Разрезания
статья по алгебре по теме
Разрезания
Исходная задача. Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9´9 квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)
Общая постановка задачи.
1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?
2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?
3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:
а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат р´р (р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?
б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s´t, где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t.)
4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.
5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
m-4.doc | 95 КБ |
Предварительный просмотр:
Разрезания
Исходная задача. Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9×9 квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)
Общая постановка задачи.
1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п×п можно вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3?
2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т×п можно вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3?
3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:
а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т×п можно вырезать квадрат р×р (р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3?
б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т×п можно вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s×t, где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t.)
4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.
5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.
Решение
Исходная задача. Рассмотрим все возможные клетки квадрата 9×9, в которых может находиться левая верхняя (угловая) клетка вырезанного квадрата 3×3. Очевидно, что эта угловая клетка не может находиться в восьмом или девятом столбце, а также в восьмой или девятой строке, так как тогда вырезанный квадрат 3×3 выйдет за пределы большого квадрата. Значит позиций для этой клетки не более чем 7×7=49 клеток большого квадрата. Но не все они подходят. Для того, чтобы более точно оценить количество решений, раскрасим клетки фигуры в черный и белый цвета в шахматном порядке как показано на рисунке. Также на рисунке серым отмечены клетки восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, где точно не может находиться левый верхний угол квадрата 3×3.
× | × | × | ||||||
× | × | |||||||
× | × | × | ||||||
Легко заметить, что черных клеток 41, белых 40, то есть их разное количество. А любой прямоугольник 2×3 занимает ровно 3 белых и 3 черных клетки. Значит, в вырезанном квадрате 3×3 количество черных клеток должно быть на одну больше, чем белых, чтобы в оставшейся части белых и черных клеток было поровну и её можно было разделить на прямоугольники 2×3. Таким образом, из 49 возможных клеток остается 25 черных. Но и они не все подходят.
Очевидно, что если квадрат 3×3 при вырезании оставляет полосу шириной в одну клетку, то разрезать её на прямоугольники 2×3 невозможно. Значит, таких полос быть не должно и из 25 черных клеток выпадают еще 8, помеченных на рисунке крестиком. Они расположены по периметру квадрата 7×7, получаемого удалением из исходного восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, и на расстоянии 1 клетки от его стороны.
Окончательно получаем 25 – 8 = 17 способов вырезать из квадрата 9×9 квадрат 3×3. В каждом из этих случаев нетрудно убедиться, что оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники 2×3. Для этого из тех трех строк, в котором вырезали квадрат 3×3, вырежем три прямоугольника, расположенных вертикально. Остальные строки разбиваются на пары строк, состоящих из трех горизонтально расположенных прямоугольников. Итак, ответом является 17 способов.
- Площадь нужного квадрата равна п2. Чтобы фигуру, полученную после вырезания квадрата 3×3, можно было замостить прямоугольниками 2×3, её площадь должна делиться на 6, т.е. п2 – 9 кратно 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3 одновременно. Следовательно, п2 должен делиться на 3 и быть нечетным. Значит, п кратное 3 нечетное число. Это числа вида n = 6d – 3, где d любое натуральное число. Они образуют арифметическую прогрессию с разностью 6.
Заметим, что для указанного выше n, если квадрат 3×3 вырезать из квадрата п×п так, что их левые верхние углы совпадают, то оставшуюся часть нетрудно разрезать на прямоугольники 2×3. Первые три строки содержат теперь по 6d – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3d – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 6d – 6 строк разобьем на пары рядом расположенных строк по 6d – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2d – 1 горизонтально расположенных прямоугольников.
Таким образом, для п = 6d – 3 из квадрата п×п можно вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3.
