Урок « Производная и её применение к исследованию функций»
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Тема: «Производная и её применение к исследованию функций».

Группа 234

Курс II

Тип урока: Повторительно - обобщающий.

Методы обучения:

1. Опрос, беседа
2. Наглядные: демонстрация материалов с помощью мультимедиа комплекса
3. Тестирование (с помощью системы  интерактивного опроса «Вердикт»)
4. Практические задания (исследование).

Цели: 

Дидактические (общеобразовательные):

1. Обобщение и систематизация, применение знаний о производной к иcследованию свойств функции на основе анализа, построение графиков.
2. Установление  межпредметных связей (с физикой).
3. Использование мультимедийного комплекса для повышения интенсивности аналитической деятельности обучающихся, стопроцентного охвата контролем уровня в применении производной к исследованию свойств функций.

Развивающие:

4. Способствовать формированию ключевых компетенций: на основе обобщения и анализа проводить исследование по заданным параметрам, определять алгоритм действий, обобщать данные.
5. Использовать источники информации (конспекты, учебники, справочники, таблицы)  отбирать нужную информацию.

Воспитательные:

6. Формировать  коммуникативную культуру ( сотрудничество, умение работать в группе, общаться на протяжении всей общегрупповой деятельности ).

Оборудование:

1. Компьютер
2. Экран
3. Мультимедийный комплекс
4. Система интерактивного опроса «Вердикт»
5. Карточки.

Формы организации учебной деятельности:

1. Фронтальная
2. Индивидуальная
3. Работа в малых группах.

Мотивация:

Актуальность темы урока состоит в подготовке обучающихся в предстоящим итоговым аттестационным испытаниям.

Ожидаемые результаты:

1. Формирование, закрепление и систематизация компетенций обучающихся при выполнении различных по степени сложности заданий.
2. Повышение интереса к предмету.
3. Формирование навыков сотрудничества, взаимопонимания.

ХОД УРОКА.

1. организационный момент.

1. Приветствие
2. Проверка явки обучающихся (рапорт старосты).
3. Создание эмоционального настроя у обучающихся на работу.
4. Подчеркнуть значимость темы в математике.

На экране – слайд 1  презентации  с портретами авторов теории дифференцирования функций ( И. Ньютона и Г. Лейбниц.)

Тема: « Производная и её применение к исследованию функций»

А. Франс (1844-1924 г.) : «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Вопрос преподавателя к учащимся: «Когда приходит аппетит»? (Обучающиеся: «Аппетит приходит во время…работы».)

(Учитель озвучивает, учащиеся записывают тему в тетрадях)

Учитель: Сегодня у нас урок обобщения по данной теме и проверки уровня её усвоения.

II. Устные упражнения.

1. Что называется производной?

Слайд 2.

2. Если на дороге произошла авария, то инспектора ГИБДД интересует скорость в момент аварии. Как она называется?

(Ответ: мгновенная скорость)

Слайд 3.

3. Как связана мгновенная скорость и производной?

Слайд 4.

Изображения движения.

(Ответ: Производная - это скорость изменения функций)

Учитель: Открытие Ньютона – Лейбница явилось поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что количественные характеристики различных процессов в физике, химии, биологии, технике могут быть выражены на языке математического анализа, изучающего связи между функциями и их производными.

Приведите примеры из функций

(Скорость, ускорение, мощность, работа, сила….)

4. В чем заключается геометрический смысл производной?

(значение производной в функции в точке равно угловому коэффициенты касательной к графику функции в этой точке).

Слайд 5.

5. На предложенных рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1?

Слайд  6

Даны четыре чертежа. Обучающимся предлагаются вопросы к ним.

 - Укажите функцию, производная которой равна 1.

 - чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой   х=а? (производная в точке с абсциссой   х=а)

- чему равен угол наклона касательной к оси абсцисс?

Блиц - опрос с помощью системы интерактивного опроса «Вердикт»

 (5 чертежей )

1. Чему равна производная  функции  в данной точке? ( Рис.1 и 2)

2.Чему равен тангенс угла  ? (рис.3 и 4) 

3.Чему равен угол наклона касательной к оси абсцисс? (рис 5)

 (Проверка и оценка проводится сразу. Результаты - на экране)

 Продолжение работы  по исследованию свойств функций.

6. Назовите по данным чертежа промежутки монотонности и экстремумы функции.

Слайд 7

(обучающиеся  отвечают.

Дополнительные вопросы : - где перегиб?  - где разрыв?)

7. Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции (Устно).

Слайд 8

        III. Конкурс “Верно-Неверно».

Выдаются листы с вопросами. Каждая «команда» должна ответить «да» или «нет». Затем – взаимооценка вслед за комментарием. Сравнения с правильным вариантом ответов.

