Элементарный способ доказательства "Теоремы Ферма" для учащихся средних общеобразовательных и средних специальных учебных заведений
занимательные факты по алгебре (11 класс) по теме

«Каждое высказанное мною суждение

надо понимать не как утверждение,  а как вопрос».

Нильс Бор.

Добрый день. На Ваш суд я хочу представить одну, на мой взгляд, интересную попытку, придуманную мною, доказать  «Теорему Ферма».  

В попытке доказать данную теорему были открыты многие новые разделы математики. Правда, совсем недавно, было найдено решение этой теоремы.  Но это решение было приведено на 101 странице.

Доказательство,  которое я представляю на Ваш суд, гораздо короче. Это доказательство объяснения данной теоремы довольно простое и удобное для понимания школьниками и интересующимися математикой.

Окончательный вариант моего доказательства был закончен в 2004 году.

В книге Диофанта «Арифметика» Диофант поставил задачу разложить любое число в квадрате на сумму квадратов двух рациональных чисел. П.Ферма  написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень , большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство доказательство, но эти поля слишком узки» (Данная запись взята из книги «Замечательные учёные» под ред. С.П.Капицы, Квант,1980).

Итак…

Запишем данное утверждение в математической форме:

                (1.0)

Где, X,Y,Z – некоторые натуральные числа, n- натуральный показатель степени. Данное уравнение не имеет решения для n≥3.

Свое доказательство я разбил на две части: для чётной степени и для нечетной.

1. Пусть степень n будет чётной, т.е. n=2k. Где k=1,2,3….

Тогда, уравнение (1.0) примет вид:

    (1.1)

В данном случае необходимо доказать, что уравнение (1.1) не имеет решений для k>1.

По свойству степени         преобразуем уравнение (1.1) к виду:

Введем замену:

Получаем:      a² + b² = c²        

Данное уравнение имеет решение, если:    b=(a²-1)/2

                                                                                  C=(a²+1)/2

Тогда:  2b + 2c = 2a (причём, выбираются из всего множества чисел только целые).

Или, сделав теперь замену в обратном порядке:

Подставим полученное равенство в уравнение (1.1):

Перенесем третье слагаемое в правую часть и получим:

Отсюда получаем:

1. , но такое возможно только если Y=Z (а это противоречит условию теоремы)
2.   (1.2)

Разложим уравнение (1.2) используя формулу разложения на множители двучлена:

Где, Z,Y,X – целые числа, неравные друг другу. Но:

+

Тогда:        > 1

Но, по условию (1.2) данное произведение должно равняться 1. А это возможно только если k=1 (или, если считать что Z,Y – не целые числа. А это противоречит начальному положению о целостности чисел X,Y,Z. Следовательно, уравнение (1.1) не имеет решений для k>1.

Таким образом, и само уравнение (1.0) не имеет решений для n>2 при чётных значениях n (n=2K).

2. Теперь рассмотрим доказательство теоремы Ферма для нечётной степени.

 Пусть n=2k+1, где k=0;1;2….

Тогда:

    (2.1)

Теперь необходимо доказать, что данное уравнение, или вытекающее из него, не имеет решений при k≥1. Для этого представим уравнение (2.1) в виде:

              (2.2)

Рассматривая данное уравнение так же как и уравнение (1.1) введем замену переменных, получим:

a² + b² = c²

b=(a²-1)/2

c=(a²+1)/2         или  с+b= a²

Тогда:  

Следовательно, подставляя в уравнение (2.1):

 , разложим правую часть на множители:

, тогда:

   (но это возможно, если  Z=Y, а это противоречит условию теоремы)  и 

  (а это неверно, т.к. при разложении аналогично разложению уравнения 1.2)

Значит, уравнение (2.2) не имеет решений при k>1. А это значит, что и уравнение (1.0) не имеет решений для нечётных степеней при n>2.

 Объединяя все вышесказанное, уравнение (1.0) не имеет решений для всех целых степеней n>2.