Дистантное обучение заочников математике
статья по алгебре (11 класс) по теме

           Т.Н.Сидорова,

учитель математики МКВСОУ Тугулымская ВСОШ

                                 Тема: Дистантное обучение заочников математике

          Муниципальное казённое вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение Тугулымская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа – в котором ежегодно учится около 80 человек, действуют формы обучения: заочная, очно - заочная (вечерняя).

        Сегодня вечерняя школа имеет контингент учащихся, весьма разнородный по вариантам дидактической запущенности и социальному опыту, по социальному и возрастному составу, с преобладанием «трудных» подростков и безработной молодежи. Работа, проводимая педагогическим коллективом в течение последних лет, позволила создать модель образовательного учреждения, в основе которой последовательно реализуются идеи личностно-ориентированного обучения. В Рамках этого направления учителя разных предметов разработали свои методические подходы, к освещению наиболее важных разделов учебных программ.

        Я хочу поделиться своим опытом работы – применением дистантного метода обучения математике.

Дистантное обучение предполагает самостоятельное изучение предмета, темы. В вечерней школе, особенно при заочном обучении, самостоятельная работа занимает центральное место, да и в обычной школе она не лишняя.

Дистантное обучение применяется, прежде всего, в обучении учащихся, по тем или иным причинам, не посещающим школу, или которым тяжело усваивать программу в обычном режиме.

      Для этой цели мной разработаны индивидуальные маршруты обучения  для разных классов и по разным темам. Они содержат рекомендации по выполнению упражнений, образцы пошагового решения примеров и задания для тренировки.

Эти маршруты используются учениками на индивидуальных консультациях, а также дома при самостоятельной подготовке к контрольной работе или зачету.

Подобные маршруты дают возможность следить за продвижением учеников в освоении программы, создают особую атмосферу взаимной заинтересованности, доброжелательности и сотрудничества, тем более для обучающихся, которые работают.

        Приведу пример индивидуального маршрута по теме «Первообразная и интеграл». Он составлен на основании действующей программы, содержит простое развернутое поэтапное изложение материала.

Индивидуальный маршрут по теме                                                        «Первообразная и интеграл» для 12 класса.

Производная.

При изучении различных процессов приходится иметь дело со скоростью, которая зависит от величин - зависимых и независимых. Так в физике – это скорость движения тела;                                      - в химии - скорость растворения вещества (например, сахара, марганца  в воде);
- в биологии -  скорость усвоения той или иной пищи (молока, мяса);
- в истории — скорость изменения формации  в стране;
- в географии — скорость движения ветра (отсюда и их соответствующие названия — штиль, ураган ит.д.).
Все эти процессы удобнее изучать, если они изложены на языке математики. Например, независимая величина обозначается х (икс) — аргумент; зависимая — f(х) (эф от икс) — функция х, у (игрек), у(х) (у от икс) и т. д.
Скорость изменения функции математиками предложено называть производной. Для более краткой записи с помощью штриха: и записывается F′(х); у′; f′ (х) и т. д.
Выведены и доказаны правила нахождения производных, например, для некоторых элементарных функций:
1. Показатель умножается на коэффициент.
2. Сам показатель уменьшается на 1 (единицу).
Пример 1. (5х3)′ = 5·З х3-1 = 15х2 и (ахn) ′ = а • n х n-1 

Таблица производных некоторых элементарных функций

Пример 2. Найти производную f (х) = 5х2 + 7х - 3. 
Решение:
f’(х) = (5х2 + 7х - 3)’ = (5х2)’+ (7х)’— (3)’ = 5•2 х2-1 +7•1 х1-1 – 0 = 10х + 7.

