Международная научно – практическая конференция «Первые шаги в науку»
статья по алгебре по теме

Международная научно – практическая конференция «Первые шаги в науку»

«Исторические экскурсы на

уроках математики»

Направление: математика

Брянск  2014

1. Введение………………………………………………………………
2. Основная часть. Исторические экскурсы на уроках математики

1. Анализ учебников по математике для 7-8 классов.
2. Анкетирование учителей математики ,работающих в этих классах.
3. Анкетирование учащихся 7-8 классов.

4.         Математические экскурсы:

1.  Экскурс первый: краткая история алгебры и ее буквенной символики…………………………………………………………….
2.  Экскурс второй: история уравнений первой степени с одним неизвестным………………………………………………………….
3.  Экскурс второй: Франсуа Виет и его теорема……………………...
4.  Экскурс четвёртый: краткая история возникновения геометрии…
5.  Экскурс пятый: история задач на построение……………………...
6.  Экскурс шестой: история открытия теоремы Пифагора…………..

3. Влияние исторических экскурсов на развитие познавательного интереса школьников (заключение).
4. Список литературы
5. Приложения………………………………………………………..

1. Введение

    Нам кажется, что исторические экскурсы на уроках математики и занятиях математического кружка повышают интерес к математике, делают её живой, увлекательной. Конечно, урок математики нельзя превращать в урок истории математики. Ведь элементы истории математики являются одним из средств изучения предмета. Систематическое и разумное использование исторического материала способствует достижению яркости и выразительности изучения материала, повышению познавательного интереса к предмету, развитию сознательности и активности усвоения основного учебного материала.

Практический опыт показывает, что введение элементов истории математики в доступной для обучающихся форме:

• положительно сказываются на развитии познавательного интереса и интереса к математике;
• приобщает к чтению дополнительной литературы;
• способствует углублению понимания изучаемого фактического материала;
• расширению кругозора учащихся, повышению их общей культуры;

• показывают диалектику предмета.

Исторические сведения должны предъявляться в занимательной форме,

в виде органически связанных с программным материалом:

• лаконических справок;
• коротких сообщений учеников на заданную тему;
• использование небольших исторических экскурсов из старых учебников математики;
• старинные методы игры;
• решение старинных математических задач.

Цель работы: подбор нескольких исторических экскурсов по алгебре и геометрии для 7-8 классов; пробуждение и развитие у учащихся устойчивого интереса к математике и её приложениям.

В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи:

1.Изучить литературу по использованию исторических экскурсов на уроках математики.

2.Проанализировать учебники по алгебре и геометрии 7-8 классов на наличие и использование истории предмета.

3.Сформировать представление об основных периодах развития математической науки, как части общечеловеческой культуры.

4.Приобщить учащихся к чтению дополнительной литературы.

5.Выяснить влияние исторических экскурсов на развитие познавательного интереса школьников к изучению предмета.

Объект исследования: процесс обучения математике в 7-8 классах.

Предмет исследования: педагогические условия использования исторических экскурсов на уроках математики в 7-8 классах.

Гипотеза: предполагается, что использование уроков с историческими экскурсами стимулирует познавательный интерес школьников к математике.

2. Основная часть. Исторические экскурсы на уроках математики.

1.Анализ учебников по математике для 7-8 классов.

  Каждый исследователь получает возможность продвинуться в науке в значительной мере потому, что он использовал опыт и результаты своих предшественников.  А ведь история науки как раз и  имеет своей целью собирание и обобщение опыта прошлого, и выяснение на этой базе закономерностей прогресса науки.

 Учебники алгебры  7-8 Мордковича А.Г. предназначены для традиционной системы обучения. Учебник  алгебры для 7 класса состоит из 8 глав, а учебник 8 класса из 6 глав, которые делятся на параграфы. Новые термины не только выделены в тексте, но и продублированы на полях учебника

(в форме именительного падежа).  На  полях учебника,  рядом  с объяснительным текстом,  изображены знаки:  "рабочий стол", "вспомните", "обратите внимание", "вопрос - ответ", "запомните", "ключ к успеху", "алгоритм", "узнаете далее".  Ключевые, важные слова выделены жирным шрифтом. После каждой выделены основные результаты. Каждая глава заканчивается разделом "Основные результаты". В учебнике нет исторических сведений, портретов ученых.  

Учебник геометрии Атанасяна Л.С. для 7-8 классов тоже предназначен для традиционной системы обучения, состоит из 8 глав, которые делятся на параграфы. Новые определения и теоремы выделяются в тексте. В учебнике много задач: есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В конце книги даны ответы и указания. Исторические справки встречаются  очень редко.

