Сценарий урока "Перестановки"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Номер этапа

Деятельность обучающихся

Деятельность учителя

Участвуют в беседе. Отвечают на вопросы,

Фронтальная беседа с элементами опроса:

На предыдущем уроке мы познакомились с комбинаторными задачами,  с общими определениями комбинаторики и теории  вероятностей и комбинаторным правилом умножения.

Выполним задания устно :

1.Составьте все возможные комбинации (выборки) из трех учеников (Иванов, Петров, Сидоров) по два элемента в каждой выборке. (Ответ : Иванов и Сидоров; Иванов и Петров; Сидоров и Петров).

2.Если объект А можно выбрать х способами, а объект В – у способами, то сколько способов существует для выбора объекта А и объекта В одновременно ? (Ответ : х+у.)

3.Из города А в город В ведут три дороги, а из города В   в город С ведут четыре дороги. Сколько различных вариантов маршрутов из города А в город С можно составить ? (Ответ: 12).

4.Имеются три  цифры : 2, 5 и 7. Сколько различных  двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа ? (Ответ.6).

 5. Имеются три  цифры : 2, 0 и 7. Сколько различных  двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа ? (Ответ.4).

6.При встрече 10 человек обменялись фотографиями. Сколько потребовалось фотографий ? (Ответ.90).

7.При встрече 10 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий ? (Ответ. 45).

В какой форме могут быть построены математические модели ?

1. в форме таблицы;
2. в форме выражения;
3. в виде формулы;
4. в виде уравнения;
5. в виде неравенства;
6. в виде графика;
7. в виде схемы или чертежа.

Какие формы математической модели мы сегодня встретим на уроке ?

Выполняют задания математического диктанта :

Время выполнения – 4 минуты.

Диктует задания мат.диктанта. Организует проверку выполненных заданий. Варианты проверки :

1.Предложить продублировать ответы в рабочей тетради. Собрать выполненные задания. Предъявить правильные ответы. Оценить успешность класса.

2.Содрать выполненные задания. Предложить проверить задания  двум ученикам-экспертам. Огласить и обсудить результаты.

3.Взаимопроверка (в парах).

4.Самопроверка (правильные ответы предъявить на экране).

Составляют четырехзначные числа:

Данная таблица является моделью результата решения задачи.

Предлагает обучающимся составить из  цифр 1, 2, 3, 4 все возможные четырехзначные числа без повторения цифр в записи числа .

Сколько всего таких чисел можно получить (24).

1.Сколькими способами можно  выбрать первую цифру  ? (4)

2.Сколькими способами можно получить вторую цифру  из оставшихся ? (3)

3.Сколькими способами можно получить третью цифру из оставшихся ? (2)

4.Сколькими способами можно получить четвертую цифру ? (1)

Проверьте равенство :

1∙2∙3∙4=24

Какой вывод можно сделать ?

С помощью текста п.31 учебника  выполните следующие задания :

1. Найдите и запишите определение перестановки.
2. Узнайте, что называют факториалом числа n.
3. Запишите   произведение первых  n натуральных чисел (в форме выражения).
4. Запишите формулу для нахождения числа перестановок.
5. Вычислить : 1!=______; 2!=______; 3!=_______;  4!=______; 5!=________;    6!=______.
6. Решите уравнение   2х!=240.

Изучение  теоретического материала с элементами модульной технологии.

Контрольные вопросы :

1.Какие комбинации (выборки) называют перестановками ?

2.Что такое «эн факториал»  и как его найти?

3.По какой формуле находят число перестановок ?

4.Приведите примеры комбинаций, которые являются перестановками.

5.Из  букв a, b, c, d    составляют различные комбинации (выборки). Какие из них являются перестановками ?

Ответ : перестановки во втором столбике.

Участвуют в обсуждении решений задач.

Задача № 1

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6  и  8, при условии, что цифры в записи числа не повторяются ?

Решение.

Из цифр  0, 2, 4, 6  и 8  можно получить P5=5!=120 перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с нуля.  Число таких перестановок равно  числу перестановок цифр 2, 4, 6 и 8, т.е. P4=4!=24. Таким образом, искомое количество пятизначных чисел равно P5-P4=120-24=96.

Ответ. 96.

Задача № 2

Имеется десять различных книг, из которых шесть – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом ?

Решение.

