Элективный курс "Методы доказательства неравенств"
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Элективный курс

«Методы доказательства неравенств»

для учащихся 10 класса

Пояснительная записка

Данная программа своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и её приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с её методами и идеями. Для успешной работы в старших классах школьники должны освоить все разделы элементарной алгебры, связанные с преобразованиями алгебраических выражений. Доказательство неравенств является одним из таких разделов. Задачи на неравенства являются одними из самых популярных в школьном курсе , причем их решение часто носит  весьма содержательный характер, позволяет проверить как фактические знания школьника, так и его математическую культуру.

Данный курс дает учащимся  представление о разнообразии приемов и способов решения неравенств и их роли в математике. Систематизирует и углубляет ранее полученные знания и приобретенные умения, а также освещает вопросы, не проработанные в общем курсе школьной  математики.

Цель курса – создать целостное представление по данной теме и значительно расширить круг задач, посильных для учеников.

Особенность задач на доказательство неравенств – возможность их решения различными способами. Поэтому важно показать учащимся различные методы их решения, показать как красоту и совершенство, так и сложность и изощренность методов  решения. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяет решать знакомые задачи новым, оригинальным способом. Это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Предоставляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает математическую интуицию, конструктивное мышление,  без которых немыслимо творчество. Занимаясь по данной программе учащиеся пройдут путь от доказательства простейших числовых неравенств до сложных, предлагаемых на вступительных экзаменах или олимпиадах,  до обоснования «замечательных» неравенств Коши-Буняковского, Чебышева и других.

Основные задачи курса:

- систематизировать знания учащихся и расширить представления о методах и приемах решения неравенств;

- ознакомить с теоретическим материалом и методами решения неравенств, которые не включены в школьную программу;

- формировать логическое и аналитическое мышление учащихся путем обобщения знаний о неравенствах;

- способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному выбору дальнейшего профиля обучения;

- развивать личностные качества – коммуникабельность, мобильность, направленность на саморазвитие и самообразование.

Курс предусматривает применение различных видов творческой  работы  учащихся: составление задач по теме, устные сообщения из истории, самостоятельное решение примеров, защита творческих работ и проектов, выполнение индивидуального домашнего задания.

Формы проведения занятий – лекция, семинар, диспут.

Итогом изучения курса является:

1. овладение учащимися знаний, умений, навыков по решению заданий, связанных с неравенствами;
2.  формирование способности дальнейшего усвоения программы профильной школы.

Учебно-тематический план.

Содержание программы.

1. Числовые неравенства и их свойства.

 Цель и значение элективного курса.  Исторические сведения. Понятие положительного, отрицательного числа, число нуль.  Свойства суммы и произведения  положительных чисел. Понятия «больше»,»меньше», «не больше» , « не меньше». Основные положения и числовых равенствах и неравенствах. Простейшие свойства числовых неравенств; сложение и вычитание числовых неравенств; умножение числовых неравенств; возведение в степень и извлечение корня n-ой степени.

 2  Основные методы доказательства числовых неравенств.

Рассмотреть возможные методы доказательства числовых неравенств:  путем рассмотрения разности  между левой и правой частями неравенства и установления её знака, по которому делается заключение о справедливости рассматриваемого неравенства; путем сравнения чисел или их отношения с единицей; путем сравнения их степеней; путем сравнения их с промежуточным числом; с помощью тождественных преобразований от очевидного неравенства приходят к данному или,  наоборот, от данного к очевидному; с использованием замечательных неравенств.

3.  Основные методы решения задач на доказательство неравенств с переменными.

Частные случаи неравенства Коши и их применение. Равносильные неравенства. Неравенство-следствие. Рассмотреть методы доказательства: « от противного»; метод усиления или ослабления; использование тождеств; метод понижения степеней; метод подстановки; метод оценок; с использованием свойств функций, входящих в неравенства.

«Замечательные» неравенства и их применение. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение.

4. Доказательство неравенств методом математической индукции.

    Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Принцип математической индукции. Способ доказательства методом математической индукции.  Обобщенный принцип математической индукции.  Применение метода математической индукции для доказательства неравенств.

5. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Неравенство Коши-Буняковского. Их применение к решению задач.

