Учись решать задачи.
учебно-методическое пособие по алгебре на тему

МОУ Митрофановская средняя общеобразовательная школа.

Учись решать задачи.

Подготовил

Учитель математики
Гринева

Людмила Николаевна

2004 г.

Содержание.

I. Роль задач в математическом образовании.

Вооружение учащихся методами и способами решения задач, обучение их самостоятельному поиску решений задач – одна из важных проблем школьного математического образования. Основная цель обучения заключается в том, чтобы научить человека методам решения практических, теоретических задач, которые встретятся ему в жизни, в будущей его деятельности. Научить ученика использовать математические подходы для решения задач, возникающие в окружающем его мире, уметь осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации.

Наблюдения за работой учителей дают повод считать, что большинство из них в качестве единственного метода обучения решению задач используют показ способов решения определенных видов задач и допускают, что умение школьников решать задачи находится в прямой зависимости от числа решенных задач.

Однако, психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что «основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоит в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность.

У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач. Поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу».  

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ее ответ.

II. Методы поиска решения задач

Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них.

1. Анализ.

Найденное, известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и четко. Однако ученику при этом трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться ее решить. Если анализ используется систематически, то у учащихся формируются навыки поиска решения задач.

Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу.

Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения большинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем и их доказательств, сколько овладению методами познания.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;

б) когда целое расчленяют на части.

а) анализ в форме расчленения.

Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осуществлять двумя способами:

1) сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее применение на примерах;

2) показываем применение анализа в форме расчленения при решении задачи.

Общая схема анализа в форме расчленения:

1) разбиваем условие задачи на отдельные части;

2) выделяем отдельные условия;

3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу;

4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

б) анализ в форме рассуждения.

Анализ в форме рассуждения подразделяется на два вида: восходящий и нисходящий. Ознакомление учащихся с нисходящим анализом лучше начать с его общей схемы.

Общая схема нисходящего анализа

Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев

1) Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

2) Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:

а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.

б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходиться применять другие методы поиска решения задачи.

3) Если верное следствие получить не удается, то так же приходится перейти к другим методам.

Общая схема восходящего анализа

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т.д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.

2. Переформулировка задачи.

При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать, «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим удачным методическим ситуациям:

1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредотачиваются на его основных этапах.

2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения.

3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.

3. Прогнозирование.

В процессе поиска решения задачи важное значение имеет прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск. В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого. Формирование умения прогнозировать предвидеть результаты, к которым приведет каждый отдельный шаг в процессе поиска решения задачи, является важным компонентом развития мышления учащихся. С целью такого развития при обсуждении идеи решения задачи, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, целесообразно добиваться того, чтобы учащийся обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет.

4. Индуктивный метод.

При решении геометрических задач большую роль при анализе задачи играет чертеж. При его построении следует выполнять ряд требований:

1) чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее свойства, то эти обозначения должны быть и на чертеже;

2) чертеж должен соответствовать задаче;

3) при построении чертежа нет надобности выдерживать строго какой-либо масштаб, однако желательно соблюдать какие-либо пропорции в построении отдельных элементов фигуры.

Выполняя по возможности более точный чертеж, учащиеся из рисунка усматривают свойства фигур, на основе этого делают определенные выводы, а затем доказывают их. Желательно на конкретных примерах убеждать учащихся в том, что такое «рассматривание», анализирование рисунка, выявление его особенностей с последующим обязательным доказательством своих выводов очень полезно при поиске решения задачи. Такое «изучение» рисунка наталкивает часто на удачные идеи, существенно облегчает поиск решения задачи.

Как правило, применение индуктивного метода занимает небольшую часть времени. По этой причине от внимания многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку».

Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи.

5. Синтез.

При решении задачи различные методы поиска используются во всевозможных комбинациях друг с другом. Наряду с различными видами и формами анализа не следует пренебрегать и синтезом. Во многих случаях быстрее и удобнее сообщить учащимся готовый способ решения. И в дальнейшем, встречаясь с подобными задачами, учащиеся используют уже известный им способ и решают эти задачи синтетическим методом. Чтобы облегчить учащимся выбор методов поиска, наиболее подходящих к решаемой задаче, можно предложить таблицу (см. приложение).

III. Логико-психлогический анализ

задач к теме «Площади фигур».

(9 класс, учебное пособие Погорелова А.В. геометрия 7-9).