Вопросы:

1. Верно ли, что в точке возрастания функции её производная больше 0?        

2. Верно ли, что если   прозводная функции  равна нулю в некоторой точке, то в этой точке имеется экстремум ?

3. Верно ли, что производная произведения равна произведению производных?

4. Верно ли,  что наибольшее и наименьшее значение функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках или на концах отрезка?

 5.Верно ли, что любая точка экстремума является критической точкой?  

(взаимопроверка – обмен работами между группами )

(Оценка  по пятибалльной системе)

После листы сдаются учителю.

Преподаватель приводит высказывание Д. Юнга: «Когда математические задачи решаются легко, это служит наилучшим доказательством того, что силы, которые  математика должна развить, уже развились».

Вот и проверим.

IV. Решение упражнений (в тетрадях). Обучающиеся выполняют задание в малых группах. Каждой группе – одно из приведённых ниже упражнений

Предполагается ответ обучающихся с демонстрацией через проектор хода решения.  (Возможно и использование интерактивной доски).

(Возможен также  вариант проверки в тетрадях в зависимости от скорости выполнения задания).

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

 y=Х4-8Х2-5   на  [-1;2].

Ответ: Max f (х) =  f (0) = -5;  Min f (X) =  f (2) = -2 на  [-1;2].

2. Найти интервалы монотонности функции у=2х3-3х2-36х+40

Ответ: функция возрастает на промежутках(-      ;-2] и [3;+      )  и убывает на    промежутке   [-2;3] 

3. Найти точи экстремума функции

у=3х4-4х3+2

Ответ: х=-1 – точка максимума; х= 1 – точка минимума.

V. Проверка усвоения материала.

Учитель совместно с обучающимися повторяет план построения графика.

Затем – слайд  9 с планом.

Каждой группе – построить график функции (задания по учебнику).

1. № 928 (1)
2. № 927 (2)
3. № 930 (2)
4. № 931 (2)

Обучающиеся выполняют работу в тетрадях, помогая друг-другу.

Разрешается консультация учителя.

Работы проверяются  учителем с оценкой в журнал.

VI. Релаксация.

Подведение итогов. ( Преподаватель  оценивает общую работу,  озвучивает оценки  за  индивидуальные ответы.

Распечатка интерактивного опроса выдаётся обучающимся.

Оценка в журнал – после суммирования оценок II – III части.

Ещё одна оценка – после проверки тетрадей.)

 Преподаватель : «Следует ли проводить подобные уроки?» (Другие вопросы. Обсуждение урока).

Учащимся предлагается оценить самых активных  дополнительным баллом.

Слайд 10

Домашнее задание

Параграфы 48 – 52

«Проверь себя» на странице 248

№№ 1, 2, 3 (1), 4.

Литература:

1. Алимов Ш. А. и др. « Алгебра и начало анализа. 10-11»  Просвещение 2011 год.
2. Смирнова Л. . «Устные упражнения на уроках математики» - М. Просвещение 1996 год.
3. Статья Фестиваля  педагогических идей. « Открытый урок»  (Интернет)

ФЗИС.

«Верно — не верно»

(Вписать «Да» или «Нет»).

1. Верно ли, что в точке возрастания функции ее производная больше нуля?

Ответ:

2. Верно ли, что если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум?

Ответ:

3. Верно ли, что производная произведения равна произведению производных?

Ответ:

4. Верно ли, что наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке находятся либо в стационарных точках, либо на концах отрезка?

Ответ:

5. Верно ли, что любая точка экстремума, является критической?

Ответ:

Карточка № 1

Найти наибольшие и наименьшее значение функции.

у = х4 — 8х2 — 5                   на   [-1;2]

Карточка №2

Найти интервалы монотонности функции.

у = 2х3 — 3х2 — 36х + 40

Карточка №3

Найти точки экстремума функции.

у = 3х4 — 4х3 + 2

Самостоятельная работа по теме:

«Исследование функций с помощью производной»

Цель работы: научиться  применять производную при исследовании функций.

Теоретический материал

Общая схема исследования функций с помощью производной

1. Нахождение области определения функции.
2. Нахождение корней функции
3. Определение промежутков знакопостоянства функции.
4. Монотонность функции.

Нахождение производной функции по таблицам и правилам.

Нахождение критических точек.

( точек, в которых производная равна нулю или не существует).

Определение промежутков возрастания и убывания функции

(промежутков, на которых производная положительна или отрицательна).

5.Определение экстремумов функции.

6.Дополнительные точки. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).

Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них опускать, какие-то, наоборот, добавлять.

Индивидуальные задания для обучающихся по пособию Богомолова Н.В. «Практические занятия по математике»

(М.: Высшая школа, 2008)