Пробный ЕГЭ -2014
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс) по теме

        Дорогой гость, приветствую Вас!

        В ходе подготовки к ЕГЭ – 2014 тьюторы  Курганинского   района разработали 15 вариантов для проведения пробного ЕГЭ по математике.  Варианты содержат различные прототипы заданий из открытого банка задач ЕГЭ -2014. Тренируйтесь вместе с нами!

                                              Вариант1

B1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 9 недель?

B2. Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

B3. На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена палладия была ровно 305 рублей за грамм.

 B4. Керамическая плитка одной и той же торговой марки выпускается трёх разных размеров. Плитки упакованы в пачки. Пользуясь данными таблицы, определите, в каком случае цена одного квадратного метра плитки будет наименьшей.

В ответ запишите найденную наименьшую цену квадратного метра в рублях.

B5. В треугольнике  АС=ВС=6, высота AH  равна 3. Найдите градусную меру угла С.                                                                                                              

В6.  На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

В7. Найдите корень уравнения  

В8. Периметр правильного шестиугольника равен 108.

         Найдите диаметр описанной окружности.

В9. На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале ( -2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f(x)=0 на отрезке.

В10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1D1 известны длины рёбер  AB=6, AD = 8, AA1=7. Найдите синус угла между прямыми и .

В11. Найдите значение выражения   , если .

В12. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций, а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

В 13. Диагональ куба равна . Найдите его объем.                             

В14. Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?

В15. Найдите наименьшее значение функции y =  на отрезке  [2;32].

С1. а) Решите уравнение 4cos4 x  -  4cos2 x + 1= 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 2π; - π].

С2. Высота   SO   правильной  треугольной  пирамиды   SABC   составляет     от  высоты SM  боковой грани SAB . Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

С3.

С 4. На  гипотенузу   AB  прямоугольного  треугольника   ABC   опустили  высоту CH . Из точки H  на катеты опустили перпендикуляры HK  и HE .

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если  AB= 12 , CH = 5 .

С 5. Найдите  все  значения  параметра  а,  при  каждом  из  которых  уравнение

имеет единственное решение.  Найдите это решение для каждого значения а. 

С 6. По  кругу в некотором порядке по  одному  разу написаны числа от 9 до 18.

Для  каждой из десяти пар  соседних чисел нашли их наибольший  общий делитель.

а) Могло  ли получиться так, что  все наибольшие общие делители  равны 1?

б) Могло  ли получиться так, что  все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое  наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Вариант 2

B1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

B2. Железнодорожный билет для взрослого стоит 480 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

B3. На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 29 сентября 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс евро впервые был равен 26,5 рубля.

B4 Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» микроволновых печей. Рейтинг вычисляется на основе средней цены , а также оценок функциональности , качества  и дизайна , которые эксперты оценивают целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей печей. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга.

B5 . Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

В6 Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными

В7 Найдите корень уравнения .

В8 Сторона правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В9 На рисунке изображён график функции . Пользуясь рисунком, вычислите , где  — одна из первообразных функции .

В10 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 24 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

В11. Найдите значение выражения .

В12. Рейтинг  интернет-магазинов вычисляется по формуле

где  — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1),  — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и  — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 15, их средняя оценка равна 0,3, а оценка экспертов равна 0,14.

В13.  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2.

Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

В14.  Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

В15.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

С1. а) Решите уравнение  16 cos4 x - 24cos2 x + 9 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 3π].

С2. Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

С3. Решите систему неравенств:

С4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH . Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE .

а) Докажите, что точки А, , К и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24 , CH = 7 .

С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.  Найдите это решение для каждого значения а.

С6. По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21.

Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих

делителей могло при этом получиться?

Вариант 3

B1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?

B2. Розничная цена учебника 138 рублей, она на 15% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 3150 рублей?

B3 .  На рисунке жирными точками показано атмосферное давление в Санкт-Петербурге с 30 апреля по 4 мая 2009 года в разное время суток. Для наглядности жирные точки соединены линией. По горизонтали указывается время суток, по вертикали — атмосферное давление в мм. рт. ст. Определите по рисунку, какое было наименьшее атмосферное давление в период с 1:00 30 апреля по 1:00 4 мая. Ответ дайте в мм. рт. ст.

B4.Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?

B5. Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением , с осью Ox.

В6. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов

В7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

В8 Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

В9 Материальная точка движется прямолинейно по закону ,  где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.

В10 В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 2, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

В11. Найдите значение выражения .

В 12. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой  кг и радиуса  см, и двух боковых с массами  кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в , даeтся формулой . При каком максимальном значении  момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 ? Ответ выразите в сантиметрах.

