Исследовательская деятельность учащихся на уроках математики
методическая разработка

Исследовательская деятельность учащихся на уроках математики включает в себя:

1. исследовательский подход к введению математических понятий (приложение 1);
2. исследовательские работы, проводимые на уроках математики (приложение 2);
3. учебно-исследовательские карты для учащихся, разработанные  в элективном курсе: «Случайность или закономерность?» (приложение 3).

Цель исследовательской деятельности: формирование новых математических понятий в целом; воспроизведение, в некоторой степени, деятельности математика-ученого, направленной на изучение нового объекта и образование понятия; развитие интереса к математике, внимания, логики, активности мышления.

Приложение 1.

Исследовательский подход к введению математических понятий.

   Формирование научных понятий – одна из главных задач обучения математике в школе. Формирование конкретного понятия тесно связано с усвоением учащимися соответствующего математического объекта и возникновением общего представления о нем. Усвоить понятие – значит усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности.

   Исследовательский подход к введению нового понятия направлен на формирование нового понятия в целом (как системы взаимосвязанных логически упорядоченных суждений). При этом можно организовать познавательную деятельность учащихся таким образом, чтобы воспроизвести (в некоторой степени) деятельность ученого-математика, направленную на изучение нового объекта и образование понятия.

   Исследовательский подход включает следующие этапы:

1. постановка цели деятельности;
2. эмпирическое изучение нового математического объекта, поиск его свойств;
3. формулирование найденных свойств в виде гипотез;
4. введение нового термина, определение математического объекта;
5. проверка истинности высказанных предположений путем отыскания их доказательств;
6. поиск признаков исследуемого объекта (рассмотрение обратных утверждений);
7. уточнение логических связей между суждениями, систематизация содержания нового понятия, усвоение этого содержания;
8. обучение применению нового понятия в деятельности: решение опорных задач, выделение общих приемов деятельности, способствующих применению понятия;
9. применение понятия в нестандартных ситуациях.

   Таким образом, правильное введение математических понятий, формирование каждого из них как системы взаимосвязанных упорядоченных суждений, разумное сочетание логического и содержательного аспектов в процессе изучения понятий – все это способствует их успешному усвоению и применению  в практической деятельности.

Приложение 1.1

Урок геометрии в 8 классе по теме: «Равнобедренная трапеция».

Цель: изучить понятие равнобедренной трапеции, сформулировать и доказать ее свойства, применить понятие равнобедренной трапеции в решении задач.

1. Класс разбит на группы, которые получают чертежи равнобедренной трапеции.

1. Назвать основные элементы  трапеции: стороны, углы, диагонали.
2. Сегодня мы изучим этот четырехугольник. Что интересует геометров при изучении фигур в первую очередь?
3. Соотношения между сторонами и углами.
4. Какова цель нашего исследования?
5. Выявить соотношения между элементами трапеции, изучить другие особенности этой фигуры.
6. Возьмите инструменты, измерьте стороны, углы, диагонали.
7. Сформулируйте гипотезы о свойствах этих элементов
8. Сформулируем другие особенности трапеции.
9. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от нее равные прямоугольные треугольники.
10. Диагонали разбивают трапецию на два равных и два равнобедренных треугольника.
11. Можно ли считать, что мы изучили фигуру?
12. Нет. У нас только гипотезы.
13. Сформулируем и докажем теоремы.

                           Трапеция с равными боковыми сторонами

углы при основании равны

диагонали равны

другие свойства

2. Проговорить свойства равнобедренной трапеции в общеутвердительной форме.
3. Применение понятия.

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 6 диагональ равна . Найти боковую сторону.

Задача 2. В равнобедренной трапеции с углом 600, разность оснований равна 5 см. Найти боковую сторону трапеции.

Задача 3. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и равны , а ее меньшее основание 5 см. Найти большее основание трапеции.

Приложение 2.

Примеры исследовательских работ.

Работа 1. Исследование площади прямоугольника данного периметра

(геометрия 7 класс).

   Периметр прямоугольника 24 см., а его основание см. Задайте формулой зависимость площади S от x. Заполните таблицу:

1. при каком значении x получился прямоугольник наибольшей площади S;
2. каково наибольшее значение S;
3. выбрать два значения x и вычислить  S, удалось ли получить значение S, большее, чем ранее?
4. какую гипотезу можно высказать о форме прямоугольника наибольшей S, имеющего данный периметр.

Работа 2. Исследование зависимости между отрезками пересекающихся хорд

 (геометрия 8).

  Построить окружность радиуса 50 мм. Отметить точку K на расстояние 40 мм от центра. Обозначив длину одного из отрезков хорды, проходящей через точку K, через

x (мм), а другого – y (мм), построить хорды, для которых в таблице указано значение:

1. вычислить произведение xy в каждом случае;
2. есть ли какая-нибудь закономерность?
3. сформулировать гипотезу;
4. какую длину имеет наименьшая из хорд?
5. каковы длины отрезков этой хорды?
6. построить график зависимости y(x).

