Урок по теме: " Решение показательных уравнений". в 11 классе
методическая разработка (алгебра, 11 класс) по теме

Муниципальное

общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

п. Пяльма Пудожского района Республики Карелия

Учитель математики Венскович Алла Сергеевна.

Конспект  урока-консультации

 по теме « Решение показательных уравнений».

Урок проводится в 11классе при подготовке к итоговой аттестации.

                                                                        Цели урока:

а) образовательные: 

-закрепить решение  простейших показательных уравнений;

-показать  дополнительные методы решения показательных уравнений;

-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;  

б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;  

в) воспитательные: 

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

  -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

  -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

Время: (2 урока).

Ход урока.

I .Организационный момент. (3 мин)

Учитель формулирует тему и цели урока.  Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Учитель проверяет состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.

II.Устный счет. (5-7минут)

1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

А) у=3;Б) у=х.; В) у=х ;Г) у=();     Ответ: А); Г).

2.Какие из заданных функций  являются возрастающими и какие, убывающими?

  А) у=6;Б) у=(0,1);В) у=(); Г) у=π.   Ответ: А); В); Г).

3. Решите уравнения.

А) 3=27 ;  Б) 4=64 ;В) 5=25; Г) 10=10000.   Ответ: А) 3; Б)3 ;В)2 ;Г)4.

4. Решите уравнения. А) 5*2=0,1 ;Б) 0,3*3=; В)()* 3= ;

Г) 6*()= ;                              Ответ: А)2; Б) ; В) -; Г)-2.

5. Решите неравенства:

А) 3>9;  Б) 3;  В); Г) 3<-27.

Ответ: А) (2;+; Б) (--1]; В)[-2;+); Г) нет решений.

III.Актуализация знаний (15 мин). Учитель обращает  внимание учащихся на то, что  показательные уравнения входят в задания ЕГЭ. Представители каждой группы с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания решения простейших показательных  уравнений.

Задание 1 группы: 

 Определение показательного уравнения. Показательное уравнение-это уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.

 Основные методы решения показательных уравнений.

1. Простейшие показательные уравнения вида а=b (a>0, a)При b0 уравнение а=b не имеет решений. При b>0 данное уравнение решается логарифмированием обеих частей по основанию a;  log а= logb ;  х= logb. Ответ: х= logb.

Пример1. Решите уравнение:  4= - 4

Данное уравнение решений не имеет, т.к. -4<0, а показательная функция принимает только положительные значения.

 Пример2. 8; log8= log3; х log8= log3; х= log3;Ответ: х= log3.

Задание 2 группы: 1.Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей, т.е. преобразование данного уравнения к виду а,а затем к виду f(x)=g(x).  Пример1. Решите уравнение Решение. Приведем все степени к одному основанию 0,2. Получим уравнение (0,2); (0,2);х=2х-3; х=3;           Ответ: х=3.

2.Решение показательных  уравнений методом вынесения общего множителя за скобки. Пример1. Решите уравнение 7;Решение.7; 7; 77=539; 7=539:77;  7=7; х=1;                    Ответ: х=1

Задание 3группы. Решение показательных уравнений способом подстановки. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример1. Решите уравнение 9;Решение.  (3; Пусть 3, t>0; Тогда t;t;   t;     3 ; х=log ;            или  3;  х=0;Ответ: х=log ;  х=0

IV.Изучение нового материала.(20-25 минут)

Учитель демонстрирует учащимся  другие методы решения показательных уравнений.

1.Метод почленного деления.  Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример1.Решите уравнение 3

Решение:3  (:)

3;   Пусть (, где y >0; Тогда  3y

D=49-24=25; y;y=2 ;  y= ;

Далее имеем: ;   х=log ;                                                                                      ; x=log=log.

Ответ: х=log;    х=  -log                                                            

2.Способ группировки. Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример1.  Решить уравнение. 3

Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

4,5

31,5  (:9; 31,5=21;; (; 2х=-1;х=-0,5;   Ответ: х=-0,5

3. Использование графического метода решения уравнений.

Решить уравнение.  3;  Построим таблицы значений.  