В 13. .   Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда. 

В14. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б.  Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

В 15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

С1.

С2. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны  Тангенс угла между прямыми DM и AL равен    , L – середина ребра МВ. Найдите высоту данной пирамиды.

С3.

С4. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

С5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

С6. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

Вариант 4

B1. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 65 рублей за штуку. У Вани есть 300 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

В2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубля 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 83131 киловатт-час, а 1 декабря показывал 83307 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.

B3 .  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 3 до 7 миллиметров осадков.

B4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

B5. На рисунке угол 1 равен , угол 2 равен , угол 3 равен . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

В6. В кармане у Димы было четыре конфеты — «Коровка», «Красная шапочка», «Василёк» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Дима случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».

В7 Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

В8 Угол равен . Его сторона касается окружности с центром в точке . Найдите градусную меру большей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

В9 На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

В10 В кубе точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

В11. Найдите значение выражения .

В12. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением  км/ч2, вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.

В13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

В14. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?

В15. Найдите наибольшее значение функции .

С1.

С2. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла  между прямыми DM и AL  равен , L – середина ребра  МВ. Найдите высоту данной пирамиды.

С3.

С4. Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз  пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

С5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

С6. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Вариант 5

B1. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 55 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

B2. Надя отправила SMS-cообщения с новогодними поздравлениями своим 15 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 10 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Нади было 55 рублей. Сколько рублей останется у Нади после отправки всех сообщений?

B3. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько было дней за данный период, когда на сайте РИА Новости было менее полумиллиона посетителей.

B4. Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,25 . В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

B5. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 16. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

В6.  Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Стратор», «Протор» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только первую и вторую игры

В7. Найдите корень уравнения .

В8. Угол равен . Градусная мера дуги окружности, не содержащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

В9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

В10. В кубе  найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

В11. Найдите значение выражения .

В12. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью  м/с, начал торможение с постоянным ускорением  м/с2. За  – секунд после начала торможения он прошёл путь  (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

В13.    Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .

В14. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

В15. Найдите наименьшее значение функции .

С1. а) Решите уравнение 2sin4 x + 3cos2x +1= 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π].

С2. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD  равна

108 , а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

С3.

С4. Медианы  AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M .

Точки  A2 ,  B2 и  C2 – середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника   A1 B2 C1 A2 B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5 ,

BC = 8 и AC =10 .

С5. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение

                                                                              имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19) .

С6. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил

такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Вариант 6

B1. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счету осталось меньше 22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 600 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

B2. В школе 135 учеников изучают французский язык, что составляет 18% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

B3. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10° С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло от момента запуска двигателя до включения вентилятора?

B4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

B5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно , , ,  .

В6.  На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,15. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

В7. Найдите корень уравнения 

В8. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

В9. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

В10. Диаметр основания конуса равен 152, а длина образующей — 95 . Найдите высоту конуса.

В11.Найдите значение выражения при .

В12. При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

В13.  Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 30.

В14.  По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

В15. Найдите наибольшее значение функции .

С1.

С2.  Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, и площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания, тоже равна 64. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

С3.

С4. Медианы  AA1 ,  BB1 и  CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M

Точки A2 ,  B2 и  C2— середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника  A1 B2 C1 A2 B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8 .

 С5. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение

                                                                                   имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

С6. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Вариант 7

B1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 42 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 670 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

B2. 42 выпускника школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 35% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

B3.  На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену олова на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

B4. Строительный подрядчик планирует купить 10 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки?

B5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6.  Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

В7. Найдите корень уравнения

В8.  Хорда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

В9.  На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

В10. Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой поверхности равна 105. Найдите высоту цилиндра

В11. Найдите значение выражения   при .

В12. Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение  секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила , приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

В13.   Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

В14. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку .

С1. а) Решите уравнение 

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

С2. Дана правильная треугольная призма  ABCA1B1C1 , все рёбра основания  которой равны . Сечение, проходящее через боковое ребро   AA1 и середину M ребра  В1C1 , является квадратом. Найдите расстояние между прямыми  A1 B и АМ.

С3.  

С4.   Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T .

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

С5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных решения.

С6. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Вариант 8

B1.  Для ремонта квартиры требуется 45 рулонов обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

B2. Тетрадь стоит 18 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 90 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 15% от стоимости всей покупки?

B3.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

B4. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн природного камня и 10 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1400 рублей, щебень стоит 710 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 240 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

B5. В треугольнике ABC  AD — биссектриса, угол C равен , угол CAD равен . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

В6.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых

В7.  Найдите корень уравнения

В8. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника.

