"Элективный курс по математике для профильных 10-11 классов."
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Основы математической логики

Элективный курс

Аннотация

Программа элективного курса «Основы математической логики» предназначена учащимся 10-11 классов общеобразовательных школ, направлена на углубление и расширение знаний и умений по профильному предмету математика, знакомство с разными формами познавательной деятельности.

Логическая культура формируется в процессе познания, самостоятельного творческого мышления, при усвоении специальных методов и приемов доказательного рассуждения. Знание основ математической логики формирует у учащихся мышление, которому свойственны определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность. Изучение логики тесно связанос эристикой (искусством спора) и риторикой (ораторским искус-

ством), а также с эстетикой: необходимо умение эффективно и корректно вести различные диалоги, уметь находить свои нужные аргументы и т.д.

Элективный курс позволяет развить у учащихся умения и навыки решения логических задач; иллюстрировать различные виды понятий, суждений, умозаключений новыми примерами, найденными в научной, учебной литературе. Показывает возможности применения логики для анализа текстов литературных произведений, решения текстовых задач различных отраслей науки практической направленности.

Пояснительная записка

Математическая логика – тот фундамент, на котором построено знание всей математики. Математическая логика применяется в информатике для построения компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия, методы и средства логики лежат в основе современных информационных технологий. Хорошая логико-математическая подготовка позволяет учащимся явно использовать элементы логики в изучении дисциплин профильной подготовки, развивает мыслительные способности учащихся, формирует различные приемы умственных действий и математический стиль мышления. Поэтому знание основ математической логики играет важную роль в профильной подготовке учащихся 10-11-х классов с ориентацией на физико-математический и информационно-технологический профиль.

Цели курса:

1. Расширение знаний по теории множеств, которая является фундаментом смежных дисциплин профильной подготовки;
2. Приобретение опыта самостоятельного решения логических задач, которые составляют основу формирования культуры разработки, и анализа алгоритмов;

Задачи курса:

3. Формирование представлений о таких логических системах, как алгебра логики и логика предикатов, в рамках которых исследуется структура и содержание высказываний и высказывательных форм;
4. Понимание любого предложения, оценка истинности самого предложения, а также его отрицания, обращения и контрапозиции;
5. Овладение языком формальной логики, знаниями и умениями, необходимыми для изучения смежных дисциплин профильной подготовки;
6. Использование основ математической логики при объяснении компьютерной идеологии;
7. Развитие логического мышления, творческих способностей, овладение различными приемами и методами мышления необходимыми для продолжения образования, для самостоятельной деятельности в области математики и информатики;
8. Развитие точной, экономной и информативной речи, умения отбирать наиболее подходящие языковые средства, для представления обоснованного решения задач и аргументированных ответов.
9. Воспитание культуры личности учащегося через знакомство с историей развития математической логики, эволюцией идей; понимания значимости науки в современных компьютерных технологиях.

Организация занятий и используемые технологии обучения:

Отработка основных умений и навыков должна осуществляться на большом числе упражнений. Решение задач - основная учебная деятельность. В тоже время это не означает монотонной и скучной деятельности, т.к. курс наполняется заданиями разнообразными по форме и содержанию, позволяющие применять получаемые знания в большом многообразии ситуаций. Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов математической логики, выявлением их практической значимости.

При изучении курса математической логики целесообразно не отделять изложение теории от практических занятий, а перемежать их в рамках одного урока.

При организации занятий необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых технологий обучения, оптимизировать применение объяснительно - иллюстративных и эвристических методов, использование технических средств.

Учебный процесс необходимо ориентировать на рациональное сочетание устных и письменных видов работы, как при изучении теории, так и при решении задач.

В ходе изучения курса предполагается включение лекционных часов, проведение семинарских занятий, самостоятельное изучение материала с помощью педагогических технологий, выполнение практических и контрольных заданий на закрепление различных тем курса и выявления уровня обученности учащихся.

