Олимпиада
олимпиадные задания по алгебре (7 класс) по теме

∙Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 7 класс.

1. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти   два, сумма которых делится на 2.

2. Над озерами  летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь?

3. Сколько в  зоопарке кроликов и сколько кур, если у них вместе 2520 ног и 760 голов?

4. Докажите, что выражение 87 – 411 + 644  кратно 28.

5. На чудо - яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 9 класс.

1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящие внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83?

3. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые две синицы – тоже по 1 монете, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого вида?

4. Найдите х и у в числе  5678ху, которое кратно 24?

5. Доказать, что если  а*в кратно с и (а + в) кратно с, то и (а3 + в3) кратно с2?

6. Лягушка прыгает вдоль прямой линии. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 3 см в том или противоположном направлении, затем на 5 см в  том же или в другом направлении и т.д. Могло ли случиться так, что она оказалась в исходной точке после 57-го своего прыжка?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 8 класс.

1. Дядька Черномор написал на листе бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получится число 10?

2. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5?

3.Докажите, что выражение  3п+2 + 4 * 3п – 9 * 2п  - 2п+2  кратно 13, п-натуральное число.

4. Найдите все пятизначные числа вида:  76 * 1 *  , которые делятся на 36?

5. Решите в целых числах уравнение: х3 – х = 1013

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 10  класс.

1.  В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящих внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. В десяти сосудах содержится 1. 2. 3. 4. …….10 литров  воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6. 7. 8. 9. 10?

3. Вычислите: 0,5 + tg(arcctg2/3)?

4. При каких значениях параметра   а   корни  уравнения  х2 – 2(а + 1)*х + 9а – 5 = 0  меньше 3?

∙Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 7 класс.

1. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти   два, сумма которых делится на 2.

2. Над озерами  летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь?

3. Сколько в  зоопарке кроликов и сколько кур, если у них вместе 2520 ног и 760 голов?

4. Докажите, что выражение 87 – 411 + 644  кратно 28.

5. На чудо - яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 9 класс.

1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящие внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83?

3. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые две синицы – тоже по 1 монете, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого вида?

4. Найдите х и у в числе  5678ху, которое кратно 24?

5. Доказать, что если  а*в кратно с и (а + в) кратно с, то и (а3 + в3) кратно с2?

6. Лягушка прыгает вдоль прямой линии. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 3 см в том или противоположном направлении, затем на 5 см в  том же или в другом направлении и т.д. Могло ли случиться так, что она оказалась в исходной точке после 57-го своего прыжка?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 8 класс.

1. Дядька Черномор написал на листе бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получится число 10?

2. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5?

3.Докажите, что выражение  3п+2 + 4 * 3п – 9 * 2п  - 2п+2  кратно 13, п-натуральное число.

4. Найдите все пятизначные числа вида:  76 * 1 *  , которые делятся на 36?

5. Решите в целых числах уравнение: х3 – х = 1013

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 10  класс.

1.  В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящих внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. В десяти сосудах содержится 1. 2. 3. 4. …….10 литров  воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6. 7. 8. 9. 10?

3. Вычислите: 0,5 + tg(arcctg2/3)?

4. При каких значениях параметра   а   корни  уравнения  х2 – 2(а + 1)*х + 9а – 5 = 0  меньше 3?

∙Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 7 класс.

1. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти   два, сумма которых делится на 2.

2. Над озерами  летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь?

3. Сколько в  зоопарке кроликов и сколько кур, если у них вместе 2520 ног и 760 голов?

4. Докажите, что выражение 87 – 411 + 644  кратно 28.

5. На чудо - яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 9 класс.

1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящие внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83?

3. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые две синицы – тоже по 1 монете, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого вида?

4. Найдите х и у в числе  5678ху, которое кратно 24?

5. Доказать, что если  а*в кратно с и (а + в) кратно с, то и (а3 + в3) кратно с2?

6. Лягушка прыгает вдоль прямой линии. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 3 см в том или противоположном направлении, затем на 5 см в  том же или в другом направлении и т.д. Могло ли случиться так, что она оказалась в исходной точке после 57-го своего прыжка?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 8 класс.

1. Дядька Черномор написал на листе бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получится число 10?

2. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5?

3.Докажите, что выражение  3п+2 + 4 * 3п – 9 * 2п  - 2п+2  кратно 13, п-натуральное число.

4. Найдите все пятизначные числа вида:  76 * 1 *  , которые делятся на 36?

5. Решите в целых числах уравнение: х3 – х = 1013

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 10  класс.

1.  В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящих внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. В десяти сосудах содержится 1. 2. 3. 4. …….10 литров  воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6. 7. 8. 9. 10?

3. Вычислите: 0,5 + tg(arcctg2/3)?

4. При каких значениях параметра   а   корни  уравнения  х2 – 2(а + 1)*х + 9а – 5 = 0  меньше 3?

∙Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 7 класс.

1. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти   два, сумма которых делится на 2.

2. Над озерами  летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь?

3. Сколько в  зоопарке кроликов и сколько кур, если у них вместе 2520 ног и 760 голов?

4. Докажите, что выражение 87 – 411 + 644  кратно 28.

5. На чудо - яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 9 класс.

1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящие внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83?

3. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые две синицы – тоже по 1 монете, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого вида?

4. Найдите х и у в числе  5678ху, которое кратно 24?

5. Доказать, что если  а*в кратно с и (а + в) кратно с, то и (а3 + в3) кратно с2?

6. Лягушка прыгает вдоль прямой линии. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 3 см в том или противоположном направлении, затем на 5 см в  том же или в другом направлении и т.д. Могло ли случиться так, что она оказалась в исходной точке после 57-го своего прыжка?

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 8 класс.

1. Дядька Черномор написал на листе бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получится число 10?

2. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5?

3.Докажите, что выражение  3п+2 + 4 * 3п – 9 * 2п  - 2п+2  кратно 13, п-натуральное число.

4. Найдите все пятизначные числа вида:  76 * 1 *  , которые делятся на 36?

5. Решите в целых числах уравнение: х3 – х = 1013

Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 10  класс.

1.  В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящих внутри круга,  с радиусом  одна целая три седьмых?

2. В десяти сосудах содержится 1. 2. 3. 4. …….10 литров  воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6. 7. 8. 9. 10?

3. Вычислите: 0,5 + tg(arcctg2/3)?

4. При каких значениях параметра   а   корни  уравнения  х2 – 2(а + 1)*х + 9а – 5 = 0  меньше 3?