Вероятность в заданиях ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Случайные – события, которые могут произойти, а могут и не произойти.

Действие, которое может привести к одному или нескольким результатам, называется испытанием.

Возможные исходы испытания – это результаты действия (напр., орел или решка при подбрасывании).

Благоприятные исходы – те, которые ожидаются в результате испытания.

Обозначим вероятность события Р, n – число благоприятных исходов, m – число возможных исходов. Тогда .

Пример. Вероятность выигрыша в лотерею, в которой из 100 билетов один выигрышный, равна .

В пакете 25 яблок, из них 7 красные, остальные – зеленые. Какова вероятность того, что

а) случайно вытащенное яблоко – красное? Всего исходов – 25, благоприятных – 7. .

б) случайно вытащенный фрукт – банан? Всего исходов – 25, благоприятных – 0 (бананов нет). .

№1  В случайном эксперименте  симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Благоприятных исходов 2 из 4-х возможных.

№2 Найдите вероятность того, что при броске двух игральных кубиков, выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Всего 6*6 = 36 исходов, благоприятных -5.

№3. Перед началом 1 тура участников разбивают на пары с помощью жребия. Всего 26 шахматистов, из них из России – 10, в том числе Орлов. Найти вероятность того, что Орлов будет в 1 туре играть с кем-либо из России.

Всего 26 участников. У Орлова всего 25 партнеров. 9 из 10 – благоприятные партнеры из России.  .

Несовместимые события – те, которые не могут происходить одновременно. Монета падает орлом или решкой – это 2 несовместимых события. Вероятность их одновременного наступления равна нулю.  

Независимые события – такие события, при которых вероятность исхода одного из них не зависит от происхождения другого.

Сумма событий А и Б – произошло событие А и Б ( 

Если А и Б несовместимы, то Р(А+Б) = Р(А) + Р(Б)

Пример: Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет «3» или «4»?

Пусть событие А – выпадет «3», событие Б – выпадет «4». Так как эти события независимы, то Р(А и Б) = Р(А) + Р(Б).  

Произведением событий А и Б называется событие С, которое заключается в том, что произошли события А и Б одновременно

Если события А и Б независимы, то

Какова вероятность одновременного происхождения двух событий одновременно: выиграть в лотерею (А) и познакомиться  в этот же день с девушкой (Б), если Р(А) = 0,01, Р(Б) = 0,4?

Так как эти события независимы, то

Противоположные события:  

№4. В магазине 3 продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что в случайный момент времени все продавцы заняты.

                                                                                                                       События «Все продавцы заняты» -      

                                                                                                                        Независимые. Следовательно,

                                                                                                                         .

№5. Паук заползает в лабиринт.  Развернуться и ползти обратно он не может. На каждом разветвлении он выбирает один путь. Определите вероятность его выхода из А.

Задачи на сумму и произведение вероятностей.

№6. Две фабрики выпускают одинаковые стекла. 1-я фабрика – 45%, 2-я фабрика – 55%. Бракованных стекол первая фабрика выпускает 3%, вторая – 1%. Какова вероятность купить бракованное стекло?  Р(1, брак) =     Р(2, брак) = ;                                                              Р(купить брак) =

Повторение.

№7. В чемпионате 16 команд. С помощью жребия нужно разбить на 4 группы по 4 команды в каждой. В барабане вперемежку лежат карточки с номерами групп. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

2-я группа – это 4 карточки из 16-ти возможных.  = 0,25

№8. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. решит больше 11 задач = 0,67. Вероятность того, что верно решит больше 10 задач = 0,74. Найти вероятность того, что О, решит ровно 11 задач.

Возможные исходы: пусть n – число верно решенных задач.

                                                              n > 10     (P=0.74)

                                             n > 11  (события несовместимы) n = 11

                                            (Р(>11) = 0,67)                              (Р(=11) = х)

0.74 = 0.67 + х                      х = 0,07

№ 9. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выиграет у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52.  Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найти вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Таблица возможных исходов для А.:

1-я партия: А. – белые

2-я партия: А. – черные               Р =

№10. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле = 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попадет, а последние два раза промахнется.  Результат округлите до сотых.

№11. В магазинах стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Пусть  + - автомат исправен (Р=0,95), - - автомат неисправен (Р=0,05).

№12. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года = 0,3. Найти вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Пусть  + - лампа работает (Р = 0,7),  - - лампа перегорела (Р = 0,3)

№13. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе = 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах = 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Так как события зависимые, то вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах =0,12, а не !

