Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Тема: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Эпиграф урока:                            ”Изучать что-либо и не задумываться над

                                                         выученным - абсолютно бесполезно.

                                                         Задумываться над чем-либо, не изучив

                                                                  предварительно предмет раздумий-

                                                                  опасно.”

                                                                                        Конфуций.

Основные цели: 1) Повторить с учащимися определение и свойства функции

                                 у = sinx и ее график.

                             2) Сформировать умение решать простейшие

                                 тригонометрические уравнения, а также уравнения,

                                 сводящиеся к  простейшим в результате преобразования

                                  тригонометрических выражений.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

        1)  Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/

              Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков, С. Б.Суворова;

            Под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Прсвещение,1997. –

            272 с.: ил. – ISBN 5-09-007514-X.

         2) Галицкий М.Л. и др.

             Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для

             учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/

             М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. – 3-е изд. – М.: 1996. –

              271 с.: ил. -

2. Плакаты.

                                                  Ход урока.

1.Вводная беседа (о программе, тетрадях, требованиях).

   Фронтально проверить домашнее задание.

2.Повторение материала по вопросам.

        a) Дать определение sinx.

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг с центром, расположенным в начале координат, и радиусом равным единице (это так называемый тригонометрический круг). Для любого действительного числа х можно провести радиус OQ этого круга, образующий с осью абсцисс угол, радианная мера которого равна числу х (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки).

Пусть конец единичного радиуса   OQ, соответствующего углу х,

 совпадает с точкой Q(a;b) окружности; тогда координаты (a;b) точки Q называют координатами конца радиуса, соответствующего углу х.

Определение. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу х, называется синусом угла х и обозначается sinx.

Поскольку каждому значению величины угла х на тригонометрическом круге соответствует единственная точка Q(a;b) такая, что радиус OQ образует угол х с осью абсцисс, то введенное отображение y = sinx  является функцией.

              б) Область определения функции. Так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции y = sinx – множество действительных чисел. Пишут D(sin) = R.

              в) Область значений         функции. E(sin) = [-1;1]. Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрического круга, может принимать лишь значения на отрезке [-1;1]. С другой стороны, для каждого значения ординаты b из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату. Следовательно, это значение b будет синусом угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

               г) Периодичность. Наименьший положительный период функции равен 2π . Докажем это. Поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со всей окружностью, равен 2π , то точки, соответствующие углам х,  (х+2π),  (х -2π), изображаются на тригонометрическом круге одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны. Это означает, что число T=2π  является периодом рассматриваемой функции. Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмотрим значение функции y = sinx, равное единице. Оно достигается, только если х = π/2 + 2πn,  n є Ζ. Следовательно, никакое число, меньшее 2π не может быть периодом.

               д) Четность или нечетность. Рассмотрим (рис.2) точки  M  и  N, соответствующие на тригонометрическом круге углам х  и  –х. Поскольку всякий круг симметричен относительно любой прямой, проходящей через его центр (а ось Оx является такой прямой), и равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки  M  и  N  симметричны относительно оси Оx, следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для любого значения  х  выполнено  

 sin(-x) =  -sinx, т. е. функция  y = sinx является нечетной.

               е) Точки пересечения графика с осями координат. График пересекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением sinx=0, т. е.

 х = πn,  n є Ζ;  график пересекает ось Оу в точке с ординатой,

 определяемой равенством y = sin0, т.е. у = 0.

                ж) Промежутки знакопостоянства функции. Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то sinx > 0 при

х є (2πk; π + 2πk),  k є Ζ;      sin x  < 0  при х є (π + 2πk; 2π + 2πk ),  k є Ζ;

                з) Наибольшее и наименьшее значение.  Наибольшее  значение, равное 1, достигается при х = π/2 + 2πn,  n є Ζ ;  наименьшее значение, равное -1, достигается при х = - π/2 + 2πn,  n є Ζ ;

               и) Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотонной на всей области определения; она является монотонной на отрезках: возрастает при   х є ( - π /2 +2πk; π /2 + 2πk),  k є Ζ;   убывает при

 х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ),  k є Ζ .