 Доказать неравенство Коши для произвольного числа переменных. Сформулировать и обосновать теорему, устанавливающую соотношение Коши-Буняковского. Геометрическая интерпретация этого неравенства. Векторная запись неравенства.

6. Средние величины. Классические неравенства.  

  «Средние величины» в школе. Многообразие «средних». Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое соотношения между ними. Неравенства, приводимые к сравнению средних.

7. Неравенство Чебышева.

Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследие. Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.

8. Неравенства, связанные с тригонометрическими функциями.

 Рассмотреть  классические тригонометрические неравенства. Приемы доказательства неравенств, содержащих тригонометрические функции. Применение тригонометрических неравенств и функций к решению прикладных задач.

9. Доказательство неравенств с помощью производной. Доказательство неравенств с использованием свойств функций.

Применение производной к исследованию функций. Признаки возрастания (убывания) функций. Доказательство неравенств с применением производной. Метод решения неравенств, основанный на ограниченности функции сверху или снизу.

10. Геометрические неравенства.

Обзор типичных геометрических неравенств. Неравенства, связанные с геометрией треугольника. Алгебраические задачи на неравенство треугольника. Неравенства с площадями.  Неравенства, связанные с многоугольниками и окружностью.

11. Применение неравенств.

Нахождение области определения и области значений функции. Исследование функции на выпуклость и вогнутость с помощью неравенств (без производной). Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию. Приложение неравенств к задачам на наибольшее и наименьшее значение. Текстовые задачи на составление и решение неравенств.

Приложение

Тема 1.

1. Какие из следующих неравенств верны:        -5 < 0;       -7    -11;

        15 ≤ 15;     0 < -1;

        0    3;        

2. Положительны, отрицательны или равны нулю значения следующих числовых выражений:

        (-3)1000;  sin600;  - .

3. Известно, что a < 2. Докажите, что 3a < 7.

4. Известно, что a + b < 4. Докажите, что 2a + 2b < 17.

5. Известно, что 1,4 <      < 1,5. Оцените значение выражения:        + 1;       - 1; 2 -      .

6. Пусть 6 < x < 7 и 10 < y < 12. Оцените: а) x + y; б) y – x; в) xy; г) .

Тема 2. 

1. Что больше: а)  -        или 2;

        б) 0,99991,0001  *  1,0001,9999 или 1.

2. Доказать неравенство  354 > 251; 202303 > 303202.

3. Какая из дробей больше и почему:

             или          ;   ;  ;                или   .

4. Какое число больше 3203 + 2303  или 3201 + 2305 ?

5. Доказать неравенство       ·  ·  · … ·  < 0,01.

Тема 3.

1. Равносильны ли на множестве всех положительных чисел следующие неравенства:

    х2      х3 и 1      х;  х3 + < х2 +  и х3 < х2;       х+1 и х      (х+1)2?

2. а) с помощью цепочки эквивалентных неравенств

        1. Доказать неравенство      , где a > 0, b > 0.

        2. Доказать, что для любых действительных х и у выполняется неравенство

                                         х2 + 2ху + 3у2 + 2х + 6у + 3    0.

    б) с использованием свойств функции, входящих в неравенство, доказать                                                                  справедливость неравенства:

         1. tg x + ctg x    2;

         2. 0     sin8 x + cos20 x    1;

         3.  +     1.

    в) метод оценок:

         1. Доказать неравенство  +  + … +     , n Є N.

         2. Доказать неравенство  +  + … +  < 1 - , n Є N, n  > 1.

        3. Доказать, что  +  +    , если a > 0, b > 0, c > 0.

        4. Доказать, что 1 +  +  + … +  > 2           - 2.

  г) применение неравенства Коши:

        1. Доказать, что если а    0, b    0, то              (неравенство Коши).

        2. Доказать неравенство х4 + у4 + z4 + t4     4xyzt

        3. Доказать, что сопротивление последовательного соединения n проводников превышает сопротивление параллельного соединения тех же проводников не менее, чем в n2 раз.

        4. Доказать, что произведение двух положительных сомножителей, сумма которых постоянна, будет наибольшим, когда они равны.

