Разработка урока.«Решение уравнений вида cos t = а и sin t = а»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Предмет: алгебра

Класс: 10

Учебник: А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа. Учебник для общеобразовательных учреждений, профильный уровень. М., Мнемозина, 2011.

Тема урока:  «Решение уравнений вида  cos t = а и  sin t = а»

Тип урока: открытие нового знания.

Автор урока: учитель математики Мельникова Н.В. , МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 4 г.Вольска Саратовской области»

Основные цели:

Вывести общие формулы решения уравнений вида  cos t = а и  sin t = а;

сформировать способность к их использованию.

Развивать  коммуникативные способности учащихся, навыки сотрудничества работы в группе.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока.

-Отгадать, график какой функции изображен на рисунке?

y = 2sin x + 1

- Со свойствами каких функций мы познакомились на прошлых уроках?

 (y = sin x, у = cos x, y = tg x, y = ctg x, с обратными тригонометрическими функциями)

- Что мы умеем находить, используя графики тригонометрических функций? (наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, графически решать уравнения)

- Научившись решать уравнения с помощью графиков, чему мы должны научиться дальше? (вывести общие формулы решения уравнений) 

-Этим мы и займемся сегодня на уроке.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель этапа: 

актуализировать знания о понятиях arcsin a, arcсos a, о решении тригонометрических уравнений графическим способом и с помощью единичной числовой окружности, зафиксировать затруднения при решении тригонометрических уравнений общего вида.

№1. Вычислить устно:

arccos  + arcsin

arcsin (-) + arccos (-)

arcos (-1) + arcsin 0 - arcos (-)

№2. Решить уравнения:

а) cos t = -        б) cos t =                 в) sin t = -

-Как можно решить уравнения?

 (I способ – графически, II способ – используя единичную числовую окружность.)

Работа в группах.

- 1,2,3 группы решают I способом,   4,5,6 группы – II способом.

Проверка.

а) cos t = -

Решений не имеет, так как    -1cos t 1.

№3. Решить уравнения:     а) cos t = ;    б) sin t = - 0,3.    

Учащиеся испытывают затруднения при решении уравнений.                                                  

3.Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа: 

зафиксировать  место, где возникло затруднение и причину затруднения, каких конкретных знаний недостает для выполнения задания.

-Какое задание вы должны были выполнить? ( Решить уравнения:  cos t =  и   sin t = - 0,3)  

-В чем затруднение?  

-Почему не можете выполнить задание? (Не знаем, как решить уравнения, используя числовую окружность или график)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа: зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности, сформулировать цель и тему урока.

-Чем это задание отличается от предыдущих?

(Чтобы решить уравнение cos t =  , нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой   и записать, каким числам  t они соответствуют. Абсциссу   имеют точки М и Р, но каким значениям  t они соответствуют, мы не знаем .В уравнениях  cos t = ;  sin t = - такие числа мы знали. Поэтому решить данные уравнения мы не можем.)

-Какая же цель урока?

 (Научиться решать уравнения вида  cos t =а, sin t = а, где  , вывести общие формулы решения уравнений).

-Сформулируйте тему урока.

(Решение уравнений вида cos t =а, sin t = а)

5. Реализация построенного проекта. ( «Открытие»  нового знания)

Цель этапа: организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

зафиксировать новый способ действия в речи и с помощью формул.  

-Что нам может помочь при решении уравнений вида cos t =а, sin t =а? (единичная числовая окружность)                

- Рассмотрим уравнение вида cos t =а и отметим на числовой окружности точки, абсциссы которых равны а .

- Сколько таких точек имеем? (две)           

- Пусть это точки М и N. Что про эти точки можно сказать?

(Они симметричны относительно оси абсцисс)

- Равны ли величины дуг АМ и АN?

(Они равны по модулю, но противоположны по знаку)

- Какому числу соответствует точка М ?

Если учащиеся затрудняются с ответом, предлагаю подсказку.

- Верно ли, что точка М соответствует числу, косинус которого равен а. Как называется такое число? (arccos а)

-А еще каким числам соответствует  точка М?  (всем числам вида

 arccos а+2к)

- Какому числу соответствует точка N ? ( числу  -arccos а и всем числам вида  -arccos а+2к)

- Следовательно, как можно записать решения уравнения  cos t =а, где  ?

Общая формула решения уравнений вида cos t =а , где  .

- Самостоятельно выведите формулу для решения уравнения sin t =а, 

 где   (работа в группах).

- Составьте план действий.

  1. Отметить на числовой окружности точки, ординаты которых равны а.

  2. Определить, каким числам соответствуют данные точки.

  3. Попытаться записать решения уравнения sin t =а в виде формулы.  

- Какие правила надо помнить при работе в группах, чтобы работа была результативной?

( Каждый может высказать свое мнение, остальные должны выслушать, каждый должен сделать свой вклад в работу группы, обсуждать надо тихо, не мешая всем остальным)

По окончании работы группы представляют свои результаты, одна из групп объясняет вывод формулы, остальные – дополняют, уточняют.

Общая формула решения уравнений вида sin t =а  , где  .

- Можем ли мы теперь найти решения уравнений, которые вызвали у нас затруднения? (да)

  а) cos t = ,                      

      t = arccos +2k; kZ.