Для исследования функции на возрастание и убывание воспользуемся признаком возрастания и убывания, то есть найдем производную

  f ́ (x) = (sinx) ́= cosx. Так как абсциссы точек, лежащих в правой полуплоскости положительны, то cos x >0 при  х є ( - π /2 +2πk; π /2 + 2πk),

 k є Ζ, следовательно, функция y = sinx будет возрастать на каждом промежутке вида     ( - π /2 +2πk; π /2 + 2πk),  k є Ζ  . Абсциссы точек, лежащих в левой полуплоскости, отрицательны, т.е. cos x < 0 при  

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ),  k є Ζ ; следовательно, на этих промежутках производная отрицательна и функция   y = sinx будет убывать на промежутках вида     (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ),  k є Ζ.

               к) Асимптоты. График функции асимптот не имеет.  

3. Изложение нового материала.

Решение уравнения sin х = а.

Поскольку по определению синусом угла называется ордината точки, лежащей на окружности единичного радиуса, то для решения уравнения

sin x =a надо найти на окружности все точки имеющие ординату a, т.е. лежащие на прямой y = a, см. рис.4

По теореме о взаимном расположении прямой и окружности на плоскости заключаем, что при |a| > 1 прямая и окружность общих точек не имеют, следовательно и рассматриваемое уравнение не имеет решений. Если |a| = 1, то прямая

y = a касается окружности, т.е. имеет с ней ровно одну общую точку C. Наконец, если |a| < 1, то имеются две точки пересечения (они располагаются симметрично относительно оси Oy). Для завершения решения задачи остается заметить, что каждой полученной точке соответствует бесконечное множество точек на числовой прямой, отстоящих друг от друга на расстояние  2π. Все они и являются решениями рассматриваемого уравнения.

   Для записи решения уравнения sin x = a  вводят понятие арксинуса числа a. Чтобы однозначно определить угол  х0 , соответствующий числу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия, например, чтобы этот угол принадлежал интервалу [-π /2; π /2].

Определение. Арксинусом числа а, а є [-1;1], называется такое число х0, принадлежащее отрезку [-π /2; π /2], синус которого равен а. Это число обозначается arcsin a.

   Из определения следует, что для каждого числа а, |a| ≤ 1, выполнено

                sin(arcsin a) = a        и          −π /2  ≤  arcsin a  ≤ π /2;

      и наоборот, если выполнены условия  

                       sinx  = a              и             −π /2  ≤  a  ≤ π /2 ,

       то     x = arcsin a.

      С помощью введенного понятия удобно записать решение уравнения. По определению, точке пересечения A соответствует угол х1 = arcsin a, см. рис.4. Учитывая периодичность функции y = sin x, получим серию решений

                              x = arcsin a + 2πk,      k є Ζ .

Точка В, как отмечалось, симметрична точке А относительно оси Оу, поэтому ей соответствует угол х2 = π − arcsin a, поэтому можно записать вторую серию решений

                             x = π − arcsin a + 2πk,      k є Ζ .

Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, поскольку противное означало бы, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.

       Для сокращения записи две полученные серии решений обычно объединяют в одну

                            x = (-1) arcsin a + πk,      k є Ζ .

При четных значениях k эта формула соответствует первой серии решений; при нечетных — второй.

4. Решение нескольких примеров на доске.

Пример 1. Решить уравнение sin(π /6 – 2x) = √3 /2.

 □ Имеем  π /6 – 2x = ( - 1) arcsin √3 /2 + πk. Так как  arcsin √3 /2 = π /3, то

 π /6 – 2x = ( - 1)  π /3 + πk, откуда х = - ( - 1)  π /6 + π /12 + πk /2, или

х = (-1)  π /6 + π /12 (6k + 1), k є Ζ.■

Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.