   д) на все методы:

       Доказать неравенства:   1. х2 + у2 + 1    ху + х + у

                 2. х(у +1) + у(z + 1) + z(x + 1)    6

        3.      +      +     x + y + z (x, y, z     0)

        4. a2 – ab + b2     ab

        5. (a2 – b2)     4ab(a – b)2

        6. a2 + b2 + c2    ab + bc + ac

          7. a2 + b2 + 1    ab + a + b

                8.              

        9. (ab + bc + ac)2 = 3abc(a + b + c).

10. Доказать, что если а    0, b    0, с    0, то имеет место неравенство

      6abc     ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)    2(a3 + b3 + c3).

11. Доказать, что если a > 0, b > 0, c > 0, то имеет место неравенство

       +  +      3.

12. Доказать, что если ab > 0, то  +     2.

13. Доказать, что если a < b, то a <  < b.

14. Доказать, что если     , то     .

15. Доказать неравенство x4 + y4 + z4 + 1    2x(xy2 – x + z + 1).

        Тема 4.

1. Докажите, что если a > b и a,b – положительные числа, то an > bn.

2. Докажите, что 2n > 2n + 1 при любом натуральном n     3.

3. Докажите, что 3n > n + 1.

4. Доказать, что для всех натуральных чисел справедливо неравенство

     +  + … +  > 1.

    5. Докажите, что при любом натуральном n > 3 справедливо неравенство

     +  +  + … +  < .

6. Доказать (1 + x)n > 1 + nx для любого натурального n     2, x > 1, x     0. (неравенство                 Бернулли).

7. Доказать неравенство      ·      ·     · … ·               .

8. Доказать, что      +  + … + .

9. Докажите, что    а) n! >  , если n > 2;   б) n! > 2n -1, если n > 2.

10. Докажите     n .

        Тема 5.

1. Доказать неравенство                                   .  (неравенство Коши)

2. Доказать неравенство

                             (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2     (a12 + a22 + … + an2)·(b12 + b22 + …+ bn2).

    (неравенство Коши – Буняковского)

3. Пользуясь неравенством Коши – Буняковского докажите неравенство

                                    ·     n2, где ai > 0 (i = 1, 2, ... , n).

4. Доказать, что если                     , , то имеет место неравенство

                              tg2 + tg2 + tg2    1.

5. Докажите  sin   .

        Тема 6.

1. Доказать                  , где а1, а2, а3     0.

2. Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство

                                     > .

3. Доказать, что если а    0, b    0, c    0, то имеет место неравенство

        a + b + c     +  + .

4. Доказать неравенство a4 + b4 + c4     abc(a + b + c).

5. Доказать неравенство  +     .

6. Доказать, что для натуральных m и n имеет место неравенство  

                                                           .

        Тема 7.

1. Доказать неравенство Чебышева.

     ·      , где

    а1, а2, а3, …, аn, b1, b2, …, bn – две не убывающие последовательности чисел.

2. Пользуясь неравенством Чебышева, доказать, что при n натуральном имеет место    неравенство

         (n – 1)pq + 1, где p     1, q     1 (или p    1, q     1).

        Тема 8.

1. Доказать, что если  <     <  и  <     < , то      .

2. Доказать неравенство         sin8     + cos8        .

3. Доказать неравенства              .

4.                                               sin    · sin      · sin      < .

5.                                               (1 – sinx)2 + sin2(x – 1) > 0.

6. Решите неравенства            sin6x + cos6x > .

7.                                                < .

8.                                                       +  > 1.

9. На какой высоте следует повесить фонарь, имеющий У свечей, над центром площади, представляющей собой квадрат со стороной а м., чтобы в средних точках каждой из этих сторон этого квадрата, освещенность достигла наибольшей величины.

        Тема 9.

1. Докажите, что при  0 < t <       имеет место неравенство t -  < sint.

2. Докажите, что   2а3 + 11 > 9а при а > 0.

3. Докажите неравенство   2х +            (при х    0).

4. Докажите неравенство   а) tg x > x +  при 0 < x <     .  

        б) cos x > 1 -  при x > 0.

        в)         > 3 -  при x > 1.

5. Докажите, что при 0    р     1 и любых а > 0, b > 0 справедливо неравенство

                                              (а + b)р     ар + bр.

