Дополнительные возможности красивых заданий на координатной плоскости
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ КРАСИВЫХ ЗАДАНИЙ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

Эстетический потенциал школьной математики в большой мере проявляется в так называемых красивых заданиях на координатной плоскости, практикуемых главным образом в шестых классах. Они неизменно вызывают интерес у детей среднего школьного возраста, прежде всего потому, что просты по форме и разнообразны по внешнему выражению, ведь на рисунках в координатах могут быть изображены не только отдельные объекты, но даже и целые сюжеты (см., например, рис. 1).

                                       Рис. 1.

Такие задания пробуждают фантазию учеников, заставляют воочию увидеть связь красоты и математики, непосредственно соприкоснуться с миром прекрасного прямо на уроке, в процессе выполнения учебно-познавательных заданий.

В практике обучения математике красивые задания на координатной плоскости чаше всего формулируются так: «Построй точки по заданным координатам, соедини их отрезками подходящим образом, и ты получишь фигуру, изображающую...» или так: «На координатной плоскости дано изображение... Найди координаты узловых точек изображенной фигуры». Иногда учителя дают учащимся творческие задания на самостоятельное составление какой-либо красивой фигурки и определение координат ее узловых точек.

Нетрудно видеть, что математическое содержание таких заданий достаточно тривиально: за внешней выразительностью скрываются обычные упражнения на фиксирование точек плоскости при помощи координат. Фактически дидактическая цель таких заданий состоит в отработке двух умений: умения определять координаты точек, заданных на координатной плоскости, и умения строить точки по их координатам. Поскольку тема «Координатная плоскость» невелика, а учебное время весьма ограничено, то и соприкосновение детей с прекрасным кратковременно и неглубоко. Можно существенно расширить вкрапление красивых заданий в учебный процесс, если шире использовать и другие их дидактические возможности. В частности, такие задания можно с успехом применять при опережающем ознакомлении школьников с геометрическими преобразованиями, с элементарными преобразованиями графиков функций, с некоторыми вопросами аналитической геометрии.

Поясним некоторые из положений, высказанные выше, на примере пропедевтического изучения элементов геометрических преобразований.

1. Перемещение фигур вверх-вниз по координатной плоскости

Построим изображение одной и той же фигуры (например, вертолета) дважды, но так, чтобы одно из них располагалось в точности над другим (рис. 2). Акцентируем внимание учащихся на том, что если передвинуть верхнюю фигурку строго по вертикали на 9 единиц вниз, то она в точности совпадает с нижней фигуркой и, наоборот, верхнее изображение может быть получено посредством перемещения нижнего на 9 единиц по вертикали вверх.

Рис.2.

Пронумеруем узловые точки фигур, изображенных на рис. 2, числами от 1 до 16. Определим координаты всех точек верхней фигуры и запишем их в первой строке табл. 1. Затем найдем координаты всех точек фигуры, изображенной в нижней чисти рисунка, и запишем их во второй строке таблицы.

Таблица 1.

Теперь попросим детей сравнить координаты соответственных точек фигур (эти точки расположены в таблице одна под другой), в результате чего получаем, что их абсциссы одинаковы, а ординаты отличаются на одно и то же число, равное числу единиц, на которое выполнено перемещение.

Далее формулируется вывод: «Если переместить фигуру вертикально вниз (вверх) по координатной плоскости, то абсциссы ее точек останутся прежними, а ординаты уменьшатся (увеличатся) на одно и то же число, равное числу единиц, на которое выполнено перемещение».

Выяснив, как изменяются координаты точек фигуры при ее перемещении «вверх-вниз» по координатной плоскости, полезно решить и обратную задачу, т.е. охарактеризовать, что произойдет с изображением фигуры, если изменить ординаты ее точек на одно и то же число, оставив абсциссы прежними. Обсуждение этого вопроса можно организовать на основе заданий, в которых дано изображение фигуры и требуется определить координаты ее узловых точек, а также записать координаты точек, у которых абсцисса та же, что и у точек изображенной фигуры, а ордината больше на некоторое число единиц. По найденным точкам нужно построить новую фигуру. При правильном выполнении задания новая фигура должна получиться такой же, как и старая, но ее изображение переместится, соответственно вверх или вниз по вертикали, на расстояние, равное числу, на которое изменены ординаты точек исходной фигуры.

2. Перемещение фигур «влево-вправо» по координатной плоскости

Построим изображение одной и той же фигуры (например, человечка) дважды, но так, чтобы одно из них находилось слева, а другое справа на одной горизонтали (рис. 3). Акцентируем внимание учащихся на том, что, если передвинуть левое изображение строго по горизонтали на 10 единиц вправо, то оно в точности совпадает с правым изображением, и наоборот, перемещая правую фигурку на 10 единиц влево строго по горизонтали, можно совместить ее с левой фигуркой.

Рис.3.

Пронумеруем узловые точки фигур, изображенных на рис. 3, числами от 1 до 13 так, чтобы одни и те же «узлы» имели равные номера. Определим координаты всех узловых точек фигуры, изображенной в правой части рисунка, и запишем их в первой строке табл. 2. Затем найдем координаты всех точек фигуры, изображенной в левой части рис. 3, и запишем их во второй строке табл. 2.

Таблица 2

Осталось попросить детей сравнить координаты соответственных точек и сформулировать вывод: «Если переместить фигуру строго по горизонтали вправо (влево) по координатной плоскости, то ординаты ее точек останутся прежними, а абсциссы увеличатся (уменьшатся) на одно и то же число, равное числу единиц, на которое выполнено перемещение».

