СВЯЗЬ МЕЖДУ ХАРАКТЕРОМ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ И ЗНАКОМ ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Связь между характером монотонности
функции и знаком её производной, Исследование функций на монотонность.

Цели: выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной; формировать умение использовать эту связь при работе с графиками функций и графиками их производных, выработать алгоритм исследования функций на монотонность; формировать умение применять этот алгоритм.

Эпиграф:  Единственный путь, ведущий к знанию, - деятельность.

Бернард Шоу

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение.

1. На слайде №3  изображён график производной функции  у = f(x):

Определите:

а) чему равен коэффициент касательной, проведенной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой а = –3;

б) чему равен угол наклона касательной, проведенной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой а = 1;

в) количество точек, в которых касательная, проведенная к графику функции  у = f(x), образует с осью абсцисс угол 60 °;

г) количество точек, в которых касательная, проведенная к графику функции  у = f(x), параллельна прямой  у = 1 – 0,5х.

2. Задания из ОБЗ типа В8: (слайд №4)

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции y=f(x)  в точке x0.

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся способны самостоятельно установить связь между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого необходимо снова обратиться к геометрическому смыслу производной.

Задание. (слайд №5 - 9) На слайде изображен график функции у = f(x). Каков характер монотонности этой функции. Проведем несколько касательных в разных точках, определите знак производной в этих точках.

Посмотрите на следующий слайд. Выполните те же задания.

 Сделайте предположение о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

После этого изучаются теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции на промежутке и знаком её производной на этом промежутке. Данные теоремы приводятся без доказательства с опорой на наглядные представления учащихся.

Далее необходимо сформулировать и записать в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность:

1) Найти производную функции:  f'(x).

2) Приравнять производную к нулю и решить уравнение  f'(x) = 0.

3) Нанести полученные корни уравнения на числовую прямую и проверить знаки производной на всех промежутках.

4) Сделать вывод о характере монотонности функции  у = f(x) на каждом из промежутков.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы.

1-я группа. Выявление свойств производной по графику функции.

2-я группа. Выявление свойств функции по графику её производной.

3-я группа. Доказательство монотонности функции.

1-я группа.

1. № 30.1.(№ 854)

2. задачи типа В8 ЕГЭ из ОБЗ: (слайды 10-12)

№ 317693 На рисунке изображён график функции  у = f(x) и девять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) отрицательна?

№ 317539 На рисунке изображён график функции  у = f(x) и девять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) положительна?

№ 27487 На рисунке изображен график функции  у = f(x), определенной на интервале (-6; 8) . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

4. № 30.7.

2-я группа.

1. № 30.3 (а; г). (№856)

2. задачи типа В8 ЕГЭ из ОБЗ: (слайд 13- 14)

№ 6431 На рисунке изображен график  у = f`(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите промежутки возрастания функции у = f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

№ 7807 На рисунке изображен график у = f`(x)  — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-4;16). Найдите количество точек максимума  (минимума) функции у = f(x), принадлежащих отрезку [0; 13] .

3. № 30.8 (а; г).(№861)

Решение:

г)

При переходе через точку х = –1 производная не поменяла знак. Это означает,  что  функция  до  точки  х = –1 возрастала, затем «изогнулась» (чтобы касательная была параллельна оси абсцисс) и продолжила возрастать.

3-я группа.

1. № 30.9 (а; б), № 30.10 (а).(№862, 863)

2. № 30.11 (в; г).(№864)

Решение:

в)

Поскольку для всех х справедливо неравенство  то выражение  может принимать значения только из промежутка [0; 2]. Значит, функция  возрастает на всей числовой прямой.

г)

Очевидно, что при всех х выполняется неравенство  Значит, функция  убывает на всей числовой прямой.

1. № 30.12 (б), № 30.13 (а; в), № 30.14 (а; б).(№ 865- 869)

Необходимо на первых порах следить за тем, чтобы учащиеся вели подробные записи, чётко следуя алгоритму.

Решение:

№ 30.14.

а)

         если        

                                      или        

Ответ: убывает на (–; –1], [0; 1]; возрастает на [–1; 0], [1; + ).

2. № 30.15 (а; г).

г)

Выражение  принимает только отрицательные значения на всей своей области определения, то есть при

Значит, данная функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: убывает на (–; – 1,5), (–1,5; +).

3. № 30.16 (а; б).

а)

Выражение  принимает только положительные значения на всей своей области определения. Значит, данная функция возрастает, если  то есть

Ответ: возрастает на

б)

Найдем область определения данной функции:

 если

Ответ: возрастает на  убывает на

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Если функция  у = f(x) возрастает на некотором промежутке, то что можно сказать о знаке её производной на этом промежутке?

– Если производная некоторой функции  у = f(x) принимает на промежутке только отрицательные значения, то что можно сказать о характере монотонности этой функции на этом промежутке?

– Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции и знаком её производной.

Домашнее задание: № 30.12 (в),  № 30.13 (б),  № 30.14 (в; г), № 30.15 (б), № 30.16 (в; г).

(№ 865 (в), 866 (б), 867(в,г), 868 (б), 869(в,г) )^[1]

ОБЗ: № 7823, 7821, 8051, 6879, 317545, 317649.