Данная тема больше, чем другие геометрические темы 7 – 9 классов призвана воспитывать у учащихся интерес к решению задач. Однако программы не предусматривают формирование у учащихся общих представлений о решении задач, а учебное пособие не содержит необходимых для этого сведений.

Логико-психлогический анализ задач позволил провести их классификацию:

- по структуре:

1) задачи на разыскание искомого (на вычисление);

2) задачи на доказательство;

3) задачи на построение;

- по уровню обобщенности:

1) задачи с конкретными числовыми данными;

2) задачи с параметрами;

- по виду ориентировочной основы умственных действий:

1) формула;

2) алгоритм;

3) эвристическая схема;

- по процессу решения задачи:

1) исследовательские задачи;

2) задачи, допускающие несколько способов решения.

Выделены задачи, которые можно использовать специально для формирования у учащихся культуры поиска решения задачи, культуры деятельности по решению задач:

1) проведение глубокого и всестороннего анализа условия задачи;

2) разыскание различных решений одной и той же задачи, сопоставление и обсуждение хороших и слабых сторон каждого из предлагаемых способов решения;

3) обсуждение поиска плана или способа решения задачи.

Изучив задачи по данной теме, следует дополнить задачи на построение фигур, равновеликих данным.

№1. Построить треугольник по данному основанию и данной высоте.

№2. Построить треугольник с тем же основанием, равновеликий данному. Сколько таких треугольников можно построить? Где будут расположены их вершины?

№3. Построить параллелограмм, равновеликий данному параллелограмму, равновеликий данному треугольнику (и наоборот).

Следует так же восполнить недостаток задач – упражнений, в основе которых лежат теоремы – формулы. Эти задачи удобно предлагать на плакатах. Здесь необходимо иметь ввиду и обратные задачи – нахождение некоторых элементов фигуры по известной формуле площади, а так же составление задач по чертежу – добавить некоторое данное и получить задачу, а затем ее решить (см приложение).

Следует добавить так же так называемые подготовительные задачи, чтобы актуализировать необходимые знания учащихся. Самостоятельное открытие решения основной задачи укрепит веру учащихся в свои силы, подкрепит интерес к решению задач.

Примеры.

Задача №9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение.

1) =ab, SABCD= ab=ah, тогда h==;

2) В ABE: E=90°, следовательно

sin А===, тогда А=30°.

Перед решением данной задачи хорошо бы решить такую:

Прямоугольник и параллелограмм имеют одинаковые стороны. У какого четырехугольника площадь больше?

Задача №16. Разделите данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.

        B        E1        E2        C

        K1

        K2

 A           H        D

1) Проведем диагональ АС, ABС=ADС, следовательно SABC= SADC.

2) Разделим каждый из треугольников на 3 равновеликие части, так как сами треугольники равны, то их части будут равновелики.

Перед решением задачи №16 следует решить такую:

В треугольнике ABC ВМ – медиана. Доказать, что треугольники АВМ и СВМ равновелики. Будут ли эти треугольники равны?

Для описания деятельности по решению задач различные авторы предлагают различные схемы, от очень подробных до довольно простых и наглядных.

В 9 классе можно рекомендовать учащимся такую короткую схему:

1.Анализ условия задачи.

2. Поиск плана решения.

3. Осуществление найденного плана решения и проверка того, что полученный результат удовлетворяет условию задачи.

4. Обсуждение (анализ) проведенного решения, рассмотрение других возможных решений.

В классе можно повесить красочно оформленную таблицу (см. приложение)

Умение анализировать задачу, проникать в ее сущность – это главное в общем умение решать задачи. Приступая к решению какой-либо задачи, надо внимательно ее изучить, т.е. установить, в чем состоит ее требования, каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. В ходе решения задач учитель должен сообщить учащимся, как это делается. На примере одной задачи следует подробно остановиться на указанных операциях и результат представить в виде таблицы.

Задача №2

Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.

Решение.

1. S1=а=100·100=10000(м2);
2. S2= а =150·150=22500(м2);
3. S3=S1+S2=10000+22500=32500(м2);
4. S3= а, следовательно а3==50(м).

Задача №48.

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

В этой задаче можно выделить такие элементарные условия:

1) треугольник, о котором идет речь, прямоугольный;

2) в этот треугольник вписана окружность;

3) около него описана окружность;

4) длина одного катета 40 см;

5) длина другого катета 42 см.

требования:

1. найти радиус вписанной окружности;
2. найти радиус описанной окружности.

Решение.

С

1. S==840 (см2);

2. R==29 (см),   AB2=BC2+AC2=3364;

    В              А        AB=58см, r==12 (см).

