Разработка урока по алгебре для 11 класса. Тема: "Применение производной в различных областях науки"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Савченко Татьяна Александровна

Данный материал содержит план-конспект урока, презентацию к данному уроку, а также раздаточный материал для самостоятельной работы детьми. Презназначен для закрепления и обобщения темы "Производная" , подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon khod_uroka11.doc329 КБ
Microsoft Office document icon detyam.doc2.88 МБ

Предварительный просмотр:

Ход урока:

Цели:

   УУД:
Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной,  её геометрическом и физическом смысле. Показать межпредметную связь на примере математического моделирования.     Показать применение производной при решении жизненно важных задач.
Научить применять полученную модель на практике.

     Воспитательные:
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, подведения итогов.
Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в группе, контактировать с товарищами.
Вызвать чувства ответственности и сопереживания.

Духовно – нравственное воспитание на примере жизни выдающихся математиков.

     Развивающие: 
Обучение навыкам работы с компьютером.
Развитие умения находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу.
Формирование «ключевых компетенций».  

     Оборудование : Компьютеры, экран, проектор, раздаточный материал, творческие работы учащихся.  

    Замечание.  За 1,5 недели до урока класс разделен на 4 группы и назначены консультанты. В группу вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание приготовить презентацию «Применение производной для решения задач из различных областей науки».

  1. История развития дифференциального исчисления.
  2. Применение производной в физике.
  3. Применение производной в химии и биологии.
  4. Применение производной в географии и экономике.

На подготовительном периоде и в ходе урока консультанты руководят работой группы: распределяют обязанности между учениками, организуют консультации с учителями предметниками.  Урок по теме «Применение производной в различных областях науки». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности групповая. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических и биологических задач с помощью производной», «Решение задач с экономическим содержанием».  

ПЛАН  УРОКА

I.  ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП

        Показатели выполнения психологической задачи этапа:

  • доброжелательный настрой учителя и учащихся;
  • быстрое включение класса в деловой ритм;
  • организация внимания всех учащихся;
  • кратковременность организационного момента;
  • полная готовность класса и оборудования к работе.

 Урок по теме «Применение производной в различных областях науки». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности групповая. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических и биологических задач с помощью производной», «Решение задач с географическим, экономическим содержанием».

 II.  СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛИ УРОКА

Здравствуйте. (Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тему урока.)  Тема нашего урока «Применение производной в различных областях науки». И сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему.  Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобачевского:    

     «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

                                    Н.И. Лобачевский

На одном из первых уроков изучения производной я вам задала вопрос:

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?

Вы на него не смогли ответить, т.к. у вас не хватило соответствующих знаний. И тогда я вам предложила  поработать над проектами, т.е. провести самостоятельное исследование по теме «Производная и её применение в различных областях науки».

Вам было предложено  4 темы, список литературы, которым я вас не ограничивала. И сегодня мы увидим, насколько успешно вы справились с задачей  самостоятельного  отбора   и перерабатывания  информации.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу  /читаю гипотезу, /

«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

В ходе исследовательской работы вы должны были либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу.

III.  АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

Вначале повторим некоторые теоретические понятия. Вопросы проектируются на экран.

а) Что называется производной функции в точке х0?

Ответ: производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

б) В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ: значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в

точке M(x, f(x)). k = tg = f '(x0).

в) В чем заключается механический смысл производной?

Ответ: производная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0 x'(t) = (t)

г) Работаем устно: Найти производные функций

д) Отвечаем на вопросы:

1) Как связан “знак” производной с возрастанием и убыванием функции ?

2) Что называется точкой максимума?

  • Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку  Хо, то  Хо – точка максимума.

3) Что называется точкой минимума?

  • Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку  Хо, то  Хо – точка максимума.

4) Какие точки называются стационарными?

5) Какие точки называются критическими?

6) Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на заданном отрезке функции?

 IV. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

1) По графикам функций и их производных, выполните следующие задания. Ответ запишите во втором столбце.

Итак, проверяем….(Дети подсчитывают количество правильных ответов. Правильный ответ-1 балл )

2). Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х0. Каждому верному ответу соответствует буква, из этих букв необходимо составить имя известного математика. 

  a)  

На следующем слайде предлагается таблица, в которой зашифровано имя:

1

-2

4

-1

2

3

5

-4

0

6

8

б

л

и

е

а

н

к

р

й

ц

м

 б

ц

л

и

е

н

й

Учащиеся складывают из получившегося набора букв имя “Лейбниц”.

Лейбниц -основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.

V   ПРОЕКТЫ УЧАЩИХСЯ.

А сейчас мы  рассмотрим  работы  творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по темам. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы "Производная".

 1-я группа  «Исторические сведения»

1) Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 году научился находить касательные к алгебраическим кривым.

2) В 1638 году Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который также занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

3)Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов, он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру,  для нахождения максимумов,  вычисления площадей. Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему.

4) Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую.

