Методы решения тригонометрических уравнений
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

              Зачет по теме: Методы решения тригонометрических уравнений

Цели урока:

Образовательная: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений; рассмотреть решения тригонометрических уравнений различными методами: метод замены переменных, метод разложения на множители, метод решения однородных уравнений различных степеней. Формировать умения применять изученные методы к решению уравнений, вырабатывать умение выбирать корни тригонометрических уравнений, принадлежащих конкретному промежутку.

Развивающая: развитие познавательного интереса к предмету, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная: развитие культуры коллективного умственного труда, воспитание самостоятельности, целеустремленности и настойчивости в достижении цели.

Задача урока: Учить видеть методы решения тригонометрических уравнений и применять их на практике.

Оборудование: проектор.

                                                                 Ход зачета

Добрый день.
Сегодня мы проводим зачет №1 по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»
Перед проведением зачета давайте познакомимся.
Представляются группы (по 4-5 ч) учащихся 10 класса.
Представляются эксперты: учащиеся 11 класса, которые накануне сдали, при подготовке к ЕГЭ, этот же зачет на отлично.
И главный эксперт - учитель математики, который не работает в этом классе, но который руководит всей экспертной группой учащихся 11 класса и распределяет, кто из экспертов будет закреплен за каждой группой учащихся.

Вопрос учителя, проводящего зачет:
Ребята, как вы думаете, с какой целью проводится зачет?

Ответы учащихся:
- с целью подготовки к ЕГЭ;
- с целью получения новых знаний;
- с целью повышения своего образовательного уровня и определения своей будущей профессии.

Учитель: А какие конкретные задачи вы ставите перед собой сейчас?

Учащиеся : выработать навыки в решении уравнений различными методами и выявить каждому для себя, на что нужно еще раз обратить внимание.

Учитель: вот поэтому девизом нашего зачета будут слова Л.Н.Толстого: « Знания только тогда знания, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью». Мыслить, думать, рассуждать, находить интересные решения мы будем сегодня на зачете.

I.  На доску проецируются следующие промежутки и неравенства
1. (-∞; +∞)
2. [ – 1 ; 1 ]
3. [- ; ]
4. [ 0;π ]
5. х≠+πk
6. х≠π+πk
7. (; )
8.(0;π)

Учитель задает вопрос к каждому пункту, а учащиеся на листах со своей фамилией пишут ответы.

1. Для каких функций данный промежуток является областью определения?
   Ответ: y = sin x
                y= cos x  
                y= arctg x
                y= arcctg x
2. Для каких функций данный промежуток является множеством значения?
   Ответ: y = sin x
                y= cos x  
3. Для какой функции данный отрезок является множеством значения?
   Ответ: y = arcsin x
4. Для какой функции данный отрезок является множеством значения?
   Ответ: y=  arccos x  
5. Для какой функции таким образом может быть записана область определения?
   Ответ: y = tg x
6. Область определения какой функции записана таким образом?
   Ответ: y = ctg x
7. Для какой функции данный промежуток является областью значений?
   Ответ: y = arctg x
8. Для какой функции данный промежуток является множеством значений?
   Ответ: y = arcctg x

Учитель: Ребята, возьмите в руки карандаши. На доске появятся правильные ответы. Сверьте    их со своими ответами, и если ответ неверен, карандашом запишите верный ответ. После  проверки листочки сдаете экспертам.

На доске открывается следующая таблица, её нужно заполнить. За каждый верный ответ отвечающий получает один балл.

                                                                                                              Ответы:
1. sin x= 0                   x=                                                                πk
2.                               x=2πk, k єZ                                                cos x =1
3.                               x=πk , k єZ                                                 sin x=0
4. cos x=-1                         x=                                                                π+2πk, k єZ
5. tg x=1                           x=                                                                +πk, k єZ
6.                                x= +2πk, k єZ                                           sin x=1                                                            
7.                                x= +πk, k єZ                                             cos x=0 
8. sin x=-1                        x=                                                              -   +2πk, k єZ
9.                               x= +πk, k єZ                                             tg x=1
                                                                                                               ctg x=1

Продолжаем  повторять теорию.