Проанализировав учебники, мы решили остановиться на следующих экскурсах. Краткие истории возникновения алгебры и геометрии, т.к. в седьмом классе математика начинает делиться на алгебру и геометрию. Уравнения первой и второй степени, т.к. почти все задачи в математике сводятся к уравнениям. Задачи на построение очень трудные для восприятия и уроки по их изучению проходят тяжело и  утомительно. А историю открытия всемирной теоремы Пифагора должен знать каждый ученик.

2. Анкетирование учителей математики в 7-8 классах.

Было проведено анкетирование учителей математики МБОУ «БГЛ  №2, работающих в 7-8 классах: Дударь Г.А., Самойловой И.Н., Ефремовой Л.И., Бурдочкиной А.В., Никандровой Н.Е. Распределить методы использования исторических экскурсов по мере их применения на  ваших уроках математики.

1. Рассказ учителя.

2. Показ портретов.

3. Решение исторических задач.

4. Сообщения учащихся.

5. Творческие задания (составление ребусов, кроссвордов).

6. Краткое упоминание о личности ученого.

7. Энциклопедические справки исторического характера.

Получились такие результаты:

Таким образом, учителя работают по учебникам алгебры А.Г. Мордковича и геометрии Атанасяна Л.С., используют исторические экскурсы на уроках математики. Считают, что подобранные нами экскурсы имеют место на уроках алгебры и геометрии в 7-8 классах.

3.Анкетирование учащихся 7-8 классов.

Анкета для учащихся:

Какие методы использования исторических экскурсов вам нравятся, а какие полезны:

1 - рассказ учителя;

2 - показ портретов;

3 - решение исторических задач;

4 - сообщения учащихся;

5 - творческие задания (составление ребусов, кроссвордов);

6 - краткое упоминание о личности ученого;

7 - энциклопедические справки исторического характера

После анкетирования было проведено ранжирование:

В начале года в 7-8 классах лицея было проведено анкетирование, с целью узнать отношение учащихся к предмету "математика".

Вопросы анкеты:

1. Нравятся ли вам уроки математики?
2. Если нет, то почему?

Получились такие результаты:

Причины отрицательного отношения к предмету:

• непонимание изучаемого материала;
• не нравится учитель;
• уроки скучные;
• уроки алгебры утомительны.

После чего в ходе изучения нового материала использовались исторические экскурсы с целью повышения познавательного интереса учащихся, чтобы внести разнообразие и эмоциональность в учебную деятельность.

В начале марта снова проводилось анкетирование.

Результаты:

1 - нравятся уроки алгебры;    2 - не нравятся уроки алгебры.

III. Заключение.

В настоящее время встает проблема о включении в процесс обучения

исторических экскурсов. Анализ литературных источников позволяет убедиться в том, что многие авторы интересуются проблемой введения исторических экскурсов в учебный процесс. Вопрос о значении использования элементов истории математики в процессе обучения удачно раскрыт В.Д. Чистяковым и М.В. Остроградским. Говоря о методике преподавания элементов истории на уроках, были изучены книги Г.И. Глейзера.

Изучив и проанализировав литературу, можно прийти к выводу, что тема

"Исторические экскурсы в курсе математики 7-8 классов, как средство развития познавательного интереса»,  актуальна  для современной школы. Из года в год учителя практикуют одно и то же, что есть в учебниках, и чаще всего, дают как дополнительный материал для домашнего чтения. Причиной, прежде всего, является отсутствие литературы по данной теме, "нежелание" учителей тратить время на уроке на ненужные и лишние сведения". Но, несмотря на все трудности, учитель должен понимать, что использование элементов истории на уроках способствует развитию познавательного интереса у учащихся к данному предмету.

Цель и задачи, поставленные в данной работе, выполнены.

     Подобранные исторические экскурсы могут быть использованы учителями при проведении уроков математики в 7-8 классах.

В ходе исследования можно увидеть, как с помощью исторических экскурсов можно повысить познавательный интерес к предмету. Возникает интерес к математике у тех учеников, для которых математика казалась скучной и неживой наукой. А у тех, кому уже была интересна, повысила и поддержала их познавательный интерес к данной дисциплине.