ПЕРВООБРАЗНАЯ. 
      Иногда по найденной производной надо найти первоначальную, т. е. ту, от которой была найдена производная.
Эту первоначальную функцию, от которой была найдена производная, называют первообразной, т.е. если дана f (х), то F(х) — первообразная для f (х) при условии, если F’ (х) = f (х).
    Поскольку идет обратное нахождение, то отсюда и предыдущие правила можно использовать в обратном порядке.
Правила нахождения первообразной элементарных функций.
1. Показатель увеличивается на 1 (единицу).
2. Сам коэффициент делится на новый показатель.                                                                                             Для других функций свои правила нахождения первообразной.
Пример 1. Для  f (х) = 15х2 -  4х   первообразной является F(х)  = 5х3/3 -  4х2 /2 = 5х3-  2х2, так как    F’(х) =  (5х3 – 2х2)’ = 15х2 - 4х = f (х).
   На рассматриваемом промежутке существует не одна первообразная функция, а множество, которые отличаются дополнительным слагаемым, выраженным любым действительным числом.
   Так, для функции f (х) существует множество первообразных F(х) + с, так как (F(х) + с)’= f (х) . 
Пример 2. Для функции f (х) = 15х2 - 4х первообразной являются F (х) = 5х3 – 2х2 + 4;                 G(х)= 5х3 – 2х2 + 2,5;  U(х) = 5х3 – 2х2  - 0,17; K(х) = 5х3 – 2х2 – р и т. д. Поскольку таких первообразных множество, то ответ составляет F(х) = 5х3 – 2х2 + с, так как производная постоянной (с)’= 0.                                                                                                                                               Таблица первообразных

ОВРАЗЦЫ  РЕШЕНИЯ  ПРИМЕРОВ

Пример 1. Найти одну из первообразных для функции f (х) =7.
Решение: ответом может быть F(х) = 7х+2,т.е. они могут отличаться свободным слагаемым, так как
F’(х)= (7х)’ и  F’(х) = (7х+2-)’= 7.
Ответ: F(х) = 7х.
Пример 2. Найти множество первообразных для функции:
а) f (х) = 2х3 – 6х2 + 1.
Решение: F(х) 2х4 / 2  – 6х3 / 3+ х + с  = х4 / 2 – 2х3 + х + с.  Ответ: х4 / 2 – 2х3 + х + с.                       б) f (х) =(х – 3)3.  Решение: F(х)= (х – 3)4/ 4  + с.     Ответ: (х – 3)4/ 4  + с.                                                                                                                                                                                                                             Пример 3.
а) Найти первообразную для функции f (х) = 4х + 2,5 , график которой проходит через точку (3; 5) Решение: 1. F (х) = 4х2 / 2+ 2,5х + с = 2х2 + 2,5х + с.                                                                                         2.  Подставим координаты данной точки в полученное выражение, учитывая, что абсцисса (х) всегда стоит на первом месте, а ордината (у) или F(х) всегда на втором: (х; у) или (х; f (х)). Тогда получим:    2х2 + 2,5х + с = 5,2 ∙ 32 + 2,5 ∙ 3 + с.
с =  5 - 25,5 = - 20,5.
Ответ: F (х) = 2х2 + 2,5х – 20,5.
6) Для функции f (х) = 3х2 + 4х + 5 найти первообразную, значение которой при х = 2 равно 1.
Решение: 
1. F(х) = 3х3 / 3 – 4х2 / 2  + 5х + с = х3 – 2х2 + 5х + с.
2. В полученное выражение вместо х и F(х) подставим значения 2 и 1.
х3 - 2х2 + 5х + с = F(х),  23 – 2 • 2 + 5 • 2 + с = 1,
8 — 8 + 10 + с = 1 – 10 + с = 1,с = 1— 1О,с = - 9.
Ответ: F(х) = х3 – 2х2  + 5х - 9.                                                                                                                           в) Дана функция f (х) = 1,2 + 6х2. Найти первообразную, значение которой при х = - 2 отрицательно.     Решение: 1)  F(х) = 1,2х + 6х3 / 3 + с = 1,2х + 2х3 + с;   2) Составим неравенство 1,2х + 2х3 + с < 0  при х = - 2,    1,2 • (- 2) + 2(- 2)3 + с < 0,     - 2,4 + 2(- 8) + с < 0,     - 2,4 – 16 + с < 0,     - 18,4 + с < 0,             с < 18,4.   с € ( - ∞; 18,4), из этого множества чисел можно взять, например, число 15, оно < 18,4, отсюда Ответ: F(х) = 1,2х + 2х3 + 15.        
г)Является ли F(х) = - 2х3 + 3х - 5 первообразной функцией для f (х) = - 6х2 +3 ?
Решение: 
1 вариант. 
Найдем производную функции F(х).
F ′(х) = (- 2х3 + 3х - 5)′ = - 6х2 + 3, сравним с  f (х), замечаем, что F ′(х) = f (х).
Ответ: да.                                                                                                                                                               2 вариант. По правилам нахождения первообразной имеем F(х) = 6х3 / 3 + с = - 2х3 + 3х + с, где с -  любое число. В данном случае можно взять с = - 5, тогда F (х)  = - 2х3 + 3х - 5.
Ответ: да. 
д) Для какой из функций f(х)= 4(3х2 + 1), g(х) = 4х(3х + 1) или u(х) = 4х(1 + 3х2) функция                F(х) = 3х4 + 2х2 + 1 является первообразной.
Решение:
Найдем производную функции F(х).
F ′(х)= 3 • 4х3 + 2• 2х = 12х3 + 4х = 4х( 3х2 + 1).
Сравнивая полученный ответ с функциями f(х); g(х); u(х), делаем вывод, что F(х) = 3х4 + 2х2 + 1 является первообразной для u(х) = 4х( 1 + 3х2 ).