1. Каково будет решение уравнения  cos x=a, ΙaΙ>1        
   Ответ: нет решения
2. При каком значении a уравнения  sin x=a и cos x=a
   Ответ: IaI≤1
3. Какой формулой выражается решение уравнения
   cos x=a                                                          Ответ:arccos a+πk, k єZ
   sin x=a                                                           Ответ: (-1)karcsin a+πk, k єZ
   tg x=a                                                             Ответ: arctg a+πk, k єZ
   ctg x=a                                                                     Ответ: arcctg a+πk, k єZ
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения
   cos x=a                                                          Ответ: на Ох 
   sin x=a                                                                                                  на Оу
5. На каком промежутке находится значение
   arccos a                                                   Ответ: [ 0;π ]
   arcsin a                                                             [- ; ]
6. На  каком промежутке находится значение
   а                                                                                              Ответ: [ -1;1 ]
7. Чему равняется
   arcсos (-a)                                                       Ответ: (π-arcсos a)
   arcsin (-a)                                                                    - arcsin a
   arctg (-a)                                                                     - arctg a
   arcctg (-a)                                                                  (π-arcсtg a)

Ребята, сейчас на доске появятся геометрические модели решений простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Вы должны назвать уравнение или неравенство, а затем назвать их решения.

                                                               Ответ:
                                                               sin x=

                                                                х=+2πn, n єZ    
                                                               х=+2πn, n єZ      
                                                                     

                                                                 cos x=
                                                                x= +2πn, n єZ

                                                                     tg x=

                                                                       x= +2πn, n єZ

                                                                         x= +2πn, n єZ                                                                                                      

                                                                          sin x≤
                                                                         +2πn≤ x ≤ +2πn

                                                                                   tg x≥
                                                                                 +πn≤ x ≤   +πn                                

                                                                               ctg x<-1
                                                                                +πn < x <  π+πn            

Учитель: наши эксперты подводят итоги, а мы приступаем к следующему этапу зачета.
Каждый из вас вытаскивает из конверта карточку с заданиями, решает их в течение 10 мин и сдает эксперту своей группы    

1. sin t=              
   2cos x-=0
   tg 2x+1=0
   sin (+ )=-1
2. cos x=              
   2sin x-=0
   ctg -1=0
   cos (- )=-1
3. tg x=              
   tg x-=0
   2sin(- )=1
   2cos (2x+ )=-
4. ctg x=-0,5
   ctg x-=0
   2cos 3x=
   2sin (- )=-1
5. tg x=0
   2sin x-=0
   ctg 2x+1=0
   cos (+ )=-1

Решение уравнений

I.1) sin t=                                                         4) sin (+ )=-1
t=(-1)narcsin  +πn, n єZ                                    (+ )= -   +2πn, n єZ

2) 2cos x-=0                                                    =- -   +2πn, n єZ
2cos x=                                                            =-   +2πn, n єZ
cos x=                                                                x=-   +6πn, n єZ
x=+2πn, n єZ
3) tg 2x+1=0
tg 2x=-1
2x= -+πn, n єZ
х=+πn, n єZ

II.1) cosx=                                                       4) cos (- )=-1
x=arccos+2πn, n єZ                                       - =π+2πn, n єZ                    
2)2sinx-=0                                                      2x=+2πn, n єZ                    
sinx=                                                                 x=+πn, n єZ                    
x=(-1)n+πn, n єZ
3) ctg -1=0
ctg =1
=+πn, n єZ
x=  +3πn, n єZ

III.1) tg x=                                                         4) 2cos (2x+ )=-
x=arctg +πn, n єZ                                                (2x+ )= +2πn, n єZ
2)tg x-=0                                                        2x= -+2πn, n єZ
tg x=                                                                    x= -+πn, n єZ
x=+πn, n єZ
3) 2sin(- )=1
-2sin =1
sin =-
=(-1)n+1+πn, n єZ
x=(-1)n+1+πn, n єZ

IV.1) ctg x=-0,5                                                  4) 2sin (- )=-1
x=π-arcctg0.5+πn, n єZ                                         sin (- )=-
2) ctg x-=0                                                         (- )= (-1)n+1+πn, n єZ
ctg x=                                                                  =(-1)n+1+ +πn, n єZ
x=+πn, n єZ                                                           x=(-1)n+1+ +2πn, n єZ
3) 2cos 3x=
cos3x=
3x=+2πn, n єZ
x=, n єZ

