Презентация урока разноуровневого обобщающего повторения по теме: «Решение неравенств второй степени».
презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме

*
Цель :● обобщить теоретические знания по темам: « Квадратичная функция и её свойства» и « Решение квадратичных неравенств вида ах 2 + bx +c > 0 и ax 2 + bx + c < 0 на основе свойств квадратичной функции »; ● выработать умения применять эти теоретические факты при решении заданий по данной теме; ● способствовать развитию логического мышления учащихся.
Квадратичная функция
▄ Функция, заданная формулой у = ах 2 + bx + c , где а, b, c - числа и а ≠ 0, называется квадратичной функцией.▄ Графиком любой квадратичной функции у = ах 2 + bx + c , а ≠ 0 является парабола с вершиной в точке с координатами (х0 ; у0) и осью симметрии, проходящей через х0 параллельно оси ординат. D(у) = (− ∞; + ∞ ).▄ Координаты вершины параболы вычисляются по формулам: х0 = − b ∕ 2а; у0 = − D ∕ 4а или у0 = ах0 2 + bх0 + c. Осью симметрии параболы является прямая x = х0 , т.е. х = − b ∕ 2а параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.▄ Направление ветвей параболы узнают по коэффициенту а.При a > 0 ветви параболы направлены вверх и значение у = у0 является наименьшим значением функции, т.е. Е(у) = [ у0 ; + ∞ ).При а < 0 ветви параболы направлены вниз и значение у = у0 является наибольшим значением функции, т.е. Е(у) = (− ∞; у0 ].▄ Для того чтобы найти точки пересечения параболы с осью абсцисс надо решить уравнение: ах 2 + bx + c = 0. Если D < 0, то парабола не пересекает ось абсцисс, если D = 0, то парабола касается Ох в вершине (х0 ; 0) , если D > 0, то парабола пересекает ось Ох в точках (х1; 0) и (х2; 0), где х1 = (− b − √ D) ∕ 2a и х2 = (− b + √ D) ∕ 2a. ▄ Парабола пересекает ось Оу в точке с координатами (0; с).
График квадратичной функцииу = ах 2 + b + c, а ≠ 0; у = ах 2 + bx + c = а( х - х0) 2 + у0; х0 = − b ∕ 2а; у0 = − D ∕ 4а; у0 = а х0 2 + bх0 + c.
а > 0 наименьшее у значение равно у0 = у (х0) х0 x у0
а < 0 наибольшее у значение равно у0 у0 = у (х0) х0 x
Схема расположения параболы у = ах 2 + bx + c относительно оси абсцисс
На рисунках изображёны графики функций вида у = ах 2 + bx + c
1. Определите знаки коэффициентов а , с и D.2. Назовите координаты вершин параболы.3. Найдите наибольшее или наименьшее значение функции.4. Назовите нули функции.5. Назовите промежутки знакопостоянств соответствующей функции (интервалы у > 0, у < 0 ). 6. Промежутки возрастания и убывания функции.
у у 5 0 3 4 5 х -3 -1 0 1 х -1
Неравенства второй степени с одной переменной
▄ Неравенства вида ах 2 + bx + c > 0 , ах 2 + bx + c < 0 , называются неравенством второй степени с одной переменной или квадратным неравенством.▄ Решение квадратного неравенства - значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.▄ Выражение слева от знака неравенства можно рассматривать как квадратичную функцию, тогда решение исходного неравенства сводится к нахождению промежутков знакопостоянства соответствующей квадратичной функции (т.е. промежутков, на которых значения функции положительны или отрицательны).▄ Квадратные неравенства – это неравенства, в левой части которых содержится квадратный трёхчлен ( ах 2 + bx + c , где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0), а в правой – нуль.▄ Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Алгоритм решения неравенств вида ах 2 + bx + c > 0, ах2 + bx + c < о ( ≥ ; ≤ )
у а > 0 у а < 0 «+» «+» 0 х 0 х «−» «−»
- найти корни квадратного трёхчлена или установить, что их нет;- нанести их на числовую ось, если неравенство было строгое (знак « > » или « < ») точки не закрашивать «○», а если нестрогое ( знак « ≥ » или « ≤ »), то точки закрасить « ● ».- построить эскиз параболы с учётом а (а > 0 – ветви вверх; а < 0 ветви вниз),используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть;определить знак квадратного трёхчлена на каждом полученном числовом промежутке (для этого надо: а) мысленно провести ось Оу, на каждом промежутке взять точку; б) найти соответствующую ей точку параболы; в) определить знак её ординаты; г) такой же знак имеет квадратный трёхчлен на соответствующем промежутке); выбрать по графику подходящие промежутки, на которых функция принимает нужные значения.
Квадратные неравенства
ах 2 + bx + c > 0, х < х1 , х > х2 ах 2 + bx + c ≤ 0, х1 ≤ х ≤ х2
у а > 0 х1 0 х2 х
ах2 + bx + c < 0, х < х1 , х > х2 а х2 + bx + c ≥ 0, х1 ≤ х ≤ х2
у а < 0 х1 0 х2 х
Частные случаи решений неравенств второй степени
1. ах 2 + bх + с > 0, а > 0; - D = 0;х – любое число, но х ≠ -b/2a; + + + + + + ○ х х ≠ -b / 2aОтвет: (− ∞; -b / 2a) U (-b / 2a; + ∞).
ах 2 + bх + с > 0, а > 0;- D < 0, х – любое число; + + + + + + + + х Ответ: (− ∞; + ∞).
2. ах 2 + bх + с ≥ 0, а > 0; -D = 0; х – любое число; + + + + + + ● х Ответ: (− ∞; + ∞).
ах 2 + bх + с ≥ 0, а > 0;- D < 0; х – любое число; + + + + + + + + хОтвет: (− ∞; + ∞).


