Еще идут старинные часы
занимательные факты по алгебре по теме

Еще идут старинные часы

Задачи, которые приводятся в этой подборке — самые разные как по уровню сложности, так и по подходам к решению. Единственное, что их «роднит», — в условиях задач обязательно встречается слово «часы». Задачи эти редкие. Источники условий задач — всевозможные сборники и пособия для кружковой работы со школьниками, журнал «Квант», газета «Математика», материалы различных олимпиад. В том случае, когда источник известен, приводится ссылка на него, но некоторые задачи перешли в разряд «фольклорных», и сослаться на автора или источник нет возможности.

Счастливые часов не наблюдают...

А. Грибоедов Стрелки часов — две руки, которые отнимают у нас время.

Г. Станьчик

1. Ежедневно Он подходил к городским часам в 4 часа. Она же приходила туда, когда воображаемая биссектриса между часовой и минутной стрелками проходила через цифру 6. Когда приходила Она?

Рис. 1

Ответ: в 4 часа 38 минут.

2. Куранты бьют 6 раз за 30 с. Сколько секунд они бьют 12 раз?

Решение. Промежуток между боем часов равен

30 6-1

= 6 с. Тогда 12 раз часы бьют в течение

6(12 - 1) = 66с.

Ответ: 66 секунд.

3.        Когда секундная стрелка на часах прошла 1 с,
минутная стрелка прошла 6 мин. Тем не менее часы
исправны. Как это объяснить?

Решение. Речь идет о секунде времени и угловых минутах. Действительно, за 1 ч минутная стрелка проходит 360°, за 1 мин — 6°, а за 1 с в 60 раз меньше, то есть 6 угловых минут.

4.        Сколько раз в сутки стрелки часов совпадают?
Решение. Начнем с положения 12:00 или 00:00.

В течение первого часа минутная стрелка, пройдя круг, ни разу не совпадет с часовой. Затем минутная стрелка будет совпадать с часовой один раз в течение каждого часа (примерно в 13:05, в 14:10 и т.д.). За двенадцатый час минутная стрелка совпадет с часовой лишь в 12:00, но эту точку мы отнесли к следующему кругу. Значит, всего стрелки совпадают лишь одиннадцать раз за полный оборот часовой стрелки, а в сутки — 22 раза. Ответ: 22 раза.

5.        Сколько раз в сутки стрелки часов направлены
противоположно (то есть угол между ними равен
180°)?

Решение. Начиная с 6:00 стрелки направлены противоположно первый раз в 6:00, во второй раз, около 7:05, в третий раз, около 08:10, ..., в десятый раз, около 3:49, в одиннадцатый раз, около 4:54, в двенадцатый раз — в 6:00, но это уже было первый раз. Итого: одиннадцать раз за 12 часов, а в сутки — 22 раза.

Ответ: 22 раза.

12.        На электронных часах высвечивается время:
часы и минуты. Сколько времени в сутки на их табло
присутствует хотя бы одна цифра 2? Найдите соответствующее время для остальных цифр: О,  1, 3,4, ..., 9.

Решение. На первом месте цифра 2 бывает в течение 4 часов от 20:00 до 00:00. В остальные 20 часов она бывает: а) 2 часа на втором месте — от 2:00 до 3:00 и от 12:00 до 13:00; б) в оставшиеся 18 ч цифра 2 бывает на третьем месте по 10 мин каждый час; в) в остальные 50 мин часа еще по 5 мин — на четвертом месте. Итого, по 15 мин в каждый из 18 часов, то есть 4 ч 30 мин. Всего получаем 4 + 2 + 4,5 = 10,5 ч. Рассуждая аналогично, получим время показа цифры на табло для всех случаев.

Ответ: для цифры 2 — 10,5 ч; 0 и 1 — по 16 ч; 3 — 8,25 ч; 4 и 5 — по 7,5 ч; для остальных — по 4,2ч.

13.        Разделите циферблат часов на равные (по сум
ме чисел) части. Приведите все способы.

Решение. Сумма всех чисел на циферблате равна 78. Найдем такую комбинацию х • у = 78, где х и у — натуральные числа, х > 12 (поскольку число 12 также входит в какую-то часть), у > 1 — число частей.

Воспользуемся тем, что 78 = 2 • 3 • 13.

Варианты:

1) х = 39, у = 2; 2) х = 26, у = 3; 3) х = 13, у = 6.

Возможные способы приведены на рисунке 3, а—в.

а)

б)

в) Рис. 3

14. Сколько раз в сутки угол между стрелками часов равен данному углу а?

Решение. 1. Случай, когда а = 0 (стрелки совпадают), рассмотрен в задаче 4.

Случай, когда а = 180°, рассмотрен в задаче 5.

Рассмотрим случай, когда ос отличается от край
них значений, то есть 0 < а < 180°,

а)        Пусть по кратчайшей дуге стрелки удаляются (минутная стрелка дальше по ходу). Тогда (начиная с12:00) угол между стрелками будет равен а в первый
раз, когда часовая стрелка расположена в промежутке от 12:00 до 1:00, во второй раз — от 1:00 до 2:00 и т.д., всего 11 раз за оборот часовой стрелки, или 22 раза в сутки.

б)        Пусть, наоборот, стрелки часов сближаются. Рассуждая аналогично, получим еще 22 раза в сутки. В итоге, всего за сутки угол между стрелками будет равен а 44 раза. Частный случай этой задачи рассмотрен в задаче 6.

Ответ: 22 раза при а равном 0 или 180° и 44 раза при других значениях а.

15.        Имеются песочные часы на 3 мин и на 5 мин.
Отмерьте с их помощью промежуток времени в 1 мин.

Решение. Запустим часы одновременно. Когда пройдут 3 мин, перевернем эти часы, начнем новый отсчет времени. Когда пройдут 5 мин, на трехминутных часах к этому времени останется песка ровно на 1 мин. Конец отсчета времени — когда «остановятся» трехминутные часы. Действительно, 2-3-5 = 1.

Замечание. Можно рассмотреть эту задачу в общем виде: пусть первые часы на х мин, вторые — на у мин. Отмерить г мин. Решение этой задачи сводится к решению диофантова уравнения г = пх - ту.

16.        (Задача заочной олимпиады, для абитуриентов
мехмата МГУ, 1999 г.) Минутную стрелку обломили
так, что она перестала отличаться от часовой. Сколь
ко раз в сутки можно ошибочно считать время с ча
сов с такими стрелками, если при этом не разрешает
ся наблюдать за ходом часов?

Рис. 4

Решение. Разобьем циферблат на 12 часовых секторов (рис. 4). Пусть а — угол между часовой стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится часовая стрелка, (3 — угол между минутной стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится минутная стрелка; оба угла измеряются в долях от величины сектора в 30°, значения а и Р находятся в интервале [0; 1). Обозначим: п — номер сектора, в котором находится часовая стрелка, т — номер сектора, в котором находится минутная стрелка, т и п — целые числа от 1 до 12.