Главные вкладки

    Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
    методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

    Разработка урока по теме "Применение нестандартных способов при решении
                показательных и    логарифмических уравнений и неравенств" по алгебрев 11 классе. Рассмотрены нестандартные способы решения: метод оценки левой и правой части, использование свойства монотонности. метод освобождения от логарифмов и т.д.
              

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

     Тема.  Применение нестандартных способов при решении

                показательных и    логарифмических уравнений

                и неравенств.

     Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

                           способах решения, умение применять свойства функций,

                           правила при решении уравнений и неравенств;

                          2) развивать умение видеть, умение распознавать

                           рациональность применения того или иного способа;

                          3) прививать интерес к математике, воспитывать

                            математическую грамотность ученика, как при устной,

                            так и при письменной работе.

      Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

     

      На доске:    

    План урока:

    1. Орг. момент.                           

    2. Устная работа.                          

    3.Работа в группах

    4. Защита решений.                    

    5. Сам. работа.                                      

    6. Задание на дом

    7. Итог урока.                                                      

                                   

    Ход урока:

      I. Организационный момент.

    *знакомство с целью урока;

      задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

    * использование при решении задач :

    – монотонности функций;

    – «правила знаков»;

    – метода оценки;

    – освобождение от логарифма.

      II. Устная работа.

     1. Какие из выражений имеют смысл?

    а)                                 а) да;

    б)                                      б) нет, т.к.  

    в)                                  в) нет, т.к. а  

    г)                                   г)  да; 

    д)                                 д) нет, т.к.

     2. Решить уравнение:

               

     (Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет.  Левая часть – сумма возрастающих функций есть  функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

     3. Решить уравнение:

              /       :                  

     ( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

        Разделим обе части уравнения на  

       следовательно, в левой части уравнения – сумма                                                         двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

    – Какое  свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?    

             (свойство монотонности)

    III. Работа в группах.  Решение задач.       

    1 группа.   Решить уравнение:

     

     – Какой способ надо применить при решении данного   уравнения?                                                      

    Решение:                                        

    –  Используем свойство монотонности убывающей  функции, для этого

    разделим на

                     

    – Можем ли мы угадать хоть один корень?  

    ( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)                                              

    – Докажем единственность.                                    

    В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

    точка пересечения, х=2.

    значит, уравнение имеет одно решение,

    Ответ: х = 2.                                          

      2 группа.     Решить неравенство:

    – Применим  теорему для функции f(f(x)).

    – Сформулируем  теорему:

    Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

    f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

    ОДЗ:    

    Решение:                                   

     – Выполним некоторые преобразования:

     – вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

                     

    – приведем к общему знаменателю:

                                                                                                             

    – приведем подобные

     т.к. , а  , тогда

    функция принимает вид , где  - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

                   

                                                             

    ///////o                    o//////   х                        

    1. 10

     

     

    –  Учитывая ОДЗ, получим:

    Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.                        

     3 группа.            Решить неравенство:  

      – Решим неравенство методом оценки левой и правой частей              

    ;              

    Решение:

    –Заметим, что .  

    ;          

       – Разделим обе  части уравнения на положительное выражение , получим:    

        ;                                                                            

    – Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:                                                                    

     ;                          

                                                           

    не меньше 1       не больше 1                                                                                      

     – Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.  

     – Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

    Ответ: х = 3.                                            

    4группа.         Решить уравнение:                                              

    ;  

    Решение:  

    ;  

     немонотонная ф-я       немонотонная ф-я                

    –  Решим уравнение методом оценки;

    – Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

    – Преобразуем логарифмы в левой части;                                                        

    ;                    

    ;                                                                                                                          

    Выделим полный квадрат в правой части;

             

    – Правая часть меньше или равна 1;

    наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

    – В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

               

                           

                                 

                                                           

    – левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1                                                                при х = 1.  

    – Равенство выполняется тогда и только тогда,  когда обе части                                                               уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

    Ответ: х = 1.                                                                

                                                                   

     5 группа.                 Решить неравенство: 

           

    – Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

    – Освободимся от логарифмов по правилу знаков:    

    Знак log a b совпадает со  знаком произведения (а – 1)∙(в – 1). 

    Рассмотрим ОДЗ:

                   

     Решение:  

     – Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов                        

        освободиться по правилу знаков:

    – Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):                                                                

    найдем нули функции: нули функции  

    +                     +           +  

     //////o    _    ο////////o//////   х                        

           ½          2         5

    функция f(x) > 0 при  учитывая ОДЗ, получим:  

    Ответ:  

     IV. Защита проектов.

     – От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего                                                                решения (решение на доске кратко записать,                                                                пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

    V. Самостоятельная работа.

    – Решить уравнение:

    I вариант.                                            II вариант.

                           

    – Проверим решение  уравнений по готовым записям на доске:

                                                                     

    I вариант.

    II вариант.

    Решение:

    при х=0 достигает унаим  = 2

    т.к. основание  0<0,1<1, то  

     наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

    Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

    Ответ:  

    Решение:

    выделим полный квадрат под знаком log:

    а

    Выделим полный квадрат в правой части:

    наименьшее значение  равно 1 при

    Обе части одновременно будут равны 1 при

    Ответ:

     – Оценить самостоятельно (оценка на полях).                                                                                            

     VI. Задание на дом. 

    1). Решить уравнение:

     

    2). Решить неравенство:

    а)

    б)

                                 

     VII. Итог урока.

     – Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

    – Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

    На чем они основываются?                                              

     (Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)                                                                

                                                               

         


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Рабачая программа курсов по выбору. Способы и методы решения уравнении и неравенств

    Пояснительная записка к данной программе,актуальность,цели,задачи,содержание программы...

    Урок по алгебре и началам анализа "Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств"

    Тема: « Применение свойства монотонности функций при решении уравнений и неравенств». Место урока: урок по алгебре и началам анализа, 11 класс. Тип урока: комбинированный урок. Пр...

    Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств с параметрами

    Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств с параметрами...

    Рабочая программа элективного курса "Алгебра плюс: полиномиальные алгебраические уравнения. Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, неравенств, систем"

    Программа состалена на основе авторской программы элективного курса "Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики"....

    Рабочая учебная программа элективного курса по математике для 10 класса общеобразовательных школ "Уравнения и неравенства:нестандартные способы решения".

    Данная рабочая программа элективного курса предоставляет учащимся более полное обощение материала школьного курса уравнений и нераавенств, знакомит с нестандартными способами решения и позволяет качес...