- Аналогично с пунктом 1, m×n нечетное число, которое делится на 3. То есть, m и n нечетные числа и хотя бы одно из них делится на 3. Заметим также, что эти числа должны быть не меньше 3. Получаем формулы: m = 2x + 1, n = 6y – 3 или n = 2x + 1, m = 6y – 3. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Как и в пункте 1 будем вырезать квадрат 3×3 так, чтобы его верхний левый угол совпал с верхним левым углом всего прямоугольника. Пусть для начала у прямоугольника m = 2x + 1 строк и n = 6y – 3 столбцов. Тогда, как и выше, первые три строки содержат теперь по 6y – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3y – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 2x – 2 строки можно разбить на пары рядом расположенных строк по 6x – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2x – 1 горизонтально расположенных прямоугольников. Случай m = 6y – 3 строк и n = 2x + 1 столбцов рассматривается аналогично. Только первые три столбца разрезаются на 3y – 3 горизонтальных прямоугольника, а оставшиеся x – 1 пара рядом расположенных столбцов разрезается каждая на 2x – 1 вертикальных прямоугольников.
Таким образом, если m = 2x + 1, n = 6y – 3 или n = 2x + 1, m = 6y – 3, где x и y произвольные натуральные числа, то из прямоугольника т×п можно вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3.
- а) Рассуждая аналогично пунктам 1 и 2, получаем, что m×n – p2 кратно 6. При этом m и n не меньше p и не могут, очевидно, равняться p + 1. Рассмотрим, какие остатки может давать число p при делении на 6.
Пусть p делится на 6. Тогда среди чисел m и n по крайней мере одно четное и по крайней мере одно делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + y – 1; 2) m = p + 2x – 2, n = p + 3y – 3; 3) m = p + 3x – 3, n = p + 2y – 2; 4) m = p + x – 1, n = p + 6y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Пусть p дает 1 в остатке при делении на 6. Тогда p2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + 6y – 6; 2) m = p + 6x – 2, n = p + 6y – 2. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Пусть p дает 5 в остатке при делении на 6. Тогда p2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + 6y – 6; 2) m = p + 6x – 4, n = p + 6y – 4. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Пусть p дает 2 в остатке при делении на 6. Тогда p2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + 3y – 3; 2) m = p + 3x – 3, n = p + 6y – 6; 3) m = p + 3x – 1, n = p + 6y – 4; 4) m = p + 6x – 4, n = p + 3y – 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Пусть p дает 4 в остатке при делении на 6. Тогда p2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + 3y – 3; 2) m = p + 3x – 3, n = p + 6y – 6; 3) m = p + 3x + 1, n = p + 6y – 2; 4) m = p + 6x – 2, n = p + 3y + 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Пусть p дает 3 в остатке при делении на 6. Тогда p2 – 3 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение кратно 3. То есть, по крайней мере одно из этих чисел делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6x – 6, n = p + 2y – 2; 2) m = p + 2x – 2, n = p + 6y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.
Заметим, что в каждом из этих случаев можно по аналогии с пунктами 1 и 2 показать, что оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2×3.
- б) По аналогии с рассуждениями выше, для того, чтобы из прямоугольника т×п можно было вырезать квадрат 3×3 так, чтобы оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники s×t, где s и t – заданные натуральные числа, необходимо, чтобы число т×п – 9 делилось на число s×t. Рассмотрим небольшие значения s и t и ответим для них на вопрос задачи.
1) s = t = 1. Очевидно, m и n любые натуральные числа, не меньшие 3.
2) s = 1, t = 2 или s = 2, t = 1. В этом случае число т×п – 9 является четным, то есть числа m и n любые нечетные натуральные числа, не меньшие 3. Идея разрезания оставшейся части очень проста: вырежем квадрат 3×3 из левого верхнего угла прямоугольника, первые три строки содержат теперь четное число клеток (по 3 клетки из них вырезали), значит их можно разрезать на горизонтально расположенные прямоугольники 1×2, оставшиеся строки разбиваем на пары рядом расположенных строк и разрезаем каждую пару на нечетное число вертикально расположенных прямоугольников 1×2. Запишем ответ в виде m = 2x +1, n = 2y + 1, где x и y произвольные натуральные числа.
