Социальный проект "Краткий справочный материал по математике для студентов 1 курса колледжа (теория и практика)"
проект по алгебре (11 класс) по теме

Тема : «Иррациональные  уравнения»

Краткий справочный материал

Пример решения уравнений

Задание для самостоятельной работы

Иррациональные уравнения - это уравнения, содержащие переменную величину под знаком  корня того или иного показателя:

Пример:     ,                                                            

                    .

Решение иррациональных уравнений сводится к освобождению их от корней.

Примечание:

1. Если в иррациональные уравнения входят корни четной степени, то предполагается,               что они имеют только арифметические значения;

2. Иррациональные уравнения необходимо проверять  т.к. в процессе освобождения                  от корней могут появиться “лишние”, посторонние решения.

Решите уравнения:

Решение:

x2- 5 = 4

x2- 9 = 0

(x-3) (x+3) = 0

X – 3 = 0 или x + 3 = 0

X = 3                x = -3

Ответ: -3; 3

2.

Решение:

6 ∙ 49 = 4x – 54

4x – 54 – 294 = 0

4x = 348

x = 348 : 4

x = 87                

 Ответ: 87

Решение:

x – 2 = x2 – 16x + 64

x2- 17x + 66 = 0

D = (-17)2 – 4 ∙ 1 ∙ 66 = 25

x1;2 =

 x1 = 6 ; x2 = 11

Проверка:

x = 6

 – неверно

x = 6 – не подходит

x = 11

 – верно

Ответ: 11

Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5. 

6.  = x + 4

7.

Тип  комбинаций

Примеры решения типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

1. Перестановки

Возьмем n различных элементов: А, В, С, … М; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным  их число и меняя лишь их порядок.

Каждая из таких комбинаций называется перестановкой.

Р – число всех перестановок;

n – количество элементов.

 = 1∙2∙3∙…∙n = n!

Читаем: n! – эн факториал

1.Найти число перестановок из трех элементов  А, В, С.

Решение: Выпишем возможные варианты перестановок: АВС   ВАС   САВ   АСВ   ВСА   СВА.

Проверим по формуле:  n= 3;    P3 = 1∙2∙3 = 3! = 6

Ответ: 6 перестановок.

2.Найти число перестановок из трех элементов: 1,2,3.

Решение: выпишем возможные варианты перестановок:

123   213   312   132   231   321.

Всего получилось 6 перестановок.

Проверим по формуле:  n= 3;   P3 = 1∙2∙3 = 6

Ответ: 6 перестановок.

3.Сколькими способами можно расставить на полке      6 различных книг:

Решение:  n=6;    P6 = 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720

Ответ: 720 различных вариантов.

1. Сколько  трехсловных предложений   можно составить  из  слов: сегодня, дождь,  идет?

2.  В  пассажирском  поезде 15 вагонов. Сколькими способами можно распределить  по вагонам 15 проводников, если за каждым закрепляют 1 вагон?

3.Сколько 5-тизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из чисел: 0,3,4,6; 8.

4.Сколькими способами можно выстроить очередь в кассу, если хотят получить зарплату 6 человек?

Тип  комбинаций

Примеры решения типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

2. Размещения

Будем  составлять  из  n различных  элементов  в каждой,  располагая   взятые   m элементов   в  различном порядке.   Каждая  группа  из m элементов   называется размещением  из n элементов по m элементов.

А – число всех размещений;

n- количество всех элементов;

m- количество элементов в группе.

=  

1.  Найдите  число   размещений   из   трех   элементов: 7,4,5 по два.

Решение: выпишем  возможные  варианты:  74, 75, 47, 45, 57, 54  –  всего 6 различных  групп  по  2 элемента. Проверим по формуле:  n = 3;   m = 2

 =  =  = 6

Ответ: 6 размещений.

2.  Найдите  число размещений  из  четырех элементов:   A, B, C, D   по два.

Решение:   n = 4,   m = 2

 =  =  = 3∙4 = 12

Ответ: 12 размещений

3.  Из  10  студентов  группы  надо  выбрать  старосту, его  заместителя  и  редактора  газеты.  Сколькими способами это можно сделать?