Ответ дайте в градусах.

В9.  На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В10.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , параллелепипеда , у которого , , .

В11. Найдите значение выражения .

В12. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где  м — длина покоящейся ракеты,  км/с — скорость света, а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 68 м? Ответ выразите в км/с.

В13.   Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

В14. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

В15. Найдите точку максимума функции .

С1.  а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

 отрезку 

С2. Дана правильная треугольная призма  ABCA1B1C1 , все рёбра основания

которой равны  2 . Сечение, проходящее через боковое ребро   AA1 и середину M ребра  В1C1 , является квадратом. Найдите расстояние между прямыми  A1 B и АМ.

С3.

С4. Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T .

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что сторона AD = 8 и KT = 4.

С5. Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет  хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1; 2].

С6. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Вариант 9

B1.  Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 48 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.).

B2. Только 92% из 26000 выпускников города правильно решили задачу  В2. Сколько человек правильно решили задачу ?

B3.  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 2 миллиметров осадков.

B4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

В прейскуранте приведены цены на четыре буфета. Определите, продажа какого буфета наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого буфета.

B5. В треугольнике ABC  АВ = ВС. Внешний угол при вершине B равен 126°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В6.  Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов — первые два дня по 9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

 В7.  Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

В8.  Дуга окружности , не содержащая точки , имеет градусную меру , а дуга окружности , не содержащая

точки , имеет градусную меру .

Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

В9.  На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

В10.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки ,  , , параллелепипеда , у которого , , .

В11. Найдите значение выражения .

В12. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где  (атм.) — давление в газе,  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

В13. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. 

В14. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

В15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

С1.  

С2. В правильной четырёхугольной призме  ABCDA1  B1 C1 D1  сторона основания равна 11, а боковое ребро  AA1  = 7 . Точка K принадлежит ребру  B1 C1 и делит его в отношении 8:3 , считая от вершины  B1 . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K .

С3.

С4.    В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D,  причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F .

Найдите площадь треугольника BEF , если известно, что R = 5 и CD =15.

С5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

С6. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n , выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n ,

а остальные числа, равные n , стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.

Вариант 10

B1. В доме, в котором живет Ася, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Ася живет в квартире №57. В каком подъезде живет Ася?

B2. В школе 640 учеников, из них 25% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 40% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

B3. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1994 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше  руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести куртку ценой 9750 руб., жилет ценой 750 руб. и подтяжки ценой 850 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1) И. купит все три товара сразу.

2) И. купит сначала куртку и жилет, подтяжки получит за сертификат.

3) И. купит сначала куртку и подтяжки, получит жилет за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

B5. В треугольнике ABC , угол C равен . Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.

 В6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России?

В7. Найдите корень уравнения (наиб. корень уравнения)

В8.  В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 22, острый угол равен . Найдите ее периметр.

В9.  На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

В10.  Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1,5. Найдите его объем.

В11. Найдите значение выражения .

В12. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где  (Па) — давление в газе,  — объeм газа в кубических метрах,  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы  увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?

В13.   Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

В14. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

В15. Найдите точку максимума функции .

С1.

С2. В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA1 B1 C1 D1 известны рёбра AB = 5, AD = 4,  AA1  = 9 . Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 4:5 , считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 .

С3.  

С4. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F .

Найдите площадь треугольника BEF , если известно, что R = 2 и CD =10 .

С5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

С6. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор - 3, -1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Вариант 11

B1. На счету Машиного мобильного телефона было 64 рубля, а после разговора с Андреем осталось 28 рублей. Сколько минут длился разговор с Андреем, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек.

B2. Среди 60000 жителей города 40% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Чемпионата мира. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

B3.  На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 28 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 1 л молока, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

B5. Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением , с осью Oy.

В6.  Из множества натуральных чисел от 30 до 41 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?

В7. Найдите корень уравнения

В8.  В равностороннем треугольнике высота равна . Найдите .

В9.  Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 12 м/с?

В10.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда

В11. Найдите значение выражения  при .

В12. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры , причeм  (м), где  – теплоeмкость воды,  – коэффициент теплообмена, а  – постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

В13.   Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

В14.  Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих     двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

В15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

С1.

С2. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.

С3

С4. Медианы                           треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что  

AC = 3 MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан                     , если известно, что AС  =10.

С5. Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение

на промежутке                 имеет более двух корней .

С6. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Вариант 12          

B1. Поезд Красноярск-Новосибирск отправляется в , а прибывает в  на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

 B2. В сентябре 1 кг клубники стоил 120 рублей. В октябре клубника подорожала на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг клубники после подорожания в октябре.