Работа 3. Исследование зависимости времени движения от маршрута.

   Из пункта А в пункт В можно попасть, проехав 10 км по шоссе до пункта В1, а затем 4 км по грунтовой дороге В1В. По шоссе скорость движение равна 15м/с, по дороге 12 м/с, а по целине 10 м/с.

   Сколько времени потребуется вездеходу на путь АВ  по маршруту АВ1В?

   Может ли вездеход быстрее достичь пункта В, если свернет на целину?

   Заполнить таблицу зависимости времени движения t(сек) вездехода от расстояния x(м) от точки С, в которой вездеход сворачивает с шоссе, до точки В1.

   Найти с точностью до 100 м, на каком расстоянии от В1, должен свернуть с шоссе вездеход, чтобы время, затраченное на путь АВ, было наименьшим.

Приложение 3.1.

Учебно-исследовательская карта для учащихся.

Тема: Введение в комбинаторику. Комбинации из нескольких элементов.

1. Задача. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали: а) 2 человека; б) 3 человека?

2. Проблема.  Как вычислить число визитных карточек, если обмениваются n человек?
3. Пробы.

4. Таблица результатов.

5. Гипотезы.                                                       Гипотеза 2.

Гипотеза 1.                                                                                                                

Гипотеза 3.

Гипотеза 4.

6. Проверка гипотезы.

Пусть n=6, тогда

а) фактическое число карточек равно 30;

б) число карточек, согласно гипотезе

1) 30;

2) 30;

3) 30;

4) 36.

Заключение: гипотезы 1, 2, 3 подтвердились, гипотеза 4 не подтвердилась.

1. Доказательство.

а) гипотеза 1 равносильна гипотезе 2;

б) гипотеза 3 равносильна гипотезе 2: .

в) докажем гипотезу 2.

   Пусть имеется n человек. Согласно правилу произведения, каждый отдаст карточек, число которых равно числу человек минус один, т.к. себе человек карточку не дает, поэтому получится n(n-1) карточек.

   Вывод: гипотезы 1, 2, 3 доказаны, гипотеза 4 опровергнута.

Приложение 3.2.

Учебно-исследовательская карта для учащихся.

Тема: Треугольные числа.

1. Задача. Рассмотреть построение треугольных чисел. Изобразить и подсчитать число «камешков» четвертого по порядку треугольного числа.

2. Проблема. Как вычислить любое n-е по порядку треугольное число?
3. Пробы.

4. Таблица результатов.

5. Гипотезы.

Гипотеза 1.

Гипотеза 2.                                                      

Гипотеза 3.

Гипотеза 4.

6. Проверка гипотезы.

   Пусть n=5, тогда

а) фактическое число «камешек» равно 15;

б) число «камешек» согласно гипотезе

1) 15;

2) 15;

3) 15;

4) 18.

Заключение: гипотезы 1, 2, 3 подтвердились, гипотеза 4 не подтвердилась.

7. Доказательство.

а) гипотеза 1 равносильна  гипотезе 3: ;

б) гипотеза 2 равносильна гипотезе 3: .

в) докажем гипотезу 3.

   Число «камешек» треугольных чисел равно

Вывод: гипотезы 1, 2, 3 доказаны, гипотеза 4 опровергнута.

Приложение 1.2.

Урок математики в 6 классе по теме: «Длина окружности и площадь круга».

Цель: изучить формулы длины окружности и площади круга, применить их в решении задач, получить практическим путем значение числа , развивать познавательный интерес.

1. Устно: а) округлить число до единиц, десятых, сотых 32, 829; б) найти среднее арифметическое чисел 4,8; 6,1; 7,1.
2. 1 вариант. Практическая работа.

1. взять бумажный круг, банку, стакан обвести по контуру на миллиметровую бумагу;
2. измерить диаметр получившейся окружности, вычислить радиус;
3. опоясать окружность ниткой и измерить длину получившейся нити;
4. найти отношение длины окружности к ее диаметру;
5. с помощью миллиметровой бумаги найти площадь круга, ограниченного полученной окружностью;
6. найти отношение площади круга к квадрату радиуса соответствующей окружности.

3. 2 вариант. Создание проблемы.

Дана окружность с центром в точке О и радиуса r. Опишем около нее квадрат ABCD и впишем в нее квадрат KMEP. ,  ,   и .

. Определим число .

4. Анализ данных.

   Результаты вычислений всех учащихся занести в таблицу.

5. Вывод. В каждом случае отношение длины окружности к ее диаметру и отношение площади круга к квадрату радиуса соответствующей окружности есть число постоянное. Это число называется греческой буквой .

6. Историческая справка.