Требования к математической подготовке: 

соответствует предпрофильной подготовке учащихся по математике (элементы теории множеств) и базовой подготовке по информатике (теория информации).

Ожидаемые результаты освоения курса:

В результате изучения основ математической логики учащийся должен

знать/понимать

1. значение математической логики для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения ее методов;
2. основные понятия формальной логики; основные операции и законы математической логики; назначение таблиц истинности;
3. реализацию логических операций средствами электроники;
4. структуру любого понятия и в каком отношении они могут находиться друг с другом;
5. правила конструирования определений понятий;
6. логическую структуру и виды теорем;
7. особенности математического доказательства;
8. понимать, что при решении логических задач можно пользоваться различными методами и что одни методы могут быть эффективнее других;
9. обладать знаниями, необходимыми для применения перечисленных ниже умений;

уметь

10. применять основные логические операции;
11. представлять логические выражения в виде формул и таблиц истинности;
12. преобразовывать логические выражения;
13. строить логические схемы из основных логических элементов по формулам логических выражений;
14. решать логические задачи средствами алгебры логики, таблиц истинности, с помощью рассуждений;
15. из уже имеющегося знания получать новые, с помощью рассуждения, делая выводы, умозаключения;
16. при воспроизведении или конструировании определений понятий соблюдать ряд правил;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Элективный курс рассчитан на 68 часов (первый год обучения – 10 класс – 34 часа, второй год обучения – 11 класс – 34 часа)

Программа состоит из трех взаимосвязанных содержательных линий.

1. Теория множеств;
2. Алгебра логики
3. Логика предикатов

Содержание курса предусматривается возможность его ведения, как учителем математики, так и учителем информатики.

Тематический план курса

Содержание программы

(68 ч)

1-й год обучения:

1. Введение (2ч.)

Предмет математической логики. Понятие о практической, формальной и математической логиках, их отличие, уместность применения. Краткие исторические сведения.

При изучении данной темы уточняются необходимые понятия теории множеств.

1. Алгебра высказываний (14ч.)

2. Высказывание и логические связки

Понятие высказывания и его значение истинности, составное, элементарное, абсолютно истинное, абсолютно ложное высказывания, эквивалентные высказывания, таблица истинности.

3. Логические операции над высказываниями

Логические связки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, дизъюнкция в исключающем смысле, высказываний, основные законы и свойства операций над высказываниями;

4. Условные высказывания и их языковые конструкции

Условная связка, условие и заключение в предложении, импликация, эквиваленция, таблицы истинности импликации и эквивалентности, конверсия, инверсия, контрапозиция, необходимое и достаточное условия

5. Эквивалентные высказывания и их языковые конструкции

Логически эквивалентные высказывания, тавтология, противоречие;

6. Штрих Шеффера, стрелка Пирса

Полнота в логике высказываний, логические связки: штрих Шеффера, стрелка Пирса и их таблицы истинности;

7. Формулы алгебры логики и их равносильные преобразования

Понятие формулы алгебры логики, обозначения в формулах алгебры логики, основные равносильности, равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики, равносильные преобразования формул;

2. Логические функции и их преобразование (18ч.)

8. Алгебра Буля

Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики, понятие булевой алгебры, интерпретация (модель) системы аксиом;

9. Функции алгебры логики

Понятие функции алгебры логики n переменных (функции Буля), число функций n переменных, таблица истинности для всевозможных функций одной и двух переменных;

10. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Свойства совершенства формулы, нахождение формулы, определяющую функцию по заданной таблице истинности;

11. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

Элементарная конъюнкция n переменных, понятие дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) и совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ), правило получения СДНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований;

12. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Элементарная дизъюнкция n переменных, понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ) и совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ), правило получения СКНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований;

13. Закон двойственности

Двойственные операции, формулы и функции, теоремы о взаимосвязи равносильности и двойственности формул;

14. Проблема разрешимости

Классы формул алгебры логики, выполнимые формулы алгебры логики, понятие проблемы разрешимости, критерий тождественной истинности элементарной дизъюнкции, критерий тождественной истинности произвольной формулы алгебры логики;

2-й год обучения:

3. Применение алгебры высказываний к описанию базовых элементов ЭВМ (12ч.)