Целесообразно предложить учащимся и обратную задачу: определить координаты узловых точек заданной фигуры, записать координаты точек, у которых ординаты те же, что и у точек исходной фигуры, а абсциссы меньше абсцисс соответствующих точек исходной фигуры на а (где а — некоторое конкретное число, задаваемое учителем) и построить новую фигуру по полученным координатам.

3. Перемещение фигур в произвольном направлении на координатной плоскости

Рассмотрим три одинаковых изображения фигуры (например, зонтика) в различных частях координатной плоскости (рис. 4). Пронумеруем узловые точки фигур числами 1, 2, 3,... так, чтобы точки, одинаково пронумерованные, соответствовали друг другу. Определим координаты всех точек фигуры I и запишем их в первой строке табл. 3. Координаты соответствующих точек фигуры II запишем во второй строке табл. 3, а фигуры III — в третьей строке.

 Рис.4.

Акцентируем внимание учащихся на том, что фигура II может быть получена перемещением фигуры I вправо по горизонтали на 10 единиц, а фигура III — перемещением фигуры II вверх по вертикали на 10 единиц. При этом целесообразно проследить за изменением координат фигур и убедиться, что эти изменения происходят в точном соответствии с теми выводами, которые были сформулированы выше. Подчеркиваем, что фигура III получается путем перемещения фигуры I по горизонтали влево на 10 единиц, а затем по вертикали вверх на 10 единиц. Но можно поступить и иначе: сразу перенести фигуру I в то место координатной плоскости, которое занимает фигура III.

Таблица 3.

Теперь попросим учеников посмотреть повнимательнее на координаты соответственных точек фигуры I и III, сравнить сначала их абсциссы, а потом ординаты. В результате будет найдено, что абсциссы точек фигуры I отличаются от абсцисс точек фигуры III на одно и то же число, равное 10, и ординаты точек этих фигур также различаются на одно и то же число, равное 10.

Далее формулируется вывод: «Если переместить фигуру по координатной плоскости в произвольном направлении, не изменяя ее ориентации относительно вертикали или горизонтали, то абсциссы всех ее точек изменятся на одно и то же число, и ординаты всех ее точек изменятся также на одно и то же число».

Для закрепления этого вывода целесообразно предложить учащимся решить обратную задачу, т.е. охарактеризовать, что произойдет с изображением фигуры, если изменить абсциссы всех ее точек на какое-то число и ординаты также изменить на одно и то же число.

4. Симметрия фигур относительно оси ординат

На координатной плоскости дважды построим изображение одной и той же фигуры (например, фонаря), но так, чтобы эти изображения были симметричны относительно оси ординат (рис. 5). Пронумеруем узловые точки фигур числами 1, 2, 3 и т.д. Определим координаты всех точек правой фигуры и запишем их в первой строке табл. 4. Затем найдем координаты всех точек симметричной фигуры и запишем их во второй строке той же таблицы.

Таблица 4.

Теперь попросим детей сравнить координаты соответственных точек симметричных фигур, в результате чего получим вывод: «Ординаты соответственных точек фигур одинаковы, а абсциссы этих точек являются противоположными числами».

Полезно решить и обратную задачу, т.е. установить, что произойдет с изображением фигуры, если абсциссы всех ее точек заменить противоположными числами, оставив ординаты этих точек без изменения.

Аналогичным образом можно рассмотреть и симметрию фигур относительно оси абсцисс.

Рис. 5

Сформулированные выше выводы позволяют решать более содержательные математические задания сразу в координатной форме, не прибегая к изображению фигур на плоскости. К ним. прежде всего, следует отнести задания на отыскание координат точек, задающих то же самое изображение, но:

а) расположенное спереди (сзади, выше или ниже) заданного изображения;

б) расположенное спереди и выше (сзади и ниже);

в) ориентированное в обратную сторону по отношению к заданному изображению (навстречу ему);

г) расположенное в том же самом месте, что и заданное изображение, но развернутое в обратную сторону;

д) развернутое в обратную сторону по отношению к заданному изображению и расположенное левее (правее, выше или ниже) его;

е) развернутое в обратную сторону и расположенное спереди и выше (спереди и ниже, сзади и выше, сзади и ниже) заданного изображения.

При формулировке таких заданий важен отбор фигур, изображающих различные персонажи, способные передвигаться в тех направлениях, о которых говорится в условии.

Приведем примеры таких заданий.

1. Запишите координаты узловых точек фигуры, изображающей точно такого же зайца, что и на рис. 6, но бегущего за ним сзади. Получите изображение и проверьте правильность выполнения задания.

Рис. 6

2. Запишите координаты узловых точек фигуры, изображающей такого же лебедя, что и на рис. 7, находящегося в том же самом месте, но плывущего в обратном направлении. Постройте точки по найденным координатам, получите изображение и проверьте правильность выполнения задания.

2. Запишите координаты узловых точек фигуры, изображающей такого же лебедя, что и на рис. 7, находящегося в том же самом месте, но плывущего в обратном направлении. Постройте точки по найденным координатам, получите изображение и проверьте правильность выполнения задания.

Рис. 7.

3. Запишите координаты узловых точек фигуры, изображающей того же самого дельфина, что и на рис. 8, который движется навстречу данному и находится выше его на 7 единиц. Постройте точки по найденным координатам, получите изображение и проверьте правильность выполнения задания.

Рис. 8

К составлению аналогичных и более интересных заданий полезно привлекать самих школьников, объединяя их в творческие микрогруппы. При этом ученикам с выраженными эстетическими наклонностями целесообразно поручать придумывание и изображение исходных фигурок или сюжетов, ученикам с логической доминантой мышления — составление комбинаций перемещений и формулировку условия, а остальным — проверку возможности выполнения перечисленных в условии перемещений. Познавательной деятельности учащихся можно придать еще большую привлекательность, если при выполнении использовать компьютер.