Метод рационализации при решении логарифмических неравенств.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. НОЯБРЬСК

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 6

муниципального образования город Ноябрьск»

(МБОУ СОШ № 6)

«Метод рационализации при решении логарифмических неравенств»

 (11 класс)

Разработчик программы:

Милько Т.В.,

учитель математики

МБОУ СОШ № 6,

высшая квалификационная категория

        Метод рационализации при решении логарифмических неравенств.

Как известно,  при решении неравенств  используем следующие методы решения:

1)сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем;

      2)расщепление неравенств;

3)метод перебора;

4)метод интервалов;

5)введение новой переменной;

6)метод рационализации;

7)использование свойств функции:  область определения, ограниченность, монотонность.

Метод  рационализации  мы используем реже по сравнению с другими методами. Я изложу его суть и остановлюсь на применении выше указанного метода  при решении заданий части  С  ЕГЭ,  Следует заметить, что практически каждый из примеров решён двумя способами ,чтобы сравнить преимущества того или иного и выбрать более рациональный.

Суть метода.

Метод рационализации (декомпозиции, метод замены множителей, правило знаков)  

 заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(х)  (в конечном  итоге  рациональное), при которой неравенство G(х)0 равносильно неравенству F(x)0 в области определения выражения F(x).

        Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с переменной х.

Некоторые следствия  (с учётом области определения неравенства)

                   1)(h - 1)(f - 1) (p - 1)(g - 1);

                   2)  +g(fg - 1)(h - 1) ;

                   3) ;      

                    4) 

    ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ логарифмических неравенств  методом рационализации.

Теорема: Для любого  действительного а>0, a≠1 неравенство

        .

Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию  всегда имеет тот же знак, что и произведение  при всех допустимых значениях переменных.

Начнём с простых примеров.

1. Решите неравенство  .

Решение.1. Применим метод равносильного перехода:

2.  Проведём рационализацию по п.1 таблицы, представив  2 в виде логарифма с основанием :

Ответ:

2. Решить неравенство   .

Решение.   Рационализируем числитель и знаменатель дроби    согласно п.1и 1б

                                                           x

        -7        -6          2        2,5          4        4,5

Ответ: -7 < x < 6,    2 ≤ x < 2,5,        4 < x ≤ 4,5.

C3. Решите неравенство 

Решение.

Приведём для сравнения  два способа решения.

1. Данное неравенство равносильно системе:

1)         ,.

2)                  

   Найдя общие решения неравенств 1) , 2) и учитывая,   что   окончательно  получим

                                    Ответ:

               2.    Метод  рационализации.  ( Использован п.1б)

                                     Ответ:

С3. Решите неравенство 

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем (метод расщепления неравенств):

Решим каждую систему совокупности.

1)

2) ø      

Ответ:

Метод рационализации.      

Ответ:

C3. Решите неравенство 

1.Решение. (Метод интервалов)1. Введем функцию         

2. Найдем нули функции в D(f):  2-4=0;        =±2.

3. Область определения функции разобьем нулями на промежутки, в каждом из которых непрерывная функция сохраняет свой знак.  

         -              +         -                     -        +       -                            

            -2        -1        1           2                                                  

          Ответ:     

2.Метод рационализации.  

                                                       +                   -             +                   -         +                                   

                                                        -2           -1       1               2

Ответ:

С3. Решите  неравенство. .

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов и разделим обе части неравенства на 3:

1)

2)

3)    (по формуле перехода от одного основания логарифма к другому в обратном порядке).        

4)

Метод  рационализации: (п.2б)

5)

Решим каждое из неравенств системы 5):

1)    

            +                 -                      +                                              

                              1                        y  

      2)    

      3)   D=1-5<0.

      4) Отсюда

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

        Так  как , то  .З

Значит, система неравенств5) равносильна смешанной системе

                 -3           0            1                 y

Ответ:  

С3. Решите неравенство

.

Решение.

ОДЗ:        При  >1            Делим обе части  неравенства     на  . Имеем:  

Представим числитель в виде разности логарифмов с основанием 3  и рационализируем знаменатель по п. 1б.:

   Разложив на множители числитель и знаменатель дроби, получим

Применяем метод рационализации к числителю дроби. Так как     то

   Применяя метод интервалов к последнему неравенству и учитывая ОДЗ,  получим:            .          Ответ:

Решите систему неравенств      

Решение.

1. Пусть. Тогда неравенство принимает вид    t2-30t+125Последнее равносильно неравенству(t-5)(t-25) .  Применяя метод интервалов, получим

 откуда

2.

Запишем в систему все ограничения для  переменной х и рационализируем неравенство, используя следствие 1 (см.  таблицу)

3. Общим решением совокупности и системы     есть число 2.     Ответ: 2.

Источники информации.

1. Корянов А.Г., ПрокофьевА.А. Математика.ЕГЭ 2011(типовые задания С3).Методы решения неравенств с одной переменной.
2. Задания ЕГЭ 2011-2012.

   ---

. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