ИТЕГРАЛ.
Математики многих стран искали способы нахождения площадей фигур, имеющих вид так называемых криволинейных трапеций.
Ньютону (Англия) и Лейбницу (Германия) не зависимо друг от друга в ХVIII в. удалось доказать закономерность нахождения площадей, называемых криволинейной трапеций. Эта формула стала носить название «формула Ньютона—Лейбница».
  По этой формуле находят площадь с помощью интеграла.
Определение. Интегралом функции f(х) от a до b называется предел интегральной суммы: Lim Sn .
  Интеграл обозначается так  ∫ f(х)dх -  читается: «интеграл от а до Ь эф от икс до икс».
Это обозначение указывает на способ его образования. Знак интеграла напоминает удлиненную латинскую букву S первую букву слова summa (сумма). Латинское слово integer означает «весь, целый».                                                                                                                                                                                                      Подынтегральное выражение f(х)dх напоминает вид каждого отдельного слагаемого f(хk)Δх интегральной суммы. Множитель dx в математике называют дифференциалом. Число а - называется нижним пределом интегрирования, а число b, верхним пределом. Таким образом, формула Ньютона - Лейбница имеет вид:

S = ∫ f(х)d(х) = F(х)  = F(а) – F(Ь).
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х) = - х2 + 2х + 3 и осью ОХ. 
Решение:
1. Построим график функции f(х) = - х2 + 2х + 3 одним из способов, например, по точкам. Для этого составим таблицу:

у = - 02 + 2 • 0 + З = 3,
у = - 12 + 2 • 1 + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4,
у = - 22 + 2 • 2 + 3 = 3,
у = - 32 + 2 • 3 + 3 = - 9 + 6 + 3 = - 9 + 9 = 0,
у = - (- 2)2 + 2(- 2) + 3 = - 4 – 4 + 3 = - 5.
Применим формулу Ньютона— Лейбница, вычислим площадь
S = ∫ f(х)d(х) = F(х)  = F(а) – F(Ь).