Полезно все задачи темы разделить на два вида: задачи на освоение теоретического материала и задачи на применение этого материала. К первому виду следует отнести простейшие задачи – упражнения и «одношаговые» задачи на непосредственное использование формул. Последовательность операций для решения таких задач может быть следующая:

1) устанавливаются размеры необходимых элементов (данных или полученных измерением);

2) подставляют эти размеры в формулу.

Сюда можно отнести так называемые «двухшаговые» задачи, в которых требуется найти всего лишь одно данное.

Алгоритм решения.

1) записать рабочую формулу и установить, какие данные есть, и каких нет;

2) найти неизвестное данное;

3) подставить в формулу найденный размер.

Эти задачи в некотором смысле имеют воспитательное значение: при их решении необходимо показать, что умение решить задачу предполагает наличие у решающего ее прочных и глубоких знаний теории, знаний ряда теорем, формул и определений. При решении этих задач повторяется большой материал.

Ко второму виду следует отнести так называемые «нестандартные» задачи. Психологические исследования показывают, что попутное решение задач на применение  изучаемого теоретического материала не эффективно. Лучше их решать, выделяя специальные уроки.

Алгоритм решения.

1. разбиение задач на подзадачи;
2. разбиение области задачи на части;
3. сведение задачи к ранее решенным;
4. модельные преобразования задачи.

Задача №37.

Найти площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см. а непараллельные 13 см и 37 см.

        В         20        С

60

        А        К        Е                       Д

Поиск плана решения задачи.

1. Что нужно знать, чтобы найти площадь?

 S= Известно все, кроме ВH.

2. Как найти ВК?

        а) ВК является высотой ABК, но в этом треугольнике известна только одна сторона, ВК найти нельзя.

        б) ВК является высотой ABD, но здесь известно только две стороны. Если бы знать площадь этого треугольника, то по основанию можно было бы найти высоту.

3. Нельзя ли построить такой треугольник, в котором ВК было бы высотой?

Проведем ВЕ║СД, тогда ВСДЕ – параллелограмм, BE=CD=37см, ED=BC=20 см. В ABE известны все стороны, следовательно, можно найти его площадь и высоту ВК.

Особое место при решении задач занимает чертеж. В задачах 10-14, например, основной фигурой является ромб. Следует рекомендовать делать чертеж, пользуясь определением (параллелограмм, у которого стороны равны) или свойством диагоналей (начинать чертеж со взаимно перпендикулярных диагоналей).

Задача №48.

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Уже построение чертежа дает возможность провести анализ взаимного расположения фигур – треугольника и окружностей. Построение можно начать с треугольника, а затем вписанную и описанную окружности (надо вспомнить, где лежат центры этих окружностей и каким свойством они обладают по отношению к вершинам и сторонам треугольника). Можно начать построение с вписанной окружности, описать треугольник, а затем построить описанную около него окружность.

   В

        О1

С         А

        Решение.

1. AB==58 (см);
2. S==840 (см2);
3. R===29 (см);
4. r==12 (см).

Задача №4.

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?

Здесь поиск решения будет зависеть от того, какой из следующих чертежей будет построен.

        A1          B        B1

                                                  A        C

                                                    D1      D        C1

        Решение.

1) AA1B1: AB2= (A1B1)2+(A1B1)2=A1B,

2) AB2= S, A1B=S, то S: S=2.

Богатый материал представляет данная тема для решения задач несколькими способами. При этом естественно необходимо ориентировать учащихся на нахождение хотя бы одного способа, но показывать и разыскивать различные решения одной и той же задачи, сопоставлять и обсуждать хорошие и слабые стороны каждого из предлагавшихся способов решения. (см. приложение)

Система уроков по изучению данной темы должна быть построена как коллективное решение учащихся под руководством учителя системы задач. Рассмотрение наряду с решением конкретных задач общих вопросов, связанных с процессом решения задач, значительно повысит воспитывающую и развивающую роль данной темы. Умения и навыки поиска решения геометрических задач станут основой подхода к решению любых жизненных задач.

Литература.

1. Совершенствование методики работы учителя математики. Я.И. Груденов.
2. Учись решать задачи. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян.
3. Геометрия 7-11. А.В. Погорелов.
4. Как научиться решать задачи. Л.М. Фридман.
5. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. Л.М. Фридман.
6. Дидактические особенности пособия А.В. Погорелова «Геометрия 7-11». Э.Ф. Капленко.