Решение:  n = 10;   m= 3

 =  =  = = 720

Ответ:  720 способами.

1.  В  забеге  участвуют   5 спортсменов.  Сколькими способами можно предсказать распределение  первых  трех мест  между  ними ?

2. В  классе  изучают  7 предметов, в  среду  4  урока, причем  все  разные. Сколькими способами можно составить  расписание  на среду?

3.В розыгрыше кубка страны по футболу участвуют 17 команд. Сколько существует способов распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей ?

Тип  комбинаций

Примеры решения типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

3. Сочетания

Из  n  различных  элементов будем  составлять  группы  по m элементов  в  каждой,  не обращая внимание на порядок, но так, чтобы число элементов не повторялось  

(в сочетаниях АВ и ВА считаются эквивалентными)

Любая  группа из  n элементов по  m  элементов  в   каждой (различными  считаются  те, которые  имеют неодинаковый состав элементов) называется сочетанием.

С – число сочетаний

n - количество всех элементов

m - количество элементов в группе

 =

1. Найдите  все  сочетания  из  трех элементов:  7, 4, 5  по  два  элемента  в  каждом.

Решение: Выпишем группы по 2 элемента (но 47 и 74 – эквиваленты(одинаковые) группы):  74,  75,  45.      Всего  -  3 группы,  т.е.   3 сочетания.   Проверим по формуле:

n = 3,  m = 2;    =  =  = 3

Ответ: 3 сочетания.

2.Найдите все сочетания из пяти элементов: A,B,C,D,E по  три  в  каждом.

Решение:   n= 5,  m= 3;  =   =  = 10

Ответ: 10 сочетаний.

3. Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?

Решение:   n= 6,  m= 3;  =  =  = 20

Ответ: 20 способов.

1. Из 10 рабочих необходимо выделить  для  поездки  за границу 6 человек. Сколькими способами  это  можно сделать?

2.На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может  быть  образовано тренером  различных стартовых  пятерок ?

3. При  встрече  12  человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?

4.В  группе  20 человек. На дежурство  в  столовую  надо назначит  4  дежурных. Сколькими  способами  это можно  сделать ?

Тема:    «Координаты и векторы»

Произвольная  точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так:               А( xA; yA; zA) – координаты точки.

Краткий

 справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

А

                    М                   В

А( xA; yA; zA)   ,     В( xA; yA; zA)

Длину отрезка АВ  находим  по  формуле:

АВ=

Точка M   –  середина отрезка АВ.

Координаты середины отрезка  находим по формуле :

       M ()

Найдите длину отрезка AB и координаты середины               отрезка AB, если  А (3;-4;0) ;   В (-1;2;4).

Решение:

АВ =   =

 =   =

 =   –   длина отрезка АВ.        

 M ( )

 M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ.

Найдите длину отрезка CD       и координаты его середины, если  С (-2;1;5) ,  D (4;0;6) .

Вектор – направленный отрезок. Обозначают:   или  

        А                                В

А – начало вектора,  В – конец вектора

Длиной вектора называют длину соответствующего ему отрезка.

Записывают  так:   || =| АВ|

Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом

–  нулевые  векторы

Координаты вектора:

Найдите координаты вектора , если А (5;-6;3), В (-2;0;7).

Решение:  ( -2-5 ;  0-(-6) ;  7-3 )

                    ( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора

Найдите координаты вектора , если   А (3;8;-1); В (-4;0;2)

Краткий

 справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

Длина вектора:

|| =

|| =

1.Найдите длину вектора , если А (5;-6;3),  В (-2;0;7).

Решение:  ||=  =  =  =  – длина вектора

2. Найдите  длину  вектора   ( 1;-3;2 ).

Решение:  || =   =  =

1.Найдите длину вектора  ,  если  А (3;8;-1);  В (-4;0;2).

2.Найдите длину вектора             (4;-3;7).