S = ∫ ( - х2 + 2х + 3)d(х) = _______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Ответ: 10  2/3 кв.ед.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ТЕМЕ «ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ» 
Вариант I. 
1) Найти все первообразные для функции f(х) = 7х7.
2) Найти все функции, имеющие производную  у′ = 8 - 8х.
3) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(х) = 5 + 9х2, значение которой при х =2 отрицательно.
4) Найдите первообразную функции f(х) = х2 - 4, график которой проходит через точку А(3; 5).
5) Найдите первообразную функции f(х) = 2х +5, значение которой при х = 0 равно 6.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х) = х2 + 5х + 6,лрямьтми х = -1,     х = 2 и осью абсцисс.
7)Является ли F(х)= х2 + 5х + 6 первообразной для f(х) = 2х - 5 ?
8) Для какой из функций 4х(2х - 3),  4(2х - 3) и  4(Зх - 2) функции F(х) = 8/3 х3 – 6х2 + 5 являются первообразной.
                                                                                                                                                                           Вариант П.
1) Найти все первообразные для функции f(х) = х2 + 3х2 + 4.
2) Найдите все функции, имеющие производную   у’ = 3х + х - 8.
3) Найдите первообразную функции f(х) = 10х4 + х, значение которой при х = 0 равно 6.
4) Найдите первообразную функции f(х) =7- х, график которой проходит через точку (- 1; 2).
5) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(х)  = 8х3 - 1, значение которой при х = - 1 положительно.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 3х, у = 0, х = 2.
7) Для какой из функций у = 2х — 4, f(х) = 2(3х + 4),  g(х) = 2(4х + 3) функция F(х) = 4х - 3+ 2х3 является первообразной?                                                                                                            8)Является ли F(х) = - х4/ 4 – х3 +  1/2  х2 -  х + 7 первообразной для f(х) = х3 - 3х2 + х - 1?

Вариант Ш. 
1) Найти все первообразные для функции f(х) = 6х2.
2) Найдите все функции, имеющие производную у’ = 3х4 - 1.
3) Найдите первообразную функции f(х) = х - 2х3, график которой пересекает ось ординат в точке        А (0; 3).
4) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(х) = 8х3 - 1, значение которой равно 2 при х = 1.
5) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(х) = 5х + х2 значение которой отрицательно при   х = - 2.
6) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = √х , х = 4, х = 16.
7) Для какой из функций f(х)= 4х - 18х2,  g(х) = 4х  - 18х  функция F(х) = 4 -  6х2 является первообразной.
8) Является ли F(х) = х4 + 3х2 -  5 первообразной для f(х) = 4х3 + 6х?
                                                                                                                                                                        Вариант IV. 
1) Найдите все функции, имеющие производную у’ = 2х - х2.
2) Каковы все первообразные для функции f(х) = х5 -  х2.
3) Вычислите первообразную фуякцки f(х) = 3х - 5, график которой проходит через точку М(4; 10).
4) Определите какую-нибудь первообразную функции f(х) = 2х3 + х2 + 3, которая принимает положительное значение при х = - 1.
5) Найдите первообразную функции /(х) =  3х2 - 5, значение которой равно 10 при х = 2.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(х) = х2 + 8х + 16 и прямой х = - 2.
7) Является ли функция F(х) = х3 -  3х + 1 первообразной функции f(х) = 3(х2 - 1)2 ?
8) Для какой из функций f(х) = 3(х2 - 2),  g(х) = 3х(х2 - 2)3,  и(х) = 3х2 - 6х + 1 функция                         F(х) = х3 - 3х2 +11 является первообразной?
                                                                                                                                                                          Вариант V. 
1) Найдите все функций, имеющие производнуюF′(х) = 2х +х3.                                                                 2) Найдите все первообразные для функции у = х2 -  3х.
Э) Найдите первообразную функции f(х) =5 – х , график которой проходит через точку (- 1; 2).
4) Найдите какую-нибудь первообразную для функции f(х) = 2х + 3, которая принимает положительное значение при х = - 1.
5) Найдите первообразную для функции f(х) = 2х2, значение которой равно 2 при х = - 1.
6) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 3х +  х2 и осью ОХ.
7) Для какой из функций f(х) = 6(х2 - 1), g (х ) =6х2 - 6х – 1 , u(х ) = 6х(х - 1) функция F(х) = 2х3 - 3х2 +1 является первообразной.
8) Является ли функция F(х) = х3 - 3х - 5 первообразной функции f(х) = 3(х2 - 1) ? 
                                                                                                                                                                            Вариант VI.
1) Найти все первообразные для функции f(х) = х5 + 2х3.
2) Найдите все функции, имеющие производную у′ = х 5 - 2х4.
3) Найдите первообразную функции f(х) = 2х3 + 3, график которой проходит через точку (- 2; - 5).
4) Найдите какую-нибудь первообразную для функции f(х) = 4 - х2, которая принимает отрицательное значение, равное 10 при х = - 3.
5) Найдите первообразную для функции у = х2 -  5, значение которой равно 8 при х = - 1.
6) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функций у = х2 + 5х +4, х = - 1 и осями координат.
7) Для какой из функций f(х) = 4х3 - 8х + 1, g(х) = 4(х2 + 2), u(х) = 4х(х2 - 2) функция                                  F(х) =  х4 - 3х2 + х - 1 является первообразной.
8) Является ли функция F(х) = х3 - 3х + х - 1 первообразной для функции f(х) = 3х(х - 2) + 1 ?