Изучение биографии людей, принесших пользу наукам и искусству, творческую атмосферу, является одним из средств, которые используют учителя, чтобы привлечь учеников. Учащимся полезно рассказывать кое-что из творческих биографий знаменитых ученых, как они приходили к постановке вопросов своих исследований, как находили метод исследования, как формулировали окончательный результат. Именно, это формирует, помогает понять, что в процессе творчества нет ничего необычного, сверхъестественного. Нужно только уметь сосредоточиться на предмете исследования и подходить к нему с разных позиций. Это в одно и то же время отличная разрядка и средство с помощью живого рассказа запечатлеть то или иное основное положение, либо удачное приложение теоретических принципов. Учителям математики необходимо подбирать исторические экскурсы, а мы им в этом немного помогли.

IV. Список литературы.

1. Атанасян Л.С., геометрия 7-9 классы: учеб.  для общеобразоват. Учреждений – 22изд. – М.: Просвещение, 2012. – 384с.
2. Глейзер Г.И. «История математики» - М.: Просвещение, 1981-239с.
3. Гнеденко Б.В. «Об истории математики её значении для математики и др. наук» М: ФИЗМАТГИЗ, 1958- 460с.
4. Журнал «Математика в школе», №7, 2008
5. Заболотских Т.А. «Использование исторического материала в процессе обучения математики» №6, 1993.
6. Мордкович А.Г. «Алгебра 7 класс: в двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразоват. учреждений»  9-е издание – М.: Мнемозина, 2006-160с.
7. Мордкович А.Г. «Алгебра 8 класс: в двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразоват. учреждений»  11-е издание – М.: Мнемозина, 2009-215с.
8. Столяр А.А. «Общая методика преподавания математики»- М.: 1999 – 200с.
9. Чистяков В.Д. «Сборник старинных задач по элементарной математики с историческими экскурсами и подробными решениями» - М.: Минск «Народная  АСВЕТА», 1986-100с.
10.  Шеврин Л.Н. «Математика: Учебник - собеседник для 5 класса средней школы-М.: Просвещение, 1994-319с.

V. Приложения.

4.   Математические экскурсы:

1. Экскурс первый: краткая история алгебры и её буквенной символики.

Слово «алгебра впервые встречается в 9 веке в работе хорезмийского математика и астронома Мухамеда бен Муса ал-Хорезми.Он составил труд «Хисаб ал-джебр вал-мукабала» посвященный составлению и решению алгебраических уравнений. От слова «ал-джебр» и произошло слово «алгебра».»Хисаб ал-джебр вал- мукабала» представляет собой «словесную алгебру» ,в которой отсутствуют еще символические буквенные обозначения, а все записывается словами.

Термины «ал-джебр» и «вал-мукабала» обозначают собой две наиболее простые и основные операции, с помощью которых уравнение приводится к виду с положительными членами в левой и правой частях. Операция «ал-джебр» (дословно- восстановление) сосотоит из переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую для того, чтобыв обеих частях иметь положительные члены. Операция же «вал-мукабала» (дословно-сопоставление, сравнение) состоит из приведения подобных членов в левой и правой частях уравнения и имеет целью сделать уравнение более простым.

Большим научным завоеванием для алгебры является её буквенная символика, удобная для записи. Современная буквенная символика создавалась постепенно. Сначала она появилась у арабов. Так, в 11 веке арабский математик ал-Карги вводит особые знаки для некоторых величин, обозначая неизвестное знаком.

Буквенные обозначения в Европе стали вводиться в 15-16 веках. Буквенные обозначения любых чисел ввел в 16 веке Виет. Неизвестное число он обозначал буквой N.

В деле окончательной отшлифовки алгебраической символики много сделали немецкий математик Лейбниц (1646-1716), английский математик и физик Ньютон и особенно французский математик Декарт (1596-1650).

В  16 веке английский математик Рекорд впервые ввел знак равенства в виде двух равных отрезков, расположенных параллельно (=).

В России первые сведения по алгебре были даны в 1703 году в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

2. Экскурс второй: история уравнения первой степени с одним неизвестным.

В 7 классе при прохождении темы «Уравнения первой степени с одним неизвестным» учитель должен остановиться на истории этого вопроса. Лучше всего это сделать в конце указанной темы.

Материал для беседы учителя.

Еще древним вавилонянам и египтянам было известно много арифметических задач, решение которых сводилось к рассмотрению уравнения первой степени с одним неизвестным. Например, в египетском папирусе Райнда«Руководство к вычислениям писца Ахмеса»,относящемся к периоду 2000-1700 лет до н.э., имеется целая глава «Вычисление куч»,посвященная решению указанных выше задач. Здесь под словом «куча» понималось неизвестное число. Приводим одну задачу из замечательного памятника:

Задача№1.

 «Найти число, если известно, что от прибавления к  нему  его и вычитания от полученной суммы его трети получается число 10».

