Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Задачи по теории вероятности
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Перед человеком к разуму три пути: путь размышления — это самый благородный; путь подражания — это самый легкий; путь личного опыта — самый тяжелый путь.

Конфуций

Задания В10 ЕГЭ-2013

Любая задача по теории вероятностей в школьном курсе математики по большому счету сводится к стандартной формуле:
 где Р - искомая вероятность, n - общее число возможных событий, m - число интересующих нас событий.

Главное - правильно определить ее компоненты. А вот здесь уже чаще всего нужны дополнительные знания и умения применять различные методы решения верятностных задач.

Простые задачи

Первый блок задач - задачи, которые решаются по формуле определения вероятности буквально в одно действие.

1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение.
Число вариантов выбора насосов: n = 2000. Число вариантов выбора исправных насосов: m = 2000 - 14 = 1986. 

Ответ: 0,993.

2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится девять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.
Число вариантов выбора сумок: n = 120 + 9 = 129.
Число вариантов выбора качественной сумки: m = 120. 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,93.

3. В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 2 синих кубика. Случайным образом из коробки берут кубик. Какова вероятность того, что из коробки взяли зеленый кубик?

Решение.
Число вариантов выбора кубиков: n = 5 + 7 + 2 = 14.
Число вариантов выбора зеленого кубика: m = 7. 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,5.

4. В кармане у Сережи находится 7 монет достоинством 5 рублей, 10 монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик случайным образом вытаскивает одну монету из кармана. Какова вероятность того, что будет вытащена не однорублевая монета?

Решение.
Число вариантов выбора монет: n = 7 + 10 + 8 = 25.
Число вариантов выбора монет достоинством 5 рублей или 2 рубля: m = 7 + 8 = 15. 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,6.

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая

Решение.
Число вариантов выбора спортсменки, выступающей первой, из разных стран: n = 50.
Число вариантов выбора спортсменки, выступающей первой, из Китая:
m = 50 - (17 + 22) = 11. 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,22.

Задачи с монетами, игральными кубиками, карточками

При кажущейся простоте этих задач в них есть "подводные камни". В условии задачи часто не заданы явно ни число элементарных событий, ни число благоприятных событий (событий, которые нас устраивают). В этом блоке рассмотрим задачи, в которых используется метод перебора возможных вариантов.

6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Решение.
Выписываем все возможные варианты результатов бросаний: 
ОО, ОР, РО, РР. 
Число возможных вариантов n = 4.
По условию задачи нас устраивают варианты "ОР" и "РО". Следовательно, m = 2.

Искомая вероятность:

Ответ: 0,5.

7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение.
Выписываем все возможные варианты результатов бросаний: 
ООО, ООР, ОРО, РОО, РРО, РОР, ОРР, РРР. 
Число возможных вариантов n = 8.
По условию задачи нас устраивает только комбинация "РРР". Следовательно, m = 1.

Искомая вероятность:

Ответ: 0,125.

8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.
Выписываем все возможные варианты результатов бросаний:
(1;1), (2;1), (3;1), (4;1), (5;1), (6;1),
(1;2), (2;2), (3;2), (4;2), (5;2), (6;2),
(1;3), (2;3), (3;3), (4;3), (5;3), (6;3),
(1;4), (2;4), (3;4), (4;4), (5;4), (6;4),
(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5),
(1;6), (2;6), (3;6), (4;6), (5;6), (6;6).
Число возможных вариантов n = 36.
Событию выпадения на двух кубиках 6 очков соответствует пять пар:
(5;1), (4;2), (3;3), (2;4), (1;5). Следовательно, m = 5. 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,14.

9. В коробке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами О, К, О. Какова вероятность того, что наудачу извлекая карточки из коробки и выкладывая их на столе, получится слово OКO?

Решение.
Занумеруем карточки с одинаковыми буквами и выпишем все возможные варианты перестановок трех карточек:

Число возможных вариантов n = 6.
Благоприятными исходами будут следующие: . Следовательно, m = 2.
Искомая вероятность:

Ответ: 

Как сосчитать общее число возможных вариантов событий в более сложных случаях.

В решениях предыдущих задач просматривается проблема: при увеличении числа бросаний монеты или игрального кубика, при увеличении числа карточек резко возрастает общее число возможных вариантов. Поэтому нужно подключать знания из комбинаторики.

Общее число возможных вариантов событий подсчитать несложно. Бросания монеты, игрального кубика - события независимые и по правилу умножения для двух бросаний монеты n = 22, для кубика n = 66; для q бросаний монеты , для кубика . А вот с подсчетом благоприятных исходов сложнее. В каждом отдельном случае, исходя из условий задачи, подсчет ведется самыми разными способами.

В некоторых задачах при подсчете общего числа возможных вариантов и числа благоприятных исходов будет использовано понятие числа сочетаний - неупорядоченных наборов (подмножеств), состоящих из k элементов, взятых из данных n элементов. 
Число сочетаний из n элементов по k определяется по формуле: 

10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Число возможных вариантов 
По условию задачи благоприятный исход (орел не выпадет ни разу) возможен только при комбинации "РРРР", т.е. один раз. Следовательно, m = 1.

