Общие методы решения уравнений
статья по алгебре (11 класс) на тему

                                                                                                                            В помощь учителю.

        Учитель  математики Сыроватская  Е.А.

          В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие.

       С решением уравнений учащиеся встречаются не только на уроках алгебры при решении непосредственно уравнений, систем уравнений, задач на составление уравнений, но и на уроках геометрии, физики, химии, биологии.

       Следовательно, основная задача, стоящая перед школьным курсом математики - научить учащихся решать уравнения разных типов и разными способами.

       Алгебраическим уравнением называется уравнение вида  

   - некоторый многочлен. Решить уравнение - значит найти множество всех корней (решений) этого уравнения на его области  определения или доказать, что решений нет.

    Число a называется корнем уравнения      с переменной x, если выполняется равенство

     В процессе решения уравнений обычно производим некоторые преобразования, т.е. последовательно заменяем данное уравнение другими уравнениями, равносильными (эквивалентными) данному,  или уравнениями – следствиями.

       Два уравнения f1(x)=g1(x) называются равносильными на некотором множестве M , если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т. е. каждый корень данного уравнения, принадлежащий множеству М, является корне полученного уравнения, и, наоборот, каждый корень уравнения f1(x)=g1(x), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения .

Пример: х+4=3х и х-2=0 равносильные. Т. к. каждое из них имеет единственный корень х=2 на  множестве R. {х-4=3х}{х-2=0}

    Уравнение f1(x)=g1(x) называется следствием уравнения , если при переходе от уравнения  к уравнению f1(x)=g1(x) не происходит потери корней, т.е. все корни данного уравнения являются корнями уравнения следствия. {f(x)=g(x)}{f1(x)=g1(x)}.

      Пример: {х=1}{x2=1}, где х=1 является единственным корнем первого уравнения, и вместе с тем это число – корень второго уравнения.

       Решение уравнений школьного курса алгебры основано на шести теоремах о равносильности.

   Теорема 1.  Если какой – либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному: f(x)=g(x)

    Теорема 2.   Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

    Теорема 3.   Показательное уравнение af(x)=ag(x) ( где a 

Равносильно уравнению .

   Теорема 4.   Если обе части уравнения  умножить на одно и то же выражение h(x), которое:

  а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений ) уравнения

  б) нигде в этой области не обращается  в ноль, т. е. получится уравнение ,  равносильное данному.

     Теорема 5.   Если обе части уравнения         неотрицательны в области  определения уравнения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень n  получится уравнение, равносильное данному: f(x)n=g(x)n

     Теорема 6.   Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение logaf(x)= logag(x), где a>0, a

       Решение многих уравнений легче осуществить за счет перехода к равносильным уравнениям или уравнениям – следствиям.

        При решении уравнений любых видов используются наиболее общие методы решения уравнений.

     Первый метод – метод замены уравнения h(f(x))=h(f(x))     уравнением . Этот метод применяется при решении показательных уравнений af(x)=aa(x) (a>0, a, когда от данного уравнения переходим к уравнению

При решении логарифмических уравнений, когда переходим от уравнения logaf(x)= logag(x) к уравнению  (где f(x)>0; g(x)>0); при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения =  к уравнению , при xОДЗ .

Этот метод можно применять только в том случае, когда y=h(x)-    монотонная функция, которая свое значение применяет по одному разу. Например, y=x7- возрастающая функция, поэтому от уравнения   можно перейти к уравнению 2х+2=5х-9, откуда находим  х=.

       Расширение ОДЗ здесь не произошло, значит это равносильное преобразование уравнения.

       Если же y=h(x) немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корня. Так заменить уравнение (2x+2)4=(5x-9)4 уравнением 2x+2=5x-9 нельзя, т.к. произошла потеря корня х=1. По той же причине нельзя переходить от уравнения  к уравнению 17x=7x.          

       Пример: решить уравнение  . Потенцируя, получим:  x=6-x2, x2+x-6=0, x1=2, x2=-3.    

       С учетом ОДЗ получим х=2. Значение х=2. Значение х=-3 не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: х=2.

       Второй метод – метод разложения на множители Этот метод основан на теореме: произведение нескольких функций  обращается в ноль только и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют. Уравнение f(x)*g(x)*h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений:    , если x

Решив уравнения этой совокупности, мы должны взять те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

       Пример: решить уравнение: ( -3)(2x2+6x+5-1)     

       Область допустимых значений уравнения задается системой неравенств:

       Решение уравнения сводится к решению совокупности трех уравнений:         

       Из четырех корней лишь  х=9 удовлетворяет ОДЗ.     Ответ: х=9.

       Пример: решить уравнение: x3-7x+6=0

       Заменим данное уравнение равносильным x3-x-6x+6=0, группируем слагаемые (x3-x)-(6x-6)=0

                                             (x2-1)x-6(x-1)=0

                                             (x-1)(x+1)x-6(x-1)

                                             (x-1)(x2+x-6)=0 x-1=0 или x2+x-6=0

                                              X1=1; x2=2, x3=-3.