                                                                                                                                                                                                                                                                              В связи с новым подходом к обновлению содержания образовательного процесса стараюсь вводить в свою работу инновации и нестандартные методы и приемы, творчество, что позволяет оказывать помощь ученикам, испытывающим трудности в усвоении учебной программы из-за пробелов в знаниях, пропусков уроков, быстрой утомляемости, для детей со слабо развитой и кратковременной памятью. Одна из форм такой помощи – информационные карты-задания в индивидуальном обучении.

        Карты рассчитаны на быстрое восстановление в памяти учащихся пройденного материала – основной его теоретической части, а также на применение в решении задач и упражнений.

      Карта помогает самостоятельно выполнить домашнее задание, служит хорошим подспорьем при подготовке к контрольной или зачетной работе, при закреплении и обобщающем повторении материала.

    Материал карты компактен, содержит главную мысль и примеры решений основных типов задач и упражнений по данной теме.

Информационная карта по теме:

«Разложение квадратного трехчлена на множители».

Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ах2 + вх + с, где х – переменная, а, в, с – некоторые числа. Причем,  а=0.

Пример: х2 + 6х + 2

Если х1  и х2 – корни квадратного трехчлена  ах2 + вх + с, то: ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на (многочлен) множители.

Если квадратный трехчлен имеет один корень, то его можно разложить на множители:

ах2 + вх + с = а(х – х1)2 .

Образец. Разложить квадратные трехчлены на множители:

1. 7х2  - 14х + 7                                            

Решение. 7х2  - 14х + 7= 0

х2  - 2х + 1= 0

D= 4 - 4∙1∙1=0

х = 2 = 1

      2

Ответ: 7х2  - 14х + 7= 7(х – 1)2 .

2. 5х2  + х – 6 

Решение. 5х2  + х – 6=0

      D=1 - 4∙5∙(-6)= 1 + 120 = 121

     х1 = -1 + 11 = 1,            х2 = -1 - 11 = -6

                2∙5                                  2∙5         5

    Ответ: 5х2  + х – 6=5(х – 1)(х + 6 ) = (х – 1)(5х + 6).

                                             5

3. х2  + 5х + 10

Решение.  х2  + 5х + 10 = 0

D=25 – 40 = - 15<0, корней нет. Значит, трехчлен нельзя разложить на множители.

Реши сам.

Задание: Разложить на множители:

      1) 5х2 + 2х – 3;  2)  - 2 y2 + 5 y + 7;   3) 6х2 – 13 х + 6;   4)  - m2 + 5 m + 6.