B3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 8 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B4. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 110 кВтч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 170 кВтч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,4 руб. за кВтч. Год назад А. установил двухтарифный счeтчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,4 руб. за кВтч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,7 руб. за кВтч.

В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

B5. Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х +2у =6  и  у = - х

В6.  На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Швеции будет выступать после группы из России и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

В7. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней

В8.  Стороны параллелограмма равны 20 и 130. Высота, опущенная на первую сторону, равна 78. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

В9.  На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .

В10. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см.

Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

В11. Найдите значение выражения .

В12. Плоский замкнутый контур площадью  м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где  – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру,  Тл/с – постоянная,  – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле  (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать  В?

В13. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

В14. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите точку минимума функции .

С1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1  равна 2  ,  а диагональ боковой  грани равна . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.  

С3. Решите систему неравенств 

С4. Медианы  АА1, ВВ1,СС1   треугольника   ABC пересекаются в точке M. Точки А2,  В2  и С2  – середины отрезков MA,MB и MC,  соответственно.    

а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2                            вдвое меньше площади треугольника ABC.  

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=4, ВС=7, АС=8.                                              

С 5. Найдите    все    значения    a ,    при    каждом    из    которых    функция

f (x)x2 4 | x a2 | 8x    имеет более двух точек экстремума.

С6. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно   – 5  , среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно – 18.  

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Вариант 13

B1. Таксист за месяц проехал 9000 км. Стоимость 1 литра бензина 18,5 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 7 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

B2. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 24 руб. 30 коп. Сдачи клиент получил 100 руб. 90 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

B3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B4. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 29 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 25 секунд, а Миша загружает файл размером 32 Мб за 29 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 574 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

B5. Площадь параллелограмма  равна 153. Точка  — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

В6.  В классе 26 учащихся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе

В7. Найдите корень уравнения

В8.  Площадь ромба равна 196. Одна из его диагоналей в 2 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

В9.  На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0 .

В10.  Объем конуса равен 34. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса

В11. Найдите значение выражения .

В12. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где  – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где  – масса груза (в кг), – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее  Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

В13.   Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

В14. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

В15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

С1.  а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

отрезку 

С2. Дан куб ABCDA1B1C1 D1. Длина ребра куба равна 1 . Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости  AB1 D1.

С3. Решите систему неравенств 

С4. Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM  на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.

С5. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

                                                                     имеет единственный корень.

С6. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Вариант 14

B1. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по ветеринарии для 3 курсов, по 90 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

B2. В квартире, где проживает Ася, установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). 1 февраля счётчик показывал расход 46,5 куб.м воды, а 1 марта — 57 куб.м. Какую сумму должна заплатить Ася за горячую воду за февраль, если цена 1 куб.м горячей воды составляет 73 руб. 40 коп.? Ответ дайте в рублях.

B3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги  новостных сайтов на основе показателей информативности , оперативности  и объективности  публикаций, которые эксперты оценивают целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

B5. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

В6.  По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

В7. Найдите корень уравнения

В8.  Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 7 и 17, большая боковая сторона составляет с основанием угол .

В9.  На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

В10.  Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

В11. Найдите значение выражения: .

В12. . Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2. 

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

В13.   Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

В14. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

С1. Решите уравнение  4 cos3x + 3sin ( x -   = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -2π; -π ].

С2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями  АВ1 D1 и  ACD1 .           

С3.  Решите систему неравенств:

С4. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

С5. Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y,  2    удовлетворяющих неравенству.

С6. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: 

                 −11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел: 

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 117?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?   

Вариант 15

B1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2000 рублей. До установки счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 800 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 500 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков окупится?

B2. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 2 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 1,5 м на 2,8 м?

B3 .  На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Нм. Чему равен крутящий момент (в Нм), если двигатель делает 1500 оборотов в минуту?

B4. Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице.

Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей.

В ответ запишите наименьшую сумму в рублях.

B5. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 20?

В6.  Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,083. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 86 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

В7. Найдите корень уравнения   

В8 Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 36.

В9 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

В10.  Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 5.

В11. Найдите значение выражения .

В12. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением  км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

В13. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

В14. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

В15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке  [-6; -1].

С1. а) Решите уравнение  .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.    В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

С3. Решите систему неравенств 

С4. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M – середина AD, а BN : NC =1:3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

С5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

 выполняется для всех   .

С6. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.  

Ответы

пробного экзамена по математике  в 11 классах   март 2014 года

Ответы к районному пробному ЕГЭ по математике март 2014 ( к  задачам С1-С6) .