Искомая вероятность:

Ответ: 0,0625.

11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.
Число возможных вариантов .
Произведем подсчет возможных вариантов выпадания 15 очков. 
Если на первом кубике выпадает 3 очка, то вариант один: 366. При выпадании на первом кубике 4 очков имеем: 465 или 456, 5 очков - 546, 555, 564, 6 очков - 645, 654, 663. Следовательно, m = 9.

Искомая вероятность:

Ответ: 0,04.

12. Одновременно бросают четыре игральных кубика. Какова вероятность того, что на каждом из этих кубиков выпадет нечетное число очков? Результат округлите до сотых.

Решение.

Число возможных вариантов .
Очевидно, что выпадение нечетного числа на каждом кубике возможно 3 раза, на 4 кубиках  раз (события на каждом из кубиков независимы, поэтому можно умножать). Следовательно, m = 81.

Искомая вероятность:

Ответ: 0,06.

13. В коробке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами С, Е, Р, В, Е, Р. Какова вероятность того, что наудачу извлекая карточки из коробки и выкладывая их на столе, получится слово СЕРВЕР?

Решение.
Общее число возможных вариантов в этом случае равно количеству перестановок карточек, т.е. n = 6! = 123456 = 720.
Занумеруем карточки с одинаковыми буквами: С Е1 Р1 В Е2 Р2.
Благоприятными исходами будут следующие: 
С Е1 Р1 В Е2 Р2,  С Е1 Р2 В Е2 Р1,  С Е2 Р1 В Е1 Р2,  С Е2 Р2 В Е1 Р1. 
Следовательно, m = 4.
Искомая вероятность:

Ответ: .

14. В ящике 6 груш и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – груши?

Решение.
Общее число возможных вариантов выбора трех фруктов в этом случае равно числу способов выбрать 3 фрукта из 10, т.е. числу сочетаний . Вычисляем:
 
Число благоприятных исходов будет равно числу способов выбора 3 груш из имеющихся 6, т.е. . Следовательно: 

Искомая вероятность:

Ответ: .

15. В корзине находятся 6 шаров, из них 4 белых и 2 черных. Из корзины извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Решение.

Задача подобна предыдущей, поэтому запись решения без пояснений.
 
Число способов выбора 2 белых шаров из имеющихся 4: 
Число способов выбора 1 черного шара из имеющихся 2: 
Число благоприятных исходов: 
Искомая вероятность:

Ответ: 0,6.

Сложение и умножение вероятностей

В решениях задач этого блока используются следующие утверждения из теории вероятности.

Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Вероятность противоположного события : Р() = 1 - Р(А).

Вероятность Р(С) совместного наступления двух независимых событий А и В равна призведению вероятностей событий А и В.

Р(С) = Р(А)Р(В)

16. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.
Событие, когда на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем, наступает тогда, когда наступает одно из событий: А) школьнику достается вопрос на тему «Внешние углы», В) школьнику достается вопрос на тему «Вписанная окружность». Очевидно, что эти события являются несовместными. 
Значит, искомая вероятность равна: 
Р = 0,1 + 0,2 = 0,3.
Ответ: 0,3.

17. Завод изготавливает 95% стандартных изделий, причем из них 86% первого сорта. Найдите вероятность того, что изделие, изготовленное на этом заводе окажется первого сорта

Решение.
Пусть А - событие, состоящее в том, что взятое изделие стандартное, В - изделие первого сорта, С - изделие, изготовленное на этом заводе, оказалось первого сорта. Так как события А и В независимые, то вычисляем искомую вероятность события С.
Р(С) = Р(А)Р(В) = 0,950,86 = 0,817. 
Ответ: 0,817.

18. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.
Вероятность события А, заключающегося в том, что оба автомата могут быть неисправны Р(А) = 0,120,12 = 0,0144. Событие А противоположно событию В, состоящему в том, что хотя бы один автомат будет исправен. Тогда искомая вероятность равна:
Р = 1 - Р(А) = 1 - 0,0144 = 0,9856 
Ответ: 0,9856.

19. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
Пусть событие А - кофе закончится в первом автомате, Событие В - кофе закончится в другом автомате, Событие С - кофе закончится в обоих автоматах.
Р(С) = Р(А)Р(В), Р(В) = 0,2 : 0,25 = 0,08.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате: 1 - 0,25 = 0,75, вероятность того, что кофе останется в другом автомате: 1 - 0,08 = 0,92, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: Р = 0,750,92 = 0,69. 
Ответ: 0,69.

20. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего для первого станка 0,9, для второго - 0,8, для третьего 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа по крайней мере один станок из станков не потребует внимания рабочего.

Решение.
Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для первого станка равна 1 - 0,9 = 0,1. 
Для второго и третьего станка она соответственно равна 1 - 0,8 = 0,2 и 1 - 0,7 = 0,3. 
Тогда вероятность события А, заключающегося в том, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего равна: Р(А) = 0,10,20,3 = 0,006. 
Событие А, противоположно событию В, состоящего в том, что течение часа по крайней мере один станок из станков не потребует внимания рабочего.
Р(В) = 1 - Р(А) = 1 - 0,006 = 0,994. 
Ответ: 0,994.