Методы решения тригонометрических уравнений.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

    МБОУ районная вечерняя (сменная) общеобразовательная школа

Абадзехский УКП

Методы решения тригонометрических уравнений.

Зав. УКП                                        __________З. Г. Зейтунян

2011-2012

Методы решения тригонометрических            уравнений

1. Сведение к квадратным уравнениям;
2. Сведение к однородным   уравнениям;
3. Группировка и разложение на множители;                                              
4. Преобразование сумм в произведения и   произведений в суммы;
5. Метод вспомогательного угла;
6. Метод мажорант;
7. Решение уравнений методом замены неизвестного;
8. Уравнения, решаемые понижением их порядка;

Сведение к квадратным уравнениям.

Решение

4 cosx+sin2x-4=0

1-cos2x+4cosx-4=0

cos2x-4cosx+3=0

Получившееся уравнение решаем заменой переменной.

Пусть cosx=t,  |t|≤1, тогда t2-4t+3=0,

по т. Виета t=3 или t=1, решим простейшие тригонометрические уравнения (уравнения замены).

cos x =3                        или                         cos x =1

Так как |t|≤1, то                                           x=2пn, n c Z.

уравнение cos x =3

решений  не имеет.    

                                Ответ:   2пn, n c Z.            

Решение:

1 – sinx= cosx – 2 sin x cosx

sin2x + cos 2x + 2 sin x cosx – sinx-cosx=0

(sinx + cosx)2 – (sinx+cosx)=0

(sinx+cosx) (sinx+cosx-1)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

sinx+cosx=0                          или                sinx+cosx-1=0

Разделим обе части        2sinx/2  cosx/2+cos2x/2-sin2x/2 -                          

уравнения на cosx≠0,     cos2x/2 +sin2x/2=0 

получим tgx+1=0              2sinx/2 (cosx/2-sinx/2)=0

tgx= -1                                           sinx/2=0       или   cosx/2-sinx/2=0

x=arctg (-1) +пn, n c Z        x/2=пk, kcZ        1 – tgx/2=0, cosx/2≠0

x= - п/4 + пn, n c Z                x=2пk                   tgx/2 =1

x/2= arctg (1)+пk, kcZ

x/2=п/4+ пk, kcZ

x=п/2+ 2пk, kcZ

           Ответ: 2пk; п/2+ 2пk, kcZ; - п/4 + пn, n c Z

sin2x+ sinx – 2 = 0

Решение:

sin x = -1/2 ± √1/4 +2 = -1/2 ± 3/2

откуда sin x = 1         или sin x =-2

x = п/2 +2пk, kcZ,      уравнения sin x=-2 решений не    

                                        имеет. т.к не удовлетворяет условию |sin x| ≤ 1

Ответ: п/2 + 2пk, kcZ,

2 cos2x – 5 sin x +1 = 0

Заменяя cos2x на 1- sin2x получаем

2 (1- sin2x) -5 sinx +1 = 0

2 sin2x + 5 sinx – 3 = 0

sinx = - 5 ± √25+25/4 = -5±7/4

откуда sinx = -3, sinx = ½

уравнение sinx = -3 решений не имеет, а уравнение

sinx = ½ имеет корни:

x = (-1)n arcsin 1/2 + пn = (-1)n п/6 + пn, ncZ

Ответ: (-1)n п/6 + пn, ncZ

cos2x  - 2cosx – 3 = 0

cosx = 1±√1+3 = 1+2

cosx = 1, cosx = 3

уравнение cosx = 1 имеет корни x = п + 2 пn, ncZ

уравнение cosx = 3 корней не имеет

Ответ: п + 2 пn, ncZ

2 sin2x – cosx – 1 = 0

Используя формулу sin2x = 1– cos2x имеем

2(1- cos2x) - cosx – 1 = 0

2 cos2x+ cosx– 1 = 0, откуда

сosx = –1, сosx = ½

Ответ: x= 2пn, x=±п/3 +2пn,ncZ

3 tg2x + 5 tgx – 2 = 0

tgx = - 2          или   tgx = 1/3

x = arctg2 +пn,        x= arctg 1/3+ пn, ncZ

Ответ: arctg2 +пn, arctg 1/3+ пn, ncZ

tgx - 2 ctgx+1 = 0 

т.к. ctgx = 1/ tgx, то

tgx – 2/ tgx +1 = 0

Заметим, что tgx≠0, ctgx≠0

tg2x+ tgx-2=0, откуда

tgx = -2                    или        tgx = 1

x = - arctg2 + пn,                   x=п/4+ пn, ncZ

3 cos26x + 8 sin3xcos3x – 4 =0

3 cos26x + 4sin6x – 4 (sin26x + cos26x) = 0

3-3 sin26x + 4sin6x– 4 sin26x – 4 +4sin26x = 0

3 sin26x - 4sin6x +1 = 0

Обозначим sin6x = y, получим уравнение

3y2- 4y +1 = 0

Y1=1,     y2=1/3

1. sinx = 1, 6x = п/2+2пn, x = п/12 +пn/3,
2. sinx=1/3, 6x = (-1) n arcsin1/3 + пn; x = (-1) n/6 arcsin1/3 +пn, ncZ

Ответ: п/12 +пn/3, ncZ; (-1) n/6 arcsin1/3 +пn, ncZ.

