить с известным приемом деления двузначного числа на однозначное:

Проверка умножения (с.19) также помогает упражнять детей в выполнении действия деления. Ознакомление с правилом проверки можно провести аналогично тому, как вводилась проверка деления (с использованием неправильно решенного примера на умножение: 13 ⋅ 7 = 84).

Следующие два урока отводятся решению уравнений на основе знания связей между результатами и компонентами действий, повторение которых проходит с помощью таблиц.

На каждом уроке следует предлагать самостоятельные работы, которые помогут выявить уровень овладения внетабличным умножениям и делением: решить примеры и выполнить проверку. Кроме того, можно дать задание на запись выражений и нахождение их значений или на проверку знания изученных свойств: например, вставить пропущенные числа:

Деление с остатком.

Учащиеся уже сталкивались с отдельными случаями деления с остатком при изучении предыдущих тем. Теперь нужно, опираясь на предметные действия, раскрыть конкретный смысл деления с остатком, показать, как его записывают и как читают запись деления с остатком. Дети должны осознать, что деление без остатка – это частный случай, когда остаток при делении равен нулю. С первого урока важно обратить внимание учеников на то, что при делении с остатком в результате получается не одно, a два числа – частное и остаток и при этом остаток меньше делителя.

Методика работы над темой представлена в учебнике (с 26 – 32): после усвоения конкретного смысла деления с остатком (с. 28-30), рассматривается деление меньшего числа на большее (с. 31) и проверка деления с остатком (с. 32).

Для закрепления материала читают текст на с. 26 и выполняяют упражнения № 1 и № 2, обращая внимание на то, что остаток меньше делителя. Например, учитель предлагает объяснить, почему неверно решение 15: 2 6 (ост. 3) Опираясь на рисунок, дети объясняют, что остаток получился больше делителя и что в 15 содержится 7 раз по 2 кружка, значит, частное равно 7, а остаток равен 1. Особое внимание надо обратить на случай 15 : 3. Так как 15 делится на 3 без остатка, То можно записать: частное равно 5, остаток равен 0.

На следующем уроке на основе наблюдений учащиеся приходят к выводу: остаток при делении всегда должен быть меньше делителя. Для этого дети рассматривают деление нескольких последовательных чисел на (23, 4) и убеждаются в том, что при делении на 2 в остатке получается только 0 или l, при делении на 3 - только 0, или l, или 2 (с. 27, № 1) Для закрепления материала полезно, опираясь на знание таблицы деления, записать ряд примеров и сравнить остатки с делителем. Обращаем внимание детей на то, что если остаток равен нулю, тo обычно его не пишут:

Таким образом, дети видят, что самый большой остаток при делении на 5 – число 4, при делении на 7 – число 6, при делении на 20 – число 19 и т.д.

Следующие 2 урока отведены ознакомлению с приемами деления с остатком (с. 28 – 29). Первый прием – подбор делимого (самого большого числа, близкого к данному делимому, которое делится на делитель без остатка). Второй прием – подбор частного (такого числа, при умножении на которое делителя получается число, близкое к делимому). В обоих случаях обязательно сравнивают остаток с делителем. Второй прием является более трудоемким, так как требует неоднократного умножения частного на делитель, но тем самым он способствует запоминанию табличных результатов. Кроме того, деление на двузначное число только этим приемом может быть выполнено. Проверка предполагаемого частного выполняется устно даже в том случае, когда деление записывают столбиком.

На уроке закрепления материала следует решать примеры на деление с остатком с объяснением приема вычисления вслух.

На следующем уроке рассматривается деление меньшего числа на большее.

Для закрепления навыков устных вычислений по табличному умножению и делению можно использовать примеры № 5 (с. 31). Необходимо учить детей читать выражения. (Например: 9 ⋅ 3 – 12 : 4 – из произведения чисел 9 и 3 вычесть частное чисел 12 и 4).

Далее отводится специальный урок на рассмотрение проверки деления с остатком (с. 32). Вначале можно вспомнить, как выполняют проверку деления без остатка. Например, после заполнения таблицы учитель предлагает детям проверить правильность выполнения вычислений 72 : 8 = 9, 72 : 2 = 36. Они вспоминают формулировку правила проверки (полезно обратится к учебнику, с. 17). Далее ставится задача, как можно проверить деление с остатком: 73 : 8 = 9 (ост. 1), 75 : 2 = 36 (ост. 3). Сравнив полученное число с делимым, ученики делают вывод, верно ли выполнены вычисления.

В процессе формирования умений и навыков не рекомендуется снижать оценку за исправление ошибок в текущих (обучающих) работах. Только в таких условиях дети будут действительно выполнять проверку своих действий.

Чтобы упражнения, направленные на закрепление вычислительных умений и навыков, были более интересными для детей, можно предлагать им задания на формирование умственных приемов, как анализ, сравнение, обобщение, классификация. Так, перед выполнением можно предложить ученикам задание на классификацию: объяснить, на какие группы и почему можно разбить все эти примеры. Пусть дети выполнят это задание по-разному. Можно также дать задание на обобщение: дополнить похожими примерами третий столбик. Аналогичные задания можно предложить к упражнению № 7 (с. 33).

Как всегда, на уроках закрепления предлагаются самостоятельные работы по теме. Это могут быть 5 – 6 примеров на деление с остатком с устной и письменной проверкой решения (например, строчка из упражнения № 10 (с. 34) или упражнение № 16 (с. 35) и т. п.) a также 2 – 3 примера на порядок действий вида