3) s = 1, t = 3 или s = 3, t = 1. В этом случае число т×п – 9 делится на 3, то есть по крайней мере одно из чисел m или n делится на 3. Чтобы разрезать оставшуюся часть, разрежем сначала весь прямоугольник на прямоугольники 1×3, расположенные параллельно той стороне, длина которой делится на 3. Выбрав 3 таких прямоугольника, расположенных рядом и образующих квадрат, в качестве вырезанного прямоугольника, получим разрезание оставшейся части. Таким образом, m = 3x, n = 3 + y или m = 3 + x, n = 3y, где x и y произвольные натуральные числа.
4) s = 2, t = 3 или s = 3, t = 2. Этот случай рассмотрен в пункте 2.
5) s = 1, t = 4 или s = 4, t = 1. В этом случае число т×п – 9 делится на 4, то есть т×п – 9 = 4t для некоторого целого неотрицательного t. Тогда т×п = 4(t + 2) + 1 и произведение чисел m и n при делении на 4 дает в остатке 1. То есть, при делении на 4 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 3. Следовательно, m = 4x + 1, n = 4y + 1 или n = 4x + 3, m = 4y + 3, где x и y произвольные натуральные числа. Чтобы разрезать оставшуюся часть в первом случае, выделим в левом верхнем углу прямоугольника квадрат размера 5×5. Остальная часть легко разрезается на прямоугольники 1×4, так как оставшиеся части сторон кратны 4. Вырежем в центре квадрата 5×5 квадрат 3×3. Полученная рамочка разрезается на 4 прямоугольника. Во втором случае все еще проще, квадрат 3×3 вырезаем в верхнем левом углу, а затем оставшуюся часть то, что справа разрезаем на горизонтальные прямоугольники, а снизу на вертикальные. Оставшийся прямоугольник имеет стороны, кратные 4. Таким образом, m= 4x + 1, n = 4y + 1 или m = 4x + 3, n = 4y + 3, где x и y произвольные натуральные числа.
- Будем решать исходную задачу для условия, соответствующего пункту 3 а). При этом будем сразу считать, что оставшуюся часть прямоугольника т×п после вырезания квадрата р×р можно хотя бы в каком-то случае разрезать на прямоугольники 2×3. Как и в исходной задаче, разместить левую верхнюю клетку квадрата p×p можно в (m – p + 1)(n – p + 1) клетке. Далее рассмотрим два случая:
Пусть p нечетное число, тогда используя шахматную раскраску, как и исходной задаче, уменьшим число вероятных решений до . Также необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы (по аналогии с исходной задачей). Этих клеток всего внутри урезанного прямоугольника и только черных:
. Таким образом, получаем ответ
.
Отметим, что в исходной задаче было получено .
Пусть p четное число, тогда, как и выше, необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы. Их (m – p – 1)⋅2+(n – p – 1)⋅2 – 4, то есть 2⋅(m + n – 2p – 4). В итоге в ответ пойдет
Заметим, что для пункта 1 получаем m = n и p = 3. Тогда количество способов .
Для пункта 2 получаем .
Замечание. В пункте 4 была получена оценка сверху количества способов вырезания квадрата. Хотя и не доказано строго, можно предполагать, что это и нижняя оценка. Надо только указать способ разрезания оставшейся части на прямоугольники 2×3.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Задачи на разрезание фигур
Презентация к уроку "Наглядной" геометрии в 5-6 классах...
Конспект занятия ТО по теме "Геометрические задачи (разрезания)"
Материал содержит конспект и презентацию занятия ТО "В царстве смекалки" по теме "Геометрические задачи (разрезания)"...
Задачи на разрезание
Презентация к факультативному занятию в 5 классе....
задачи на разрезание
ссылка на сайт, на котором размещены задачи на разрезание с решениями...
Задачи на разрезание и перекраивание фигур
Презентация подготовлена для курса "Наглядная геометрия" 5 класс...
Задачи на разрезание и перекраивание фигур (часть 2)
Презентация подготовлена для курса "Наглядная геометрия " 5 класс...
Задачи на разрезание и перекраивание
Презентация предназначена для учащихся 5 классов...