Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве
материал по алгебре (10 класс) по теме
Примерное планирование учебного времени «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»
План-конспект урока «Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости»
Проверочная работа № 1 «Нахождение расстояний в пространстве»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 111.36 КБ |
Предварительный просмотр:
Итоговая работа
«Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике»
Выполнила: Кузьмина Надежда Дмитриевна (269-524-019)
Примерное планирование учебного времени
«Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»
(20ч, из них 16ч+4ч-проверочные работы)
№ | Тема | Кол-во часов |
Задачи на нахождение расстояний и углов в пространстве (вводный урок) | 1 | |
Модуль 1. Нахождение расстояний в пространстве | 9 | |
Вычислительный метод нахождения расстояния от точки до прямой | 1 | |
Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до прямой | 1 | |
Вычислительный метод нахождения расстояния от точки до плоскости | 1 | |
Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости | 1 | |
Вычислительный метод нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми | 1 | |
Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до прямой между скрещивающимися прямыми | 1 | |
Решение задач на нахождение расстояний в пространстве | 1 | |
Проверочная работа № 1 | 2 | |
Модуль 2. Нахождение углов в пространстве | 10 | |
Вычислительный метод нахождения угла между двумя прямыми | 1 | |
Координатный и векторный методы нахождения угла между двумя прямыми | 1 | |
Вычислительный метод нахождения угла между прямой и плоскостью | 1 | |
Координатный и векторный методы нахождения угла между двумя прямой и плоскостью | 1 | |
Вычислительный метод нахождения расстояния угла между плоскостями | 2 | |
Координатный и векторный методы нахождения угла между плоскостями | 1 | |
Решение задач на нахождение углов в пространстве | 1 | |
Проверочная работа №2 | 2 | |
План-конспект урока
«Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости»
Цель урока: отработка навыков решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости с использованием координатного и векторного методов, формирование навыков составления уравнения плоскости, проходящей через три точки,закрепление навыков выбора системы координат, разложения вектора по векторам.
- Организационный момент – 1 минута.
- Фронтальный опрос - 2 минуты.
На прошлом уроке мы рассматривали вычислительный метод решения задач на нахождение расстояния от отчки до плоскости. Давайте вспомним, как можно найти расстояние от точки до плоскости, используя этот метод?
- использование определения расстояния от точки до плоскости (на чем опирается?);
- использование метода параллельных прямых (на чем опирается?);
- использование метода объемов (на чем опирается?);
- использование метода подобия (на чем опирается?).
При нахождении расстояний в пространстве вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, соповождающими эти построения. Избавить нас от такого рода трудностей могут координатный и векторный методы.
- Работа в парах со взаимопровекой – 3 минуты.
Вариант 1 | Вариант 2 |
Изобразите многогранник, указанную систему координат и определите координаты вершин многогранника | |
(1 балл) |
(1 балл) |
(1 балл) |
(1 балл) |
- Групповая работа – 20-25 минут.
Учащиеся разбиваются на две группы. Первая группа работает над координатным методом, а вторая над векторным. Задача каждой группы - изучить свой метод решения и приготовиться к выступлению - объяснению сущности своего метода другой группе. Ребята работают с тремя учебными модулями: теоретический модуль, подготовительный модуль и практический модуль. Роль учителя заключается в консультировании учащихся по ходу их самостоятельной работы, помощи в подготовке выступления.
1 группа «Координатный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»
Теоретический модуль (3-5 минут)
Координатный метод
- Вычисление расстояния от точки до плоскости.
Пусть дана точка М(x0, y0, z0) и плоскость α, заданная уравнением в прямоугольной декартовой системе координат.
Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле
- Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках ,
если известны координаты точек (a;0;0), (0;b;0), (0;0; c) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox,Oy , Oz соответственно.
Пример 1. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть
Для точки N:
То есть
Для точки К:
То есть
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: a, b, c и d. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю. К примеру, пусть , тогда решая систему, получаем:
. А уравнение плоскости примет следующий вид:
, умножим на -3, чтобы коэффициенты стали целыми:
Пример 2. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами Высота параллелепипеда
. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Решение: Введем систему координат, как показано на рисунке, и найдем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB.
По очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение , получаем систему уравнений:
Выберем тогда
.
Уравнение плоскости A1DB будет иметь вид: .
Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, вычисляем искомое расстояние:
: 2
Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой
Решите следующие задачи:
Вариант 1 | Вариант 2 |
(1 балл) |
(1 балл) |
(1 балл) |
(1 балл) |
Указание. Чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, достаточно выбрать точку на одной из плоскостей.
Практический модуль (8-10 минут) - работы проверяются учителем.
Решите следующие задачи координатным методом:
Вариант 1 | Вариант 2 |
(2 балла) | 1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1. (2 балла) |
(2 балла) | 2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDЕ. (2 балла) |
Подготовка выступления от группы (3-5 минут)
2 группа «Векторный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»
Теоретический модуль (3-5 минут)
Векторный метод
Пусть дана плоскость α, содержащая два неколлинеарных вектора , точка А принадлежит плоскости α, точка М вне плоскости α,
.
Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости α, то есть длину перпенди-
куляра MP ( ), представим вектор
в виде
Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности
вектора векторам
:
Искомое расстояние (длина вектора ) выражается следующим образом:
Пример. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки А1 до плоскости BDC1.
Решение. Введем базисные векторы. Пусть , тогда
,
. Выразим векторы
,
,
через базисные векторы
,
,
:
,
,
Пусть МА1 BDC1, где M
BDC1.
Вектор , поэтому
Далее имеем
Так как
то имеем
Отсюда получаем
Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой
Решите следующие задачи:
Вариант 1 | Вариант 2 |
| |
Найти (1 балл) |
(1 балл) |
|
(1 балл) |
Практический модуль (8-10 минут) - работы проверяются учителем.
Решите следующие задачи векторным методом:
Вариант 1 | Вариант 2 |
(2 балла) | 1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1. (2 балла) |
(2 балла) | 2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDЕ. (2 балла) |
Подготовка выступления от группы (3-5 минут)
Результат выступления оценивается другой группой на основе голосования (по пятибальной шкале), оценка выставляется отдельно, независимо от общего рейтинга.
- Домашнее задание - 1 минута.
Задачи, предложенные группам в практическом модуле необходимо решить другим методом (участники группы «Координатный метод» решают векторным, участники группы «Векторный метод» - координатным).
- Подведение итогов – 1 минута.
Лист контроля
Фамилия, имя, класс | |
Задание | Баллы |
Изобразить многогранник - №1 | |
Изобразить многогранник - №2 | |
Подготовительный модуль - №1 | |
Подготовительный модуль - №2 | |
Практический модуль - №1 | |
Практический модуль - №2 | |
Итого: |
7-8 баллов – отлично (5),
5-6 баллов – хорошо (4),
3-4 балла – удовлетворительно (3),
менее 3 баллов – неудовлетворительно (2).
Проверочная работа № 1
«Нахождение расстояний в пространстве»
(1 вариант)
Задание | Баллы |
| 1 |
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки В до прямой DA1. | 2 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BCA1. | 2 |
В правильной шестиугольной призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB1 и BC1. | 2 |
Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна | 2 |
Критерии оценивания заданий №2-5:
Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ или решение не закончено. | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Методика оценивания:
8-9 баллов – отлично (5),
5-7 баллов – хорошо (4),
3-4 балла – удовлетворительно (3),
менее 3 баллов – неудовлетворительно (2).
Краткий анализ знаний учащихся.
По результатам изучения темы "Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве учащиеся должны:
– знать основные определения, аксиомы и теоремы стереометрии, свойства фигур в пространстве и формулы нахождения площадей и объемов, правила работы с векторами (сложение, вычитание, скалярное произведение, разложение по векторам), формулы, использующие координаты точек и векторов, алгоритмы нахождения расстояний и углов различными методами.
– уметь строить чертежи, сводить объемную задачу к пространственной, выполнять дополнительные построения, правильно выбирать систему координат и определять координаты точек и векторов, выбирать базисные векторы, составлять уравнение плоскости, определять векторы нормалей и направляющие векторы.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Использование различных методов при решении геометрических задач на нахождение углов и расстояний между плоскостями и прямыми в пространстве.
Приведу необходимые теоретические знания, позволяющие успешно решать геометрические задачи группы С(С2) ЕГЭ – 2011, 2012гг. Теоретические положения упорядочены и акцентированы именно на решение ...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/17/picture-317159-1382014809.jpg)
Презентация к уроку математики по теме «Решение задач на нахождение расстояний и углов в пространстве координатным методом»
В презентации представлены решения ключевых задач школьного курса математики на нахождение всех видов расстояний и углов в пространстве по алгоритму, что позволяет использовать ее как при изучен...
![](/sites/default/files/pictures/2014/12/25/picture-537560-1419499612.jpg)
Применение различных методов обучения на первоначальном этапе игры на фортепиано
Методическая работа...
![](/sites/default/files/pictures/2015/02/08/picture-589028-1423398642.jpg)
Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
Одним из наиболее трудных вопросов учебной программы школьной геометрии является вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми. В данной презентации рассмотрены некоторые приемы и методы р...
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/28/picture-884848-1485584889.jpg)
Обобщение педагогического опыта по теме "Развитие творческой активности через применение различных методов обучения на уроках технологии".
Я — учитель технологии. Возможно, кому-то этот предмет не кажется главным. Но, на мой взгляд, он — особенный, потому что связан с жизнью, воспитывает у ребят творческие способности, толерантность...
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат
Статья посвящена актуальному вопросу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Данный метод удобно использовать при решении задачи № 14 на профильном ЕГЭ по математике....
Решение задач на нахождение расстояний в пространстве (метод объемов) Подготовка к ЕГЭ
Зная как найти расстояние от точки до плоскости можно решать задачи на нахождение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью или между параллельными плоскостями. Так как расстояние между пря...