6. Решите неравенство        а) 2х +     arctg x;

        б)      cos (x – 1) – 1.

Тема 10.

1. Докажите, что SABC      .

2. Докажите, что любая диагональ четырехугольника меньше половины его периметра.

3. Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше  периметра, но меньше периметра.

4. Докажите неравенство  2    a.

5. Докажите, что высоты треугольника удовлетворяют неравенству

                hc > .

6. Докажите, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac).

7. Периметр выпуклого четырехугольника  равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

8. Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.

9. Дан треугольник площадью 1 со сторонами  a     b    c. Докажите, что b          .    

10. Внутри квадрата со стороной 1 расположено n2 точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2n.

 Тема 11.

1. Найдите область определения функции:

    а) у =            +          ;   в) у = ;                д) у =          ;  

    б) у = ;            г) у = arccos ;        е) у =            .

2. Найдите область значений функции:

   а) у = arcsin x; б) у = ; в) у = sin x + cos x; г) у =                     .

3. Исследуйте функции на выпуклость и вогнутость:

   а) у = х2; б) у = х3 + 2х; в) у = ;  г) у = sin x (0 < x < 2   ).

4. Среди прямоугольников, имеющих площадь 10 кв.ед., найти прямоугольник наименьшего периметра.

5. Найдите наибольшее значение функции у = х2 .

6. Найдите минимальную длину у стрелы крана высотой h, с помощью которого            можно построить здание высотой H и шириной 2а.

7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Какие должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света при заданном периметре окна P?

8. В каких пределах изменяется скорость точки, движущейся равномерно по прямой, если известно, что при увеличении скорости на 3 эта точка при прохождении расстояния в 630м. выигрывает время не меньше, чем 1сек., и не больше, чем 280сек.

Темы рефератов и докладов.

1. Различные методы доказательства неравенства Коши.
2. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. (исторический экскурс, различные способы доказательства.)
3. Функциональное доказательство неравенства Коши.
4. Теорема Мюрхеда и ее применение.
5. П. Л. Чебышев и его научное наследие.
6. Неравенство Иенсона.
7. Исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенство Коши – Гельдера и неравенство Минковского.
8. Решение задач на оптимизацию.
9. Замечательные неравенства помогают решать уравнения.
10.  Симметрические неравенства и их решения.
11.  Геометрические неравенства.
12.  Неравенство Бернулли и его применение к решению задач.
13.  Производная помогает доказывать неравенства.
14.  Экономика и неравенства.
15.  «Знаменитые» задачи на наименьшее и наибольшее значения функций.

Литература для учителя.

1. Блох А. Ш., Трухан Т. Л. Неравенства – МН: народная асвета, 1972.
2. Кипнис И .М. Сборник прикладных задач на неравенства: Пособие для учителя. – М: Просвещение, 1964.
3. Седракян Н. М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит,2002.
4. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
5. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. средней школы. – М.: Наука, 1970.
6. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. – М.: Наука, 1970.
7. Терешин Н. А., Терешина Т. Н. Сборник задач и примеров по алгебре. М.: Аквариум, 1998.
8. Терешин Н. А., Терешина Т. Н. 2000 задач по алгебре и началам анализа, 10 кл. М.: Аквариум, 1998.
9. Прасолов В. В. Задачи планиметрии. Часть 1., М.: Наука, 1991.
10. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – М.: Наука, 1988.
11. Газета «Математика», №18 2004 г.; №47 2002 г.; №5 2002 г.
12. Журнал «Математика в школе», №3 1999 г.; №4 2000 г.; №1 2002 г.

Литература для ученика.

1. Баккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир,1965.
2. Гаврилов В. И. Математический анализ. Курс лекций. – Часть 2. – М.: Школа имени академика А. Н. Колмогорова, 1999.
3. Литвиненко В. Н.,  Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. – М.: Просвещение, 1984.
4. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1998.
5. Моденов П. С. Сборник задач по математике с анализом решений. – М.: Советская наука, 1959.
6. Симонов А. С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа – Пресс, 1999

     (Б-ка ж-ла «МШ»).

7. Соломинский И. С., Головина Л. И., Яглом И. М. О математической индукции. – М.: Наука, 1967.
8. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: ИЛ, 1948.