Решение тригонометрических уравнений.
план-конспект урока алгебры (10 класс) по теме

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент – 2 мин.
2. Тест  с самопроверкой  7 мин.
3. Сообщение  об истории развития тригонометрии – 3 мин.
4. Систематизация теоретического материала: три подраздела по 2, 4 и 7 мин. соответственно.
5. Дифференцированная  самостоятельная  работа – 12 мин.
6. Итог урока 3 мин.

Ход урока

1 Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924)  однажды заметил: « Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания надо поглощать их с аппетитом..». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас заключительный урок по теме « Решение тригонометрических уравнений» и мы повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные типы, виды, методы решения и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания, умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Тест  с самопроверкой.

Я считаю, что основным преимуществом такой формы контроля является его экономичность, а также технологичность проверки выполнения. В частности, на результат проверки не влияют умения учащихся создавать письменный текст, поскольку от них требуется не более чем дать правильный ответ, или просто  выбрать  правильный ответ из нескольких предложенных.

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений.

Цель: Контроль ( самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос. Учащиеся отвечают  на листочках, через копирку.

Вариант I

1. Каково будет решение  уравнения  cos x = a  при | а | >1 ?
2. При каком  значении  а, уравнение  cos x= a  имеет решение?
3. Какой формулой выражается это решение ?
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения  cos x = a ?
5. В каком промежутке находится  arcсos a ?
6. Каким будет решение уравнении  cos x= 1?
7. Каким будет решение уравнения  cos x= -1?
8. Каким будет решение уравнения   cos x = 0?
9. В каком промежутке находится  arccos  a ?
10. Какой формулой выражается решение уравнения  tgx=а?
11. Чему равняется  arccos(-a)?

Вариант II

1. Каково будет решение уравнения  sin x =a при | а | > 1?
2. При каком значении а уравнение  sin x = a  имеет решение?
3. Какой формулой выражается это решение?
4. На какой оси откладывается значение а, при решении уравнения  sinx=a?
5. На каком промежутке находится  arccos a?
6. Каким будет решение уравнения  sinx=1?
7. Каким будет решение уравнения  sinx= -1?
8. Каким будет решение уравнения  sinx=0?
9. В каком промежутке находится  arccosа?
10. Какой формулой выражается решение уравнения  ctgx =a?
11. Чему равняется  arcsin(-a)?

  Тест окончен, собираются листочки с работой и открываются правильные ответы. Учащиеся отмечают  на оставшихся листах неправильные ответы,  и количество правильных ответов заносят в лист учета знаний.

3. Сообщение.

Сообщение об истории развития тригонометрии ( выступает подготовленный ученик).

Такие сообщения содействуют воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а также расширяют кругозор учащихся.

4. Систематизация теоретического материала.

1. Устные задания, на определение вида простейших тригонометрических уравнений.                               Работа с кодоскопом , слайд №1и №2 или с плакатом.

Такие задания, по моему мнению, способствуют обобщению знаний по видам простейших тригонометрических уравнений, развивают логическое мышление.

Ребята, здесь вы видите схемы решений тригонометрических уравнений.  Как вы думаете , какая из этих схем данной группы является лишней? Что объединяет остальные схемы?

( Отвечающие учащиеся правильные ответы  заносят в лист учета знаний).

Ответы:

Слайд 1. 3-я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида  sin x= a; 1, 2,  4, 5, 6- решения  уравнения  cosx=a.

Слайд 2.    4-я сема лишняя, так как она изображает решение уравнения  вида  ctgx=a;  1, 2, 3, 5, 6- решение уравнения tgx=a.

1. Классификация тригонометрических уравнений.

В своей практике я заметила, что учащиеся затрудняются именно в выборе метода решения того или иного уравнения. Так как при определении метода решения используются такие логические приемы, как выявление признаков, сравнение примеров по сходству и различию, то я считаю, что специальное внимание к этому этапу решения уравнений при заключительном повторении способствует не только повышению уровня знаний учащихся, но и их развитию.

На доске написаны уравнения и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Затем учащиеся меняются схемами с соседом по парте, на доске открываются правильные ответы, ребята проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных ответов заносят в лист учета знаний соседа.

1. 3sin2x – sinx cosx – 2 cos2x = 0.
2. cos2x – 9· cosx + 8 = 0.
3. 2 cos2x – 3sinx= 0.
4. sin6x – sin2x = 0
5. 2sinx·cosx = cos2x – 2sin2x.
6. 2cos2x – 11 sin+5=0
7. tgx+ 3ctgx = 4.
8. cos2x + cos= 0.
9. cosx + sinx = 1.
10. cosx + sinx = 0.
11. 3cosx + sinx =0
12. sinx + cosx = 1.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РЕШЕНИЕ   УРАВНЕНИЙ   ПО                                         РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ   ПУТЕМ

ИЗВЕСТНЫМ   АЛГОРИТМАМ                                       РАЗБИЕНИЯ   НА  ПОДЗАДАЧИ

        ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                       УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ

              И  СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ                                       ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА

                                                                                                    МНОЖИТЕЛИ

        № _______________________                                         №_______________________

                                                                                                    УРАВНЕНИЯ, РЕШАЮЩИЕСЯ

                                                                                                    ОЦЕНКОЙ  ЗНАЧЕНИЙ ЛЕВОЙ

                                                                                                     И  ПРАВОЙ  ЧАСТИ  

                                                                                                     №________________________

УРАВНЕНИЯ ВИДА Acos     x+Bsinx =C, ГДЕ А, В, С ≠0, РЕШАЮЩИЕСЯ МЕТОДОМ ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА. № _________________________

2. Динамичные блоки уравнений.