15. Коммутационные (релейно-контактные) схемы

Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием, понятие логического элемента компьютера, вентили, триггер, коммутационные схемы И, ИЛИ, НЕ (инвертор), И-НЕ, ИЛИ-НЕ, электронная схема – триггер, электронные логические схемы – сумматор и полусумматор;

16. Решение логических задач методами алгебры логики

Схема решения логических задач средствами алгебры логики, основные способы решения логических задач: средствами алгебры логики, табличный, с помощью рассуждений, примеры решений.

4. Логика предикатов (8ч.)

17. Понятие предиката. Логические операции над предикатами

Понятие предиката, одноместный (унарный) предикат (однометсная высказывательная форма), предметная переменная предиката, область определения предиката, множество значений предметной переменной, двуместный (бинарный) предикат, n-местный предикат, логические операции над предикатами;

18. Кванторные операции

Понятие кванторной операции, кванторы общности, существования, единственности, их обозначение, выражение в речи, свободная и связанная переменные, установление истинности высказываний с кванторами, законы Де Моргана;

19. Формулы логики предикатов

Символика логики предикатов, сигнатура языка, терм языка логики предикатов, атомная (атомарная) формула сигнатуры, формула логики предикатов, литеральная и замкнутая формулы;

5. Логическое следствие (14ч.)

20. Структура, виды и запись определений понятий

Объем и содерание понятия, несравнимые и сравнимые, несовместные и совместные понятия, единичное понятие, общее понятие, регистрирующее общее понятие, нерегистрирующее общее понятие, пустое, конкретное, абстрактное, относительные, безотносительные, положительные, отрицательные, собирательные, несобирательные понятия, определение понятий и его структура, контекстуальное, остенсивное, генетическое определения, определение через род и видовое отличие, основные требования к определениям понятий;

21. Отношения следования и равносильности между предложениями.

Отношение логического следования между предложениями и его выражение в речи; отношение равносильности следования между предложениями и ее выражение в речи;

22. Структура теорем. Виды теорем и их формулировка.

Понятие теоремы, структура ее формулировки: условие, заключение, разъяснительная часть, обратная противоположная, обратная противоположной теоремы, закон контрапозиции;

23. Умозаключения и их виды. Схемы дедуктивных умозаключений

Умозаключение, посылки, заключение, дедуктивное умозаключение и его схема, неполная индукция и ее схема; аналогия и ее схема, правила вывода или правила дедуктивных умозаключений: заключения, отрицания, силлогизма;

24. Способы математического доказательства

Понятие доказательства, прямые и косвенные доказательства, метод от противного, полная индукция.

Литература.

1. Акимов О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
2. Андерсен Дж. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
3. Босова Л.Л. Арифметические и логические основы ЭВМ: Серия «Информатика в школе». – М.: Информатика и образование, 2000.
4. Казанский А.А., Ларина Л.В. перечисление булевых функций // Информатика, 2001, №15.
5. Казанский А.А., Ларина Л.В. Применение алгебры логики для решения комбинаторных задач // Информатика, 2000, №14.
6. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1984.
7. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
8. Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. Логика в информатике. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
9. Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. Применение логических схем понятий в курсе информатики // Информатика и образование, 2000, №1.
10. Онегов В.А. Решение логических задач средствами алгоритмического языка // Информатика, 2000, №6.
11. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
12. Холтыгин А.Ф., Сотникова Н.Я. Введение в математику и информатику: Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003.
13. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005
14. Шауцукова Л.З. Информатика: Учеб. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений/ Шауцукова Л.З. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2002.
15. Шауцукова Л.З. Решение логических задач средствами алгебры логики // Информатика, 1999, №5.