Проще посчитать, что кофе закончится хотя бы в одном автомате или в двух сразу (сумма зависимых событий):          Р = 1 – 0,48 = 0,52

(или 2 способ: пусть В – не закончился в 1-м (Р = 1 - 0,3 = 0,7), Г – не закончился во 2-м (Р = 1 - 0,3 = 0,7), не закончился в обоих автоматах  Тогда Р = 0,7+0,7-0,88=0,52)

(Совокупность событий: - сумма событий, т.е. или то, или другое, или оба сразу;

Система: )

№14. Чтобы поступить в институт на специальность «лингвистика» абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из 3х предметов: математика, русский язык, иностранный язык. Чтобы поступить в институт на специальность «коммерция» абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из 3х предметов: математика, русский язык, обществознание. Вероятность того, что абитуриент К. получит не менее 70 баллов по математике = 0,6, про русскому языку = 0,8, по обществознанию = 0,5, по иностранному языку = 0,7. Найдите вероятность того, что К. сможет поступить хотя бы на одну из упомянутых специальностей.

        Благоприятные исходы:                     абитуриент поступит на специальность

 Так как результаты сдачи экзаменов – независимые события, следовательно

Р =

№15 Агрофирма закупает яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц купленных в 1-м домашнем хозяйстве – высшей категории, 20% яиц во 2-м домашнем хозяйстве – высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Какова вероятность того, что яйца, купленные в этой агрофирме, окажутся из первого хозяйства?

Пусть х -  вероятность того, что купленные яйца из 1-го хозяйства.

Купить яйца одного из хозяйств – несовместные события. Если Р1 = х, то Р2 = 1 – х. Вероятность того, что яйца из 1-го хозяйства – высшей категории = 0,4х, вероятность того, что яйца из 2-го хозяйства – высшей категории =0,2(1 – х).  Так как всего высшую категорию получают 35% всех яиц, то вероятность купить яйца высшей категории = 0,35

,        х = 0,75.

№16. Ковбой Джон попадает в муху с вероятностью Р = 0,9 из пристрелянного револьвера и с вероятностью Р = 0,2 из непристрелянного. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет. Найдите вероятность того, что он промахнется.

Так как 4 револьвера пристрелянные, тогда 6 – нет. Вероятность того, что Джон схватит пристрелянный револьвер = 0,4, непристрелянный - =0,6. Вероятность того, что он промахнется из пристрелянного револьвера =  из непристрелянного –                                              «Промахнется из пристрелянного револьвера» и «промахнется из непристрелянного револьвера» - несовместные события, следовательно

Р = 0,04 + 0,48 = 0,52

№17. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3?

Всего чисел 10, из них делятся на 3 три числа. Р = 0,3.

№18.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают 2х человек, чтобы идти в магазин. Турист А. хочет идти в магазин, но подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин?

Р = .

№19. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы узнать, кто начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно 2 раза.

                                                       Всего исходов – 8, благоприятных – 3.

                                                                                                 Р = .

№20.  В классе 26 человек, среди них два близнеца А. и С. Класс случайным образом делят на две группы. Какова вероятность того, что А. и С. окажутся в одной группе?

Пусть А уже в группе, тогда для С. осталось одноклассников 25 человек, для С. шансов уже 12 из 25-ти.          

Р =  = 0,48.

№21. В группе туристов 30 человек. Их вертолетом забрасывают по 6 человек за рейс случайным образом. Найти вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом.

Всего рейсов пять.   Р 

№22. На олимпиаде учащихся рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся рассаживают в запасной аудитории. При подсчете выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник попал в запасную аудиторию.

В запасной аудитории 10 человек.  

№23. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе будет меньше 20 человек равна 0,94. Вероятность того, что пассажиров окажется меньше 15-ти, равна 0,56. Найти вероятность того, что пассажиров будет от 15 до 19.

n < 20 (P = 0.94)

         события несовместимы              

                                          Р1 = 0,56                                                                          Р2 = х

Р = Р1 + Р2  0,56 + х = 0,94   х = 0,38.

№24.  Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявит гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% поступающих с подозрением на гепатит действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Пациент поступил с подозрением

болен  Р = 0,05              события несовместные                           здоров   Р = 0,95

                Р =  0,9                   Р = 0, 1                                                                                 Р = 0,01                Р = 0,99

Р = .

Ссылка на сайт: http://www.ege-study.ru/