б) sin t = - 0,3,    

    t = arcsin(-0,3) +2k,        t = - arcsin (-0,3) +2k;  kZ.

    t =- arcsin 0,3 +2k,        t = + arcsin 0,3 +2k;  kZ.

- Формулы  t = arcsin а +2k,     t = - arcsin а +2k;  kZ можно объединить общей формулой вида

-Почему эта формула общая?  Попробуйте ее доказать, используя учебник.

(работа в группах).

t = arcsin а +2k,  

t = - arcsin а +2k;  kZ.

Эти формулы можно записать в следующем виде:

t = arcsin а +2k,  

t = - arcsin а +(2k+1);  kZ.

Если перед arcsin а стоит знак «+», то у числа  множителем является четное число 2k, если же перед arcsin а стоит знак «-», то у числа  множителем является нечетное число 2k +1.      Следовательно,  

t =(-1)п arcsin а +п ,  пZ.

При четном  п ( п=2к) имеем   t = arcsin а +2k ,

при  нечетном   п ( п=2к+1) имеем  t = - arcsin а +2k;  kZ.

- Как можно по-другому записать решения уравнения sin t = - 0,3, используя полученную формулу?

t =(-1)п arcsin (-0,3) +п ,  пZ,

t =(-1)п(-1) arcsin 0,3 +п ,  пZ,

t =(-1)п+1 arcsin 0,3 +п ,  пZ.

- Мы достигли поставленной цели? (да, вывели формулы решения уравнений)

- Можем ли мы теперь при решении уравнений обходиться без числовой окружности? (да, достаточно знать формулы)

- Нравятся ли вам полученные формулы? Достаточно ли хорошо они записаны? (обычно при решении уравнений мы используем переменную х, а не переменную t)

- Переменную  t  мы ввели для того, чтобы удобнее было работать с числовой окружностью. Теперь мы имеем готовые формулы для решения уравнений cos t = а,  sin t = а, значит, можем обходиться без числовой окружности и вернуться при решении уравнений к традиционному обозначению переменной буквой х.

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа: 

организовать усвоение детьми нового способа действий  при решении тригонометрических уравнений с помощью формул с проговариванием

- фронтально;

- в группах.

№ 22.8. Решить уравнение:

а) sin х =,

    х = arcsin  +2k,     х = - arcsin +2k;  kZ ,

    х = +2k,      х = +2k,  kZ.

или   х =(-1)п +п ,  пZ.

№ 22.1. Решить уравнение:

в) cos х = - ,

    х = arcos( - ) +2k; kZ,

    х = ( - arcos ) +2k;  kZ,

    х = +2k;  kZ.

- Какой следующий этап работы? Что необходимо сделать, чтобы понять, усвоили вы тему или нет?

(выполнить самостоятельную работу)

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: 

организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;  

организовать самопроверку самостоятельной работы по эталону с целью зафиксировать затруднения и исправить ошибки.

№ 22.2 а)     cos х = ;

№ 22.10 в)   sin х = - ;

№ 22.10 г)    sin х =.

После завершения работы учащиеся сравнивают свои решения с эталоном.

- Кто решал данные уравнения?

- У кого они вызвали затруднение?

- Где и почему допустили ошибку?

- Какие формулы использовали при решении уравнений?

- Кто решил все уравнения верно? Молодцы!

8. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа: 

организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия;

организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности: формул cos t =0, cos t =1, cos t = -1, sin t =0, sin t =1,

sin t = - 1.

№ 22.11

а) (2 cos х +1)(2 sin х - )=0,

    2 cos х +1= 0;  2 sin х - )= 0,

1) cos х = -;                                                              

    х =  arcсos(-) +2k;  kZ,                                                              

    х = +2k;  kZ.

2) sin х = ,

    х = arcsin   +2k;    х =  - arcsin   +2k;  kZ,

    х = +2k;                   х = +2k;  kZ,

    Ответ: +2k;  kZ, (-1)к+п;  пZ.                

б) 4 sin 2х - 3 sin х = 0,

    sin х (4 sin х – 3) = 0,

    sin х =0;  4 sin х – 3 = 0,

1) sin х = 0,

    х = k;  kZ,

2) 4 sin х – 3 = 0,

     sin х  = ,

     х = (-1)к arcsin  + п;  пZ.

     Ответ: k;  (-1)к arcsin  + п;  пZ.

г) 2 sin 2х – 1  = 0,

    1- cos  2х – 1= 0,

cos  2х = 0,

2х =  + k;  kZ.

х =  + ; kZ.

Ответ:  + ; kZ.

Замечание:

При решении уравнений cos х = 0, cos х =1, cos х =-1, sin х = 0, sin х  =1,

sin х =-1 проще пользоваться не полученной общей формулой, а следующими соотношениями, которые мы получили с помощью числовой окружности.

cos х = 0, х=+k; kZ.

cos х =1, х =2k; kZ.

cos х =-1, х =+2k; kZ.

sin х = 0, х = k; kZ.

sin х  =1, х=+2k; kZ.

sin х  =-1,   х=- +2k;   kZ.

9. Рефлексия деятельности на уроке

- Какая цель стояла перед нами на уроке?

- Удалось достичь цели урока?

- Какие знания помогали нам в достижении цели?

- Для чего нам нужно новое знание?

- Проанализируйте и оцените свою работу на уроке.

Домашнее задание

22, п.1,2,3,пр.3,5;  № 22.1- 22.13 (на выбор 3 номера),№22.43*