Угол между векторами

   0         α              A

                          В

α – угол между  

1.Если α =    =>   векторы  соноправленные

              0                            

                                           В          А

2.Если α = 90°   =>   –  векторы перпендикулярные

          B

              0                                 A

1. Покажите угол между векторами, определите его градусную меру

                       О

Скалярное произведение векторов:

 =  || ∙ || ∙ cos α

 =  

1.Найдите скалярное произведение векторов, если ( 2; 8; -4 ),  ( 0; 1; -3 ).

Решение:   = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3)  =  0+8+12 = 20

2. Найдите скалярное произведение векторов, если  угол между ними равен 90°.

Решение: Т.к. α = 90°, cos 90° = 0 =>

3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны,                если  

Решение: 

Т.к.    =>  cos α = 0   =>   α = 90°   =>  

1. Найдите скалярное произведение векторов, если

(-2;4;6).

2. Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны:

(2;6;2).

3.Найдите cos А, если дан треугольник АВС, заданный координатами своих вершин:

А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2).

Тема:    « Корни »

Краткий справочный материал  по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

Читаем:

 «Корень  n-ой  степени из  числа  а»

- читаем: корень 3-ей степени из 2-х;

  - читаем: корень 5-ой степени из с

Прочитайте:  ,    

 = b   <=>    bn = a

 = 2    <=>   23 = 8

 = 3   <=>    34 = 81

 =  = 5   <=>    52 = 25

 = -3    <=>    (-3)3  = -27

 =     <=>   ( )5 =

Вычислите:

1)  ;          2) ;

3) ;         4)

 ∙  =

 ∙   =   =   = 3

 ∙   =  =  = -3

Вычислите:

1) ∙ ;    2) ∙

 =  

     в ≠ 0

 =    =   = 2

Вычислите:

1)  ;   3)

2) ;

 = k

     к > 0

 = 2  =  = 2

Измените степень  корня; найдите значение подкоренного выражения:

1) =      

  2) =

k  = ()k

Если k ≤ 0,   то  а≠ 0

2  =  ()2  =  42 = 16

3 =  ()3  =  33  = 27

Вычислите:

1)4;   2)2

3)3

n = an/m

m > 0

8 = 28/4 = 22 = 4

3 = 63/3 = 6

Вычислите:

1)12;   2)7

Краткий справочный материал

по теме

Примеры решения типовых заданий

Задания

для самостоятельной работы

logab = c

Читаем:  логарифм числа b по основанию a   равен c

log39 = 2

Читаем:   логарифм 9   по основанию 3   равен 2

Прочитайте:

log2 8 = 3;    log5 1 = 0

logab = cac=b

a0,   b0,  a1

log2 8 = 3,   т. к.   23  =  8

log5 25 = 2,   т. к.   52 = 25

log3  = -4,   т. к.   3-4 =

Вычислите:

1) log4 16;       3) log 1;

2) log3 27;        4) log2 

a log a b = b

a0,   b0,   a 1

c logc 8 = 8 ;     5 log5 9 = 9

Вычислите:                                 

        3 log3 7 ;    4 log4 13

                  loga 1 = 0

                      a0

log3 1 = 0,   т. к. 30 =1

                                               log  1 = 0,   т. к. 0 = 1

Вычислите:

log7 1;     log  1

loga  a = 1                        

 a0

log5 5 = 1,       т. к.  51 = 5

Вычислите:                                                                    log7  7    ;    log   

loga ( x y) = loga  x + loga y                                

a0,    x0,    y0 ,     a               

log3(9) = log3 9 + log3 27 = 2+3 = 5  

log4 8 + log4 2 = log4 (8) = log4 16 = 2                                                                                                                                

              Вычислите:  

 1) log2 (162) ;  2) log4 32 + log4 2

loga = loga  x - loga y                

 a0,    x0,    y0,   a

log3   = log3 9 – log3 27  =  2-3  =  -1                                                                                                                                         log4 8 – log4 2 = log4    =  log4  4  = 1

Вычислите:    

  1) log3         ;      2) log4 32 – log4 2

loga  x p  =  ploga  x                

  a0,   x0,   a

log7  3434  =  4log7 343  = 4 3 = 12                                                                                                                                                  4 log4 24 = log4 16 = 2