   Еще в древности людям были известны многие геометрические фигуры, в том числе окружность и круг. Об этом говорят археологические раскопки. Еще тогда приходилось решать задачи на вычисление площади круга и длины окружности.

   В Древнем Египте , в Древнем Риме . Все эти значения определялись опытным путем. Великий ученый Древней Греции Архимед определил, что . С помощью современных ЭВМ число было определено до миллиона знаков после запятой.

6) Сообщение.

   Число  - бесконечная десятичная дробь. Чтобы запомнить это число существуют такие приемы:

а)

б)

в) рациональное выражение числа (учебник Магницкого)

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких

В аккуратных серых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

7)Закрепление.

8) Итог урока.

9) Домашнее задание.

Учебные исследования по математике.

 Познание мира, в котором живет человек, -

 что может быть прекраснее!

 Б. Рассел  

Наиболее глубокий след оставляет то,

что тебе удалось открыть самому

Д. Пойа

Идея исследования как метода познания мира и метода обучения зародилась в древности. Самое раннее и классическое выражение этой идеи можно найти у древнегреческого философа Сократа. Знаменитое сократовское «Исследуй!» определило подход философа к изучению действительности, характер его дидактики и весь его жизненный путь. Наследие Сократа сохранилось в памяти и сочинениях его учеников, прежде всего Платона.

   Плодотворное новаторство опирается на непреходящие ценности прошлого. В этом смысле возвращение к Сократу всегда было движением вперед. Об этом же на рубеже 50-60 гг. XIX в. говорил замечательный врач и педагог Н.И. Пирогов: «Метода преподавания, наиболее соответствующая духу гимназического учения, ест та, которую употребил Сократ, … и весь успех гимназического учения основан на взаимодействии учителя и учеников. Если в школе удается сделать учеников восприимчивыми к науке, дать им сознательное научное направление, поселить в них любовь к самостоятельным занятиям, то больше ничего и требовать нельзя».

   В начале 1960-х гг. была выдвинута новая дидактическая концепция, разработанная И.Я. Лернером и М.Н. Скаткиным. За основу характеристики и классификации дидактических методов впервые был выбран не способ организации занятий, а уровень деятельности учащихся. Как бы поднимаясь по ступенькам интеллектуальной активности и самостоятельности, ученик проходит путь от восприятия готовой учебной информации через воспроизведение полученных знаний и освоенных способов деятельности, знакомство с образцами научного решения проблем, участие в коллективном поиске и эвристической беседе к овладению методами научного познания, к самостоятельному и в идеале – творческому их применению (последнее может быть достигнуто при проведении учебного исследования, имитирующего процесс научного исследования).

   В 1970-80-е гг. в работах Ю.К. Бабанского указывалось на необходимость включения в практику обучения исследования как метода или как уровня, на котором школьники учатся осваивать и применять методы науки.

   Исследовательский метод познания естественен, он соответствует природе человеческого мышления. Любое учебное исследование есть изучение познанного: школьники разрешают проблемы, уже решенные обществом или наукой, и новые только для них самих.

   Говоря об использовании исследовательского метода в изучении математике, можно выделить одну из важных проблем – развитие математических способностей учащихся (возможное только в процессе соответствующей деятельности). Эти способности проявляются в том, с какой скоростью, как глубоко и насколько прочно дети усваивают математический материал, и легче всего обнаруживаются в ходе решения задач. О скорости можно судить по количеству заданий, выполненных учеником за определенный промежуток времени, а также по времени, которое требуется разным школьникам для решения одной и той же задачи.

   Каждому ученику от природы дарована склонность к познанию и исследованию окружающего мира, значит, надо так организовывать учебную деятельность, чтобы развивать у школьников необходимые умения и навыки. Представляется необычайно полезным прививать учащихся вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской работы.

Цель исследовательской деятельности: формирование новых математических понятий в целом; воспроизведение, в некоторой степени, деятельности математика-ученого, направленной на изучение нового объекта и образование понятия; развитие интереса к математике, внимания, логики, активности мышления.

Основные этапы организации учебно-исследовательской деятельности:

1. мотивация к проведению исследования осуществляется различными способами: акцентирование внимания на значимости ожидаемых результатов, оригинальность учебного задания и т.п.;
2. постановка общей проблемы также может осуществляться различными способами под руководством учителя;
3. постановка задачи – исследования;
4. сбор информации может осуществляться при изучении соответствующей литературы, посредством проведения испытаний, всевозможных проб, попыток решения частных проблем;
5. создание базы собранных данных, которая оформляется в виде таблицы, схемы, графика и т.п.;
6. выдвижение гипотезы может происходить как в процессе проведения испытаний, так и в ходе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала;
7. проверка гипотезы позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предположений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости;
8. формулирование выводов;
9. демонстрация актуальности проведенного исследования и возможностей применения его результатов (на примерах).