 Задача в современных обозначениях сводится к рассмотрению уравнения:

x+ x -  ( x + x) = 10

   В этом же документе рассматриваются следующие уравнения:

x+ = 19                 x +  = 21

x+  = 16                 3x + x= 1

x+ = 15                 3x + x + x = 1

Большие достижения в алгебре имели индийские математики. В 1881 году в Бахшали был найден один древнеиндийский манускрипт, выполненный на берёзовой коре, где даются задачи, которые сводятся к решению уравнений первой степени. Приводим два примера:

Задача №2.  

 «Из четырёх индийцев второй жертвует вдвое больше первого, третий втрое больше второго и последний вчетверо больше третьего, а все вместе 132. Сколько дал первый?»

 1) Пусть первый дал единицу, тогда второй 2 единицы, третий    6 единиц и четвертый 24 единицы, т.е. все пожертвование составляет 33 единицы , а должно было бы составить 132 единицы.

2) Следовательно, пожертвование каждого должно быть в  132 : 33 = 4 раза больше.

Ответ: 4 единицы.

Решение задачи на современном языке:

По условию задачи всего пожертвовали 132. Составим и решим уравнение:

x+2x+6x+24x=132

33x=132

x=132:33

x=4

  Итак, первый дал 4 единицы.

   Ответ: 4 единицы.

Задача №3.

   «Два лица имеют разные капиталы, состоящие каждый из известного количества вещей и денег, причём число вещей и сумма денег различны. Какова ценность вещи?»

   1) Обозначим через X искомую ценность вещи.

   2) Пусть первое лицо имеет  a  вещей и рупий, второе лицо - b вещей и d рупий. Тогда получим уравнение:

ax + c = bc + d

x=

Ответ: «… разность между двумя числами рупий, принадлежащих двум лицам, разделить на разность чисел вещей: частное выразит ценность вещи, если их капиталы равны».

Индийский математик Бхаскара-Акариа в своём трактате «Венец системы» излагает алгебру в разделе под названием «Вычисление корней», в котором большое место отводит задачам, сводящимся к уравнениям первой степени. Отступая от традиции, Браскара изъясняется прозой, а не стихами, как его предшественники, поэтому его изложение не содержит тех неясностей, которые были у последних. Условия задач все же Бхаскара облекает часто в обрезную форму.

Вот одна из задач Бхаскара, приводящая к решению уравнения первой степени:

3.    Экскурс третий: история квадратных уравнений.

Квадратные уравнения имеют интересную историю ,начало которой уходит в глубь веков. Еще древние греки построили целую геометрическую алгебру, в которой излагались методы решения некоторых квадратных уравнений, получаемых из условий геометрических задач. В 3 веке до н.э. Евклид отвел геометрической алгебре в своих «Началах» всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

В 1 веке н.э. греческий математик и инженер даёт чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения. Решая уравнение

11x2+29x=2124

X =(-29)

Далее в 3 веке н.э. греческий ученый Диофант, не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путём решал некоторые квадратные уравнения.

Общий метод решения квадратных уравнений был открыт индийскими математиками. Так в 12 веке н.э. индийский математик Бхаскара для общего уравнения ax2+bx+c=0 нашёл решение в виде: x=,причем отрицательных корней он в расчет не принимал, говоря, что «люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел».

В алгебраической части своего тракта по астрономии Бхаскара рассматривает ряд задач, сводящихся к решению квадратных уравнений. Вот одна их них:

«Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажи мне, сколько всех обезьян?»

Эта задача приводит к квадратному уравнению:

x2-64x+768=0

Решая полученное уравнение ,найдем:

x=32+=32+16

x1=48                         x2=16

Теорию квадратных уравнений хорошо разработал ал-Хорезми,  который дал шесть видов квадратных уравнений:

1)x2=bx                 4)x2+b2=c

2)x2=c                  5)x2+c=bx

    3)bx2=c                6)bx+c=x2

    Для каждого их шести уравнений в словесной форме (буквенной символикой он не пользовался) ал-Хорезми  формулировал особое правило его решения. Попытка создать общую теорию квадратных уравнений в Европе была предпринята в 16 веке Виетом. Эту теорию несколько позднее завершил Жерар.

4.4   Экскурс четвертый: краткая история возникновения геометрии.

Возникновение геометрии вызвано потребностью человека измерять землю. Слово «геометрия» означает землемерие. Таким образом, первые геометры были преимущественно землемерами. Несколько тысяч лет тому назад, геометрия Египта и Вавилона состояла из отдельных правил, полученных опытным путем и предназначавшихся главным образом для вычисления площадей и границ земельных участков.