Сведение к однородным уравнениям.

4cos2 х – sin 2x =3.

Решение:

Разделим обе части уравнения на cos2x≠0, получим 4 – tg2x=3, отсюда tg2x=4-3,

     tg2x=1,

      2x= arctg 1+пk, kcZ

      2x= п/4+ пk, kcZ

      x=п/8+п/2k, kcZ

                       Ответ: п/8+п/2k, kcZ

Решение:

sin2x - √2 (cos2xcosп/4+sin2xsin п/4)=1

sin2x - √2 (cos2x  √2/2 + √2/2 sin2x)=1

sin2x - cos2x - sin2x - sin2x – cos2x = 0

- cos2x - sin2x– cos2x=0

- cos2x + sin2x - 2 sinx cosx - cos2x=0

sin2x- 2 sinx cosx – 2 cos2x = 0| : cos2x≠0

tg2x – 2tgx – 2 = 0

3sin2x + sin2x +2 cos2x = 4

3sin2x + sin2x +2 cos2x = 4(sin2x+ cos2x)

sin2x - 2 sinx cosx + 2 cos2x = 0|: cos2x≠0

tg2x - 2 tgx + 2 = 0

(tgx-1)2+1 = 0

(tgx-1)2+1 ≠0, т.к. оба слагаемые положтельные.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Группировка и разложение на множители

2 cos2 x=√6 (cos x – sin x)

Решение:

2 cos2x-2 sin2x - √6 cosx + √6 sinx =0| :2

(cosx- sinx) (cosx+ sinx)= √6/2(cosx- sinx)

(cosx- sinx) (cosx+ sinx - √6/2)=0

cosx- sinx = 0|: cosx≠0    или  cosx+ sinx = √6/2

1 – tg x=0                                        Возведем обе части

tg x = 1                                                уравнения в квадрат

x =arctg 1+пk, kcZ                        1+ 2sinx cosx =√6/2

x= п/4+ пk, kcZ                                1+ sin2x=6/4

                                                        sin2x = 6/4 – 1

                                                        sin2x = 3/2 – 1

                                                        sin2x = 1/2

                                                        2x = (-1)n arcsin1/2+пn, ncZ

                                                        2x = (-1)nп/6 + пn, ncZ

                                                        X=(-1)nп/12+п/2n, ncZ

Ответ: п/4+ пk, kcZ

2 sin3 x – cos 2x – sin x = 0

Решение:

2 sin3 x- cos2x sin2x- sinx = 0

(2 sin3 x – 1 + sin2x+ sin2x- sinx=0

2 sin3 x+2 sin2x – 1 – sinx=0

2 sin2x (sinx+1) - (sinx+1)=0

2(sinx+1) (2sin2x-1)=0

sinx+1=0              или  2sin2x-1=0

sinx = -1                                sin2x=1/2

x= -п/2 + 2пk, kcZ        sinx=1/√2     или sinx=1/-√2

                                        x=(-1)narcsin1/√2+пn    x=(-1)n+1arcsin1/√2+пk, kcZ  

                                          x=(-1)nп/4+ пn, ncZ    x=(-1)n+1п/4+ пk, kcZ    

Ответ: -п/2 + 2пk, kcZ;    (-1)nп/4+ пn, ncZ;  

(-1)n+1п/4+ пk, kcZ    

sin3 x + cos3 x = ½ sin2 x

Решение:

(sinx+cosx)(sin2x – sinx cosx +cos2x) = sinx cosx

Пусть sinx + cosx = t, а (sinx + cosx)2=t2, откуда

sinx cosx = (t2-1)/2, тогда данное уравнение примет вид     t (1-t2) = t2 -1

(1- t) (t+1)2 =0

t= 1                        или                              t = -1

1. sinx + cosx = 1
2. sinx + cosx = -1

Решаем первое уравнение

2 sinx/2 cosx/2 + cos2x/2 – sin2x/2 - sin2x/2  - cos2x/2 = 0, |: cos2x/2≠0

2tgx/2 - 2 tg2x/2 = 0

2tgx/2 (1 - tgx/2) = 0

tgx/2 = 0                                  или           tgx/2 = 1

x/2 = пn, ncZ                                           x/2 =п/4 + пn, ncZ

x = 2пn, ncZ                                           x = п/2 + 2пn, ncZ        

   Решаем второе уравнение sinx + cosx = -1

2 sinx/2 cosx/2 + cos2x/2 – sin2x/2  + sin2x/2 +cos2x/2 = 0, |: cos2x/2≠0

2tgx/2  + 2 tg2x/2 = 0

2tgx/2 (1 +  tgx/2) = 0

tgx/2 = 0                                  или           tgx/2 = - 1

x/2 = пn, ncZ                                           x/2 = - п/4 + пn, ncZ

x = 2пn, ncZ                                           x =  - п/2 + 2пn, ncZ        

Ответ:   x=2пn, ncZ;  x = п/2 + пn, ncZ        

Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы

cos3 x+cos x=4cos2 x

Решение:

2cos2x  cosx = 4cos2x

2cos2x  cosx-4cos2x=0

2cos2x (cosx-2)=0

cos2x=0              или cosx-2≠0 т.к. |cosx|≤1

2x = п/2+пn, ncZ

x=п/4+п/2n, ncZ

Ответ: п/4+п/2n, ncZ

sin x+sin3 x=4cos3 x

Решение:

2sin2x cosx – 4cos3x=0

2.2 sinx cos2x - 4cos3x=0

2.2 cos2x (sinx-cosx)=0

cos2x=0         или   sinx-cosx=0 |: cosx

cosx=0                          tgx-1=0

x=п/2+ пn, ncZ       tgx=1

                                   x=arctg1+ пk, kcZ

                                   x= п/4 + пk, kcZ

Ответ: п/2+ пn, ncZ;   п/4 + пk, kcZ  

cos3xcos4x+sin2xsin5x=½(cos2x+cos4x)

Решение:

½(cos7x+cosx) - ½(cos7x-cos3x)= ½(cos2x+cos4x)

cos7x+cosx- cos7x+cos3x = cos2x+cos4x

cosx+cos3x= cos2x+cos4x

2 cos2x cosx=2 cos3xcosx

cosx (cos2x - cos3x) = 0

cosx=0           или     sin5x/2=0   или   sinx/2=0

x=п/2 +пn, ncZ            5x/2=пn, ncZ        x/2= пn, ncZ

                                    x=2п/5 n, ncZ       x= 2пn, ncZ    

Ответ:  п/2 +пn, ncZ ; x=2п/5 n, ncZ      

Метод вспомогательного угла

√3 sin x – cos x = 2

Решение:

√3/2 sinx-1/2cosx=1

cos п/6 sinx – sin п/6 cosx=1

sin (x- п/6)=1

x-п/6=п/2 + 2пk,kcZ

x= п/6+п/2 + 2пk,kcZ

x=4п/6+ 2пk,kcZ

x=2п/3+2пk,kcZ

Ответ: 2п/3+2пk,kcZ

5 sin x = 3 – 2 cos x

Решение:

5 sinx + 2 cosx = 3

cos α = 5 /√29;

sin α = 2/ √29

C = 3/√29

5/√29 sinx +2√29 cosx =3/√29

cos α sinx + sin α cos x = 3/√29

sin (x+ α) = 3/√29

x+ α = (-1)n arcsin 3/√29 + пn, ncZ

x = - α + (-1)n arcsin 3/√29+ пn, ncZ

т.к. cos α = 5 /√29; sin α = 2/ √29 ≥ 0, то α с I четверти.

 α = arcsin 2/√29

Ответ:  x= - arcsin 2/√29 + (-1)n arcsin 3/√29 + пn, ncZ

√2  sin x + cos x = 7

       4

Решение:

cos α = √2/√3;  sin α = 1/√3

С = 7/4√3 = √49/48

cos α sin x + sin α cos x = 7/4√3

sin (x+ α) = 7/4√3

т.к. 7/4√3= √49/48 ≥ 1, то данное уравнение решение не имеет.

Метод замены неизвестного

sin2x – sinx – cosx – 1 = 0

2x = (sinx + cosx)2-1

(sinx + cosx)2-(sinx + cosx)- 2 = 0, sinx + cosx=t

t2 – t – 2 = 0

t = -1, t=2

Задача свелась к решению следующих уравнений

sinx + cosx = -1                    или                sinx + cosx = 2

1/√2sinx+1|√2 cosx = -1/√2

sin(x+п/4) = √2/2

x+п/4 = (-1)k+1 п/4+пk, kcz

x= - п/4 + (-1)k+1 п/4+пk, kcz,

при k-четном x= - п/4- п/4 +2пn=-п/2 +2пn, ncZ

при k-не четном x = - п/4 + п/4 +п  +2пn, ncZ

Второе уравнение sinx + cosx = 2 решение не имеет  т.к. sinx = cosx = 1 одновременно не могут

Ответ: п+2пn, -п/2 +2пn, ncZ

sin2x +3(sinx – cosx) = 1

Пусть  sinx – cosx = t, тогда (sinx – cosx)2 =t2, данное уравнение примет вид

1-t2+3t=1

t2-3t=0

t(t-3)=0

t=0                                      или               t=3

sinx – cosx =0                    или              sinx – cosx = 3

tgx=1 , x= п/4 +пn,ncZ                          корней нет, т.к.

                                                                    |sinx|≤1,|cosx|≤1,                                                

                                                                       sinx – cosx≤2≤3

Ответ:   п/4 +пn,ncZ

Уравнения, решаемые понижением их порядка

cos2x + cos2x = 5/4

т.к. cos2x =1/2 (1- cos2x), то данное уравнение примет вид 6 cos2x +2 = 5

cos2x = ½

2x = ±п/3 +2пk

X = ± п/6 + пn, ncZ

Ответ: ± п/6 + пn, ncZ

Метод мажорант