Вычислите:                                                            log3 812      ;   8 log4 2

log10  b = lg b              

 десятичный логарифм

log10 7 = lg 7

Вычислите:                                                               lg 8 + lg 125 ;    lg 13 – lg 130

Краткий  справочный

материя по теме

Задания для самостоятельной работы

Формулы сложения:

2)

Вычислите:

1) cos ;

2)  tg ;

Преобразование суммы в произведение:

1)

2)

Преобразовать  в произведение

№

п\п

ФИО студента

№ группы

Предполагаемая роль

1

Петрова Мария

11

Представление проекта

2

Ким Анжела

11

Составление краткого справочного материала

3

Анисимова Тамара

11

Презентация

4

Прянишникова Ксения

11

Составление краткого справочного материала

5

Рагузина Ирина

11

Презентация

6

Соколова Анастасия

11

Представление проекта

7

Куракина Евгения

11

Составление краткого справочного материала

8

Погорелова Екатерина

11

Составление краткого справочного материала

Название этапа

Содержание работы

Сроки реализации

Организационный

Определение темы проекта, постановка цели и задач

Сентябрь - ноябрь 2012 г.

Основной

Сбор и оформление информации по темам проекта:

1. «Корни»

Ноябрь 2012 г.

2. «Степени»

Ноябрь 2012 г.

3. «Логарифмы»

Ноябрь 2012 г.

4. «Элементы комбинаторики»

Ноябрь 2012 г.

5. «Координаты и векторы»

Декабрь 2012 г.

6. «Основы тригонометрии»

Декабрь 2012 г. - январь 2013 г.

7. «Функции, их свойства (четность/нечетность)»

Февраль - март 2013 г.

8. «Преобразование графиков функции»

Март 2013 г.

9. «Иррациональные уравнения»

Апрель 2013 г.

10. «Рациональные уравнения»

Май 2013 г.

11. «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Май 2013 г.

Продукт  проекта

Краткий

справочный  материал – «шпаргалки»

по  математике

для  студентов   1  курса

ПРЕЗЕНТАЦИЯ  ПРОЕКТА

Тема:    « Преобразование  графиков  функции »

Краткий

 справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

Дан  график  функции   y = f (x)

Чтобы получить графики следующих функций, необходимо :

1. y = f (x) + в, где в – действительное число,

сместить на :  в>0  вверх  по  оси ОY ( поднять )

                         в<0  вниз  по  оси  OY ( опустить)

2. y = k f(x),  где k – действительное число

растянуть в k раз вдоль оси ОХ

3. y = 1/k  f(x) ,  где k  - действительное число

сжать  в  k  раз  вдоль оси ОХ

4. y = f ( x – a )

сместить вдоль оси ОХ на  а>0 – вправо

                                                  а<0 – влево

5. y = f ( x/k ) ,  где  k – действительное число,  k=0,  

растянуть  в  k  раз  вдоль оси ОХ

6.   y = f ( k x) ,  где  k – действительное число,  

сжать в k  раз  вдоль  оси  ОХ

1. Дан график функции  f(х) = sin х.  Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график  функции :

f(x) = 4 sin(3x - /2 )  + 1  ?

Решение:

1. Растянуть  в  4 раза  вдоль  оси  ОХ ;
2. Сжать  в  3  раза  вдоль  оси  ОХ ;
3. Сместить  на  /2  вправо  вдоль  оси  ОХ;
4. Сместить  на  1  единицу вверх (поднять) по  оси  ОУ.

2. Дан  график функции  f(х) = соs х.  Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график  функции :

f(x) = 1/3 cos(x/2 + /4) - 5  ?

Решение:

1. Cжать  в  3 раза  вдоль  оси  ОХ ;
2. Растянуть  в  2  раза  вдоль  оси  ОХ ;
3. Сместить  на  /4  влево  вдоль  оси  ОХ;
4. Сместить  на  5 единиц вниз (опустить) по  оси  ОУ.

1. Дан график функции

 f(х) = sin х.  Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график  функции :

f(x) = 3 sin(x/5 - /6 )  + 4  ?