В связи с развитием торговли перед геометрией возникли новые задачи, связанные с измерением емкости сосудов, вычислением объемов различных тел, вообще задачи, связанные с формой, размерами и взаимным расположением различных предметов.

Большая роль в дальнейшем развитии геометрии принадлежит древнегреческим ученым (Фалес, Демокрит, Евдокс, Пифагор, Евклид  и др.). Особенно большая роль в истории развития геометрии принадлежит древнегреческому ученому Евклиду, который в III веке до н.э. обобщил и собрал воедино разрозненные геометрические сведения своих современников и предшественников, дополнив их своими собственными исследованиями.  Он дал их систематическое изложение в своих  тринадцати геометрических книгах, известных под названием «Начала».

«Начала» Евклида являются первой удачной попыткой научного построения геометрии. Насколько большой авторитет имели и имеют теперь «Начала» Евклида, видно из того, что вся последующая учебная литература по элементарной геометрии или дословно копирует Евклида, или написана под большим его влиянием.

Высокий уровень развития современной техники ставит перед геометрией всё новые и новые задачи. В настоящее время геометрия определяется как часть математики, изучающая пространственную форму, размеры и взаимное расположение фигур.

5. Экскурс пятый: история задач на построение.

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Родиной этих задач можно считать древнюю Грецию, где впервые создались геометрическая теория в систематическом изложении. Древние греки стремились к геометрическим построениям, выполняемым только циркулем и линейкой, и считали их идеалом в геометрии.

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

1. Задача об удвоение куба. Требуется построить сторону куба,

который по объему был бы  в два раза больше данного куба.

2. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить

на три равные части.

3. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь

которого равнялась бы данному кругу.

Возникновение этих задач связано с целым рядом легенд. Любопытна легенда, связанная с первой задачей.

Царь Минос велел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы придали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя своё бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

 Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор, коротая время в тюрьме, пытался  квадрировать  круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. 

В настоящее время выяснено, что эти задачи при помощи циркуля и линейки нельзя решить, для их решения требуются ещё и другие вспомогательные средства.

4.6 Экскурс шестой: история открытия теоремы Пифагора.

Полагают, что Пифагор жил около 580 - 500 гг. до н. э. О его жизни до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор родился на острове Самосе.

В молодости для изучения наук жрецов путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрологию и астрономию у халдейских жрецов. После Вавилона, побыв некоторое время в своем отечестве, переселился в Южную Италию, а потом в Сицилию и организовал там пифагорейскую школу, которая внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Однако, приняв количественное отношение за сущность вещей и оторвав их от материального мира, эта школа пришла к идеализму. В политической жизни пифагорейская школа стала реакционной политической организацией рабовладельческой аристократии того времени. 

Пифагор и его ученики много потрудились над тем, чтобы придать геометрии научный характер.

Кроме знаменитой теоремы, носящей его имя, Пифагору приписывается еще ряд замечательных открытий, в том числе:

1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.
2. Задача о покрытии, т. е. деление плоскости на правильные многоугольники: равносторонние треугольники,

квадраты и правильные шестиугольники.

3. Геометрические способы решения квадратных уравнений.
4. Правила решать задачу: «По данным двум фигурам построить третью, которая была бы равна одной из данных и подобна другой».

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым народам еще до Пифагора. Например, в своей строительной практике египтяне пользовались так называемым «египетским треугольником» со сторонами 3, 4 и 5. Египтяне знали, что указанный треугольник является прямоугольным, что для него выполняются соотношения 32+42 = 52, т. е. как раз то, что утверждает теорема Пифагора.

Независимо от Пифагора частные случаи его теоремы использовались также индийцами, причем последние справедливость теоремы Пифагора в частном случае усматривали непосредственно из чертежа. Доказательство Пифагора до нас не дошло. Известный немецкий историк и математик М. Кантор (1829—1920) полагает, что первоначальное доказательство теоремы Пифагора относилось к частному случаю, т. е. к рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника, как это делали индийцы, исходя непосредственно из чертежа (черт. 2). 

В настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора. Вполне возможно, что среди этих доказательств имеется доказательство и самого Пифагора, если он таким располагал.

Есть мнение, что теорему Пифагора открыл не сам Пифагор, а его ученики. Дело в том, что по обычаям того времени, все, что открывалось учениками, приписывалось главе школы — учителю.

Также мы создали содержательную презентацию о шести вышеупомянутых экскурсах.