Методические особенности изучения неравенств в школьном курсе математики
статья по алгебре по теме

Тема по самообразованию:

«Методические особенности изучения неравенств  

в школьном курсе математики»

Учитель: Агеева Ю. В.

Можно выделить два основных пути развертывания содержания линии неравенств.

1) Сначала проходится материал, относящийся к уравнениям, затем к неравенствам. Раздельное изложение проводится до теории квадратного трехчлена включительно. Дальнейшее изучение, происходящее в старших классах, лишено этого противопоставления; логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и соответствующие неравенства изучаются в более тесной связи друг с другом.

2) Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений.

Имеются и промежуточные пути, когда некоторые классы уравнений и неравенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие, наоборот, не связаны. С 1985 по 1990 гг неравенства изучались с четвертого класса. С 1990 года в соответствии с новой программой по математике теоретический материал о неравенствах дается в восьмом классе.

В целом, изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. Отметим ряд особенностей изучения неравенств.

1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств, возможности их приложений от этого не страдают.

2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a > b к уравнению a = b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств.

Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем, чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «метода интервалов».

3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.

Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума.

Приведем примеры. Первая особенность может быть истолкована так: при выполнении одного и того же числа упражнений, техника решения неравенств какого-либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий. Вторая особенность объясняет то, что темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений. В соответствии с третьей особенностью изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса.

Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств.

Проиллюстрируем указанные особенности на материале квадратных неравенств. Изучение этого раздела курса следует за изучением квадратного уравнения и квадратного трехчлена. К моменту его изучения учащиеся умеют строить графики квадратичной функции, причем на них отмечаются нули функции, если они существуют. Поэтому переход к рассмотрению квадратных неравенств можно осуществить как переход от неравенства ах2+bх+с >0 к построению и изучению графика функции y= ах2 + bх + с. Поскольку возможны различные случаи расположения графика относительно оси абсцисс, лучше начать с рассмотрения конкретного задания, для которого соответствующий квадратный трехчлен имеет различные корни. На этом примере устанавливается соответствие между двумя задачами: «Решить неравенство ах2+bх+с>0»; «Найти значения аргумента, для которых значения функции y=ах2+bх+с положительны». Посредством этой связи производится переход к построению графика функции. Нули этой функции разбивают ось абсцисс на три промежутка, в каждом из которых она сохраняет знак, поэтому ответ считывается прямо с чертежа. Другие случаи решения квадратных неравенств (у квадратного трехчлена ах2 + bх + с не больше одного корня) требуют дополнительного рассмотрения, но опираются на то же соответствие.

В процессе дальнейшего изучения устанавливается, что нет нужды в точно вычерченном графике квадратного трехчлена, достаточно наметить только положение корней, если они есть, и учесть на эскизе нужные особенности графика (направление ветвей параболы).

В школьном курсе математики ограничиваются изучением только неравенств основных классов; задания, которые требуют сведения к основным классам, встречаются сравнительно редко. Например, не изучаются биквадратные неравенства.

Из числа типов заданий, в которых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, отметим нахождение области определения функции и исследование корней уравнений в зависимости от параметров.

Итак, как мы уже говорили выше, в соответствии с новой программой по математике с 1990 года теоретический материал о неравенствах дается в VIII классе. В учебнике алгебры для VIII класса под редакцией С. А. Теляковского теме «Неравенства» посвящена четвертая глава, которая включает два параграфа: «Числовые неравенства и их свойства», «Неравенства с одной переменной». В этой главе учащиеся знакомятся с числовыми неравенствами, необходимым и достаточным условием того, что числа а и b находятся в отношении «a > b» или «a < b», свойствами числовых неравенств, которые сформулированы в виде теорем и следствий, теоремами о почленном сложении и умножении числовых неравенств. Затем вводится понятие числового промежутка, дается определение решения неравенства, равносильных неравенств, кроме того, приводятся свойства, используемые при решении неравенств с одной переменной, вводится определение линейного неравенства с одной переменной. В учебнике приводится большое количество разнообразных примеров.

Знакомство учащихся с неравенствами дает возможность использовать аппарат неравенств при решении самых разнообразных задач.

Отметим, прежде всего, что, с одной стороны, алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной схож с алгоритмом решения линейных уравнений. И это в определенной мере облегчает работу по формированию умений решать линейные неравенства в той её части, которая касается применения тех или иных тождественных преобразований, переноса членов неравенств из одной части в другую. Однако есть и существенные отличия, связанные с делением или умножением обеих частей неравенства на отрицательное число, а также с тем, что решением линейного неравенства является не какое-то фиксированное число или несколько чисел, а числовой промежуток. Поэтому, как это ни парадоксально, но имеющаяся схожесть с линейными уравнениями оказывает часто плохую услугу в формировании умения решать линейные неравенства. Это в первую очередь необходимо учитывать, задавая обязательный уровень овладения соответствующими умениями. Кроме того, необходимо учитывать, что сложность тождественных преобразований в неравенствах при дальнейшем их применении невысока. Поэтому на обязательном уровне не следует искусственно создавать сложные преобразования. Понятно, что при обучении это делается с целью повторения и закрепления соответствующего материала. Но для определенной части учащихся эти преобразования могут заслонить основной аспект, и важнейшая цель не будет достигнута. Поэтому требовать от всех учащихся умения решить неравенство типа        > 2  нецелесообразно.

Прежде всего, у всех учащихся должен быть отработан навык решения простейших неравенств вида ax > b (ax < b) при различных значениях а и b, а также выработаны четкие представления о том, что решением линейного неравенства является не какое-либо число или несколько чисел, а бесконечное множество чисел – числовой промежуток. Иными словами, учащиеся должны свободно справляться с решением, например, таких неравенств:

;    0,4х < 5;    - < -2    и т. д.