▫
3. ах 2 + bх + с < 0, а > 0; - D = 0; решений нет; + + + + + + ○ х Ответ: решений нет.
ах 2 + bх + с < 0, а > 0; - D < 0; решений нет; + + + + + + + + хОтвет: решений нет.
4. ах 2 + bх + с ≤ 0, а > 0. - D = 0; х = -b / 2a; + + + + + + ● х х = -b / 2a Ответ: х = -b / 2a.
ах 2 + bх + с ≤ 0, а > 0.- D < 0; решений нет; + + + + + + + + хОтвет: решений нет.
▫
5. ах 2 + bх + с > 0, а < 0;- D = 0; решений нет; ○ х − − − − − −Ответ: решений нет.
ах 2 + bх + с > 0, а < 0;- D < 0; решений нет; х − − − − − − −Ответ: решений нет.
6. ах 2 + bx + c ≥ 0, а < 0;-D = 0; х = -b / 2a; ● х − − − − − − Ответ: х = -b / 2a.
ах 2 + bx + c ≥ 0, а < 0;- D < 0; решений нет; х − − − − − − −Ответ: решений нет.
▫
7. ах 2 + bx + c < 0, а < 0;-D = 0;x – любое число, но х ≠ -b/ 2a; ○ х − − − − − − Ответ:(− ∞; - b / 2a)U(- b / 2a; +∞).
ах 2 + bx + c < 0, а < 0;-D < 0; x – любое число; х − − − − − − − Ответ: (− ∞; + ∞).
8. ах 2 + bx + c ≤ 0, а < 0; -D = 0; x – любое число; ● х − − − − − − Ответ: (− ∞; + ∞).
ах 2 + bx + c ≤ 0, а < 0;-D < 0, x – любое число; х − − − − − − −Ответ: (− ∞; + ∞).
Схема решения неравенств вида ах 2 + bx + c > 0
ах 2 + bx + c = 0. если а > 01. Два различных корня: х1 < х2 ○ ○ + х1 - х2 +Ответ: x Є ( − ∞ ; х1 ) U (х2 ; + ∞).2.Два одинаковых корня: х1 = х2 = х ○ + х + Ответ: x Є ( − ∞ ; х1 ) U (х2 ; + ∞). 3. Корней нет: + + + + + + хОтвет: x Є ( −∞ ; + ∞).
ах 2 + bx + c = 0.если а < 01. Два различных корня: х1 < х2 ○ ○ − х1 + х2 − Ответ: x Є (х1 ; х2 ).2.Два одинаковых корня: х1 = х2 = х ○ − х − Ответ: решений нет. 3. Корней нет: х − − − − − − Ответ: решений нет.

Схема решения неравенств вида ах 2 + bx + c < 0
ах 2 + bx + c = 0 если а > 0 1. Два различных корня: х1 < х2 ○ ○ + х1 − х2 + Ответ: x Є (х1 ; х2 ).2. Два одинаковых корня: х1 = х2 = х ○ + х +Ответ: решений нет3. Корней нет: + + + + + + хОтвет: решений нет.
ах 2 + bx + c = 0 если а < 0 1. Два различных корня: х1 < х2 ○ ○ − х1 + х2 −Ответ: x Є ( − ∞ ; х1 ) U (х2 ; + ∞ ).2.Два одинаковых корня: х1 = х2 = х ○ − х − Ответ: x Є ( − ∞ ; х1 ) U (х2 ; + ∞ ).3. Корней нет: х − − − − − − Ответ: x Є ( −∞ ; + ∞).