Y=

 Y=10-x    

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Она и будет корнем уравнения.  Строить графики можно с помощью программы «Живая математика».  Ответ: х=1

4.Решение показательных уравнений методом подбора.

При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем  доказывают, что  этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.

Решить уравнение:  6

Решение: подбором находим, что х=2-корень исходного уравнения. Покажем, что других корней нет. Разделив исходное уравнение на 10, получаем равносильное уравнение:

;;

А) Покажем, что среди чисел х.<2 корней нет. Если х<2, то (>

> при х.<2 корней нет.

Б) Покажем, что среди чисел х.>2 корней исходного уравнения также нет. Если х >2, то

(<<при х.>2 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: х=2.

V. Закрепление изученного материала. (25минут).  Каждой группе учащихся в конвертах даются задания.  Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение  и решение в группе  остальных уравнений.

Задания  группам:  

Решить уравнения.

1. Решить графическим способом   (решают самостоятельно).

 Решение:   2 Строим в координатной плоскости графики функций. Находим абсциссу точки пересечения.  Строить графики можно с помощью программы «Живая математика».Ответ: х=1

2.Решить уравнение:  (решают в группах).

9

Решение: поскольку 12=3*4, 16=4, 9=3, то исходное уравнение можно записать в виде

9Делим обе части исходного уравнения  на 4

Получаем:9;9-7;Пусть >0;

Тогда 9-7y-16y=0;16y+7y-9=0;y=; y<0 – посторонний корень.

Отсюда y=; ;(;х=2;   Ответ: х=2.

3.Решить  уравнение(3      

Решение: Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысл.1)3;   3; х.; х=2 и х=-2.

Прих=2  подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.

2)  при х=1. Это число является корнем данного уравнения, так как выражение

3 имеет смысл при любом х. Ответ: х=-2 и х=1

4. Решить уравнение:  (х+3) =(х+3)

Решение: выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Для решения показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая:

Когда основание степени равно 1, 0 и когда оно отлично от указанных значений.

1).Если х+3=1, т.е. х=-2, то получаем 1 -верное равенство; значит, х=-2 –корень уравнения.

2). Если х+3=0, т.е. х=-3, то в левой части уравнения получаем 0, а в правой части 0

- выражение, не имеющее смысла. Поэтому  х=-3 не является корнем уравнения.

3). Наконец, приравняв показатели, имеем х.

Откуда х=-1, х=3.  При этих значениях  х.  получим соответственно -верные равенства, т.е. х=-1 и х=3 –корни уравнения.

Ответ: -2;-1;3.

VI. Проверка и обсуждение заданий: (10-12 минут). Готовые решения одного из трех оставшихся заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения. 

V II. Итог урока:  (3минуты)

1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать  показательные уравнения?

2)Оценка знаний учащихся: Учитель оценивает деятельность каждой группы. Для выставления отметок за урок раздаются оценочные листы. Предпоследняя колонка заполняется учеником (см. условные обозначения). Консультант заполняет вторую и третью колонки. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность всей группы.

Условные знаки для оценивания учеником самого себя: «+»– отлично изучил тему;  «+;-»– есть проблемы, но я их решил самостоятельно; «^»– были проблемы, но я их решил с помощью группы; «-»– проблемы не решены.

V III. Домашнее задание:  стр299, №163(б); №164(а);№165(а);№166(а;г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва «Просвещение»,2003.

Список  литературы.1.В.С.Крамор « Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа». Москва. ОНИКС. Мир и образование.2008г.416стр.

2.Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика.  Авторы – составители А.М.Титаренко; А.М. Роганин. Под редакцией Т.И. Максимовой. ООО « Издательство «Эксмо»,2008.

3.Большая энциклопедия школьника. Математика. Якушева Г.М. и другие. М,: СЛОВО, Эксмо,2006. -640с.

4.Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. М.: Эксмо,2009. 272с.

5.Балаян Э.Н. Устные упражнения по математике для 5-11 классов: учебное пособие. Ростовн/Д: Феникс,2008

6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва «Просвещение»,2003.          

7.Т.Н. Маслова; А.М. Суходский. Справочник школьника по математике 5-11классы. Москва. ОНИКС.Мир и образование.2008.