V.1) tg x=0                                                          4)cos (+ )=-1                                                      
x= πn, n єZ                                                             (+ )=π+2πn, n єZ                                                      
2) 2sin x-=0                                                       = +2πn, n єZ
sin x=                                                                   x= +6πn, n єZ
x=(-1)n+πn, n єZ
3) ctg 2x+1=0
ctg 2x=-1
2x= +πn, n єZ
x= +n, n єZ

Учитель: Перед заключительным этапом зачета хочется вспомнить слова Анатоля Франса: «Учиться надо только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом…»
Поэтому мы сейчас все вместе выполним следующие упражнение:
1.Все повернули головы направо и улыбнулись.
2. Все повернули головы налево и опять улыбнулись.
Как вы думаете, сосед увидел вашу улыбку? Конечно нет, он увидел только ваш затылок и улыбнулся ему. А теперь улыбнитесь друг другу, можете даже сделать рукопожатие. Ведь только когда человек весел, тогда он успешен. Улыбка и смех спасают от стресса, потому что вырабатывается гормон счастья и роста- ЭНДОРФИН. Этот гормон помогает лучше запоминать информацию, активизирует умственную работу мозга, что способствует нахождению интересных решений. Все это поможет нам при выполнении следующих заданий.

Перед вами 15 уравнений. Каждой группе дается 10 мин для определения метода, которым решается каждое уравнение.

Через 10 мин в ходе фронтальной работы рассматриваются  методы решения уравнений.

После определения метода с помощью которого решается каждое уравнение из списка учащимся предлагается решить следующие уравнения.

№3. 8cos2x-6 sinx-3-0
8-8sin2x-6sinx-3=0
-8sin2x-6sinx+5=0
8sin2x+6sinx-5=0
Пусть sinx=t, ItI1, тогда
8t2+6t-5=0
D=36+4*8*5=36+160=196
t1=, не удовлетворяет
t2=
Если t2=, то sinx=
                       х=(-1)n+πn, n єZ

№6 3sin2x+sinxcosx=0
sinx(3sinx+cosx)=0
sin x=0             или 3sinx+cosx=0
x= πn, n єZ              2tgx+1=0
                                 tgx=-
                                 x=-arctg+πn, n єZ                                    

№8 cos(x+30)-sin(x+30)=0
1-tg(x+)=0
tg(x+)=1
x+=+ πn, n єZ
x= + πn, n єZ          

№10     3sin2x+2sinxcosx=2
3sin2x+2sinxcosx-2sin2x-2cos2x=0                
sin2x+2sinxcosx-2cos2x=0  
tg2x+2tgx-2=0        
Пусть tgx=t , тогда
t2+2t-2=0
D=4+8=12
t1==-1-
t2==-1+
Если t=-1-, то tgx=-1-
                              x=-arctg(1+) +πn, n єZ          
  Если t=-1-, то tgx=-1-     
                              x=-arctg(1-) +πn, n єZ            

№15    2cos2x+  sin2x-1=0.5 ,  [ -π;]         
2cos2x+  sin2x-1.5cos2x-1.5 sin2x=0
0.5 cos2x-0.5 sin2x=0
cos2x-sin2x=0
1- sin2x-sin2x=0
1-2 sin2x=0
sin2x=
sinx=                        или sinx=-                       
x1=+2πn, n єZ                   x1=-+2πn, n єZ          
x2=+2πn, n єZ                 x2=-+2πn, n єZ

Ответ: -; -;

За 20 мин группа должна представить решения следующих уравнений из списка № 3, 6, 8, 10, 15.
Как только время истечет, каждая группа вытаскивает номер уравнения, которое она должна будет защищать у доски и оформляет решение на доске. А в это время эксперты раздают индивидуальные работы для анализа ошибок.
После защиты уравнений каждый участник зачета получает памятку, подготовленную учащимися 11 класса по методам выбора корней уравнения, принадлежащих конкретному промежутку.

Учащимся предлагается выставить оценки в группе каждому участнику зачета, а затем сравнить их с оценками экспертов.
Перед подведением итогов экспертами и объявлением оценки каждому участнику зачета  учащиеся отвечают на вопрос: выполнена ли задача, которую они ставили перед собой в начале зачета и на что нужно обратить внимание еще раз при дальнейшем изучении этой темы.
Главным экспертом (учителем) подводятся итоги зачета и объявляются оценки.