       Все три значения переменной являются корнями заданного уравнения.

       Третий метод – метод введения новой переменной. Этот метод основан на том, что если уравнение f(x)=0 можно преобразовать к виду p(q(x))=0 то нужно ввести новую переменную U=q(x), решить уравнение p(U)=0, а затем решить совокупность уравнений: , где U1, U2,…Un - корни уравнения p(U)=0

       Удачный выбор переменной намного упростит решение уравнения.

       Пример: решить уравнение: +=

       Удачной будет замена x2-x=U, тогда данное уравнение примет вид: +=.

        Возведем обе части уравнения во вторую степень:

     (+)2=()2,

      U+2+2,

      =12,

 =6,

U2+9U+14=36,

U2+9U-22=0,          U1=2, U2= -11- посторонний корень, т.к. , , - не существуют в области действительных чисел

        Возвращаемся к исходной переменной:                                                           x2-x=2;                                                                                                                     x2-x-2=0;                                                                                                                            x1=2, x2= -1.

 Пример: Решить уравнение:                                                      Преобразуем данное уравнение, заменив его равносильным:              .                                                                

При решении этого уравнения уместна замена 3x=a, где а>0.                            Получим уравнение   и далее имеем: 3a2+a=252                       3a2+a-252=0, a1=9, a2= - (не удовлетворяет условию)                              Возвращаясь к исходной переменной, получим: 3x=9, 3x=32, x=2.         Ответ: x=2

Пример: Решить уравнение: 1+()=()2        

1+()=2)   |*2                         2+2()=                                                         Выполним замену переменной: , тогда                               ()2=t2, t2=1+, t2-1                     Исходное уравнение примет вид:                                                                     2+2t=1-(t2-1)                                                                                                         t2+2t=0                   t(t+2)=0t=0 или t+2=0                                                    Возвращаемся к замене переменной                                                                          или (решений нет)                                                                                                                  x=              Ответ: x=             

Пример: Решить уравнение:  lg2x3+-7=0                                             Используя свойства логарифмов, упростим каждое из слагаемых уравнения:                                                                                                              lg2x3=(3lgx)2=9lg2x,                                                                                                   = -lg10x= -(lg10+lgx)= -1-lgx                                                                           Исходное уравнение примет вид:  9lg2x-lg x-8=0, область определения уравнения x>0                                                                              Замена переменной очевидна lg x=U, тогда 9U2-U-8=0                                  Решаем полученное квадратное уравнение:                                                          D=1+4*9*8=289=172, U= ; U1=1; U2= -  ;                                     Далее  lg x=1 или lg x=   ;  x1=10, x2=                                                            Ответ: x1=10, x2= , с учетом области определения.

      Четвертый метод - функционально-графический. Идея этого метода состоит в том, что для решения уравнения  надо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек.                      Этот метод позволяет определить число корней уравнения, указать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.

Пример: Решить графически уравнение: =                                             Построим графики функций: y=, D(y)=[0;+); E(y)=[0;+)                      y=|x-2|, D(y)=R; E(y)=[0;+)                      

      В некоторых случаях построение графиков можно заменить опорой на свойства функций. Если одна из функций y=f(x), y=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение  либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно угадать.

Пример. Решить уравнение: =2-x.   Функция y= возрастает на множестве [0;+). Функция y=2-x убывает на множестве R. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень. «Угадываем» корень уравнения, х=1.

Пятый метод- метод оценок значений функций.                                             Предварительная оценка левой части или правой части уравнения помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решений.                                                                                                     Пример. Решить уравнение: 2=5                                          Оценим левую часть уравнения: т.к. |sinx|, то |.                                                         Следовательно, данное уравнение не имеет корней.                              Пример. Решить уравнение:                                           Левая часть уравнения является возрастающей функцией, а правая- убывающей функцией. Следовательно, уравнение имеет единственный корень:   х=1 (ОДЗ: 5х-4)                                           Ответ: х=1.

  В школьном курсе математики решение уравнений занимает одно из центральных мест. Не может быть какого-то единого и, более того, всеобщего метода решения уравнений. Для каждого типа уравнений разработаны нестандартные приемы, вытекающие из общих идей, но часто более эффективные в конкретных ситуациях.

                         Литература:

1. «Лекции и задачи по элементарной математике», В.Г. Болтянский и др., изд. «Наука», Москва, 1972г., стр.276-287.
2. Газета «Математика», №47-2000г., «Алгебраические уравнения в курсе элементарной математики», стр.15-17.
3. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 кл»., А.Д. Мордкович, Москва, 2000г., стр.302-304.
4. «Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы», Г.В. Дорофеев, изд. «Дрофа», Москва, 2001г.
5. «Математика»(подготовка к ЕГЭ-2004), Лысенко Ф.Ф. и др., Ростов-на-Дону, 2003.
6. Учебник «Алгебра и начала анализа 11кл.», М.И. Башмаков., Москва, изд. «Просвещение», 1993г.