5) Многие из них  легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления, основоположниками которого считаются Вильям Лейбниц и Исаак Ньютон.Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века.

6) Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.
Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.
Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

7)          И. Ньютон– великий английский физик, математик и астроном.

   Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики.

     Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математически и  физические теории.

8)          Г. Лейбниц– немецкий философ, математик, физик, языковед.

                     Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия. В 1675 г четко указал на взаимно-обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.

                 По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России.

                     Создал комбинаторику как науку.

     Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.

                 Привел доказательства существования  подсознания человека.

9) Ж. Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения, иностранный почетный член Петербургской АН (1776).

Лучший математик 18 века.

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий и представлять графически различные функциональные закономерности. В настоящее время понятие производной находит большое применение в логистике и коммерческой деятельности. Умение применять производную к исследованию функции - важный элемент математической культуры. Эти умения необходимы будущему коммерсанту, экономисту, инженеру, врачу. Во многих задачах производная является лишь вспомогательным инструментом решения. (сопровождение на мультимедиа- портреты великих математиков).

II группа - «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

III группа - «Применение производной в химии и биологии»;

IV группа  - «Решение задач с географическим, экономическим  содержанием».  

Вывод. Что вы скажете о нашей гипотезе.  Подтвердили мы ее или опровергли? 

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

VI.  ДОМАШНЯЯ РАБОТА

  1. Составить кроссворд по теме “Производная”;
  2. Используя записи в тетради и учебник, повторить основные вопросы и формулы по данной теме;
  3. Решить задачи (задачи распечатываются на отдельных листах и раздаются каждому учащемуся)

А) Тело удаляется от поверхности Земли в вертикальном направлении  по закону

h(t)= -3t2+ 14t +7 (t- время в секундах, h- расстояние от поверхности земли в метрах). Определите, в какой момент времени скорость тела будет 2 м/с.

Б) Движение тела по прямой задано законом s(t) = 3t4– 2t +13 (t – время в секундах, s- отклонение  точки от начального положения в метрах). Найдите ускорение тела в момент времени t=2.

В) Движение тела задано законом s(t)= -0,25t5+ 20t2 3t +4 (t- время в секундах, s-отклонение точки от начального положения в метрах). Найдите наибольшую скорость движения в метрах.

Г) Тело, массой 6 кг движется прямолинейно по закону x(t) = t2– 3t + 2 (x – расстояние от начала координат в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 10 секунд после начала движения.

Д) Количество протекающего через проводник электричества задается формулой

q(t) = 10-3sint,  (t – время в секундах). Найдите силу тока в момент времени t = 3

VII. ИТОГ УРОКА.

6. Подведение итогов. Рефлексия

Учитель отмечает, что благодаря огромной подготовительной работе учащихся, проведен очень интересный урок. Учитель объявляет оценки и просит учащихся проанализировать свою деятельность на уроке:

1. Удовлетворен ли ты своей работой на уроке?

а) да; б) частично;
в) нет; г) затрудняюсь ответить.

2. Каким образом ты собираешься устранить пробелы?
а) спросить у учителя; б) спросить у товарища;
в) справлюсь сам; г) не знаю.

3. Смог бы объяснить процесс решения задачи своему товарищу?
а) да; б) частично;

в) нет; г) затрудняюсь ответить;

4. Какую форму работы на уроке ты предпочитаешь?
а) индивидуальную; б) парную;
в) групповую; г) всем классом.

Выбери картинку, соответствующую твоему настроению на уроке:

Лист самоконтроля»

Устный опрос

Тест по графикам

«Расшифруй имя ученого»

итого

 

Если вы набрали за все виды деятельности                                                                                                              От   14 до 17  баллов      –«3»              

От   18 до 25  баллов    – «4»

От   26 до 31  баллов    – «5»

После каждого блока работы оцениваем свою деятельность выставлением балла в «Лист самоконтроля»


Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка уроков по алгебре 7 класс

Разработка откротых уроков по алгебре 7 классов с использованием ИКТ....

Разработка урока по алгебре 9 класс

Урок по теме "Задачи на проценты", расчитанный на 2 часа....

Разработка урока по алгебре 9 класс Тема : «Построение графика квадратичной функции у=ах2+вх=с"

Первый урок по данной теме. Цель данного урока: выработать умение строить графики квадратичной функции с помощью параллельных переносов вдоль осей координат....

Открытый урок на тему: "Применение производной в различных областях науки".

Урок по теме «Применение производной в различных областях науки». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации у...

Проект урока по теме "Применение производной в различных областях науки и техники" с применением технологии разноуровневого обучения

Урок проводится по технологии разноуровневого обучения. Его цель-показать важность значения производной в исследовании процессов окружающего мира.Урок призван способствовать развитию у студентов иссле...

Методическая разработка урока по алгебре 7 класс. Обобщающий урок по теме: "Алгебраические дроби"

В данной презентации представлены задания, которые позволяют обобщить и систематизировать знания по теме «Алгебраические дроби»...