Задания на магнитной доске.

Я считаю, что эти блоки позволяют сравнить, обобщить, выделить главное, раскрыть идеи  решения некоторых уравнений, предупреждают возможные ошибки, помогают выделить общий алгоритм решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.

Отвечающие учащиеся правильные ответы заносят в лист учета знаний.

1 вопрос. О чем идет речь?

Ответ:  1, 2, 4 – простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным формулам; 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только при а =0.

2 вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: 1, 3, 4 – однородные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним, решаются методом подстановки;  2 – уравнение однородное, но заменив  1  в правой части на  

Sin2x + cos2x  и разделив обе части уравнения на  cos2x ( или на  sin2x), получим одноименное тригонометрическое уравнение.

3 вопрос. Что бы это означало?

Ответ: 1 – однородное уравнение первой степени, решается методом деления на  cosx  ( sinx );            

2 – однородное уравнение второй степени, решается методом деления на  cos2x  ( sin2x );

3 – нельзя делить на  cos2x, это приведет к потере корней. Можно делить на  sin2x или разложить на множители.

4 вопрос. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

Ответ: 1, 3 уравнения решаются методом разложения на множители; 2- уравнение лишнее. Оно содержит обратную тригонометрическую функцию.

1. вопрос. Назовите главный ключевой блок уравнений.

Ответ: Это блок простейших тригонометрических уравнений, так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.

2. вопрос.  Что объединяет данные уравнения?

Ответ: Это тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

3. вопрос. Рассказать алгоритм решения  данных уравнений.

Ответ: 1. Сводим к однородному уравнению.

            2. Делаем замену переменной.

            3. Решаем квадратное уравнение.

            4. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Шкала оценок:  «5»- правильных ответов больше 25

                              «4»- правильных ответов  21-24

                              «3»- правильных ответов  15-20

                              «2»- правильных ответов меньше 15

По шкале оценок каждый учащийся ставит себе предварительную оценку в лист знаний. После проверки самостоятельной работы итоговую оценку ставлю сама.

1. Дифференцированная самостоятельная работа.

Работа проводится с самопроверкой,  через копирку.

На доске записано задание на трех уровнях. Каждый решает задание того уровня, который он выбрал сам. Я считаю,  что самостоятельный выбор заданий позволяет каждому учащемуся продемонстрировать свои знания и умения. Оценки, полученные после решения самостоятельной работы, ребята воспринимают безболезненно, поскольку выбор уровня был сделан ими самостоятельно.

Через 10 минут после начала работы учащиеся в лист учета знаний вкладывают обобщающую схему, а также экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку. После этого сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске ( или кодоскопе ), что позволяет им сразу оценить свою работу и увидеть допущенные ошибки.

Решения:

Группа А : 1)  2( 1- sin2x ) + 3sinx =0;   2sin2x – 3sinx – 2 = 0;  sinx = t;  2t2 – 3t – 2 = 0; D = 25; t1= 2;

t 2 =-; sinx = 2   не имеет решения, т.к. 2 ;  sinx = -,  x= n+1+πn, nZ.

2). 2sinx cosx + sinx = 0;  sinx( 2cosx + 1 ) = 0 sinx = 0 или  2 cosx +1 = 0;  

sinx = 0;  x =  πn, nZ;   2cosx = - 1;  cosx = -; x = ± + 2πn, n Z.

Группа  Б: 1)  sin2x – 2sinx cosx + cos2x = 0;  tg2x – 2tgx + 1 = 0; tgx = t;  t2 – 2t + 1 = 0;  D = 0;  t = 1;

tgx = 1;  x =  + πn, n  Z.

2) sin 7x – sinx + cos4x = 0;  2cos4x sin3x + cos4x = 0;  cos4x( 2sin3x + 1 ) = 0;  cos4x = 0 или

2cos3x + 1 = 0.   cos4x = 0;  4x =  + πn, n  Z.;  x =  + ; n  Z.  2cos3x + 1 = 0; sin3x = - ;

x = n+1+ . , n Z.

Группа В: 1) cos2x cosx = cos2x cosx – sin2x sinx;  -sin2x sinx = 0;  sin2x = 0  или  sinx = 0.

X = , n Z.  или  х = πm, m Z.

2). cosx + sinx = 2;  cosx + sinx = 1;  cos cosx + sinsinx = 1; cos = 1;

x- = 2πn¸n Z; х =  + 2πn¸n Z.

2. Итог урока.

Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.

Ответьте, пожалуйста ,на вопросы:1. Что это за уравнения?  ( Тригонометрическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

2. Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

( Простейшие тригонометрические уравнения,  уравнения I  порядка,  уравнения  II  порядка сводящиеся к квадратным;  уравнения, решаемые разложением на множители;  оценкой левой и правой части;  уравнения решающиеся методом введения вспомогательного аргумента.)

После этого дается оценка работы группы и домашнее задание: подготовка к контрольной работе.

Учащиеся, которые получили неудовлетворительную предварительную оценку, приглашаются  на консультацию.