   При решении тригонометрических уравнений часто используются разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).

Пример 2. Решить уравнение sin x = sin 2x cos 3x.

□ Применив к sin 2x формулу синуса двойного аргумента, получим

      sin x = 2 sin x cos x cos 3x;               sin x (1 - 2 cos x cos 3x) = 0.

Так как множители в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: sin x = 0 и

1 - 2 cos x cos 3x = 0.

 Первому уравнению удовлетворяют значения x = πn, n є Ζ.  

        Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму; имеем 1 – (cos 4x + cos 2x) = 0. Поскольку 1- cos 4x = 2 sin2x, уравнение принимает вид 2sin2x – cos 2x = 0, или 2(1-cos 2x)-cos 2x = 0, откуда получим 2cos2x + cos 2x – 2 = 0— квадратное уравнение относительно cos 2x. Полагая  cos 2x = z , имеем  2z + z – 2 = 0. Решив это уравнение, находим     z1 = (-1 + √17) /4,        z2 = (-1-√17) /4. Так как

|z2| =|(-1-√17) /4| >1,  то уравнение  cos 2x = z2  не имеет решений. Остается решить уравнение cos 2x = (-1 + √17) /4. Имеем  2х = ± arccos(√17-1) /4 + 2πk, k є Ζ. Итак получаем ответ: x = πn; х = ± (1 /2)arccos(√17 -1) /4 + πk, k,n є Ζ. ■

      При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из найденных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.

Пример 3. Решить уравнение (1-sinx)(tg x-3) = 0.

□  Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1-sinx = 0 и tg x-3 = 0; если sinx = 1,то получим

                                           x = π /2 + 2πk, k є Ζ;                          (1)

если tg x = 3,   т. е.  tgx = ±√3, то

                                          x = ±π /3 + πn, n є Ζ.                           (2)

Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (1) и  (2). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений

x = π /2 +πn (n є Ζ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и ответом является только второе решение   x = ±π /3 + πn, n є Ζ.■

Пример 4. Решить уравнение cosx cos2x cos4x = 1/8.

□ Наиболее быстрый способ решения – умножение правой и левой частей равенства на 8sinx, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sinx = 0, т.е. значения x = πn (nєΖ), так как они не удовлетворяют исходному уравнению.

   После умножения на 8sinx уравнение примет вид

                                                8sinx cosx cos2x cos4x = sinx.

Последовательно трижды применив формулу sin2x = 2 sinx cosx, получим сначала 4sin2x cos2x cos4x = sinx, затем 2sin4x cos4x = sinx и далее

 sin8x = sinx, или sin8x - sinx = 0.Преобразуя по формуле

sinx-siny = 2cos(x+y)/2 sin(x-y)/2 разность синусов в произведение, получаем

    Пусть  sin 7x/2 = 0, тогда 7х/2 = πk (k є Ζ), откуда х = 2πk /7, k є Ζ, причем следует исключить значения х = 2πn (n є Ζ), получающиеся при k = 7n, как посторонние для исходного уравнения. Пусть теперь cos 9x/2 = 0;

тогда  9х/2 = π /2 + πm  (m є Ζ), откуда х = π (2m +1) /9  (m є Ζ), причем следует исключить значения х = π(2n +1)  (n є Ζ), получающиеся при m=9n+4 (nєΖ),как посторонние для исходного уравнения.

Итак, получаем ответ: х = 2πk /7, где целое k ≠ 7n, n є Ζ;  х = π (2m + 1) /9, где  целое m ≠ 9n + 4,  n є Ζ. ■

5. Заключение урока.

         1) теоретико-прикладные итоги урока; дифференцированная оценка

уровня ментального опыта учащихся: уровня усвоения ими темы,

компетентности, качества устной и письменной математической речи;

уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии;  уровня инициативы, познавательного интереса к   отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

         2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла;

         3) сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную

проверку.

                                             Спасибо за урок!