С точки зрения применения в курсе анализа, как уже отмечалось выше, нет необходимости отрабатывать у всех учащихся умения решать неравенства, требующие сложных преобразований. В то же время все учащиеся должны без труда уметь решать линейные неравенства вида:

5 - 2x < 0,   3x - 4 > 7x + 2,   2x - 3(5-x)  6x + 1.

Таким образом, при решении линейных неравенств с одной переменой необходимо помнить о таком важном свойстве неравенств:

1) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Предлагаем следующий алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной аналитическим методом, который в развернутом виде может быть представлен так:

1) преобразование обеих частей неравенства;

2) приведение подобных членов;

3) приведение неравенства к простейшему виду на основании свойств неравенств;

4) запись ответа.

Например, решим неравенство: 5(x - 1) + 7 <  – 3(x + 2)

1) 5x – 5 + 7 <  – 3x – 6

2) 8x < -8

3) x < -1

4) x  (-; -1)

В курсе алгебры IX класса с темой «Неравенства с одной переменной» учащиеся встречаются при изучении первой главы учебника «Квадратичная функция». Здесь они знакомятся с решением неравенств второй степени с одной переменной и неравенств вида: (x – x1)(x – x2)…(x - xn) > 0,            (1)

                                                        (x – x1)(x – x2)…(x - xn) < 0,

где x1, x2, … , xn – не равные друг другу числа.

Решение неравенств второй степени с одной переменной, то есть неравенств вида: ax2 + bx + c > 0 и  ax2 + bx + c < 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

При этом поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0;

если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0;

3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если  решают неравенство ax2 + bx + c > 0) или ниже оси x (если решают неравенство ax2 + bx + c < 0).

Особенности решения неравенств указанным способом были разобраны выше.

Например, решим неравенство x2 + 2x – 48 < 0.

Рассмотрим функцию y = x2 + 2x – 48 . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x.

Для этого решим уравнение x2 + 2x – 48 = 0.

Получим: x1 = 6        x2 = -8.

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны 6 и -8.

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости.

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда x  (-8; 6).

Следовательно, множеством решений неравенства x2 + 2x – 48 < 0 является числовой промежуток (-8; 6).

Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, и каковы абсциссы точек её пересечения с осью x.

Затем учащиеся знакомятся с другим способом решения неравенств, так называемым методом интервалов, в частности, неравенства вида (1) решают этим методом.

Пусть функция задана формулой вида

f (x) = (x – x1)(x – x2) … (x - xn),

где x – переменная, а  x1, x2, … , xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, … , xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида (1).

Полезно после приведения нескольких примеров дать учащимся под запись алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1) вводим функцию;

2) находим область определения функции;

3) находим нули функции;

4) разбиваем область определения точками, в которых функция обращается в нуль, на интервалы;

5) определяем знак функции в каждом из этих интервалов;

6) выбираем те интервалы, которые удовлетворяют данному неравенству;

7) записываем ответ.

Например, решим неравенство: (x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0

1) f (x) = (x + 9)(x - 2)(x - 15), f (x) < 0

2) D (f) = R

3) f (x) = 0: x = -9, x = 2, x = 15

4)

5) x  (- ; -9)  (2; 15)

Таким образом, программа по алгебре предусматривает изучение линейных неравенств с одним неизвестным, неравенств второй степени с одним неизвестным, а также рациональных неравенств и метода интервалов. Основной упор в этих вопросах делается на овладение умениями решать перечисленные выше неравенства. Это объясняется тем, что аппарат неравенств находит широкое применение при решении самых разнообразных задач самого курса алгебры, алгебры и начал анализа, курса геометрии. В первую очередь, это задачи на исследование функций (нахождение области определения степенной, логарифмической и других функций; нахождение промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности и др.). Решение логарифмических уравнений и неравенств, тригонометрических неравенств требует умения решать линейные неравенства с одной переменной, квадратные неравенства. Изучение приближенных вычислений, введение важнейших понятий математического анализа – производной и интеграла – существенно опирается на аппарат неравенств. Кроме того, линия неравенств находится среди тех вопросов, которые получают в курсе алгебры и начал анализа наибольшее развитие. Поэтому определенные умения, связанные с неравенствами, должны быть доведены до автоматизма, должны быть прочно усвоены и отработаны, чтобы на них можно было опираться для развития последующих представлений и умений.

Сказанное выше о сложности преобразований справедливо и по отношению к неравенствам второй степени и рациональным неравенствам с одной переменной. В то же время успешное решение многих задач, связанных с применением производной, овладение способами решения новых видов неравенств  в большой мере зависят от того, насколько свободно будут справляться учащиеся с решением простейших квадратных и рациональных неравенств. Действительно, указанные выше задачи курса алгебры и начал анализа несут в себе большую смысловую нагрузку, которую необходимо довести до сознания всех учащихся. Решение неравенств является для этих задач подсобным аппаратом, который и сам по себе довольно труден, если ещё не владеешь им свободно. И если эти трудности накладываются на новые, то успех вряд ли будет обеспечен. Таким образом, все учащиеся должны уметь решать несложные неравенства второй степени вида ах2 + bх + с > 0 ( ах2 + bх + с <0), где , а также рациональные неравенства вида  и т.д. В требованиях  к умению решать квадратные неравенства необходимо предусмотреть различные случаи возможных ответов (и когда множеством решений является промежуток a < x < b, и объединение промежутков x>b, x