2. Дан график функции          f(х) = cos х.  Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график  функции :

f(x) = 1/5 cos(2x + /8 ) -7  ?

Тема:  «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Краткий справочный материал

Примеры решения уравнений

Задания для самостоятельной работы

sin x = a,  |a|≤ 1

x=(-1)n arcsin a + n,   nZ

Частные случаи:

1)  sin x = -1

x= -  + 2n,   nZ

2)   sin x = 0

x = n,  n Z

3)  sin x = 1

x =   + 2n,  n Z

Решите уравнения :

1)  sin x =

х = (-1)n ∙ arcsin  + n,

Ответ: x = (-1)n∙+ n, nZ

2)  2sin x – 1 =0

2sin x = 1

sin x  =

x = (-1)n∙ arcsin + n

Ответ:   x = (-1)n∙  +n, n Z

3)  sin x - =0

 sin x  =  

sin x =

sin x = 1 – частный случай!

Ответ:  x = + 2n,  n Z

Решите уравнения:

1) sin x =

2) 2sin x +  = 0

3) 6sin x + 6 =0

cos x = a, |a|≤ 1

x = ± arccos a + 2n, n Z

Частные случаи:

1)  cos x = -1

x  =  + 2n,   n Z

2)  cos x = 0

x =   + n,  n Z

3) cos x = 1

x  =  2n,  n Z

Решите уравнения :

1) cos x =

x = ±arccos + 2n, nZ

Ответ: x = ±  + 2n, nZ

2) 2 cos x -  = 0

   2cos x =

   cos x =

x = ±arccos + 2n, nZ

Ответ:  x = ± + 2n, nZ

3)   cos x -  = 0

cos x =

cos x = 1 - частный случай!

Ответ:   x=2n, nZ

Решите уравнение:

1)cos x =

2)2cos x+  = 0

3) 4cos x – 4 = 0

tg x = a, -/2< a < /2

x = arctg a + n, nZ

Решите уравнения:

1)  tg x = √3

x = arctg √3 + n, nZ

Ответ:   x = /3 + n, nZ

2)  2tg x – 2 = 0

2tg x = 2

tg x = 2/2

tg x = 1

x = arctg 1 + n

Ответ:   x = /4 + n, nZ

Решите уравнения:

1) tg x = 0

2) tg x = /3

3) 2tg x - 2 = 0

Краткий справочный  материал

Примеры решения уравнений

Задания для самостоятельной работы

1. Уравнения с одной переменной

Общий вид:

 где   х – переменная   величина,

P(x), Q(x), F(x) и R(x) – выражения, содержащие переменную,

причем   Q(x) ≠0 ,   R(x) ≠0.

Для решения  (*) воспользуемся главным  свойством  пропорции:

P(x) ∙ R(x) = Q(x) ∙ F (x)   (**).

(**) после преобразования   может стать одним из следующих:

1.  ax2+bx+c=0 – уравнение 1-ой степени.

Решение: ax = -b

                    x= -

2.  ax2+bx+c = 0 – квадратное  уравнение

Решение:

         X1;2=   ,   где

D= b2-4ac – дискриминант.

Здесь возможны случаи:

D > 0  -  уравнение имеет два действительных  различных  корня.

D = 0   -   уравнение имеет один корень.

D < 0  -   нет действительных корней.

Решите уравнения:

1.    -  x =

Решение:

- ∙ x =

x =  :

x= -5

Ответ: -5

2.   x2 – 2x -3 = 0

Решение:

D = (-2)2- 4 ∙ 1 ∙ (-3) = 4 + 12 = 16

x1;2 = ;           x1 = -1 ;  x2 = 3

Ответ: -1; 3

3.     =

Решение:

x (x-2) = 6x -15

x2- 2x – 6x -15

x2- 8x + 15 =0

D= 64 – 4 ∙ 15 = 4 > 0 => 2 действия корня.