Будем рассматривать все шесть учебников как один объект. Тогда на полке надо расставить  пять книг (объектов).  Число таких комбинаций равно  P5=5!=120.  К каждой из этих комбинаций  учебники можно расставить различными способами. Количество таких способов равно  P6=6!=720. По комбинаторному правилу умножения  все десять  книг можно разместить P5∙P6=120∙720=86400 способами.

Ответ. 86400.

Задача № 3

Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 7, 6, 5, 0 (без их повторения), которые кратны 15 ?

Решение.

Из данных цифр можно составить P4-P3=24-6=18 различных четырехзначных чисел без повторения цифр в их записи.

Заметим, что сумма предложенных цифр равна 18, т.е. любое  четырехзначное число, составленное из этих цифр (без их повторения в записи числа), будет кратно трем. Чтобы  полученные числа были кратны 15, необходимо, чтобы они были кратны не только  числу 3, но и числу 5, т.е. оканчивались на 0 или на 5 . Число таких чисел равно   2P3=12. Таким образом, искомое количество  равно 12.

Ответ. 12.

1.Сколькими способами  можно расставить на книжной полке 5 различных книг ? (Ответ: 120).

2.Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа? (Ответ: 720).

3. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа? (Ответ: 600).

4.Вычислить:

18!14!∙4!   (Ответ : 3060)

5.Что больше и во сколько раз :

10∙9!  или  9∙10!.

(Ответ. Больше второе число в 9 раз).

6.Шесть мальчиков, в  число которых входят Саша и Ваня,  становятся  в ряд. Найти число возможных комбинаций, если:

а) Саша должен находиться в начале ряда; (Ответ : 120)

б) Саша должен находиться в  начале ряда, а  Ваня – в конце  ряда; (Ответ: 24)

в) Саша и Ваня должны стоять рядом. (Ответ : 48).

Решение задач. Решение задач выполняется на доске с  подробным разбором каждого решения.

Для обучающихся,  успешно справляющихся с заданиями, даются  индивидуальные задания (Приложение)

Тестовое задание :

Выдает тестовые задания. Контролирует ход и самостоятельность их выполнения. При необходимости дает направляющие примеры.

8. в форме таблицы;
9. в форме выражения;
10. в виде формулы;

Какие математические модели мы  строили сегодня на уроке ?

Домашнее задание.

Выучить  определение перестановки (стр. 176) и формулу для вычисления числа перестановок (стр. 177).

Выполнить решение задач № 741, № 744 с подробной записью решения.

Комментирует домашнее задание; указывает на  возможные затруднения при выполнении заданий.

Карточка № 1

1. Что больше и во сколько раз : 8!∙6   или 7!∙12  ?
2. Вычислить значение выражения  32!2!∙30!.
3. Сколькими способами можно расставить на полке 15 книг, из которых  7 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?
4. Сократить дробь n+1!(n-1)!
5. В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и  информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы  два урока математики были первыми ?

Карточка № 2

1. Что больше и во сколько раз : 10!∙12   или 5!∙24  ?
2. Вычислить значение выражения  3!·37!2!∙38!.
3. Сколькими способами можно расставить на полке 17 книг, из которых  12 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?
4. Сократить дробь n!∙(n+2)n+2!.
5. В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и  информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы   физкультура и геометрия  были  рядом ?

Карточка № 3

1. Что больше и во сколько раз : 7!∙6   или 6!∙12  ?
2. Вычислить значение выражения  36!3!∙32!.
3. Сколькими способами можно расставить на полке 11 книг, из которых  7 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?
4. Сократить дробь n+1!(n-1)nn+2!.
5. Восемь мальчиков, в числе которых   Никита и Артем, становятся в ряд.  Найти число возможных комбинаций, если Никита и Артем должны стоять  рядом ?

Карточка № 4

1. Что больше и во сколько раз : 11!∙10   или 10!∙12  ?
2. Вычислить значение выражения  40!4!∙30!.
3. Сколькими способами можно расставить на полке 13 книг, из которых  5 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?
4. Решить уравнение  n+1!-n!n+1!=56.
5. Девять мальчиков, в числе которых   Никита и Артем, становятся в ряд.  Найти число возможных комбинаций, если Никита и Артем должны стоять  рядом ?

Карточка № 5

1. Что больше и во сколько раз : 9!∙6!   или 7!∙8!  ?
2. Вычислить значение выражения  22!6!∙11!.
3. Сколькими способами можно расставить на полке 14 книг, из которых  8 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?
4. Решить  уравнение   n+1!n-1!=72.
5. В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и  информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы   физкультура и  биология  были  рядом ?