X1;2 = ;     x1 = 5       x2 = 3

Ответ: 3; 5

Решите уравнения:

1)      ∙ x =                        

 2)     = 5

3)   x2 + 12x+36 = 0                          

 4)    = 1

5)     = 1                                      

6)    =

7)   –x2 – 2x + 15 = 0

Краткий справочный материал

по теме

Примеры решения типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

      a a  …a = an         

Читаем:     

an  –  « a   в  n-ой  степени»

a a = a2    ( читаем:   a во 2-ой степени)                                                                                                                                           x x x x = x4   ( читаем:  x в 4-ой степени)                                                                                                                                 33  3 = 33     ( читаем:  3 в 3-ей степени)

    Прочитайте:    bn  ,     y5   ,     42                                                                                                                                                                                                                                                               

           an am = an+m

1) a3  a4 = a3+4 = a7                        2) 42  4-3 = 42+(-3) = 4-1               3)       = =        

4) 3   = 3  1 = 3+1  =4 =   =

Упростите выражения:                                                            1)  b4  b5        ;        2) 32  3-4       ;

3)       ;      4)    4

            an : am =  an-m

1) a5: a3 = a5-3 = a2                2)  3-2 : 3-5 = 3-2-5 = 3-7                  3) :   =  =  =

4) 4 : 2 = 4-2 = 2 =  

Упростите:

1) a7 : a5      ;       2) 48 : 4-5  ;

3)  :    ;     4) 6 : -3

              (an)m   =  anm

1) (a4)3=  = 12                         2) (35)3= = 315                   3) =    =

Упростите:

1)(с7)2       ;    2) (32)7       ;    3) 4

          n  =  

                       b0

1. 3 =                               2)  2   =

Раскройте скобки:

1)4   ;    2)3

               a-n  =

                      a0

1)  a-3 =                      2) 4-2 =   =                   3)  a4  =                 4)  52  =  

Запишите в виде дроби:

1) с-4  ;    2) 6-3       ;     3) b2        ;      4) 34

-n =  n

                a0   ,    b0

1)  -3  =  3                        2) – 4  = 4

Избавьтесь от знака    «-»  в показателе степени:

1)-2    ;        2)-3

a0 = 1,   a0

00 -  не существует!

1) с0 = 1, c 0                               2)0 =  1

Вычислите:

1) 60   ;     2) (-9)0  ;     3) 0

Тема:    « Четность ( нечетность)  функций »

Краткий

 справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

        Функция называется четной, если для любого х из ее области определения  f(-х) = f(х).

       График четной функции симметричен относительно оси ординат (ОY).

      Функция называется нечетной, если для любого х из ее области определения  f(-х) = - f(х).

      График четной функции симметричен относительно начала координат.

Тригонометрические  функции :

 y = cos x – четная функция

            cos (-x)= cos (x)

y = sin x  -  нечетная функция

            sin(-x) = - sin (x)

y =  tg x -  нечетная функция

            tg(-x) = - tg (x)

y =  ctg x -  нечетная функция

           ctg(-x) = - ctg (x)

Определить четность (нечетность) функции:

1. f(x) =  x4   + 5

Решение:

f(-x) = (- x)4   + 5 =  x4   + 5 = f(x) – четная функция

2. f(x) =  x3   - 3х

Решение:

f(-x) =  (-x)3   - 3(-х) =  - x3  + 3х = - (x3   - 3х) = - f(x) – нечетная функция

3. f(x) =  x2  - 2х

Решение:

f(-x) =  (-x)2   - 2(-х) =   x2  + 2х = - (-x2   - 2х) – функция общего вида (не является четной, не является нечетной)

4. f(x) =  cos2 x - 2х2

Решение:

f(-x) =  cos2(-x)  - 2(-х) 2 =   cos2 x -  2х2   =  f(x) – четная функция

5. f(x) = 2 sin  x - 5х

Решение:

f(-x) = 2 sin(-x) - 5(-х) =  -2 sin x  + 5х = - (2 sin x   - 5х) =    = - f(x) – нечетная функция

   Определить   четность

  ( нечетность)   функций:

f(x) = 2 x3   + 5x;

f(x) = 5 x2   + 8;

f(x) = 2sin2 x + cosx-3;

f(x) = sin x – cos x +x ;

f(x) = sin x + x – 9 ;

f(x) = sin x  cos x – 3x.